Использование обобщенной функции желательности Харрингтона в многопараметрических экономических задачах Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Методы анализа

УДК 681.518

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ЖЕЛАТЕЛЬНОСТИ ХАРРИНГТОНА В МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ*

Н.П. ЛЮБУШИН,

доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой финансов и бухгалтерского учета, E-mail: [email protected] Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского — Национальный исследовательский центр

Г.Е. БРИКАЧ, доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий и систем E-mail: [email protected] Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия

В статье рассматриваются существующие подходы рейтинговой оценки в многопараметрических задачах. Проведенный анализ показал, что в наибольшей степени для рассматриваемых задач удовлетворяется функция желательности Харрингтона. Объективность результатов обусловливается тем, что функция желательности строится на основе S-образных кривых. Полученные результаты хорошо коррелируют с правилом золотого сечения.

Ключевые слова: многопараметрическая задача, экономический анализ, S-образная кривая, функция желательности Харрингтона, правило золотого сечения

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского — Национальном исследовательском центре.

В экономическом анализе и других науках часто используются такие понятия, как «многообразие», «материалоемкий», «экономичный» и т.д., которые, не имея нормативных значений, являются нечеткими, расплывчатыми. Теория нечетких множеств разработана для оперирования с такого рода показателями.

Понятие нечеткости относится к классам, в которых имеются различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и непринадлежностью объектов к данному классу. Иными словами, нечеткое множество есть класс объектов или состояний, в котором нет резкой границы между теми объектами или состояниями, которые входят в регламентированную группу, и теми, которые в него не входят. К классу задач нечеткого множества в экономике

относятся задачи по интегрированной оценке на основе коэффициентного финансового анализа, индикативного планирования, анализа с помощью совокупности различных индикаторов, которые носят характер расчета различных индексов.

Следует отметить, что в настоящее время наблюдается активное использование теории нечетких множеств в экономике и управлении предприятиями. Об этом свидетельствует интенсивный рост числа журнальных публикаций в этой области исследований, а также появление специализированного международного журнала Fuzzy Economic Review (Экономический обзор нечетких мно -жеств), международной организации International Association for Fuzzy-Set Management and Economy (Международная ассоциация нечетких множеств управления и экономики).

Нечеткое подмножество можно представить в виде следующего соотношения:

Л2 (ti ) = (4 (t, ) ± AAj ) & (A3 (t, ) ± ДАз ), где AAj и АЛ3 — значение погрешностей определения Л1 (t, ) и Л3 (t, ) при оценке параметров из исходного множества Л (t, ), которые не позволяют однозначно идентифицировать (классифицировать, распознавать) анализируемый параметр и отнести его к одному из четких подмножеств Л1 (t, ) и Л3 (t, ).

Переход к гибкой классификации на базе введения класса нечеткого состояния (класса толерантности) динамического параметра позволяет значительно упростить процесс оперативной обработки и анализа нечетких состояний динамических параметров и нечеткого экономического (или социально-экономического) состояния анализируемого объекта в целом.

Вопрос о построении функций принадлежности (^-функций) является одним из важных вопросов в теории нечетких множеств, но эта проблема не является уникальной только для теории нечетких множеств.

Для решения многокритериальных задач используются различные методы построения обобщенного показателя (например, рейтинг — оценка с весами и без весов на основе меры Евклида, линейная и нелинейная целевая функция в оптимизационных задачах), при этом обобщенная функция желательности Харрингтона является удобным способом расчета такого показателя. В основе построения обобщенной функции лежит идея преобразования натуральных значений частных показателей в безразмерную шкалу желатель-

ности или предпочтительности. Шкала желательности относится к психофизическим шкалам. Ее назначение — установление соответствия между натуральными значениями частных показателей и психологическими параметрами.

Среди частных показателей могут быть эстетические и даже статистические параметры, а под психологическими параметрами понимаются чисто субъективные оценки экспериментатора желательности (предпочтительности) того или иного значения показателя. Чтобы получить шкалу желательности, удобно пользоваться готовыми разработанными таблицами соответствий между отношениями предпочтения в эмпирической и числовой (психологической) системах (табл. 1).

