УДК 372.851
М. В. Сорокина, А. О. Растрепина
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ ПРИ РЕШЕНИИ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Аннотация. Рассматриваются некоторые методические аспекты подготовки школьников к решению олимпиадных задач по геометрии. Приводятся примеры использования свойств линейности движений плоскости при решении задач элементарной геометрии олимпиадного характера. Обсуждается возможность использования системы подготовительных задач на примере некоторых видов движений.
Ключевые слова: движение плоскости, параллельный перенос, свойства линейности.
Как известно, геометрия считается одним из самых сложных для усвоения школьниками предметов, поэтому вопросам ее преподавания уделяется немало внимания. Учитель, осуществляющий процесс обучения геометрии, должен не только иметь очень хорошие знания на уровне элементарной геометрии, но и четко представлять целостность данной дисциплины как математической теории. В геометрии вопросы, касающиеся изучения инвариантов групп преобразований, действующих на многообразии, являются одними из ключевых. В школьном курсе в большинстве учебников по геометрии из всех видов преобразований евклидовой плоскости рассматриваются только движения. Традиционно учителя сталкиваются с трудностями при изучении данного материала. Тема сложная, авторы учебников по геометрии для средней школы предполагают ее изучение в разных классах. Так, в учебнике Л. С. Атанасяна [1] материал, касающийся движений плоскости, относится к курсу 9 класса, а в пособии А. В. Погорелова [2] - 8 класса. Определение движения дается традиционно как преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между точками. Все задачи, включенные в школьные учебники, предполагают работу с движением фигур как преобразованием точечных множеств. Явно не рассматривается действие движений на такие объекты, как векторы. В пособии Погорелова [2] тема «Векторы» изучается после темы «Движения», а в учебнике Атанасяна [1] задачи, касающиеся отыскания образов векторов, отсутствуют.
Движение - это один из самых первых и простых примеров линейного преобразования плоскости. В школе факты, касающиеся свойств линейности движений, присутствуют, при решении задач это используется, но все задачи оперируют точечными множествами, не касаясь работы с векторами. Кроме того, не хватает времени на отработку навыков применения данного вида преобразований к решению задач. В школьных учебниках по геометрии не так много заданий, в условии которых нет упоминания о движениях, но которые требовали бы использования их при решении. Поэтому школьники не привыкли искать путь решения задачи с помощью теории движений.
Однако в олимпиадах по математике различного уровня встречаются задания, при решении которых необходимо рассматривать тот или иной вид геометрических преобразований. Они вызывают серьезные трудности даже у учащихся, которые знакомы с принципами решения олимпиадных задач. Первая трудность - определить тип преобразования, использование которого даст нам направление поиска решения задачи. Вторая трудность состоит в необходимости использования абстрактного применения свойств преобразований, не привязываясь к чертежу.
Поэтому возникает необходимость в системе обучающих упражнений, которые могли бы формировать умения использования теории движений при решении олимпиадных задач по геометрии. Необходимо показывать учащимся задания, в которых
движение действует на вектор. Кроме того, следует обращать внимание, что работать с векторами бывает удобнее, чем с точечными множествами, так как вектор - это свободный объект, который можно рассматривать в любой точке плоскости, и поэтому построение образа вектора можно заменить построением образа равного ему вектора, который будет удобен в каждом конкретном случае.
Рассмотрим использование теории движений при решении олимпиадной задачи по геометрии на примере следующего задания [3].
На плоскости даны три квадрата: АБСБ, ЛБСВ^ и A2.B2.CD2.', первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины А и С. Докажите, что медиана БМ треугольника ВВВ2 перпендикулярна отрезку АА> (рис. 1).
Для начала нам необходимо определить такое преобразование плоскости, которое бы помогло решить данную задачу. Заметим, что за основу данной задачной ситуации берут квадраты, следовательно, может быть эффективно использование поворота на 90°. Переведем условие задачи на язык преобразований плоскости. Прежде всего необходимо переформулировать требование. Условие перпендикулярности двух прямых можно считать эквивалентным тому факту, что одна из прямых является образом другой при некотором повороте на прямой угол. Однако образы прямых как точечные множества зависят от центра поворота, поэтому гораздо удобнее работать с векторами, образы которых могут рассматриваться как свободные объекты. Причем перпендикулярность двух векторов не
обязательно требует совпадения одного из них с образом
г ч ч Рис. 1
другого, можно рассматривать любой коллинеарный ему
вектор. Таким образом, новое требование задачи может выглядеть так: нужно доказать, что вектор ВМ при повороте перейдет в вектор, коллинеарный вектору Д£>2, или вектор
будет являться образом вектора, коллинеарного вектору ВМ . Выразим векторы по правилу многоугольника (рис. 2):
Рис. 2
£>2Д = Б2С + СВ + ВА + Щ , 2ВМ = ВС + СВ2 + ВА + ЛВ±
Обозначим ВС = а, СВ2 = Ь, ЛБ1 = с, рассмотрим образы этих векторов при повороте
R на угол 90°: R(a) = BA, R(b) = D2C, R(c) = ADV Тогда
D2Dx = R(b) - a + R(a) + R(c), 2BM = R(a) + b + a + c .
