CC BY
111
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АГРЕГИРОВАННЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ БЛАГ ПОСТОЯННОЙ ЦЕННОСТИ ДЛЯ ХЕДЖИРОВАНИЯ МЕНОВЫХ РИСКОВ*
USING OF AGGREGATED ECONOMICAL GOODS WITH CONSTANT VALUE FOR
EXCHANGE RISKS HEDGING*
Работа выполнена при поддержке РФФИ (Проект 10-06-00130)
Бубенко Екатерина Александровна
студент кафедры экономической кибернетики Санкт-Петербургский государственный университет
[email protected] Хованов Николай Васильевич доктор физико-математических наук, профессор кафедры экономической кибернетики
Санкт-Петербургский государственный университет
nick@polyidea. com
Аннотация
Описывается новый метод хеджирования меновых рисков, основанный на использовании стабильных агрегированных экономических благ. Приводится пример эффективного использования этого метода для хеджирования валютных рисков долгосрочного контракта.
Ключевые слова: стабильное агрегированное благо, мультипликативные индексы меновой ценности, функция хеджирования валютных рисков
Summary
A new method for exchange risks hedging is presented, this method being based on stable aggregated economical goods using. An example of the method’s application for a long-term contract’s currency risks hedging is represented.
Key words: stable aggregated good, multiplicative indices of exchange-value, function of currency risks hedging
Введение
Термин «экономическое (хозяйственное) благо» (economic good, commodity),
понимаемый в широком смысле, обычно применяется для обозначения разнообразных товаров (goods, commodities) и/или услуг (services), произведенных некоторыми «производителями» (producers) и способных удовлетворять определенные потребности «потребителей» (consumers) [9]. При этом предполагается, что блага (как товары, так и услуги) могут обмениваться друг на друга, как непосредственно, так и опосредованно.
Одной из важнейших рыночных характеристик любого экономического блага, понимаемого в указанном широком смысле, является его меновая ценность (exchange-value), обычно определяемая рыночными ценами (market prices) данного блага, измеряемыми в соответствующих денежных счетных единицах (monetary units of account) [6,9]. Такая концепция меновой ценности экономического блага сформировалась еще в рамках классической экономической теории и была подробно рассмотрена, например, в «Исследованиях о природе и причинах богатства народов» (1776 г.) Адама Смита, который использовал, как равнозначащие, понятия «меновой ценности блага» (value in exchange) и «относительной ценности благ» (relative value of goods) [17].
В реальной экономической жизни меновая ценность любого блага (реального товара, услуги, ценной бумаги, валюты и т.д.) подвержена флуктуациям, являющимся неизбежным следствием определенного уровня нестабильности соответствующих рынков, где происходит формирование цен на данное благо. Такая нестабильность меновой ценности влечет появление менового риска (exchange risk), который можно понимать в самом общем смысле как неопределенность оценки меновой стоимости блага, принадлежащего некоторому владельцу, при одновременном наличии возможных неблагоприятных (для данного владельца) вариантов этой оценки [10].
Введенное общее понятие менового риска охватывает множество важных частных случаев. Так, например, меновой риск, связанный с флуктуацией меновой ценности реальных товаров, услуг и ценных бумаг совпадает с обычным ценовым риском, изменчивость же меновой ценности валют разных стран порождает валютный риск и т.д.
В статье предлагается общая схема хеджирования меновых рисков с использованием концепции «стабильного агрегированного блага» (stable aggregated good), определяемого соответствующей «корзиной» экономических благ, взятых в пропорции, обеспечивающей
минимальную изменчивость индекса меновой ценности этого агрегированного блага на протяжении некоторого периода времени [13]. Минимальная изменчивость меновой ценности такого агрегированного блага позволяет использовать его в качестве эталона ценности (standard of value), дающего возможность анализировать динамику меновой ценности других экономических благ.
В первом разделе статьи кратко излагаются основные понятия так называемой «расширенной модели простого обмена» [4,14], необходимые для понимания концепции монетарного индекса меновой ценности экономического блага. Во втором разделе описываются монетарные мультипликативные индексы меновой ценности простых и агрегированных экономических благ (индексы Джевонса) [1,2] и приводится общая схема хеджирования меновых рисков. В третьем разделе подробно разбирается практический пример хеджирования валютных рисков с использованием разработанного метода построения стабильной «корзины», состоящей из национальных валют Великобритании, Японии, США и общей европейской валюты. В Заключении кратко обсуждаются полученные результаты и возможности применения методов хеджирования меновых рисков.
