Обучение решению задач по геометрии векторным методом в средней школе Текст научной статьи по специальности «Математика»

только по математике, но и по другим школьным предметам. Навыки решения задач на проценты необходимо поддерживать и развивать в старших классах средней школы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Старокожева, Е.И. Методика преподавания математики в основной школе. Курс лекций: в 2-х ч. Учебное пособие. - Валуйки: Валуйский колледж, 2008. - 260 с.

2. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика./ Составители: Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. - М.: Интеллект-Центр, 2007. - 123 с.

УДК 514 ББК 22.151

Е. В. Кружилина

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ В

СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Аннотация. Векторы - мощнейший аппарат решения геометрических задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить.

Ключевые слова: геометрическая задача, обучение решению задач, вектор, векторный метод.

E.V. Kruzhilina

EDUCATION SOLUTION OF THE PROBLEM ON THE GEOMETRY OF VECTOR METHOD IN HIGH SCHOOL

Annotation. Vectors - a powerful machine solutions of geometric problems. The strength of the vector method is that it makes it easy to make generalizations, whose role in mathematics is difficult to overestimate.

Keywords: geometric problem, learning problem solving, vector, vector method.

Переход к всеобщему среднему образованию поставил перед педагогической наукой и практикой нашей страны ряд важных и неотложных задач: разгрузить школьные курсы за счет выделения основного содержания и исключения второстепенных вопросов, освободить их от излишнего теоретизирования, усилить практическую направленность обучения. Со всей остротой встала проблема определения уровня подготовки учащихся средней школы, гарантированного для всех ее выпускников, и путей достижения этого уровня. Очевидно, что необходимым шагом на пути к решению этой проблемы являются уточнение, конкретизация и научное обоснование требований к общеобразовательной подготовке школьников. Явное задание таких требований должно повлечь за собой и существенное изменение методик обучения в плане усиления их целенаправленности на обеспечение формирования знаний и умений на обязательном для всех уровне, предполагаемом средним образованием.

Одним из средств достижения этого уровня в условиях всеобщего среднего образования является перенос акцента с обучения фактам на обучение методам, благодаря чему знания учащихся приобретают действенность и способность к саморазвитию.

Обучение математике является важнейшим компонентом среднего образования, так как в эпоху научно-технической прогресса математика больше, чем когда-либо, становится языком и аппаратом естествознания, техники и производства.

Одним из эффективных и имеющих широкие приложения математических методов, изучаемых в школе, является векторный метод. Поэтому проблема совершенствования содержания и методов обучения математике в школе в свете современных требований с необходимостью включает совершенствование методики изучения векторов. Все сказанное выше свидетельствует об актуальности темы данного исследования.

Традиционно материал по указанной теме является одним из самых трудных в школьном курсе геометрии. В то же время понятие вектора есть одно из фундаментальных понятий современной математики, а векторный метод есть один из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач. Сила векторного метода заключается и в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить [1-3]. Для учащихся, владеющих векторным аппаратом, не составит труда решать сложные задачи простым путем.

Решаемые векторным методом математические задачи, следует разбить на две группы: аффинные и метрические.

Аффинные задачи. К ним относятся задачи, при решении которых не используется операция скалярного произведения векторов:

• задачи на доказательство параллельности прямых;

• задачи на доказательство принадлежности точек плоскости одной прямой;

• задачи на деление отрезка в данном отношении.

Метрические задачи. К ним относятся задачи, при решении которых используется операция скалярного произведения векторов:

• задачи на доказательство перпендикулярности прямых;

• задачи на нахождение угла между прямыми.

Таким образом, учитывая все вышесказанное, можно выделить следующие цели изучения векторного метода при решении математических задач [4]:

- дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;

- использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;

- формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

Вообще в математике под вектором понимают элемент векторного пространства. Последнее трактуется как множество объектов, на котором введены операции сложения объектов и умножения объекта на действительное число так, что выполняются известные ак иомы.

