Использование гибридного метода диаграммных уравнений для расчета рассеяния на цилиндре большого поперечного сечения Текст научной статьи по специальности «Физика»

т

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГИБРИДНОГО МЕТОДА ДИАГРАММНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА РАССЕЯНИЯ НА ЦИЛИНДРЕ БОЛЬШОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Демин Дмитрий Борисович, DOI 10.24411/2072-8735-2018-10125

МТУСИ, Москва, Россия,

[email protected]

Работа выполнена при частичной

Клеев Андрей Иг°реви^ поддержке Российского фонда

Институт физических проблем им. П.Л.Капицы РАН, фундаментальных исследований

Москва, Россия, [email protected] (грант № 16-02-00247 А)

Кюркчан Александр Гаврилович,

МТУСИ, Москва, Россия;

ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл.; ФГУП ЦНИИС, Москва, Россия, [email protected]

Рассеяние волн препятствиями, размеры которых существенно превосходят длину волны падающего излучения, является одной из ключевых задач теории дифракции. Сложность прямых численных подходов к решению данной задачи заключается в значительном возрастании объема вычислений при увеличении размеров рассеивателя. В настоящей статье представлен строгий подход к решению задачи рассеяния волн на цилиндрах, поперечное сечение которых существенно превосходит длину волны падающего излучения. Предлагаемая методика базируется на методе диаграммных уравнений (МДУ), предложенном в 1992 г. Было показано, что МДУ обладает важными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач. Установленная в указанных выше работах высокая скорость сходимости МДУ может быть использована для построения различных асимптотических подходов. В частности, используя МДУ, авторам удалось получить приближенные формулы для интегрального сечения рассеяния на Рэлеевских объектах. В настоящей работе развит гибридный метод диаграммных уравнений (ГМДУ), основанный на использовании комбинации МДУ и приближения физической оптики (ФО). Получено интегрально-дифференциальное уравнение для "поправочной" к приближению физической оптики диаграммы. Предложен эффективный метод алгебраизации данного уравнения, основанный на использовании дополнительного подгоночного параметра, определяющего номер доминирующей угловой гармоники в разложении поправочной диаграммы. Показано, что данный подход обладает высокой эффективностью и, в то же время, не требует значительных вычислительных затрат при решении задач дифракции на цилиндрах даже в тех случаях, когда характерный размер поперечного сечения велик по сравнению с длиной волны падающего излучения. Скорость сходимости, равно как и точность полученных результатов, слабо зависят от геометрических размеров поперечного сечения цилиндра, что делает данный подход перспективным методом расчета характеристик рассеяния в тех случаях, когда поперечный размер рассе-ивателя существенно превосходит длину волны падающего поля.

Информация об авторах:

Демин Дмитрий Борисович, доцент, к.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия Клеев Андрей Игоревич, заместитель директора, д.ф.-м.н., Институт физических проблем им. ПЛ.Капицы РАН, Москва, Россия, Кюркчан Александр Гаврилович, зав. каф., д.ф.-м.н., Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия; ФИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Фрязино Московской обл., Россия; ФГУП Центральный научно-исследовательский институт связи, Москва, Россия

Для цитирования:

Демин Д.Б., Клеев А.И., Кюркчан А.Г. Использование гибридного метода диаграммных уравнений для расчета рассеяния на цилиндре большого поперечного сечения // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №8. С. 4-8.

For citation:

Demin D.B., Kleev A.I., Kyurkchan A.G. (2018). Using the hybrid pattern equations method for the analysys of a scattering by a cylinder of a large cross section. T-Comm, vol. 12, no.8, рр. 4-8. (in Russian)

Ключевые слова: метод диаграммных уравнений, рассеяние волн, коротковолновая асимптотика, численные методы теории дифракции.