Функция желательности может быть использована как функция принадлежности, так как d [0, 1]. Она возникла в результате наблюдений за реальными решениями экспериментаторов и обладает такими полезными свойствами, как непрерывность, монотонность и гладкость. Кроме того, кривая хорошо передает то, что в областях желательностей, близких к 0 и 1, «чувствительность» ее существенно ниже, чем в средней зоне (рис. 1). По сути она является логистической ^-образной кривой, отражающей объективно действующие законы развития систем.

Значение частного отклика, переведенное в безразмерную шкалу желательности, обозначается через d . (i = 1, 2, ..., n) и называется частной желательностью (от фр. desirable — желательный). Шкала желательности имеет интервал от нуля до единицы. Значение d . = 0 соответствует абсолютно неприемлемому уровню данного свойства, а значение d .=1 — самому лучшему значению свойства. Выбор отметок на шкале желательности 0,63 и 0,37 объясняется удобством вычислений: 0,63 = 1 — (1/е) и 0,37 = 1/е. Значение d . = 0,37 обычно соответствует границе допустимых значений. В табл. 1 представ-

Таблица 1

Связь между количественными значениями безразмерной шкалы и психологическим восприятием человека

Желательность Количественная отметка на шкале желательности

Очень хорошо Ш— G,8G

Хорошо G,8G— G,63

Удовлетворительно G,63— G,37

Плохо G,37— G,2G

Очень плохо G,2G—

0,8 0,63

0,37 0,2

-3

-2

-1

0

1

2

Y

Рис. 1. Графики функции желательности Харрингтона с односторонним ограничением

лены числа, соответствующие некоторым точкам кривой (см. рис. 1), которая задается уравнением ё = ехр [— ехр (— у)]. (1)

Симметрично относительно нуля на оси У (У—кодированная шкала) расположены кодированные значения параметра. Значение на кодированной шкале было выбрано в виде от 0 до 5. Выбор был обусловлен получением 5-балльной шкалы желательности. Выбор числа интервалов определяет крутизну кривой в средней зоне. Такая кривая теоретически полностью выполняет функцию перевода показателей в безразмерный параметр, однако при практическом ее использовании возникает ряд трудностей.

Во-первых, параллельно кодированной шкале у необходимо размещать именованные шкалы откликов У1, У2, ..., которые следует калибровать в точках, указанных в табл. 1, и эта калибровка происходит достаточно произвольно. При этом практически всегда получается неравномерная школа (например, для У1 область удовлетворительных значений параметра содержит оценку 3 (аналогично оценке успеваемости школьника или отличника), а хороших — оценку 5). Для получения величины ёу необходимо найти точку конкретного числового значения У у на шкале Уу, а затем перевести ее на график функции и по оси ординат найти соответс-

твующее значение Естественно, точность такого преобразования будет невелика.

Во-вторых, заданная жесткость формулы (1) не позволяет использовать без дополнительных искажений показателей У, распределенных по законам, отличным от нормального. Большие затруднения вызывают те показатели, качество которых сначала возрастает по мере возрастания их числовых значений, а затем после некоторой величины (или диапазона величин) начинает убывать.

В-третьих, предложенная Харрингтоном в качестве единого комплексного показателя качества продукции — это обобщенная функция желательности. Комплексный показатель качества вычисляется по формуле

л=n п :=i ^,

где n — число используемых показателей параметров сравнения в данной системе. Число показателей может быть не одинаковым для разных систем. Это позволяет сравнивать обобщенные коэффициенты даже тогда, когда отсутствует часть параметров сравнения у различных систем или данные по ним. Корень n-й степени «сглаживает» возникающие отклонения, а полученный результат позволяет оценивать системы (с определенной степенью точности), так сказать, математиче ски.

Численная реализация алгоритма расчета функции желательности была реализована в программной оболочке Excel. В табл. 2 приведены табулированные значения функции желательности, а график представлен на рис. 2.

На основании данных табл. 1 в программной оболочке Excel с помощью трендового анализа строились графические зависимости и находились корреляционные уравнения связи между частными показателями (у-фактор) и шкалой желательности d. =ехр[-ехр(-Т}].