1.Модель обмена простых и агрегированных экономических благ
Рассмотрим некоторый рынок, на котором осуществляется непосредственный («бартерный») обмен экономическими благами (товарами, услугами, валютами и т. п.) из некоторого конечного множества G = {gj,...,gn}. Положим, что все экономические блага из множества G являются простыми (т.е. не подразделяемыми далее на виды) и безгранично делимыми. Количество блага gi, определяемое единицей измерения ui из соответствующего множества U = {иг,..., un}, задается некоторым действительным числом qt > 0. Обмен благ описывается матрицей обмена C(t) = (c(i, j;t)), i, j = 1,...,n , в которой на пересечении і-й строки и j -го столбца стоит коэффициент обмена c(i, j; t) > 0, указывающий, сколько единиц Uj блага gj обменивается на единицу ui блага gi в момент времени t. Дополнительно предполагается, что матрица обмена является транзитивной -для любых трех простых благ g, g;, gt, і, j,k є{1,..., n}, выполняется соотношение
c(i, k; t) • c(k, j; t) = c(i, j; t).
Рассмотренная модель обмена простых благ может быть расширена за счет рассмотрения агрегированных (сложных, составных) экономических благ, каждое из которых задается «корзиной» (basket) Bq = {qlul,..., qun} простых благ gl,..., gn, взятых в количествах
q1,..., qn соответственно, qi > 0, q1 +... + qn > 0. Таким образом, агрегированное благо g
можно отождествить с вектором q = (q1,..., qn), описывающим соответствующую «корзину»
Вщ простых благ.
Любой вектор q = (q1,...,qn), определяющий сложное благо g, можно представить в виде произведения q = q • v положительной скалярной величины q = q1 +... + qn на нормированный вектор v = (v1,..., vn), vi = qj (q1 +... + qn), vi > 0, v1 +... + vn = 1, который может служить «естественной» единицей uv измерения количества (объема) агрегированного блага q = (ql,..., qn). При таком выборе единицы измерения uv объем составного блага q = (q1,..., qn) измеряется величиной q = q1 +... + qn.
Коэффициент обмена нормированного агрегированного блага v = (v1V.., vn) и простого блага gk из множества G можно определить формулой c(v,k;t) = v1 c(1,k;t) +... + vnc(n,k;t). Коэффициент обмена c(k, v; t) определяется формулой c(k, v; t) = 1/c(v, k; t). Тогда коэффициент обмена c(v, v ; t) нормированных агрегированных благ v, v вычисляется по формуле c(v, v t) = c(v, k; t) • c(k, v ; t) = c(v, k; t)/c(v , k; t). Очевидно, что любое конечное множество коэффициентов обмена c(v(‘’, v(J’; t), i, j = 1,..., N, нормированных агрегированных благ образует транзитивную матрицу обмена - для любых трех нормированных агрегированных благ v(i), v(J’, v(k’, i, j,k e{1,...,N}, выполняется соотношение c(v(‘’, v(k);t)• c(v(k),v°’;t) = c(v(i), v(J};t). Коэффициент обмена агрегированного блага q = (ql,...,qn) = q• v и простого блага gk из множества G определяется формулой c(q,k; t) = ql c(1,k; t) +... + qnc(n,k; t), которую можно переписать в виде c(q,k; t) = q • c(v, k; t). Отсюда следует, что коэффициент обмена c(q, q ; t) агрегированных благ q = q • v , q = q • v можно выразить через коэффициент обмена c(v, v ; t) соответствующих нормированных агрегированных благ v, v формулой c(q, q ; t) = q/q • c(v, v'; t). Поэтому далее мы можем ограничиться рассмотрением коэффициентов обмена только нормированных агрегированных
благ вида v = (v1,..., vn), vi > 0, v +... + vn = 1.
2.Монетарные индексы меновой ценности экономических благ
Транзитивность матрицы обмена дает возможность использовать любое простое благо gk в качестве «денежного товара» (monetary good) gt = g“‘ary, позволяющего определить
«цену» (price) единицы ui блага gt в единицах ut денежного товара gmntary: Pricet (u;; t) = c(i,k; t)ut. Знание же «цен» Pricet(ut; t),...,Pricet (un; t) всех простых благ gj,..., gn позволяет найти все коэффициенты обмена c(i, j; t) по формуле c(i, j; t) = Pricet (u ; t)/Pricet (u; t).