7ТТ

т

Рассеяние волн препятствиями, размеры которых существенно превосходят длину волны падающего излучения, является одной из ключевых задач теории дифракции. Исследованию этой задачи и разработке различных методой ее решения, посвящено огромное число публикаций. Обзор важнейших из них дан в известных монографиях [1-5]. Использование прямых численных методов к решению данной задачи весьма затруднено из-за резкого возрастания объема вычислений при увеличении размеров расссиватсля. В настоящей статье предложен строгий подход к решению задачи рассеяния волн на цилиндрах, поперечное сечение которых существенно превосходит длину волны падающего излучения. Предлагаемая методика базируется на методе диаграммных уравнений (МДУ). Этот метод был предложен в работе [6] (см, также [7, 8|). Выло показано, что МДУ обл ад а ст важными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач. Установленная в указанных выше работах высокая скорость сходимости МДУ может быть использована для построения различных асимптотических подходов. В частности, используя МДУ, авторам удалось получить приближенные формулы для интегрального сечения рассеяния на Рэлеевских объектах [9-11]. В настоящей работе развит гибридный метод диаграммных уравнений, основанный на использовании комбинации МДУ и приближения физической оптики (ФО). Как будет показано ниже, данный подход обладает высокой эффективностью и, в то же время, не требует значительных вычислительных затрат при решении задач дифракции на цилиндрах даже в тех случаях. когда, характерный размер поперечного сечения велик по сравнению с длиной волны падающего излучения.

2-7

f(a)= jV (<р) ex р (ikp с о s (с - qy))d(p *

(1)

Представим неизвестную токовую функцию у{(р) в виде двух слагаемых:

у(<р)=уи,){<р)+у(с){<р), (2)

где

уШф)=\2 гЩАгеЬЧйР+п], (3)

[ 0 ^[в-Гг.в + Уг]

— токовая функция в приближении физической оптики, в рассматриваемом случае

р(<р)

S£*iü) pb)5Et]

(4)

Г=р(ч>)

дг р((р) д(р

где Е-' - г - компонента падающего поля.

В формуле (2) добавочная токовая функция у(с\<р) определяет «поправочную» диаграмму рассеяния

2л

/(с)(а}= - $))с{<р • (5>

о

Используя (1), (2) и (5), полную диаграмму направленности можно представить в виде суммы парциальных диаграмм:

где

2л

а

Воспользуемся далее интегрально-операторным уравнением [6, 7] для диаграммы направленности:

к 2'

+ |е х р[М)£)( (р)со^а-<р)] {(р, (// )е х р \$кр{(р) с оз( г//)] х

Ал

х + ¥) + fic)(<P +

(8)

где

Рис. 1. Геометрия задачи

Геометрия задачи показана на рис. 1. Рассматривалось падение волны, имеющей единственную отличную от нуля компоненту электрического поля , на идеально проводящий цилиндр произвольного поперечного сечения. Д]я диаграммы направленности рассеянного поля имеет место следующее соотношение [7]:

¿я

о

Ь\<р,чг)= р{(р)соэу/ - р'(<р)$т у/ ■ (9)

Представляя диаграммы у'с,р,0'(аг) в виде рядов Фурье:

П! -С .71 - <',

и используя метод редукции, получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов а^)'-

а(с)- УС = ус аЫ, (И)

т / > тч ч "т т / • мм"л

где

х Jт - m)cp\j(p i (12)

ei0) = /" P'^V-M^exp(-in«p)d<p< <13)

У

Y

/«„=(-1)"

(20)

причем порядковый номер коэффициента п связан с номером гармоники тп соотношением:

п .2.

где квадратные скобки означают операцию вычисления целой части.

Как видно из рис. 4. коэффициенты разложения «поправочной» диаграммы более чем на порядок меньше коэффициентов, получаемых в МДУ, однако их зависимость от п имеет отчетливый максимум при и ~ 2ка.

\fM(<p)\

15.0

10.0

5.0

0.0

НИ

V/T

(21)

соответствующий коэффициенту с номером il, определяется выражением:

п 2

п

2_ ' п = <

M + (-1)"

, При п < IM -1 > (22)

где М - подгоночный параметр (целое число), определяющий номер доминирующей гармошки. Как можно видеть, при этом первому коэффициенту в разложении поправочной диаграммы соответствует гармоника с номером [м 2].