При поиске конкретных числовых значений коэффициентов корреляционных уравнений связи использовались линейная, параболическая и кубическая аппроксимации с оценкой величины достоверности аппроксимации. Анализ величин достоверности аппроксимаций показывал, что

Таблица 2

Табулированные значения функции желательности

Y — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 0 0,5 1 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

d 0,001 0,011 0,066 0,192 0,368 0,545 0,692 0,800 0,873 0,921 0,951 0,970 0,982 0,989 0,993

d

1,2 d

1

0,8

0,6

0,4

_^^ 0

-3

Шкала частных показателей

Рис. 2. График функции желательности Харрингтона с односторонним ограничением в Excel

d

*

го с

го ^

3

-3

1,2 Yi = 0,1656х + 0,3753

1 R2 = 0,89 ^^

0,8

0,6

Y2 = -0,025х2 + 0,2408х + 0,4358 R2 = 0.97 0,4

Y3 = -0,0055х3 - 0,0001х2 + 0,2496х + 0,3851 R2 = 0,98

гСЯ'"' о

-1 -0,2 1 3

-04

Шкала частных показателей

_ Линейная аппроксимация Y1 " Параболическая аппроксимация Y2 ' Кубическая аппроксимация Y3

Рис. 3. График функции желательности Харрингтона в Excel

максимальную погрешность аппроксимации имеет линейный тренд (К2 = 0,89), а минимальная погрешность аппроксимации достигается при ку-

бическом полиноме ^2 = 0,98). Для анализа был взят параболический тренд функции желательности, так как величина погрешности аппроксимации в этом случае достигает R2 = 0,97 (рис. 3).

Для апробации изложенного подхода была взята задача коэффициентного финансового анализа. Исходные данные для расчета функции Харрингтона (функции желательности) приведены в табл. 3. При оценке финансового состояния организации с использованием функции желательности одной из проблем является то, что необходимо определить пограничные состояния выбранных обобщающих показателей.

В общем случае, ограниче -ния могут быть односторонними . (7т;п или 7тах) или двусторонними (Гт;п и Утах). Поскольку изменение общей характеристики финансового состояния организации происходит в основном при двухстороннем направлении изменения показателей (как уменьшении, так и увеличении) — ограничения носят двухсторонний характер.

К числу финансовых показателей, подчиняющихся двухстороннему ограничению, можно отнести большинство характеристик, используемых при анализе финансового состояния организации: коэффициент автономии, долю собственных оборотных средств в оборотных активах, коэффициент текущей ликвидности, коэф-

Таблица 3

Значения финансовых коэффициентов в динамике для оценки финансового состояния организации за п лет

Показатель n — 2 n — 1 n

Коэффициент автономии 0,59 0,58 0,57

Доля собственных оборотных средств в оборотных активах 0,22 0,12 0,07

Коэффициент текущей ликвидности 2,30 1,76 1,56

Коэффициент абсолютной ликвидности 0,54 0,62 0,63

Коэффициент текущей платежеспособности 2,90 3,01 4,11

Рентабельность активов, % 8,79 8,19 4,51

Рентабельность продаж, % 13,87 14,92 11,12

Доля дебиторской задолженности в активах, % 23,43 14,61 14,22

Оборачиваемость оборотных активов, обороты 0,57 0,52 0,63

фициент абсолютной ликвидности, коэффициент текущей платежеспособности, рентабельность активов, рентабельность продаж, долю дебиторской задолженности в активах, оборачиваемость оборотных активов. Для всех этих показателей ограничения имеют вид К^ > Кфакт < Ктах

Определение границы диапазонов (Кт)п и Ктах) изменения анализируемых показателей осуществлялся по рекомендуемым значениям показателей (например, для коэффициента автономии К^ = 0,5 и Ктах = 0,7) или по разнице между максимальном и минимальным значениями анализируемых параметров (Ктах — Кт1п). Главный критерий определения границ диапазонов изменения показателей — это чувствительность шкалы желательности относительно колебаний значений, используемых в анализе финансовых показателей. Графическое представление и уравнения параболической аппроксимации функций Харрингтона для коэффициентов автономии и абсолютной ликвидности и оборачиваемости оборотных активов показано на рис. 4.

