CC BY
5© У1азепко Е., Яе^оуа I.
ЗАСТОСУВАННЯ ЕВРИСТИЧНИХ ПРИЙОМ1В У ХОД1 ЛЕКЦ1ЙНИХ ЗАНЯТЬ З ВИЩО1 МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТ1В ВТНЗ
К.В.Власенко, канд. педагог. наук, доцент, Донбаська державна машинобудiвна академiя,
м. Краматорськ, УКРА1НА 1.М.Реутова, канд. педагог. наук, Приазовський державний техмчний умверситет,
м. Марiуnоль, УКРА1НА
Запропоновано новий пгдхгд до визначення змгсту / структури лекцгй з вищог математики у техтчних вищих навчальних закладах, заснований на застосуванш евристич-них прийом1в. Створено деяк1 рекомендаци з оргатзаци евристичног д1яльност1 май-бутн1х ¡нженер1в у ход1 аудиторних занять.
Ключов1 слова: вища математика, лекци, евристичш прийоми, майбутш Iнженери.
Постановка проблеми. Евристичний характер дш, притаманний iнженернiй дяль-носп, вимагатиме вщ майбутнього iнженера у ироцеа здшснення професшно1 дяльносп реaлiзami евристичних умiнь. У зв'язку з цим, особливо актуальним стае встанов-лення вiдповiдностi шж професшними дiями iнженерa та тими евристичними умшнями майбутнього фaхiвця, форму-вання та розвиток яких нaйбiльшою мрою забезпечують заняття з вищоi математики.
Анал1з актуальних дослщжень. Про-блемi реашзаци евристичних iдей, дiaлек-тищ евристично'1' дiяльностi в нaвчaннi вищо'1' математики на сьогоднi придiляли увагу таю математики та методисти, як О.Г. Евсеева [3], С.АКирилащук [4], В.1.Клоч-ко [5], Т.В.Крилова [7], Т.С.Максимова [8], Г.О.Михатн [9], М.В.Працьовитий [10], О.1.Скафа [11] та iн.
Упровадження нових технологiй у на-вчання вищоi математики в техтчних вищих навчальних закладах (ВНЗ) припус-кае постiйний розвиток рiзномaнiтних форм аудиторних занять, збшьшення час-тки самостшно'!' роботи студентiв.
Постановка завдання. Розглянемо у статп новий тдхщ до визначення змюту i структури лекцш з вищоi математики, заснований на застосувант евристичних прийомiв. Запропонуемо деяю рекоменда-
з оргатзаци евристичноi дiяльностi мaйбутнiх iнженерiв у ходi аудиторних занять.
Виклад основного матер1алу. Лекцiя - це орiентовнa основа самостшно'].' роботи студенпв. Анашзуючи трaдицiйну лекцiю, В.В.Краевський [6] вид^е нaступнi 11 не-долiки:
■ теми, змют, методика й темп читання майже не залежать вщ якосп сприйняття й, тим бшьше, засвоення мате-рiaлу; лекцiя зазвичай читаеться деякому «посередньому» студентовi;
■ лектор ще на «ущ^ьнення» шформаци, не орiентуючись на можливос-т сприйняття й засвоення студентiв, праг-нучи викласти весь програмний мaтерiaл за обмежений час;
■ робота студенпв зводиться до спроби повшше записати пояснения лектора, вщтворити формули, рисунки, схеми з дошки; лектор практично тяк не оргат-
(67)
зуе подальшу роботу студенпв над прочи-таним MarepiaroM, не вчить користуватися л1тературою, не пepeвipяе пiдготовлeнiсть студeнтiв до наступно! лекци.
У такш сшуаци навчання вищо! математики можливе тшьки за рахунок при-скореного диктування, що призводить до помилок, яю попм переносяться на розв'язування завдань i майбутню профе-сiйну дiяльнiсть.
Для ефективносп лекци дуже важли-вий зворотнш зв'язок 3i студентами. Технология евристичного навчання тд час лекцш уможливлюе початковий aнaлiз розумшня студентами мaтepiaлу й активну сaмопepeвipку засвоення знань, що вказуе на присутшсть такого зв'язку. Зупинимося на деяких peкомeндaцiях з проведення ле-кцiйних занять.