В таблице приведен пример для N =11, М = 6:

п i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

m Ü 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 7 -7 8 -8 9 -9

m 3 -3 -2 4 2 -4 -1 5 1 -5 0 6 -6 7 -7 8 -8 9 -9

результатов, представленных на этом рисунке, модифицированный ГМДУ дает практически точный результат при Nc « ка •

ко, 2тг

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Рис, 5, Рассеяние на круговом цилиндре

Как видно из рис. 5, решение ГМДУ является быстро осциллирующей функцией с явно выраженной доминирующей гармоникой. Для ускорения сходимости разложения такого решения можно использовать следующий прием. В «модифицированном» ГМДУ используется следующее выражение для «поправочной» диаграммы:

/ {<Р)=

;!=1

где новый номер гармоники щ .

На рисунке 6 представлены результаты исследования нормированного интегрального сечения рассеяния плоской волны на круговом цилиндре. При расчетах полагали ка= 12, в-лА. М = 20- Штриховая линия — результаты

расчетов в приближении физической оптики. Как видно из

Рис. 6, Зависимость k<Js/(27r) от

Ei настоящей работе развит гибридный метод диаграммных уравнений (ГМДУ), основанный па использовании комбинации МДУ и приближения физической оптики. Данный подход обладает высокой эффективностью и, в то же время, не требует значительных вычислительных затрат при решении задач дифракции на цилиндрах даже в тех случаях, когда, характерный размер поперечного сечения велик по сравнению с длиной волны падающего излучения.

Литература

1. Хёнл X., Mayэ А.. Вестпфаль К. Теория дифракции. Пер. с нем. М.: Мир. 1964.428 с.

2. Бори М., Вольф Э. Основы оптики: пер. с англ. / Пол ред. Г.П.Матулевич. М.: Наука, 1973. 720 с.

3. Боровиков В.А.. Кинбер БЕ. Геометрическая теория дифракции. М.: Советское радио, 1978. 248 с.

4. Уфимцев П.Я, Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Советское радио, 1962.

5. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых воли в электродинамике. Введение в физическую теорию дифракцию /11ер. с англ. 2-е изд., испр. и доп. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 372 с.

6. Кюркчан AT. Об одном новом интегральном уравнении а теории дифракции // Доклады Академии наук. 1992. Т. 325. № 2. С. 273-275.

7. Кюркчан А.Г.. Смирнова H.H. Математическое моделирование в теории дифракции с использованием априорной информации об аналитических свойствах решения. М.: Медиа Паблишер, 2014.

8. Кюркчан А.Г., Клеев А.И. Решение задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. № 6. С. 897-905.

9. Демин Д.Б., Клеен А.И.. Кюркчан А.Г. Использование метода диаграммных уравнений для анализа рассеяния на малых частицах сложной формы // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. Т, 10. №10. 2016. С. 38-42.

10. Dentin Р.В.. Kteev A.I.. Kywkchan A.C. Modeling of electromagnetic scattering by thin cylinders using Pattern Equation Method // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2017, V. 187. Nol, pp. 287-292.

11. Демин Д.Б.. Клеев А.И., Кюркчан А.Г. Использование метода диаграммных уравнений для анализа рассеяния на тонком цилиндре произвольного поперечного сечения // Радиотехника и электроника. 2018, т. 63. №6.

7ТТ

Y

USING THE HYBRID PATTERN EQUATIONS METHOD FOR THE ANALYSYS OF A SCATTERING BY A CYLINDER OF A LARGE CROSS SECTION

Dmitri B. Demin, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, [email protected]

Andrei I. Kleev, P.L. Kapitsa Institute for Physical Problems RAS, Moscow, Russia, [email protected]

Alexander G. Kyurkchan, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia; Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Fryazino, Russia; Central research institute of communication, Moscow, Russia, [email protected]