Аналогично, транзитивность коэффициентов обмена составных благ дает возможность определить «цену» нормированного составного блага g, задаваемого вектором uv = v = (vt,...,vn), в единицах ut простого «денежного товара» gt = gm”mtary (в единицах u_, составного «денежного товара» gv, = g“‘ary, определяемого вектором v = (v1,..., vn)): Pricet (u_; t) = c(v, k; t) ut (Pricev,(uv; t) = c(v, v ; t) u_,). Знание же «цен» вида Pricet (uv; t), Pricev,(u_; t) любой пары (v, v *) нормированных агрегированных благ позволяет найти соответствующие коэффициенты обмена по формулам c(v, v *; t) = Pricet (u_; t) Pricet (uv #; t), c(v, v *; t) = Pricev, (u_; t)/ Pricev, (u_ #; t).
Таким образом, непосредственный, «бартерный» обмен простых и агрегированных экономических благ, задаваемый соответствующими коэффициентами обмена, можно представить как обмен этих благ, опосредованный использованием «денежного товара», роль которого может играть любое простое (составное) благо.
Введенные выше «цены» Pricet (и ; t) (Pricet (u_; t)) простых (составных)
экономических благ, выраженные в единицах ut выбранного денежного (монетарного) блага gt = g“‘ary, являются простейшими показателями (индексами, индикаторами) меновой ценности соответствующих экономических благ относительно монетарного (денежного) блага gt = g“‘ary, служащего счетной единицей (unit of account). Числовое значение c(i, k; t)
(c(v, k; t)) монетарного индекса Pricet (w ; t) = c(i, k; t) ut (Pricet (u_; t) = c(v, k; t) ut) назовем
простейшим индексом меновой ценности единицы и (ы_) простого (составного) экономического блага g¡ () и будем далее обозначать I (і / к; ї) = с(і, к; t)
(I (у / к; t) = с(у, к; t)).Очевидно, значение индекса I (і / к; t) (I (V / к; t)) зависит от выбора базового экономического блага gk, в единицах ы1 которого измеряется меновая ценность единицы и (п.) простого (составного) блага gi (gv). Вектор значений I (і; t) = (I (і/1; ї),..., I (і / п; ї)) (I (V; t) = ^(у/1; t),..., I(v / п; t))) простейшего монетарного
индекса I (і / к; ї) (I (V / к; ї)) можно рассматривать как многокритериальную оценку меновой ценности простого (составного) экономического блага gi (gv).
К сожалению, использовать многокритериальную оценку I (і; ї) (I (V; ї)) для анализа динамики меновой ценности блага gi (gv) затруднительно, поскольку для разных моментов времени ї1, ї2 многокритериальные оценки I(і;ї1), I(і;ї2) (I(V;ї1), I(V;ї2)) могут оказаться несравнимыми в том смысле, что найдутся такие простые блага gr, gя є G, что с(і,г;ї1) > с(і, г;ї2) (с^,г;ї1) > с^,г;ї2)), но с(і,я;ї1) < с(і,я;ї2) (c(v,я;ї1) < c(v,я;ї2)). Иными словами, может оказаться, что меновая ценность простого (составного) блага gi (gv) по отношению к меновой ценности простого блага gr уменьшилась за промежуток времени [ї1,ї2], а по отношению к меновой ценности простого блага gя - увеличилась.
Для преодоления указанной несравнимости разновременных многокритериальных оценок меновой ценности простого (составного) блага gi (gv) необходимо ввести сводный показатель (индекс) меновой ценности, представляющий собой некоторую скалярную функцию I(і;ї) = I(I(і;ї)) (I(V;ї) = I(I(V;ї))) от вектора I(і;ї) (I(V;ї)), монотонную по каждой компоненте I (і / к; ї) (I (V / к; ї)) этого вектора. В качестве синтезирующей функции I(I(і; ї)) (I(I(V; ї))), дающей сводные показатели меновой ценности простого (составного) блага gi (gv), мы выберем геометрическое среднее їу (і; ї) = [ I (і /1; ї) •... • I (і / п; ї )]1/п (їу(V;ї) = [I(V/1;ї)•... • I(V/п;ї)]1/п) величин I(і/1;ї),...,I(і/п;ї) (I(V/1;ї),...,I(V/п;ї)). Такой сводный мультипликативный монетарный индекс меновой ценности единицы и (ы_) простого (составного) блага gi (gv) (индекс Джевонса) обладает рядом формальных и практических достоинств (см., например, [1,2,3,11,12]). В частности, свойства индекса
Джевонса позволяют обоснованно судить о том, во сколько раз изменилась меновая ценность
6
единицы блага gi (gv) за период времени [t0, t], t0 < t, просто по величине отношения Ix(i;t)/Ix(i;t0) (Ix(v;t)/Ix (v;t0)), определяющего, тем самым, показатель
Ix (i; t /10) = Ix (i; t)/Ix (i, t0) (Ix (v; t /10) = Ix (v; t) /Ix (v, t0)) изменения сводного индекса меновой ценности Ix (i; t) (Ix (v; t)).