На лекци, що розпочинае вивчення ново! теми, проводиться евристична бесща. Вона допомагае переконатися студентам у необхщносп вивчення математичних понять та формуе моти-
вaцiю мaйбутнiх iнжeнepiв.
Наприклад, на лекци «Kpmi й поверхш 2-го порядку» доцiльно скористатися вщ-eомaтepiaлом або слайдами, присвяченими практичному застосуванню геометричних властивостей цих кривих i поверхонь.
Наведемо приклад, що метиться в на-вчальному посiбнику «Вища математика для майбутшх iнжeнepiв» [1] та може бути застосований для проведення евристично! бeсiди.
Пщ час вивчення напруг, що виника-ють у твердому тш, користуються понят-тям елшсощ напруг. П1воё x, y, z е головною напругою в данш точщ.
Довжина ращуса-вектора р вiд початку координат до будь-яко! точки поверхш е значенням повно! напруги (рис.1).
Рис. 1. Схема-зображення eлiпсоiдa напруг
Напрямш косинуси paдiусa-вeктоpa Р
piвнi вщповщно: cos a
a=pL cosb=
s/ S 2 '
cosg=
.Рз
Якщо вважати, що
cos2a + cos2 b + cos2 g = 1, 2 2 2 pL+pL + pL = 1
то 2 2 S1 S2
s:
Отримане piвняння е piвнянням трьох-осного елшсоща. П1д час вивчення теми «Поверхш другого порядку» ми будемо розглядати створення piвнянь таких пове-рхонь, зображення i застосування !х в ш-жeнepнiй пpaктицi.
Мaтepiaл для евристично! бeсiди до кожно! теми запропоновано у навчальних поабниках [1; 2].
Якщо основна частина лекци збер^ае переважно rpaдицiйний зшст, то форму подaчi мaтepiaлу можна змiнити. За допо-
з
®
© Vlasenko E., Reutova I.
мoгoю e^arn, пpoeктopa й кoмпютepa мoжнa викopиcтaти piзнoмaнiтнi iлюcтpa-тивнi мaтepiaли, y тoмy чиcлi мультимс-дшт дeмoнcтpaцiï y виглядi пpeзeнтaцiй. Haвчaльний мaтepiaл пpeзeнтaцiй пщгото-влeнo вщговщш дo мсти фopмyвaння пpийoмiв eвpиcтичнoï дiяльнocтi пiд чac лeкцiйниx зaнять. Пoдaння мaтepiaлy нa cлaйдax yмoжливлюe:
• виoкpeмлeння cyттeвиx oзнaк пoняття в йoгo oзнaчeннi;
• п^всдсния пщ пoняття нa ocнoвi даго визнaчeння;
• вивсдсння нacлiдкiв з визнaчeння пo-няття.
Пpoiлюcтpyeмo цс та пpиклaдi cлaйдiв, щo пpoпoнyютьcя дo тсми «Heпepepвнicть функци».
Змicт cлaйдiв Mae нacтyпний вигляд.
Спoчaткy фopмyлюeтьcя oзнaчeння.
Фyнкцiю f (x) нaзивaють нeпeрeрвною в точщ x G, якщo викoнyютьcя yмoви:
1) вoнa визнaчeнa в цiй точщ i дeякoмy ïï oкoлi;
2) ic^e гpaниця lim f(x) ;
3) ця гpaниця дopiвнюe знaчeнню функци в точщ x G, тoбтo
lim f (x )= lim f (x ) =
x —^ x g x —^ x g — G
= x im+of (x )=f (x o).
Пicля щюго нa нacтyпнoмy cлaйдi npo-пoнyeтьcя пpиклaд, щo зaпиcyeтьcя y фo-pMi, якa cпpияe йoгo пщвсдснню тд ви-знaчeння. Пicля фopмyлювaння питaнь cпливaючим pядкoм зaзнaчaютьcя вщда-вiдi, щo cпpияють цьoмy пщвсдснню в xo-дi poзв'язaння нacтyпнoгo зaвдaння.