Abstract

Scattering of waves by obstacles whose dimensions substantially exceed the wavelength of the incident radiation is one of the key problems in the theory of diffraction. The complexity of direct numerical approaches to the solution of this problem consists in a significant increase of the computational difficulties with increasing scatterer dimensions. In this paper we present a rigorous approach to the solution of the problem of wave scattering by cylinders, the cross section of which substantially exceeds the wavelength of the incident radiation. The proposed methodology is based on the Pattern Equations Method (PEM), proposed in 1992. It was shown that PEM has important advantages over many universal methods and is very effective in solving a wide class of problems. The high rate of convergence of the PEM established in the above studies can be used to construct various asymptotic approaches. In particular, using PEM, the authors succeeded in obtaining approximate formulas for the integral cross section for scattering by Rayleigh objects. In this paper, we develop a Hybrid Pattern Equations Method (HPEM), based on the use of a combination of PEM and the Physical Optics approximation (PO). The integral-differential equation for the "correction" to the PO solution for of the scattering pattern is obtained. An effective method of algebraization of this equation is proposed, based on the use of an additional fitting parameter determining the number of the dominant angular harmonic in the expansion of the correction diagram. It is shown that this approach has a high efficiency and, at the same time, does not require significant computational costs in solving diffraction problems on cylinders, even in cases where the characteristic cross-sectional dimension is large compared to the wavelength of the incident radiation. The rate of convergence, as well as the accuracy of the results obtained, depend little on the geometric dimensions of the cross section of the cylinder, which makes this approach a promising method for calculating the scattering characteristics in those cases when the transverse dimension of the scatterer substantially exceeds the wavelength of the incident field.

Keywords: pattern equations method, high frequency asymptotic, numerical methods of the diffraction theory. References

1. H. ^nl, A. Maue, and K. Westphal. (1966). Theorie der Beugung. Encycl. Phys., Crystal Optics Diffraction, S. Ftegge, Ed., 25 (1), Springer Verlag, Berlin.

2. Born M. and Wolf E. (1980). Principles of Optics, Sixth Edition, Pergamon Press, New York.

3. Borovikov V.A., Kinber B. Ye. (1994). Geometrical Theory of Diffraction. IEE Electromagnetic Waves Series, 37, The Institution of Electrical Engineers, London.

4. Ufimtzev P.Ja. (1962). Method of boundary waves in physical theory of diffraction. Sov. Moscow: Radio. (in Russian)

5. Ufimtzev P.Ja. (2009). Theory of Edge Diffraction in Electromagnetics: Origination and Validation of the Physical Theory of Diffraction. Institution of Engineering and Technology. 442 р.

6. Kyurkchan A.G. (1992). A new integral equation in the diffraction theory // Soviet Physics-Doklady, vol. 37, no 7, pp. 338-340.

7. Kyurkchan A.G., Smirnova N.I. (2016). Mathematical Modeling in Diffraction Theory Based on A Priori Information on the Analytic Properties of the Solution. Amsterdam: Elsevier. 280 p.

8. Kyurkchan A.G., Kleev A.I. (1995). Solution of the Problems of Wave Diffraction on Finite Scatterers with the Method of Diagram Equations. Radiotekhnika e elektronika. Vol. 40. No. 6, рp. Q 897-905 (in Russian)

9. Demin D.B., Kleev A.I., Kyurkchan A.G. (2016). The applying of the pattern equations method for the analysis of scattering by small particles of the complicated shape. T-Comm. Vol. 10. No.10, pp. 38-42. (in Russian)

10. Demin D.B., Kleev A.I., Kyurkchan A.G. (2017). Modeling of electromagnetic scattering by thin cylinders using Pattern Equation Method. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. V. 187. No.1, pp. 287-292.

11. Demin D.B, Kleev A.I., Kyurkchan A.G. (2018). Use of the method of diagram equations for the analysis of scattering by a thin cylinder of an arbitrary cross section. Radio engineering and electronics. Vol. 63. No. 6.

Information about authors:

Dmitri B. Demin, Assistant Professor, Ph.D., Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia

Andrei I. Kleev, Advanced Research Fellow, D.Sc., P.L. Kapitsa Institute for Physical Problems RAS, Moscow, Russia

Alexander G. Kyurkchan, Head of Department, Professor, D.Sc., Moscow Technical University of Communications and Informatics Russia;

Kotel'nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Sciences, Russia;

Central research institute of communication, Moscow, Russia

7TT