Наблюдаемая изменчивость во времени коэффициентов обмена c(i, j; t) (c(v, v ; t)) простых (составных) благ обуславливает и изменчивость меновой ценности этих благ, измеряемой индексами меновой ценности Ix(i; t) (Ix(v; t), t = 1,..., T. Наличие же такой временной изменчивости ценности всех экономических благ затрудняет выбор какого-либо простого (составного) блага gk = gmonetary (g_ = gmoneta>y) в качестве эталона ценности (standard of value), играющего роль единицы измерения (unit of account) ценности всех остальных благ. Действительно, как справедливо заметил еще А. Смит, «товар, ценность которого постоянно изменяется, никогда не может быть точной мерой ценности других товаров» [17, р.50].
Давно уже замечено, что изменчивость (волатильность - volatility) меновой ценности составного блага меньше, как правило, чем любого из простых благ, входящих в корзину, определяющую это составное благо [15]. Поэтому можно попытаться построить такое составное благо v = (v1,...,vn), которое обладает наименьшей изменчивостью на данном периоде времени [1, T], измеряемой, например, среднеквадратичным отклонением от единицы (Mean Quadratic Deviation from Unit - MQDU(v;T /1)) значений показателя Ix (v; t /10) = Ix (v; t)/Ix (v, t0) изменения сводного индекса меновой ценности I (v; t):
MQDU (v ;T /1) =
X(7x(v;t/1)-1)2
X
. t=1
Решив задачу минимизации среднеквадратичного отклонения MQDU (V ;Т /1), которая сводится к решению задачи квадратичного программирования с ограничениями в виде равенства v1 +... + vn = 1 и неравенств, у> 0, і = 1,..., п, получаем составное благо
—* / * * х ^
V = (^,..., V"), обладающее минимальным среднеквадратичным отклонением
MQDU(V';Т/1). Поскольку среднеквадратичное отклонение MQDU(V;Т/1) служит, как было сказано ранее, мерой волатильности (изменчивости) меновой ценности составного нормированного блага V = (^,...,V") на интервале времени, определяемом дискретными
моментами t = 1,...,T, постольку оптимальное составное благо v* = (v*,...,v*), обладающее в этом смысле минимальной изменчивостью, можно назвать стабильным агрегированным благом (Stable Aggregated Good - SAG). В случае, когда рассматриваемые простые экономические блага gj,...,gn представляют собой различные валюты, будет употребляться термин стабильная агрегированная валюта (Stable Aggregated Currency - SAC) [5,7,8,13].
Построенное таким образом стабильное агрегированное благо v' = (v*,...,v*) (SAG)
является естественным претендентом на роль эталона ценности g* = gvm*onetary, используемого в качестве единицы измерения ценности всех остальных благ.
3.Хеджирование валютного риска долгосрочных денежных обязательств
Проиллюстрируем потенциальную возможность использования стабильных экономических благ постоянной ценности для хеджирования меновых рисков на примере решения актуальной задачи компенсации валютного риска (currency risk), возникающего при исполнении денежных обязательств субъектов экономической деятельности. Дело в том, что оговариваемая при заключении договора, порождающего денежные обязательства сторон, «валюта платежа» (currency of payment) может к моменту исполнения обязательств в значительной мере изменить свою «ценность» (value), определяемую комплексом
коэффициентов обмена с другими валютами, учитываемыми контрактантами (contractors).
