Исследование динамики систем автоматического регулирования на примере теплоэлектронагревателя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929, 519.71

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ПРИМЕРЕ ТЕПЛОЭЛЕКТРОНАГРЕВАТЕЛЯ

© А.С. Ларионов, В.В. Панасов

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; матрица Коши; система автоматического регулирования; теплоэлектронагреватель; устойчивость.

Методами теории функционально-дифференциальных уравнений на конкретном примере изучаются динамические свойства систем автоматического регулирования.

Для правильного описания различных систем автоматического регулирования (САР), некоторых механических, физических, биологических и других процессов все чаще привлекаются уравнения с отклоняющимся аргументом, являющиеся представителями класса функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). В теории регулирования такие уравнения возникают при учете как транспортного, так и информационного запаздывания [1]. Теория ФДУ в последнее время активно развивается [1, 2]. В докладе рассматривается уравнение

m

(Cx)(t) = x(t) + J2 pj(t)x[hjCO] = f (t), t e [0, ж), (1)

j=i

x(C) = <p(£), если c e [0, ж), x(t) e Rn.

Для уравнения (1) предполагается, что его общее решение задается формулой Коши

x(t) = X(t)x(0) + f C(t,s)f (s) ds,

J 0

где X(t) — фундаментальная матрица уравнения (1), C(t, s) — матрица Коши.

В докладе при n = 1 приводятся эффективные признаки устойчивости решений уравнения (1). Эти признаки применяются для исследования САР температуры теилоэлектро-нагревателя (ТЭНа) с пропорциональным регулятором, динамика работы которого описывается уравнением

x(t)+Tx(t)+x(t - т)="T1 g(t), t e [0, ж), (2)

x(C) =0, С < 0.

В уравнении (2) (частном случае уравнения (1)): T— постоянная времени объекта, ki — коэффициент усиления ТЭНа, "2 — коэффициент усиления perулятора, т — постоянная g( t)

Параметры уравнения (2) были получены по экспериментальной переходной характеристике ТЭНа методами первичной и вторичной идентификации [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Кордуняну К., Лакшмикантам В. Уравнения с неограниченным последействием j j Автоматика и телемеханика. 1985. №7 . С. 5-45.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

3. Панасов В.В., Колтыгин Д. С., Лузгин В.В. Идентификация передаточной функции с запаздыванием (Time-Delayld v.1.00) // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008610406 21.01.08.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Larionov A.S., Panasov V.V. Research of dynamic of automatic regulation systems by the example of a heat electric radiator. The dynamical properties of systems of automatic regulation by the certain example are investigated by the methods of the functional differential equations.

Key words: functional differential equation; Cauchy’s matrix; system of automatic regulation; heat electric radiator; stability.

Ларионов Александр Степанович, Братский государственный университет, г. Братск, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики; e-mail: [email protected].

Панасов Вячеслав Владимирович, Братский государственный университет, г. Братск, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент кафедры систем электроснабжения; e-mail: [email protected].

УДК 517.95

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ГУРСА-ДАРВУ В КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С СУММИРУЕМОЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

© И.В. Лисаченко, В.И. Сумин

Ключевые слова: нелинейная система Гурса-Дарбу; решения с суммируемой смешанной производной; терминальная задача оптимизации; принцип максимума; особые управления.

Рассматривается нелинейная управляемая система Гурса-Дарбу с полной каратеодо-риевской правой частью уравнения при общих условиях, позволяющих искать решения системы в классе функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной. На примере терминальных задач оптимизации обсуждаются вопросы получения необходимых условий типа принципа максимума, условий вырождения принципа максимума, условий оптимальности особых управлений.

Для задачи оптимизации системы Гурса-Дарбу в свое время была получена одна из первых в классе распределенных оптимизационных задач достаточно общих формулировок принципа максимума (об истории вопроса [1, с. 333-345, 449-450; 2, с. 442-450]). Впоследствии вопросы вывода и анализа принципа максимума для задач оптимального управления системой Гурса-Дарбу, являющейся своего рода пробным камнем теории оптимизации распределенных систем, рассматривали многие авторы [3, 4].

В последнее время наблюдается устойчивый интерес [5-7] к задачам оптимизации систем типа Гурса-Дарбу, рассматриваемых в классах абсолютно непрерывных функций с суммируемой в некоторой степени смешанной производной. В этом случае, по сравнению с преимущественно изучавшимся до недавнего времени случаем ограниченной смешанной производной [8-12], принцип максимума исследован еще мало. Доклад посвящен результа-

Т&М, ПОЛуЧбННЫМ ШВТОре1МИ В ДеШНОМ НЭЛреШЛбНИИ.

В [13] доказан поточечный принцип максимума для терминальной задачи оптимизации нелинейной управляемой системы Гурса-Дарбу с полной каратеодориевской правой частью