CC BY
43
Abstract: The method of computation of descrete Fourier transform for polynomials of many variables over the ring Zp[xi,x2,..xn] is considered. Theoretical complexity of the stated approach is provided.
Keywords: computer algebra; descrete Fourier transform; fast Fourier transform; theory of algorithms.
Дапаев Алексей Олегович Alexei Lapaev
аспирант post-graduate student
Тамбовский государственный университет Tambov State University им. Г.Р. Державина named after G.R. Derzhavin
Россия, Тамбов Russia, Tambov
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
УДК 517.929, 519.71
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
© А. С. Ларионов, В. В. Лузгин, В. В. Панасов
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; функция Коши; система автоматического регулирования; устойчивость.
Аннотация: Предлагаются достаточные условия положительности функции Коши и фундаментального решения дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом; эти условия используются для получения признаков устойчивости решений уравнения, описывающего динамику системы автоматического регулирования.
Многие процессы, протекающие в реальных системах, не могут быть адекватно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. Все более актуальными в последнее время становятся такие прикладные задачи, в которых требуется учитывать одно из фундаментальных свойств любых реальных систем и объектов - запаздывание. Запаздывание обусловлено как необходимостью передачи сигнала, энергии или вещества во времени, так и тем обстоятельством, что на сбор и обработку информации, а также на принятие решений, например в системах автоматического регулирования, требуется определенное время [1, 2]. Для математического описания такого рода систем и объектов все большее применение находят дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, являющиеся актуальными представителями класса функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ), которые в линейном случае можно записать в виде
(Сх)(г) = /(г), г е [а, ж), (1)
где С : АСп ^ Ьп— линейный ограниченный оператор (здесь АСп— банахово пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, ж) ^ Мп, Ьп— банахово пространство суммируемых на каждом конечном отрезке [а, Ь] С [а, ж) функций г : [а, ж) ^ Мп).
Теория ФДУ в настоящее время интенсивно развивается, основные результаты этой теории приведены в монографиях [3, 4] (см. также обзоры [1, 5]). При естественных предположениях
относительно уравнения (1) его общее решение задается формулой Коши [3, 4]
x(t) = X(t)x(a) + ( C(t,s)f (s) ds, (2)
J a
C(t, s) X(t)
следует, что асимптотические свойства уравнения (1) полностью определяются асимптотическим поведением матриц C(t,s) и X(t).
В докладе рассматривается скалярное дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом
m
(Lx)(t) = x(t) + ^2 Hk(t)x[rk(t)] = f (t), t e [a, ж), (3)
k=l
x(£) = 0, если £ < a,
где Hk,f e L; функции Tk : [a, ж) ^ R измеримы, Tk(t) ^ t при почти всех t e [a, ж), k = = 1,... ,m.
Если параметры уравнения (3) постоянны, то условия устойчивости решений можно получать [5], исследуя корни характеристического уравнения (квазиполинома) или применяя частотные критерии. В докладе приводятся достаточные условия положительности функции Коши и фундаментального решения уравнения (3) и основанные на этих условиях утверждения о сравнении решений, что позволяет получать признаки устойчивости этого уравнения. Эти признаки применяются для исследования динамики систем автоматического регулирования, которые описываются уравнением (3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Кордуняну К., Лакшмикантам В. Уравнения с неограниченным запаздыванием // Автоматика и телемеханика, 1985. №7. С. 5-44.
2. Мухопад Ю.Ф. Микроэлектронные информационно-управляющие системы: учеб. пособие. Иркутск: Ир-ГУПС, 2004.
3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.
4. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
5. Колмановский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование // Соросовский образовательный журнал. 1996. №4. С. 122-127.
Abstract: some sufficient conditions of positiveness of Cauchy's function and a fundamental solution of delay differential equation of the first order are proposed; these conditions for receiving of stability signs solutions an equation are used; this equation describes the dynamics properties of system of automatic regulation.
Keywords: functional differential equation; Cauchy's function; system of automatic regulation; stability.
Ларионов Александр Степанович к. ф.-м. н., доцент
Братский государственный университет
Россия, Братск
e-mail: [email protected]
Aleksandr Larionov
candidate of phys.-math. sciences,
senior lecturer
Bratsk State University
Russia, Bratsk
e-mail: [email protected]
Лузгин Владимир Васильевич К. т. н., доцент
Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: [email protected]
Vladimir Luzgin
candidate of tech. sciences,
senior lecturer Bratsk State University
Russia, Bratsk
e-mail: [email protected]
Панасов Вячеслав Владимирович Братский государственный университет Россия, Братск e-mail: [email protected]
Vyacheslav Panasov Bratsk State University Russia, Bratsk e-mail: [email protected]
УДК 517.977.58
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ
МНОЖЕСТВ СИММЕТРИИ 1
© П. Д. Лебедев, А. А. Успенский
Ключевые слова: минимаксное решение уравнения в частных производных первого порядка; задача Дирихле; задача быстродействия; множество симметрии; эйконал.
Аннотация: Приводится метод построения функции оптимального результата в задаче быстродействия, основанный на выделении множества симметрии краевого условия. Развивается численно-аналитический подход к аппроксимации множества управляемости. Устанавливается связь решения задачи быстродействия с решением задачи о построении эволюции волновых фронтов при конструировании эйконала. Приводятся результаты моделирования решений динамических задач быстродействия и задач геометрической оптики.
Изучается задача Дирихле для уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби
шш (V, Би(х)) + 1 = 0, (1)
и\г = 0. (2)
Здесь х = (х,у) € К2, ||^|| = \/— евклидова норма вектора V = (^1,^2), Г — граница
замкнутого множества М С К2, Ои(х) = — градпет функции и = и(х).
Минимаксное решение [1] задачи Дирихле (1)-(2) совпадает с функцией оптимального результата соответствующей задачи динамического быстродействия с круговой индикатрисой скороМ
М
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 08-01-
00587-а, Программы государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2640.2008.1 и федеральной программы Президиума РАН №29.
