Использование системы MSC. Nastran для оптимизации силовой конструкции вибрационной мель ницы Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Ю.В. Дмитрак, Т.Д. Зиновьева, H.H. Сычёв, 2007

УДК 621.926.55

Ю.В. Дмитрак, Т.А. Зиновьева, Н.Н. Сычёв

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ MSC. NASTRAN ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ СИЛОВОЙ КОНСТРУКЦИИ ВИБРАЦИОННОЙ МЕЛЬНИЦЫ

Семинар № 20

Тонкое измельчение представляет собой одну из наиболее важных операций процесса подготовки сырья и готового продукта в горнорудной, пищевой, химической, металлургической, и других отраслях промышленности. С помощью измельчения могут быть решены следующие задачи: отделение экономически важного материала от ненужных компонентов смеси; увеличение поверхности на единицу массы материала для интенсификации химического процесса; получение продукта необходимой дисперсности; обеспечение особых требований потребителя.

В процессе поиска оптимального метода измельчения были разработаны различные способы помола и типы мельниц. Среди них особое место занимают вибрационные мельницы. Они наиболее эффективны при тонком измельчении материалов (менее 100 мкм), причем, чем тоньше требуется помол, тем выше эффективность этого способа измельчения.

В условиях постоянно растущих объёмов производства мелкодисперсных материалов требуется создание промышленных вибрационных мельниц большой производительности. Однако увеличение габаритов вибромельниц сдерживается прочностными характеристиками привода и конст-

рукции в целом этих машин. Практически неисследованным остаётся вопрос, связанный с определением нагрузок на помольную камеру, возникающих в результате движения мелющей загрузки. Исследования в данной области имеют важное значение для разработки конструкций вибромельниц, обеспечивающих повышенный ресурс при требуемом качестве готового продукта.

В связи с вышеизложенным, исследование динамических параметров помольной камеры вибрационной мельницы для тонкого измельчения горных пород, обеспечивающее увеличение ресурса мельницы, является актуальной научной задачей.

Исследования, представленные в настоящей работе, посвящены анализу жесткостных и прочностных характеристик конструкции вибрационной мельницы и выбору рациональных вариантов конструктивно-силовой схемы помольной камеры с точки зрения повышения ресурса мельницы.

Для составления расчётной схемы вибромельницы был использован метод конечных элементов (МКЭ), который представляет собой наиболее распространенный приближенный метод в механике твердого тела и может быть интерпретирован с физической или математической точки зрения.

Основа физической концепции МКЭ - это разбиение конструкции помольной камеры на непересекаю-щиеся компоненты (подобласти) простой геометрии, называемые конечными элементами. Множество элементов, на которые разбита конструкция, составляет конечно-элементную сетку. Механическое поведение каждого элемента выражается с помощью конечного числа степеней свободы или значений искомых функций во множестве узловых точек. Поведение математической модели, таким образом, аппроксимируется поведением дискретной модели, полученной путем сборки или ансамб-лирования всех элементов.

Последовательность процедур алгоритма МКЭ может быть представлена в следующем виде:

• Дискретизация рассматриваемой области,

т.е. замена континуальной среды совокупностью КЭ заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.

В данной работе использовались два вида конечных элементов со следующими геометрическими атрибутами:

СЫОО -одномерный двухузловой стержневой элемент;

соило -двухмерный четырехузловой элемент.

• Выбор аппроксимирующих функций.

При кусочно-непрерывной аппроксимации предполагается, что перемещения внутри элемента могут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые аппроксимируют действительное поле перемещений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в зна-

чительной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять критерию совместимости: функции формы должны

обеспечивать непрерывность перемещений и ее производных до (п-1)-го порядка на границе между элементами (где п-порядок старшей производной в функционале энергии).

Рассмотрим типовой конечный элемент упругого тела, имеющ ий узлы

1, ],... Обозначим через VIматрицы перемещений соответствующих узлов. Все узловые перемещения элемента образуют матрицу

={^, ...} (1)

Рассмотрим теперь произвольную точку внутри элемента. Перемещения этой точки в направлении координатных осей образуют матрицу-столбец, которую обозначим через и :

и =

(2)

где их , иу ,иг - смещение рассматриваемой точки в направлении осей х, У, 2.

В методе конечных элементов принимается допущение, согласно которому перемещения всех точек элемента однозначно определяется его узловыми перемещениями. В матричных обозначениях это означает существование равенства

и = а\/е, (3)

где а - прямоугольная матрица, в которой количество строк равно числу компонент матрицы и , а количество столбцов - числу компонент матрицы Vе . Элементами матрицы а являются некоторые функции координат (аппроксимирующие

и

х

и

г

функции). В общем случае пространственного тела её можно представить в виде

(4)

где ах ,ау ,аг - матрицы-строки.

