CC BY
37
мации в массиве, формула для определения количества информации принимает вид:
P =m! / [( m/2)!2 ] *n! /[(n/2)!2 ] (8)
Im =Log b m! / [(m/2)!2] + Log b n! / [(n/2)!2] = Log b m! - 2Log b (m/2)! + Log b n! - 2 Log b (n/2)!
В заключение следует отметить, что в данной статье предложен комбинаторный подход к оценке количества информации в сообщениях с учетом их структурной однородности. При этом количество информации в сообщениях источника является не только функцией от объема его алфавита и числа элементов в нем, но зависит и от структуры самого сообщения. Это обстоятельство весьма важно при решении определенного класса задач, в частности, в криптографии при использовании методов перестановок для шифрования информации, число перестановок, в ряде случаев, рассматривается как число ключей шифрования, которые определяют такую характеристику шифра как стойкость.
Библиографический список:
1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М.: «Наука»,1969, 340с.
2. Хартли Р. Передача информации // Теория информации и ее приложения: сб. переводов под ред. А.А. Харкевича. - М.:Физматгиз,1959.- 328 с.
УДК: 528.2/.3 Мамедбеков С.Н.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ИЗМЕНЕНИЯ АБСЦИСС И ОРДИНАТ ТОЧЕК НА КРАЙНЕМ МЕРИДИАНЕ ШЕСТИГРАДУСНОЙ ЗОНЫ В ПРОЕКЦИИ ГАУССА-КРЮГЕРА
Mamedbekov S.N.
THE STUDY OF DYNAMICS OF CHANGE OF THE ABSCISSA AND ORDINATE OF THE POINT AT THE FAR MERIDIAN SIX DEGREE ZONE IN THE PROJECTION GAUSS-KRUGER
В данной работе рассматривается динамика изменения абсцисс и ординат точек на крайнем меридиане шестиградусной зоны в конформной проекции Гаусса-Крюгера. Выполнены вычисления и графическое представление результатов по классическим формулам конформной проекции.
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №3 (34), 2014
Ключевые слова: проекции Гаусса—Крюгера, конформные проекции, геодезическая система координат, зональная система координат, шестиградусные зоны.
This paper considers the dynamics of the abscissa and ordinate points in the far zone meridian six degree conformal Gauss-Kruger projection. Performed calculations and graphical representation of the classic formulas of conformal projection.
Key words: Gauss-Kruger projection, conformal projection, geodetic coordinate system, zonal coordinate system, six degree zone.
Необходимость перевода координат пунктов из одной системы координат в другую вызвана применением большого количества систем координат, которые продиктованы необходимостью решения различного рода задач, основные из которых, часто применяются на практике. Это геодезическая, связанная с определенной моделью эллипсоида, пространственная прямоугольная геоцентрическая, плоская прямоугольная и др. Задание координат пунктам выполняются методами астрономо-геодезических измерений, которые связаны с направлением касательной к силовой линии гравитационного поля, т.е. с отвесной линией в данной точке. Как видно, эти измерения выполняются на физической поверхности Земли и связаны с геоидом.
Для однозначного математического описания всей поверхности Земли, а также ее отдельных частей необходимо определение положений пунктов на правильной математической модели - эллипсоиде вращения. В геодезии данная задача называют редукционной. Координаты пунктов на эллипсоиде задаются в геодезической системе координат, что позволяют точно и однозначно определить положение всех пунктов на поверхности эллипсоида. Однако для решения множества топографических, геодезических и других производственных задач необходимо определение положений пунктов на плоскости в определенной картографической проекции.
Из большого множества картографических проекций в данной статье рассматривается характер изменения плоских прямоугольных зональных координат пунктов в проекции Гаусса - Крюгера. При выборе геодезических проекций основными условиями являются величина искажений и простота их учета. Искажения во всякой проекции неизбежны, поэтому главным требованием при выборе геодезической проекции следует считать их минимизацию, легкость и удобство учета.
Наиболее значимым условием конформных проекций является сохранение подобия геометрии бесконечно малых фигур и углов между линиями [1].