Завдання. Для тoгo, щoб дocлiдити , . sin x
функцш y =- та нeпepepвнicть, да-
x
oбxiднo пepeвipити:
l) чи юнують тoчки, в якиx функщя нeвизнaчeнa?
оч ,. sin x 2) чи юнуе гpaниця lim-?
x-> G x
Biднoшeння фyнкцiй y = sin x тa y = x e нeпepepвнoю фyнкцieю для вcix x, кpiм тoчки x = G, в якш дpiб давизта-чсний.
r ■ ,. sin x 1 paниця iœye lim-= l.
x-> 0 x
3) чи викoнyeтьcя piвнicть
lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = f ( xo ) '
sin x sin x sin x e
lim-— = lim——=lim-— '
x—> 0 x x^x0 - 0 x x—> x0 +0 x
пpи x = 0 функщя нeвизнaчeнa.
Ha нacтyпнoмy cлaйдi poбитьcя вдада-вoк, в якoмy зaзнaчaeтьcя, щo функщя да e нeпepepвнoю, кoли x = G; cepeд таступ-нж фopмyлювaнь пpoпoнyeтьcя вибpaти, дo яшго типу poзpивy вiднocитьcя ця точга.
Фopмyлювaння тoчoк ycyвнoгo тa шшик типiв poзpивy нaвoдитьcя нa cna^i зa цieю ж cxeмoю. ^^иктад, якщo:
1) icнyють тoчки, в якж фyнкцiя дави-знaчeнa;
2) ic^e гpaниця lim f ( x) ;
x-> xo
3) викoнyeтьcя piвнicть
lim f (x) = lim f (x)=lim f (x)=a,
x—>xo x—>xo -0 x—>xo +0
ane кoли f (x0) ф a aбo в цш тoчцi фyнкцiя нeвизнaчeнa, тo xG - нaзивaють тoчкoю
ycyвнoгo poзpивy.
Рoбимo виcнoвoк пpo тип точки poзpи-ву: x = G - точта ycyвнoгo poзpивy. Ha нacтyпнoмy cлaйдi пpoпoнyeтьcя дoвизнa-чити фyнкцiю у тoчцi x = G, пoклaвши y(0) = l, тa дicтaти вжс нeпepepвнy функцш
y=
sin x
якщo x Ф G,
l, якщo x = G.
Bиoкpeмлeння тaким чинoм cтpyктyp дiяльнocтi iз зacтocyвaнням oзнaчeнь да-нять rap^e oтpимaнню iдeй poзв'язyвaн-ня зaвдaнь тa дoвeдeння тeopeм. 3a тaким пpинципoм мoжнa зaпpoпoнyвaти мaйжe yci тeopeми пpo гpaницi тa тeopeми диФс-peнцiaльнoгo чиcлeння мaтeмaтичнoгo aнaлiзy, якi викликaють вслию тpyднoщi
x—> x - 0
x
як тд час ïx формулювання, так i тд час ïx доведення.
Розглянемо створення схеми виведен-ня наслiдкiв з означення поняття та ïx за-стосування у записi доведення теореми на прикладi теми «Локальний екстремум фу-нкцiй» пiд час традицiйноï роботи викла-дача бiля дошки.
Викладач формулюе визначення локального екстремуму: точку x0 нази-вають точкою локального максимуму (мг-тмуму) функци f (x) , якщо:
1) iснуe такий окш 0 < x
-x0 <S то-
чки x0, який належить област визначення функци;
2) для всix x з цього околу (x0 -S; x0 + S) виконуеться нерiвнiсть
f (x) < f(x0) (f(x> f(x0 )).
Запитання викладача: яю висновки можна зробити, якщо буде вщомо, що x0 = 2 е точкою максимуму функци
У = -(x - 2)2 + 3?
Bidnaeiài студентов:
1) для
x
2
iснуе такий окш
(2 — S; 2 + S), який належить област визначення функци;
2) для вах x з цього околу (2 — S; 2 + S) виконуеться нерiвнiсть f (x) < f (2), тобто f (x) < 3.