Подставляя исходные данные (см. табл. 3) в параболические уравнения функции Харрингтона, все частные финансовые коэффициенты К. были переведены в свои желательности ё,, после этого решалась задача по построению обобщенного параметра оценки (оптимизации), названного Хар-рингтоном обобщенной функцией желательности D. Этот процесс осуществлялся на уровне матрицы идентификации. Ее внешний вид, который форми-

D =

ровался в программной оболочке Excel, представлен на рис. 5. Одним из возможных способов решения задачи выбора оптимального варианта является использование рейтинговой оценки R и представление обобщенной функции желательности D в виде следующих формул:

R=£ n=i(i - d. )2.

В предлагаемой методике не применяется дифференциация весов отдельных финансовых коэффициентов при оценке финансового состояния организации ввиду отсутствия достаточно обоснованной методики такой дифференциации.

Конкретно обобщенная функция желательности D в задаче по оценке финансового состояния организации рассчитывалась по формуле

Dи = ПDавтЯ.лД.л..Д,б, где Dи — обобщенная функция желательности; Dавт — функция желательности автономии; Dтл — функция желательности текущей ликвидности;

Dал — функция желательности абсолютной ликвидности;

Dоб — функция желательности оборачиваемости.

Результаты проведенного анализа представлены в табл. 4.

Функция Харрингтона

1,2

0,8

0,6 0,4 0,2

0,3

"Г

0,4

"Г

0,5

Т

0,6

г

0,7

Коэффициент автономии (полиномиальный) Коэффициент абсолютной ликвидности (полиномиальный) Оборачиваемость оборотных активов (полиномиальная), обороты

0,7 0,9

Финансовый коэффициент

Рис. 4. Графики функции желательности Харрингтона в случае параболической аппроксимации для коэффициентов автономии, абсолютной ликвидности и оборачиваемости оборотных активов

0

Интегральная оценка Шкала логистической функции желательности Е.К. Харрингтона

Мультипликативная (обобщенный коэффициент желательности П) 5,17

Рейтинг-оценка 1,48 1 2 3 4 5

Средняя балльная оценка 3,11 [0; 0,2] — очень плохо [0,2; 0,37] — плохо [0,37; 0,63] — удовлетворительно [0,63; 0,8] — хорошо [0,8; 1] — очень хорошо

Показатель Интервальные и текущее значения параметров Балльное и количественное значения функции желательности

Коэффициент автономии 0,08— 1 0 0 3 0 0

0,58 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0

Доля собственных оборотных средств в оборотных активах 0— 1 0 2 0 0 0

0,12 0,0 0,4 0,0 0,0 0,0

Коэффициент текущей ликвидности 1,46— 2,5 0 2 0 0 0

1,76 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0

Коэффициент абсолютной ликвидности 0,42— 1 0 0 0 4 0

0,62 0,0 0,0 0,0 0,7 0,0

Коэффициент текущей платежеспособности 2,9— 4,11 0 2 0 0 0

3,01 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0

Рентабельность активов, % 4,1— 8 0 0 0 0 5

8,19 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0

Рентабельность продаж, % 11,5— 15 0 0 0 4 0

14,92 0,0 0,0 0,0 0,8 0,0

Доля дебиторской задолженности в активах,% 11,5— 23 0 0 3 0 0

14,61 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0

Оборачиваемость оборотных активов, обороты 0,33— 1 0 0 3 0 0

0,52 0,0 0,0 0,5 0,0 0,0

Рис. 5. Матрица идентификации

Таблица 4

Результаты оценки финансового состояния организации с помощью функции желательности Харрингтона