Воспользовавшись формулами Коши, можно выразить деформации в каждой точке конечного элемента через его узловые перемещения:

е = Ьй ^ е = Ьа\/е где

в = Ьа =

(5)

д / дх 0 0 "

0 д / ду 0 ах

0 0 д / дг а

д / ду д / дх 0 а

0 д / дг д / ду

д / дг 0 д / дх

(6)

дах / дх дау / ду даг / дг дау / дх + дах / ду даг / ду + дау / дг да7 / дх + дах / дг

Воспользовавшись далее законом Гука в виде а = ке , где а - матрица-столбец напряжений; к - матрица упругих постоянных, получаем

а = кр\/е (7)

Отсюда можно сделать вывод о том, что при известной матрице аппроксимирующих функций напряженное и деформированное состояние конечного элемента однозначно определяется узловыми перемещениями.

• Вывод матриц жесткости и вектора узловых сил из вариационного принципа Ёагранжа

На этом этапе осуществляется вычисление матриц жесткостей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил.

Рассмотрим упругое равновесие деформированного конечного элемента. Внешними нагрузками для него являются напряжения, возникающие на его границе в результате взаимодействия со смежными элементами, объемные силы Е и, возможно, поверхностные нагрузки р (если часть его поверхности совпадает с поверхностью, ограничивающей тело). Предположим, что узловые перемещения Vе получили произвольные бесконечно малые приращения, определяемые матрицей

(8)

8\/е = {8\/! 8\/]...}

Заменим напряжения на поверхности элемента эквивалентными им сосредоточенными узловыми силами, действующими в направлении узловых перемещений:

Ре = {р; Ре ...}

(9)

где Ре ре ...- матрицы сил для узлов 1, ], ... . Объемные Е и поверхностные р силы заменим эквивалентными

узловыми силами Ре = {Ре Р^ •••}.

Силы ре + Ре будем считать эквивалентными действительным нагрузкам, если их работа на перемещениях 8\/е равна работе внешних нагрузок 8Ае на перемещениях

8йе = а8\/е:

8Ае =

8 )Г (Ре + Ре)

(10)

а =

Посчитаем теперь вариацию потенциальной энергии деформации

бие:

зие = 18єтаСт = | {рЗ\/е)т кріїеСт ■

= (5іїе )т

(11)

где т - объем конечного элемента.

Выражение, заключенное в квадратные скобки, представляет собой квадратную матрицу. Ее элементы получаются интегрированием элементов симметричной матрицы рт кв . Пусть

ке = | рткрСт

тогда

0 8ие = (діїе )ткеїе

кеїе = Ре + Ре

(12)

(13)

Матрица ке называется матрицей жесткости конечного элемента. При известной геометрии конечного элемента и заданных упругих характеристиках материала матрица жесткости вполне определяется выбором аппроксимирующих функций.

В соответствии с выражением є = р^е матрицу Р можно разбить на блоки: в = [в в] •••] . Тогда

матрица жесткости КЭ будет выглядеть следующим образом:

~кв. ке ■

ке =

ке ке

(14)

где

Применим вышесказанное к составлению глобальной матрицы жесткости разбитого на конечные элементы упругого тела, приводящую к системе уравнений относительно пере-

общее число узлов при принятой схеме дискредитации.

Если в узлах тела приложены сосредоточенные силы, то из них можно образовать матрицу Р = {Р1 Р2 . Р„} .

Типовой элемент Рг этой матрицы представляет собой подматрицу сил, действующих в узле г в направлении перемещений чг.

Узловые силы, эквивалентные вне-узловой нагрузке, также объединим в

матрицу Р = {Р1 Р2 . Р>п}.

Тогда из уравнений равновесия узлов получим:

К7 = Р + р (15)

где К - матрица жесткости всего тела, которая может быть представлена в форме:

Г к.

К =

V кп1 ••• кпп ,

(16)

Типовая подматрица к™ Xк™

е

получается суммированием подмат-

ке

по всем конечным элемен-

где п -

там, содержащим одновременно узлы г и Б.

• Учет граничных условий.

Полученная на основе указанных методов глобальная матрица жесткости является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем - шесть, а для плоских - три) окажутся взаимно зависимыми. Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожденной системе линейных алгебраических уравнений относительно вектора узловых перемещений.

г

и

г

• Решение системы алгебраических уравнений.

Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы - редкозаполненность или ленточность.

• Определение деформаций и напряжений.

После определения узловых перемещений в соответствии с известными

соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.

Применение описанного выше алгоритма метода конечных элементов, используемого для определения прочностных параметров помольной камеры вибрационной

мельницы, позволил увеличить её ресурс и повысить производительность за счёт выбора рациональных рабочих параметров, обеспечивающих заданные условия эксплуатации.

— Коротко об авторах-------------------------------------------------------------

Дмитрак Ю.В. - декан факультета УЦДП, Московский государственный горный университет.

Зиновьева Т.А. - Московский государственный горный университет.

Сычев H.H. - советник Министра образования Правительства Московской области.

----------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ

Автор Название работы Специальность Ученая степень

ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН

ДЮПИН Анатолий Юрьевич Обоснование технологических решений для повышения эффективности доработки остаточных запасов угля на шахтах 25.00.22 к.т.н.

ПЛЕШАКОВА Екатерина Вячеславовна Разработка методов обнаружения движущихся металлических объектов в непроводящих и слабопроводящих средах 25.00.20 к.т.н.