Викладач пропонуе геометричний змгст означення локального екстремуму на рис. 2:
22 2+л Рис. 2. x0 = 2 - точка максимуму. Геометричний змют означення
Викладач пропонуе з'ясувати умови кнування локального екстремуму: фор-
мулюеться теорема (необхгдна умова локального екстремуму).
Якщо функщя f ( x) мае в точщ x0 локальний екстремум i диференцшована в цш точщ, то f1 (x0 ) = 0 .
Прокоментуемо, як пропонуеться доведення цiеï теореми студентам для отри-мання оберненого зв'язку.
Викладач: з'ясуемо, що е умовою, а що - вимогою сформульовано'1' теореми.
Вiдnовiдi студентов: за умовою x0 -точка локального екстремуму функци f (x) ; за вимогою теореми функщя f (x) диференцшована в точщ x0.
Викладач: яка це теорема: проста чи складна?
Вiдnовiдi студентов: це теорема проста, тому що вимагае доведення единого факту - у точщ x0 похщна функци
f (x) дорiвнюе нулю, тобто f ' (x0 ) = 0 .
Викладач: отже, за умовою x0 - точка
локального екстремуму, нехай це буде точка максимуму.
Запитання викладача: що це означае зпдно означення точки локального максимуму?
Вiдnовiдi студентов: за означенням точки локального максимуму це означае, що:
1) юнуе такий окш (x0 — S; x0 + S) точки x0, який належить обласп визначення функци;
2) для вах x з цього околу
(x0 — S; x0 + S) виконуеться нерiвнiсть
f (x) < f (x0) .
Викладач: якщо узяти x = x0 +Л x, то f ( x0 + Ax ) < f ( x0), тодi
f(x0 + Ax) - fx) < 0, i
A y f (x0 + Ax) - f (x0)
Л x
Л x
. Який знак
A y
вiдношення- отримуемо?
Л x
Вiдnовiдi студентов:
© У1а«епко Е., Яе^оуа I.
А у = /(Хр + Ах) - /(Хо) А х А х
якщо > 0, i А у /(Хо + Ах) -/(Хо)
А х
А х Ах < 0
< 0,
> 0,
якщо
Викладач: за вимогою теореми функ-щя / (х) диференцшована в точцi х0. Запитання викладача: що це означае? В\дпов1д1 студентов: зпдно з означен-ням це означае, що юнуе похiднa
Ау
/,(х0 ) = 1ш1 —
Ах -> 0
Ах
= 11т / (х0 + Ах )- / (х0 )
Ах^0 Ах
Запитання викладача: що це означае для /' (х 0) , якщо враховувати, що
^ < 0, для Ах > 0, i > 0,
А х А х
для
Ах < 0?
В1дпов1д1 студенты: це означае, що
/,(х)^ 0 для Ах > 0 i /\х)< 0 для Ах < 0 . Залишаеться едина можливють
/' х )=0.
Дaлi знов на попередньому приклaдi коментуеться геометричний змiст теореми.
Висновки. Досвщ aвторiв свiдчить, що студентам подобаються таю лекци. Вони сприяють мотиваци мислення, тдвищу-ють активтсть студентов та дають можли-вiсть зекономити час для обов'язково! за-ключно1 частини, яка найчаспше розпо-чинаеться по дзвонику або взагаш не проводиться.
Залучення майбутшх iнженерiв до ев-ристично! дiяльностi у ходi лекцiйних занять сприятиме aктивiзaцii тaкоi д1яльнос-т пiд час виконання домаштх завдань. Систематичне, цшеспрямоване формуван-ня евристичних прийомiв, як1 складають основу формування евристичних умiнь студеитiв техтчних ВНЗ, дае можливють не тшьки тдвищити рiвень 1хньо1 мате-
мaтичноl тдготовки, а й як1сть пiдготовки зi спецiaльних дисципл1н.
1. Власенко К Вища математика для майбутшх тженер1в: навч. поабник для студент1в технчних ВНЗ / КВ.Власенко; за ред. проф. О.1.Скафи. -Донецьк: Ноул1дж, 2010. - 429 с.