Очевидно, что таким образом понятие вектора не может быть введено, по крайней мере в средней школе. Возникает вопрос: какая интерпретация векторного пространства наиболее приемлема для курса планиметрии? Среди наиболее распространенных интерпретаций векторного пространства следующие: множество направленных отрезков плоскости; множество классов направленных векторов плоскости; множество параллельных переносов плоскости; множество упорядоченных пар действительных чисел и др.

Множество направленных отрезков плоскости с введенными определенным образом операциями сложения направленных отрезков и умножения направленного отрезка на число является векторным пространством. В рамках этой интерпретации векторного пространства вектор может быть отождествлен с направленным отрезком. Большинство учебников геометрии опираются на интерпретацию вектора как направленного отрезка. Трактовка вектора как направленного отрезка придает этим объектам и операциям над ними хорошую наглядность. Это очень важно. Дело в том, что в процессе формирования понятия большую роль играет образный компонент, вследствие чего желательны такие определения, которые позволяют воображению легко конструировать образы определяемых объектов. Такой вывод согласуется с результатами психологических исследований: в свернутом виде распознавание может осуществляться по внешне выраженным, наглядным признакам объектов, а не по тем признакам, по которым оно осуществлялось на уровне развернутого выполнения действия (или признакам, используемым в определении понятия).

Трактовка вектора как направленного отрезка обычно используется в физике. Таким образом, она наиболее действенна в осуществлении межпредметных связей. Отметим и то, что путь в применении векторов к решению геометрических задач «лежит через направленный отрезок».

Как правило, в школе используется следующая последовательность изучения векторных понятий: понятие вектор, нулевой вектор, длина (модуль) вектора, коллинеарные векторы, соноправленные и противоположно направленные векторы, равные векторы, откладывание вектора от точки, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, координаты вектора, скалярное произведение векторов. Изложение теории векторов в учебниках по геометрии разных авторов отличается последовательностью изложения указанных понятий [5].

Использовать векторный метод в конкретных ситуациях достаточно сложно. Поэтому прежде всего важно выявить действия, составляющие основу векторного метода.

Анализ решений различных задач приводит к выводу о том, что надо уметь:

1) переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот (осуществить переход от соотношения между фигурами к соотношению между векторами и наоборот);

2) выполнять операции над векторами (находить сумму, разность векторов, произведение векторов на число);

3) представлять вектор в виде суммы, разности векторов;

4) представлять вектор в виде произведения вектора на число;

5) преобразовывать векторные соотношения;

6) переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот;

7) выражать длину вектора через его скалярный квадрат;

8) выражать величину угла между векторами через его скалярное произведение. Проиллюстрируем сказанное на конкретной задаче.

Задача. На стороне АО и на диагонали АС параллелограмма АВСВ взяты точки М и N так,

1 1

что АМ = -АО и МИ = -АС. В каком отношении точка N делит отрезок МБ?

5 6

Докажем прежде всего, что точки М, N и В принадлежат одной прямой (Рис. 1).

С

A M

D

Рис. Шараллелограмм ABCD

Для этого надо доказать, что векторы MJV и NB коллинеарны (умение осуществлять переход от зависимостей между фигурами к зависимостям между векторами), MJV = МЛ + AN (умение представлять вектор в виде суммы других векторов), МЛ = ^DA (умение представлять вектор в виде произведения вектора на число), AIM = ^(-<4В + AD), MN = ^Di4 + ^АВ — ^DA = ^ (5АВ + £Ь4), NB = NA + АВ = АВ — ^ АВ — ^AD = ^АВ + ^DA (умение представлять вектор в виде суммы векторов, представлять вектор в виде произведения вектора на число, выполнять преобразование векторных равенств).

Получили NB = Значит NB = 5MN. Следовательно, векторы NB и MJV

коллинеарны.

Точка N делит отрезок на две части 1: 5 (умение осуществить переход от соотношения между векторами к соотношению между фигурами).

Перечисленные действия и их совокупности должны быть предметом специального формирования. В содержании обучения они реализуются посредствам специальных упражнений, выполнение которых должно обеспечить овладение всеми этими действиями. Приведем примеры упражнений.