Воздействуем поворотом на вектор 2BM, и, учитывая свойство линейности поворота, получим
2BM = R (R(a) + b + a + c ) = R( R(a)) + R(b) + R(a) + R(c) = = -a + R(b) + R( a) + R(c).
Из последнего равенства следует, что D2 D1 = R (2BM), что и требовалось доказать.
Анализируя приведенное решение, можно сделать вывод о ряде возможных для учащихся трудностей. Во-первых, при решении требуется переформулировка требования задачи на «язык» движений. Во-вторых, речь идет о действии преобразования на векторы, а большинство задач, рассматриваемых в школе, работают с образами точек. В-третьих, даже в старших классах школы тяжело дается восприятие формы записи преобразования в символьной форме, терминология «образ», «прообраз».
Поэтому перед решением таких задач можно предлагать детям задания, которые помогут подвести их к открытию пути решения. Конечно, необходимо сначала вспомнить все свойства движений, делая упор на сохранение длин отрезков и углов. Затем ставим следующие задачи:
Задание 1. Докажите, что при повороте вокруг произвольной точки на угол а вектор переходит в вектор, образующий с данным вектором угол а.
Решение данной задачи необходимо осуществить в два этапа: сначала рассматриваем вектор, начало которого совпадает с центром поворота; затем считаем, что вектор отложен от произвольной точки плоскости. Как правило, школьники будут строить образ вектора поточечно, т.е. находя образ начала и конца. Первый пункт задания не вызывает затруднения; являясь инструментом актуализации необходимых знаний, утверждение задачи следует из построения (рис. 3). Вторая часть несколько сложнее. Если ученик пойдет путем непосредственного построения и доказательства, то задача потребует временных затрат. Поэтому необходимо обратить внимание а учащихся на то, что вектор может быть отложен от любой
точки плоскости (или параллельно перенесен в любую точку плоскости), так что для данного вектора мы рас-
Рис. 3
сматриваем равный ему, выходящии из центра поворота, и сводим задачу к предыдущей (рис. 4).
Задание 2. Докажите, что при повороте R вокруг про-0 Рис. 4 извольной точки выполняется равенство: R(3a) = 3R(a).
Справедливо ли это утверждение для произвольного множителя?
Это задание иллюстрирует одно из свойств линейности движений: однородность первой степени. В справедливости этого равенства можно убедиться на основе определения понятия движения и предыдущего задания. Нужно доказать равенство двух векторов. Обращаем внимание на то, что для этого нужно показать равенство длин и сона-правленность. При обосновании второго факта будем использовать результат предыдущего задания.
Задание 3. Докажите, что при повороте вокруг произвольной точки на угол а справедливо утверждение: образ суммы векторов равен сумме образов этих векторов.
В данной задаче обращаем внимание на символьную запись требования задачи: R(a + b) = R(a) + R(b). Проговариваем устно. Это свойство аддитивности преобразования. Для иллюстрации справедливости данного равенства можно предложить использование компьютерных средств. Исходя из опыта предыдущей задачи, учащиеся могут сразу предложить доказывать для векторов, выходящих из центра поворота. Перед решением необходимо вспомнить правила сложения векторов, в данном случае удобнее использовать «правило параллелограмма». Задание требует доказать равенство двух векторов. Доказательство будет напрямую зависеть от того, какая идея лежит в основе этого. Можно предложить следующий план: ищем вектор, стоящий в правой части равенства, и доказываем, что его длина будет равна длине вектора a + b , а угол между вектором a + b и полученным вектором будет равен а. Далее, опираясь на определение поворота и признаки равенства треугольников, приходим к требованию задачи.
Задание 4. Дан произвольный вектор a . Найдите образ этого вектора при последовательном действии на него двух поворотов на угол 90°.
В данном упражнении речь идет о композиции двух преобразований. Для школьников такие задачи достаточно редки. В данном примере нужно подчеркнуть, что композиция двух поворотов есть поворот на новый угол. Необходимо поэтапно выполнять построения, чтобы установить окончательную взаимосвязь и прийти к равенству R(R(a)) = -a .
Решение задач элементарной геометрии с помощью геометрических преобразований можно включать в процесс изучения геометрии на факультативных занятиях. Такие задачи развивают логическое мышление школьников, умение анализировать условие задачи и переформулировать требование. Кроме того, они способствуют развитию абстрактного мышления, а система подготовительных заданий к сложным задачам указанного типа позволит учащимся облегчить путь поиска решения.
Библиографический список
1. Геометрия 7-9 : учеб. для общеобразоват. организаций / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. - М. : Просвещение, 2018. - 383 с.
2. Погорелов, А. В. Геометрия 7-9 : учеб. для общеобразоват. организаций / А. В. Погорелов. -М. : Просвещение, 2014. - 240 с.
3. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии / В. В. Прасолов. - М. : Изд-во Моск. центра непрерывного математического образования, 2000. - 584 с.
Сорокина Марина Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Математическое образование», Пензенский государственный университет. E-mail: [email protected]
Растрепина Анастасия Олеговна, студентка, Пензенский государственный университет. E-mail: [email protected]
УДК 372.851 Сорокина, М. В.
Использование свойств движений плоскости при решении олимпиадных задач по геометрии / М. В. Сорокина, А. О. Растрепина // Вестник Пензенского государственного университета. - 2018. - № 3 (23). -С. 8-11.