Проекция Гаусса — Крюгера определяется следующими условиями:
- конформность, т. е. масштаб изображения постоянен в данной точке и, следовательно, зависит только от координат пункта;
- осевой меридиан каждой зоны изображается на плоскости прямой линией, принимаемой за ось абсцисс; начало координат в каждой зоне выбирается в точке пересечения изображений осевого меридиана с изображением экватора; ось ординат совпадает с изображением экватора;
- масштаб изображения осевого меридиана равен единице, т. е. осевой меридиан изображается на плоскости без искажения;
- начало координат в каждой зоне выбирается в точке пересечения изображения осевого меридиана с изображением экватора;
- ось ординат совпадает с изображением экватора.
Таким образом, для точек осевого меридиана абсциссы равны дугам меридиана, отсчитанным от экватора.
Пункты опорных геодезических сетей переносят с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса—Крюгера в следующем порядке:
- от геодезических координат начального пункта сети переходят к прямоугольным координатам Гаусса — Крюгера, одновременно вычисляют Гауссово сближение меридианов у;
- от длины геодезической линии и ее азимута в начальном пункте переходят к длине и дирекционному углу хорды;
- от углов между геодезическими линиями переходят к углам между хордами их изображений на плоскости.
Конформное отображение поверхности земного сфероида на плоскости — значит установить закономерное соответствие между точками поверхности и плоскости так, чтобы соответствующие углы малых геометрических фигур сфероида и плоскости были равны, а стороны пропорциональны.
В проекции Гаусса — Крюгера осевой меридиан изображается прямой линией в натуральную величину, т. е. для точек осевого меридиана абсциссы равны дугам меридиана, а ординаты — нулю.
В теории геодезических проекций главное заключается в установлении указанного точечного соответствия, т. е. в определении координат на плоскости по заданным геодезическим, и наоборот. В проекции Гаусса — Крюгера, поверхность эллипсоида разбивается на трех - или шести - градусные зоны. Причем осевой меридиан зоны и линия экватора изображаются на плоскости зоны в проекции взаимно перпендикулярными линиями. В каждой такой зоне применяют отдельную систему зональных координат, причем в отличие от математической системы, ось абсцисс направлена вдоль осевого меридиана на север (для северного полушария), а ось ординат на восток. Начало этих систем координат расположены на пересечении осевых меридианов каждой зоны с проекцией экватора.
Перевод координат пунктов с геодезической системы на плоскую зональную в проекции выполняют по следующим формулам для шестиградусных зон [2].
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №3 (34), 2014 jrr2 jrr4
x = X +-- N cos B sin B + N-j- sin B cos3 B(5 -12 + 9n2 + 4n4) +
2p"2 24p"4 V 7
Jtr6
+-— N sin B cos5 B(61 - 58t2 +14 + 270^2 - 330^2t2);
720p
in in3 in 5
y =-N cos 5 + N-r cos3 B(1 -12 + n2) +-г N cos5 B(5 - 18t2 +
' p 6p"3 V 7 120p V
1 "7
+14 + 14n2 -58n2t2 + 13n4 -64n4t2)+ gQ4Q ff?Ncos7 B(61 -479t2 + 179t4 -16)
Для перевычисления координат в трехградусных зонах применяют упрощенные формулы, которые позволяют рассчитать координаты с необходимой точностью.
Результаты геодезических измерений, за исключением триангуляции 1 класса, обрабатываются в проекции Гаусса—Крюгера с вычислением прямоугольных координат пунктов опорных геодезических сетей. В некоторых случаях уравнивание триангуляции 1 класса также выполняется на плоскости.
Основное достоинство проекции Гаусса — Крюгера для построения системы плоских прямоугольных координат на больших территориях — деление на зоны, простирающиеся полосами от северного полюса до южного, и отвечает требованиям перехода с эллипсоида на плоскость, осуществляется с точностью, удовлетворяющей самым строгим практическим требованиям.
Зональные плоские прямоугольные координаты Гаусса—Крюгера характеризуются следующими важными свойствами для больших территорий:
1. Масштаб изображения и сближение меридианов возрастают к востоку и западу от осевого меридиана сравнительно медленно и являются функциями ординаты точки при заданной широте.
2. Системы координат во всех зонах подобны, при этом число координатных зон для больших территорий и даже для всей поверхности Земли сравнительно невелико.