Показатель Исходное значение Балльная оценка по шкале Харрингтона

п — 2 п — 1 п п — 2 п — 1 п

Коэффициент автономии 0,59 0,58 0,57 3 3 3

Доля собственных оборотных средств в оборотных активах 0,22 0,12 0,07 5 4 2

Коэффициент текущей ликвидности 2,30 1,76 1,56 1 2 3

Коэффициент абсолютной ликвидности 0,54 0,62 0,63 3 4 4

Коэффициент текущей платежеспособности 2,90 3,01 4,11 3 2 1

Рентабельность активов, % 8,79 8,19 4,51 5 5 2

Рентабельность продаж, % 13,87 14,92 11,12 4 4 2

Доля дебиторской задолженности в активах, % 23,43 14,61 14,22 1 3 3

Оборачиваемость оборотных активов, обороты 0,57 0,52 0,63 3 3 2

Мультипликативная обобщенная функция желательности П 3,24 5,17 1,69

Рейтинговая оценка — R = ^^" 1(1 - d 1) 1,77 1,48 2,10

Средняя балльная оценка по шкале Харрингтона 3,11 3,11 2,33

Оборачиваемость оборотных активов, число оборотов

Доля дебиторской задолженности в активах, %

Рентабельность продаж,

и-и год

Лучшему восприятию и ускорению получения не только количественных, но и качественных значений показателей, что играет важную роль в визуальной, оперативной, комплексной оценке по согласованности разных по характеру финансовых показателей, определяющих финансовое состояние [2], способствует использование графической интерпретации результатов индикативного анализа экономических показателей, оценок, расчетов [3, 4].

Графическое представление не только характеризует текущее состояние анали -зируемого объекта, но и то состояние, к которому необходимо стремиться. Имея аналогичные данные по конкурирующим или смежным организациям, аналитик-экономист получает возможность сравнивать свою организацию с другими и оценивать его относительные достоинства и недостатки, сопоставлять свои возможности с возможностями конкурентов. Сравнивая состояние анализируемой организации в динамике разных лет, можно анализировать прогресс в развитии, выявлять и предупреждать опасные отклонения от нормального состояния. В примере данной статьи можно считать, что в анализируемой организации наиболее безопасным является финансовое состояние (и — 1)-го года, так как обобщенная функция желательности D в этом году составила максимальное значение 5,17 пункта (см. табл. 4). Отсюда следует вывод, что организация должна придерживаться финансовой политики (и — 1)-го года. Диаграмма финансового состояния организации с учетом значений финансовых показателей представлена на рис. 6.

Критерием при финансовом анализе организации, отвечающей требованиям конкурентоспособности на рынке, будет служить условие Р > Р > Р ,

в — с — кр'

где Рв — периметр многоугольника при высоком уровне конкурентоспособности; Рс — периметр многоугольника в зоне стабильного состояния организации на рынке;

Коэффициент автономии 5

Доля собственных оборотных средств в оборотных активах

Коэффициент текущей ликвидности

Коэффициент абсолютной ликвидности

Рентабельность активов, %

Коэффициент текущей платежеспособности

(и - 1 )-й год

■ (и - 2)-й год

Рис. 6. Диаграмма финансового состояния организации

Ркр — периметр многоугольника в зоне критического финансового состояния организации.

В рассматриваемом варианте максимальное значение Рсоставило:

— Рв = 30 в (и — 1)-м году;

— Рс = 28 в (и — 2)-м году;

— Ркр = 22 в и-м году.

Таким образом, учитывая то, что обобщенная функция желательности D имеет в (п — 1)-м году максимальное значение, равное 5,17, а рейтинг-оценка имеет минимальное значение 1,48, можно считать, что Рв — конкурентоспособное финансовое состояние организации, состояние Рс = 28 (близкое к Р ) можно считать стабильным, а Р = 22 в п-м

в кр

году — критическим.

Исследуем взаимосвязь шкалы желательности Харрингтона с правилом золотого сечения.

Известно, что золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — это деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине [1].

Отношение большей части к меньшей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью

Ф =

л/5 +1

■■ 1,6180339887.