Одним из наиболее простых и давно применяемых методов хеджирования валютных рисков является выбор в качестве «валюты договора» (value of a contract) некоторой счетной единицы, наименее подверженной риску изменения своей ценности. В качестве счетных единиц, в которых измеряется цена контракта, используют валюты стран с устойчивой экономикой, «корзины» таких валют и/или других экономических благ, финансовоэкономические индексы и т.д. При этом валютой платежа остается, как правило, национальная валюта, играющая роль «законного платежного средства» (legal tender).
Правила согласованного использования счетных единиц и единиц валюты платежа в рамках одного контракта, порождающего денежные обязательства, обычно регулируются международными и национальными законодательствами при помощи так называемых «валютных оговорок» (currency clause). Например, статья 317 «Валюта денежных
обязательств» из раздела III Гражданского кодекса Российской Федерации гласит: «... В
денежном обязательстве может быть предусмотрено, что оно подлежит оплате в рублях в сумме, эквивалентной определенной сумме в иностранной валюте или в условных денежных единицах (экю, «специальных правах заимствования» и др.). В этом случае подлежащая уплате в рублях сумма определяется по официальному курсу соответствующей валюты или условных денежных единиц на день платежа, если иной курс или иная дата его определения не установлены законом или соглашением сторон». В частности, данная валютная оговорка позволяет определять подлежащую выплате сумму в рублях на основе рублевой стоимости оговоренной в контракте «корзины» валют на момент совершения платежа.
Несмотря на простоту и хорошее законодательное обеспечение, описанный способ хеджирования валютных рисков при помощи выбора более или менее стабильной счетной единицы не имеет достаточно широкого распространения при заключении долгосрочных контрактов. По всей видимости, это связано с тем, что контрактантам трудно найти счетную единицу, которая в достаточной мере сохраняла бы стабильность своей меновой ценности на достаточно длительных промежутках времени. Нам представляется, что во многих случаях такой счетной единицей практически постоянной меновой ценности может служить стабильное агрегированное благо (в частности, стабильная агрегированная валюта), описанное в предыдущем пункте.
Рассмотрим пример хеджирования менового (в данном случае - валютного) риска исполнения денежного обязательства, возникшего в результате контракта, «валютой платежа» которого служит российский рубль (RUR). В качестве «валюты договора» выберем оптимальную (минимально изменчивую) корзину Bv, = [v[ul,...,v*u4], состоящую четырех мировых валют (ui = EUR, u2 = GBP, u3 = JPY' = 100 JPY, u4 = USD). Оптимальные номинальные объемы v* = v(EUR) = 0.228, v* = v(GBP) = 0.190, v3* = v(JPY') = 0.274, v4 = v(USD) = 0.308 простых валют, входящих в корзину Bv,, определены по «обучающему периоду» времени [1, T], соответствующему датам от 1 января (t = 1) до 31 декабря (T = 365 ) 2010 г. Эти и все последующие вычисления проведены на основе ежедневных данных о коэффициентах обмена пяти рассматриваемых национальных валют за 2010-2011 гг., представленных на сайте www.fxtop.com.
В табл.1 приведены данные о статистических характеристиках значений Ir(XYZ) = Ir(XYZ;t/1), t = 1,...,T = 365, показателей изменения индексов меновой ценности
валют XYZ = EUR,GBP, JPY,USD,RUR, SAC: Mean - среднее значений показателя I (XYZ);
9
Min - минимальное значение; Max - максимальное значение; Range=Max-Min - размах; St.Dev.M. (Standard Deviation from Mean) - стандартное отклонение от среднего; C.Var.=StDev.M./Mean (Coefficient of Variation) - коэффициент вариации; St.Dev.U. (Standard Deviation from Unit) - стандартное отклонение от единицы.
Табл.1. Статистики значений показателей изменения индексов меновой ценности валют за «обучающий период» 01.01.2010-31.12.2010 г.
Statistics I* (EUR) I* (GBP) I* ( JPY ) I* (USD) I* ( RUR) I* ( SAC )
Mean 0.93893 0.97157 1.07569 1.02052 1.00683 0.99995
Min 0.89038 0.93850 0.99804 0.96917 0.94843 0.99943
Max 1.00717 1.00313 1.13546 1.07667 1.06869 1.00079
Range 0.11679 0.06463 0.13742 0.10750 0.12026 0.00136
St.Dev.M. 0.02850 0.01269 0.03658 0.02492 0.03182 0.00030
C.Var. 0.03036 0.01307 0.03400 0.02442 0.03160 0.00030
St.Dev.U. 0.06740 0.03113 0.08407 0.03228 0.03254 0.00030
Из последних четырех строчек табл.1 видно, что волатильность стабильной агрегированной валюты SAC, оцениваемая различными мерами разброса значений показателей изменения за «обучающий период» индексов меновой ценности валют, существенно меньше аналогичных мер волатильности всех пяти исследуемых простых валют.