3. Формулы для решения прямой и обратной задач проекции — простые степенные ряды однообразного вида и являются функциями не более двух аргументов.
С математической точки зрения преимущества координат Гаусса— Крюгера легко обнаруживаются, сравнением основных характеристических функций геодезических проекций.
Из геодезических проекций только проекция Гаусса-Крюгера может применяться для всей поверхности земного шара, если, конечно, во всех странах будет принят один и тот же референц-эллипсоид.
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №3 (34), 2014
В данной статье поставлена задача графической визуализации динамики изменения абсцисс и ординат точек при линейном изменении широты местности. Выбор геодезических проекций связан с определением величин искажений и простоты их учета.
Проекция Гаусса-Крюгера является наиболее подходящей, удовлетворяющей вышеперечисленным условиям. Однако этим требованием еще не определяется характер и вид проекции. Более значимым условием конформных проекций является сохранение подобия в бесконечно малых частях. Данная проекция иначе называется равноугольной и поперечно цилиндрической.
Проецирование точек с поверхности эллипсоида на плоскость выполняют в два этапа, сначала проецируют точки с поверхности эллипсоида на боковую поверхность цилиндра с поперек размещенными осями, затем с поверхности цилиндра на плоскость. Вторую процедуру называют разворачиванием.
На краю шестиградусной зоны, где наблюдаются самые большие искажения, значение редукции будет меньше 1, т. е. пренебрегаемо мало по сравнению с ошибками измерения углов. При линейных геодезических измерениях между пунктами триангуляции на краю шестиградусных зон, координаты которых даны в проекции Гаусса -Крюгера, в измеренные длины сторон полигонометрических ходов или других линейных измерений необходимо вводить поправки за переход на плоскость.
На краю шестиградусной зоны при у = 250 км эти поправки в относительной мере достигают величины порядка 1:1200 и поэтому не могут считаться пренебрегаемыми и для проектирования различных инженерных сооружений такое масштабное искажение на плане или в геодезических данных не может считаться допустимым. В трехградусных зонах, где разность долгот меридиана и осевого меридиана зоны составляет 1= 1°30', относительные линейные искажения приблизительно равны 1:5000.
Для решения множества топографических задач данной величиной можно пренебрегать. Поэтому в районах крупномасштабных съемок, результаты которых будут использоваться для проектирования и инженерных расчетов, координаты пунктов следует вычислять в трехградусной зоне.
Характер изменения абсцисс и ординат позволяют оценить получаемые результаты и пригодность их для решения тех или иных геодезических задач [3].
В данной статье исследован характер изменений разностей абсцисс и ординат пунктов на крайнем меридиане шестиградусной зоны в зависимости от геодезической широты в диапазоне от экватора до полюса с шагом в один градус.
На рис. 1 и рис. 2 графически представлены результаты вычислений в виде динамики разностей абсцисс и ординат точек в зависимости от широты точки, выполненных по вышеприведенным формулам.
Рисунок 1 -Зависимость значений разностей абсцисс точек от
широты Д;Х =Х1-Х1-1
Рисунок 2 -Зависимость значений разностей ординат точек от
широты Д^ =у!—у!-1
При переводе координат с поверхности эллипсоида на плоскость необходимо знание характера получаемых результатов.
На основе этих данных можно сделать следующие выводы: 1. В средних широтах разности абсцисс точек соответствующих одному градусу по широте Д;Х =Х1-Хи имеют линейную положительную
Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №3 (34), 2014
динамику, абсциссы медленно меняются в приэкваториальной и приполярной зонах;
2. Наибольшие значения динамики разностей ординат тех же точек А^ =у!—у!_1 имеют на экваторе, а минимальные на полюсе, разности ординат от экватора до примерно широты 60о имеют линейную отрицательную динамику, и замедляет темп изменения с возрастанием широты к полюсу.
Вышеприведенное представление результатов вычислений можно использовать для перевычисления координат точек на крайнем меридиане шестиградусной зоны методом интерполяции и оценить точность ожидаемых результатов.
Библиографический список:
1. Л.П. Пеллинен. Высшая геодезия. М. «Недра, 1978г.»
2. Г.В. Багратуни. Курс сфероидической геодезии. М. Издательство геодезической литературы. 1962г.