2

Таблица 5

Шкалы Харрингтона и золотого сечения для финансовых коэффициентов

Шкала

Финансовый Харрингтона Харрингтона для коэф- Золотого сечения Золотого сечения

коэффициент для коэффициента фициента абсолютной для коэффициента для коэффициента абсо-

автономии ликвидности автономии лютной ликвидности

0,52 0,45 0,49 0,53 1,11

0,55 0,47 0,57 0,44 0,80

0,58 0,50 0,65 0,37 0,59

0,61 0,52 0,72 0,30 0,43

0,64 0,55 0,79 0,25 0,31

0,67 0,57 0,84 0,19 0,22

0,70 0,60 0,90 0,15 0,15

0,73 0,62 0,94 0,11 0,10

0,82 0,68 1,03 0,00 0,00

Шкала золотого сечения для коэффициента автономии ш" Шкала Харрингтона для коэффициента автономии

Шкала Харрингтона для коэффициента абсолютной ликвидности ^ Шкала золотого сечения для коэффициента абсолютной ликвидности 2,3; 2,12; 1,83; 1,59

Рис. 7. График взаимосвязи значений финансовых коэффициентов со значениями шкалы Харрингтона и золотого сечения

В качестве исходных данных были взяты значения, которые приведены в табл. 5.

Сопоставляя графические данные (рис. 7) с данными табл. 5, можно сделать вывод: точка золотого сечения попадает в зону «удовлетворительно» и «хорошо» шкалы желательности Харрингтона.

Список литературы

1. Ендовицкий Д.А., Любушин Н.П., Бабичева Н.Э. Ресурсоориентированный экономический анализ: теория, методология, практика // Экономический анализ: теория и практика. 2013. № 38. С. 2— 8.

2. Любушин Н.П., Бабичева Н.Э., Галушкина А. И., Козлова Л.В. Анализ методов и моделей оценки финансовой устойчивости организаций // Экономический анализ: теория и практика. 2010. № 1. С. 3— 11.

3. Новоторов А.В., Брикач Г.Е. Комплексный анализ рыночной деятельности предприятий с использованием имитационной модели совершенной конкуренции // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 26. С. 2— 6.

4. Brikach G., Novotorov A., Greathouse J. New Model of Forecasting Commodity Prices for Farmers // Insights to а Changing World Journal. 2008, June.

Methods of analysis

HARRINGTON'S DESIRABILITY GENERALIZED FUNCTION IN MULTIPLE PARAMETER ECONOMIC TASKS

Nikolai P. LIUBUSHIN, Georgii E. BRIKACH

Abstract

The article considers the existing aspects of a rating evaluation in multi-parameter tasks . The analysis showed that the Harrington's desirability function obeys the problems considered most of all . The objectivity of the results is conditioned by the desirability function based on the S curves. The results obtained correlate well with the golden ratio

Keywords: multiple parameter task, economic analysis, S curve, Harrington's desirability function, golden ratio

References

1. Endovitskii D.A., Liubushin N.P., Babicheva N.E. Resursoorientirovannyi ekonomicheskii analiz: teoriia, metodologiia, praktika [A resource-based economic analysis: theory, methodology, practice].

Ekonomicheskii analiz: teoriia i praktika — Economic analysis: theory and practice, 2013, no. 38, pp. 2— 8.

2. Liubushin N.P., Babicheva N.E., Galushkina A.I., Kozlova L.V. Analiz metodov i modelei otsenki finansovoi ustoichivosti organizatsii [An analysis of methods and models of an assessment of financial stability of the organization]. Ekonomicheskii analiz:

teoriia i praktika — Economic analysis: theory and practice, 2010, no. 1, pp. 3— 11.

3. Novotorov A.V., Brikach G.E. Komple-ksnyi analiz rynochnoi deiatel'nosti predpriiatii s ispol'zovaniem imitatsionnoi modeli sovershennoi konkurentsii [A comprehensive analysis of enterprises' market activities, using a simulation model of the contemporary competition]. Ekonomicheskii analiz: teoriia i praktika — Economic analysis: theory and practice, 2012, no. 26, pp. 2— 6.

4. Brikach G., Novotorov A. New Model of Forecasting Commodity Prices for Farmers. Insights to а Changing World Journal, Vol. 2008, Iss. 2, June.

Nikolai P. LIUBUSHIN

Lobachevsky State University

of Nizhny Novgorod —

National Research University (UNN),

Nizhny Novgorod, Russian Federation

lubushin@fnf. unn . ru

Georgii E. BRIKACH

Nizhny Novgorod State Agricultural Academy, Nizhny Novgorod, Russian Federation brikach@mail . ru