I. Упражнения на перевод геометрических терминов на язык векторов и наоборот.

1. Отрезки АВ и CD параллельны. Напишите это соотношение в векторной форме.

2. Точка С принадлежит отрезку АВ, причем АС: СВ = т:п. Что означает это на векторном

языке?

3. Известно, что CD = аАВ. Каково геометрическое толкование этого равенства?

4. Известно, что АВ + ВС = 0. Как расположены точки А, В С?

Результаты решения задач, используемых для формирования умения осуществлять перевод геометрических терминов на векторный язык и наоборот, целесообразно оформить в виде таблицы, представляющей собой некий словарь перевода:

№ п/п Геометрические соотношения Те же геометрические соотношения на векторном языке

1 Точка М принадлежит прямой АВ Ш = аАВ

2 Точка М принадлежит отрезку АВ Ш = аАВ, 0<а<1

3 Точка М принадлежит лучу АВ Ш = аАВ, а> 0

4 АВ || СО АВ = аШ)

5 АВ ± СБ АВ^С1) = 0

6 М - середина отрезка АВ Ш = -МВ, ОМ = ^(ОА + ов), где О -произвольная точка плоскости.

и т.д.

Обращение к таблице полезно при решении различных задач с использованием векторов.

II. Упражнения на операции с векторами.

5. Дан вектор АВ. Постройте векторы: 2АВ; — ^АВ.

6. ABCD - парадцелограмм, О = АС П BD. Изобразите векторы: АО + СВ,АО — DC, OD + AB,AD—BC .

Упражнение 6 выполняется мысленно, но осуществляя при этом непосредственных построений. Такие упражнения важны, так как применение векторов в конкретных ситуациях чаще требует именно этого. Как показывают исследования, непосредственное оперирование моделями объектов не обеспечивает овладение действия мысленно [6].

III. Упражнения на представление вектора в виде суммы (разности векторов, произведения вектора на число).

7. Дан многоугольник ABCDE. Представьте AD в виде суммы: двух, трех, четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.

8. Представьте вектор АВ в виде суммы векторов AC,DC,BD.

9. Вектор CD коллинеарен вектору АВ и = к. Выразите один вектор через другой.

IV. Упражнения на переход от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот.

10. В каком случае |ОЛ — ОВ| = |ОЛ| — |ОВ|?

11. Может ли \АВ + ВС\ = \АВ— ВС\?

12. Векторы BC,AD,MN коллинеарны. Каково соотношение между длиной вектора MN и суммой длин векторов ВС и AD, если

V. Упражнения на преобразование векторных равенств.

13. Упростите выражения: АВ + Ш + 13С + ~CA+~PQ + Ш;~ОР — ЕР + KD — KA .

14. Упростите выражение (а + b — — b + если вектор b перпендикулярен вектору

с.

15. Четырехугольник ABCD - квадрат. Упростите выражение (.ДВ — 3ВС) .

VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.

16. Известно, что с = a + b,{a,b) = 30°, |а| = 5, |й| = 3. Найдите |с|.

17. Известно, что векторы а + 2Ь и 5а — 4Ь взаимно перпендикулярны. Какой угол образуют векторы а и Ь, если |а| = |й| = 1?

В процессе выполнения этих упражнений вырабатываются критерии использования векторов для доказательств различных зависимостей.

Векторы эффективны при доказательстве: параллельности прямых и отрезков; принадлежности трех точек одной прямой; того факта, что данная точка делит данный отрезок в данном отношении; перпендикулярности прямых и отрезков; соотношений между длинами отрезков и величинами углов фигур [7].

Разумеется, никакие критерии не сообщаются ученику в готовом виде. Учащиеся овладевают ими в процессе выполнения упражнений.

Решение многих задач векторным методом основывается на нескольких векторных закономерностях. Так, часто используются следующие факты:

1. Если О - середина отрезка АВ и Р - любая точка плоскости, то

РО = i (РА + РВ).

2. Если М - точка пересечения медиан треугольника ABC и Р - любая точка плоскости, то

РМ = i(ÍM + РВ + РС).