2. Власенко К. Робочий зошит з вищог математики для майбутнх тженер1в: навч. пос бник для студент в техн чних ВНЗ / К.Власенко, 1.Реутова. - Донецьк: Ноул1дж, 2010. -124 с.
3. Евсеева О.Г. Спектральний тдхгд до розробки системи навчальних задач з вищог математики на основ предметног модел студента / О.Г.Свсеева // Дидактика математики: проблеми / дошдження: м1жнар. зб. наук. робт. - Донецьк: ДонНУ, 2009. - №32. - С. 101-108.
4. Кирилащук С.А. Педагог чн умови формування гнженерного мислення студентов техн чних ун верситет в у процес навчання вищог математики: автореф. дис. на здобут-тя наукового ступеня канд. пед. наук за спец а-льнстю: 13.00.04 «Теор1я 7 методика профе-сшног освти» // Св1тлана Анатолпвна Кирилащук; Вгнницький державний педагоггчний унверситет гм. Михайла Коцюбинського. -Втниця, 2010. - 20 с.
5. Клочко В.1. Проблема трансформацп зм сту курсу вищог математики в техн чних ун верситетах в умовах використання сучасних тформацтних технологй / В.1.Клочко // Дидактика математики: проблеми досл дження: м1жнар. зб. наук. робт. - Донецьк: ДонНУ, 2004. - №22. - С. 10-15.
6. Краевский В.В. Чему учить? / В.В.Краевский // Вопросы образования. - 2004. - № 3.- С. 5-23.
7. Крилова Т.В. Концепця математичног п дготовки студент в нематематичних спец -альностей вищог технчног школи / Т.В.Крилова // Дидактика математики: проблеми досл -дження: м жнар. зб. наук. роб т. - Вип. 25. -Донецьк: ТЕАН, 2006. - С. 21-24.
8. Максимова Т.С. М сце та основн компоненти професшно-евристичног д1яльнос-т в процес формування майбутнього нжене-ра / Т.СМаксимова // Наука 7 сучаснсть: зб. наук. праць. - Т. 49. - К.: НПУ Iм. М.П.Драгоманова, 2005. - С. 81-88.
9. Михалт Г. О. Формування основ профе-сшног культури вчителя математики у процес навчання математичного анал1зу: дис. ... д-р
©
... д-р пед. наук: 13.00.04 «Теор1я i методика професшног oceimu» / Геннадт Олександрович Михалт; Нацональний педагоачний ун-т iM. М.П.Драгоманова. - К., 2004. - 413 с.
10. Працьовитий М.В. Методика вивчення векторного добутку векторiв майбутшми вчителями математики / М.В.Працьовитий, Л.Л.Креш // Науковий часопис НПУ т.
М.П.Драгоманова: зб. наук. праць. - К.: НПУ iм. М.П.Драгоманова, 2010. - № 6. - С. 6-17.
11. Скафа О.1. Науковi засади методичного забезпечення кредитно-модульног системи навчання у вищий школi: монографiя / О.I. Скафа, Н.М.Лосева, О.В.Мазнев. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2009 - 380 с.
Резюме. Власенко Е.В., Реутова И.Н. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ ПРИЁМОВ НА ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЯХ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ. В статье рассмотрен новый подход к определению содержания и структуры лекций по высшей математике в технических высших учебных заведениях, в основе которого лежит использование эвристических приёмов. Предложены некоторые рекомендации по организации эвристической деятельности будущих инженеров во время аудиторных занятий.
Ключевые слова: высшая математика, лекции, эвристические приёмы, будущие инженеры.
Abstract. Vlasenko E., Reutova I. USING THE HEURISTIC RECEPTIONS ON HIGHER MATHEMATICS LECTURE EMPLOYMENTS FOR THE STUDENTS OF HIGHER SCHOOL. In the article the new approach to the determination of content and structure of higher mathematics lectures in technical higher schools, in which the of heuristic receptions are used, has been considered. Some recommendations as of the organization of heuristic activity of future engineers during class studies have been offered.
Key words: higher mathematics, lectures, heuristic receptions, future engineers.
Стаття представлена професором O.I. Скафою.
Надшшла доредакцп 13.04.2011 р.