3. Для того, чтобы точка С делила отрезок АВ в отношении АС: СВ = т:п, необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки Р плоскости выполнялось равенство

-* п -* -*

РС = —РА + —РВ.

т+п т+п

4. Для того, чтобы точки А, В, С принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки Q плоскости выполнялось равенство

QC = pQA + qQB, где p + q = 1.

Целесообразно специально провести рассмотрение этих опорных задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Атанасян, Л.С. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и проф. уровни, М.: Просвещение, 2009. - 255 с.

2. Саакян, С.М., Бутузов, В.Ф. Изучение геометрии в 10-11 классах. Книга для учителя. М.: Просвещение, 2010. - 248 с.

3. Атанасян, Л.С. Геометрия, ч.1 Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1973. - 478 с.

4. Кушнир, А.И. Векторные методы решения задач. М.: Обериг, 1994. - 207 с.

5. Потоскуев, Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие, М.:. Дрофа, 2008. - 173 с.

6. Колесникова, Е.В. Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии. М.: 2012. - 44 с.

7. Саранцев, Г.И. Методика преподавания геометрии в десятилетней школе: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. - Саранск: Мордовский педагогический институт, 1992. - с. 130.

УДК 514 ББК 22.151я72-4

А.С. Кузовлева

АНАЛОГИЯ КАК ОДИН ИЗ СПОСОБОВ ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Аннотация. В статье представлен метод аналогии, классификация аналогий, базовая аналогия, план поиска доказательства стереометрических задач. Приведены примеры.

Ключевые слова: метод аналогии, виды аналогий, базовая аналогия, поиск решения задачи.

A. S. Kuzovleva

ANALOGY AS ONE OF METHODS OF SEARCHING ACTIVITY AT PROOF OF STEREOMETRIC TASKS

Abstract. The method of analogy, classification of analogies, base analogy, plan of search of proof of stereometry tasks, is presented in the article. Examples are given.

Keywords: analogy method, types of analogies, base analogy, search of the solution of a task.

В школьном курсе геометрии мы не только изучаем теоретический материал, но и на его основе решаем и доказываем различные задачи. Например, нам нужно решить стереометрическую задачу. Но мы можем столкнуться с такой проблемой: с чего же начать поиск ее решения? Ответить на этот вопрос мы сможем, если сформируем у обучающихся различные способы поисковой деятельности как при изучении теоретического материала, так и при решении задач. Тем самым мы будем решать одну из актуальных проблем методики обучения математики, а именно проблему повышения эффективности обучения решению геометрических задач.

Формированию способов поисковой деятельности помогает использование различные методов обучения, одним из которых является аналогия [5, 44].. Именно на метод аналогии обратим внимание, так как он чаще всего лежит в началах введения и усвоения математических понятий, поиска доказательства или решения сформулированных утверждений, а также аналогия является основой для получения новых знаний об обучаемом объекте.

Слово «аналогия» в переводе с греческого означает соответствие, сходство [6, 11]. Аналогия - достаточно эффективный инструмент познания, логический прием, используемый как в научных исследованиях, так и в обучении [7; 8]. Многие педагоги признают необходимость использования аналогии при обучении математике, требуют широкого и систематического ее применения.

В настоящее время умозаключениями по аналогии принято называть «рассуждения, в которых заключение делается на основании структурного, функционального или какого-либо иного сходства сравниваемых вещей» [4, 246]. Принцип всякой аналогии: если сравниваемые вещи сходны в одном отношении, следовательно, они могут быть сходны и в других отношениях. Основу этих умозаключений составляет сходство (аналогия) предметов в некоторых признаках. Два предмета а и ß сходны (аналогичны) в некоторых признаках Р±,Р2,... ,Рп, если они оба обладают этими признаками. Само умозаключение по аналогии состоит в переходе от знания о сходстве двух предметов в некоторых признаках Р[,Р2, ..-,Рп(признаки сходства) и отличии еще некоторого признака Q (переносимый признак) у одного из этих предметов к заключению о вероятном нали-