Посмотрим, сохраниться ли это выявленное превосходство в стабильности
* / * * X 'ч
оптимальной составной валюты v = (v1V.., vj на протяжении годового «тестового периода» (01.01.2011-31.12.2011 г.), непосредственно следующего за «обучающим периодом» (01.01.2010-31.12.2010 г.). Подсчитаем статистические характеристики значений Ir(XYZ) = Ir(XYZ;t/1), t = 1,...,T = 365, показателей изменения индексов меновой ценности валют XYZ = EUR,GBP, JPY,USD,RUR,SAC за «тестовый период» (см. Табл.2).
Табл.2. Статистики значений показателей изменения индексов меновой ценности валют за «тестовый период» 01.01.2011-31.12.2011 г.
Statistics I* ( EUR) I* (GBP) I* ( JPY ) I* (USD) I* ( RUR) I* ( SAC )
Mean 1.01 768 1.00914 0.99741 0.97712 1.01719 1.00123
Min 0.96421 0.97651 0.93492 0.95082 0.92083 0.99018
Max 1.06628 1.03546 1.05087 1.01553 1.07389 1.01490
Range 0.10207 0.05895 0.11596 0.06470 0.15306 0.02473
St.Dev.M. 0.02361 0.01363 0.02930 0.01313 0.04318 0.00576
C.Var. 0.02320 0.01351 0.02937 0.01344 0.04245 0.00576
St.Dev.U. 0.02949 0.01641 0.02941 0.02638 0.04647 0.00589
Из последних четырех строчек табл.2 видно, что изменчивость стабильной агрегированной валюты SAC , оцениваемая различными мерами разброса значений показателей изменения за «тестовый период» индексов меновой ценности валют, хотя и сильно увеличилась по сравнению с обучающим периодом», но осталась существенно меньше аналогичных мер изменчивости всех пяти исследуемых национальных валют.
Отношения статистических характеристик волатильности показателей изменения меновой ценности рассматриваемых валют за два разных периода наглядно представлены в табл.3. Здесь приведены относительные значения R(XYZ) = R(XYX;SAC) четырех мер разброса для пяти простых валют EUR,GBP,JPY,USD,RUR и для стабильной составной валюты SAC , построенной по ежедневным значениям коэффициентов обмена для периода 01.01.2010-31.12.2010 и проверенной на протяжении периода 01.01.2011-31.12.2011. За единицу приняты величины мер разброса агрегированной валюты; слева от двойной наклонной черты указаны относительные значения мер разброса для «обучающего периода», а справа - для «тестового».
Таблица 3. Относительные значения мер разброса индексов меновой ценности валют для «обучающего» (2010 г.) и «тестового» (2011 г.) периодов
Statistics R( EUR) R(GBP) R( JPY) R(USD) R( RUR) R(SAC)
Range 85.9//36.0 47.5//20.8 101.0//40.9 79.0//22.8 88.4//54.0 1.0//1.0
St.Dev.M. 95.1//30.5 42.4//17.6 122.0//37.8 83.1//16.9 106.2//55.7 1.0//1.0
C.Var. 101.3//29.9 43.6//17.4 113.4//37.9 81.5//17.3 105.4//54.8 1.0//1.0
St.Dev.U. 221.9//37.5 102.5//20.9 276.8//37.4 106.3//33.6 107.2//59.1 1.0//1.0
Табл.3 показывает, что волатильность стабильной агрегированной валюты SAC на протяжении и «обучающего», и «тестового» периодов в десятки раз (!) меньше волатильности любой из пяти исследуемых простых валют. Таким образом, практически
--* S * * X
стабильная составная валюта v = (v1V.., vn), построенная по данным о ежедневных значениях коэффициентов обмена на «обучающем» годовом отрезке времени, могла бы использоваться в качестве «валюты договора», заключаемого на следующий годовой «тестовый» период.
В частности, о возможности хеджирования колебаний меновой ценности единицы RUR при помощи составной валюты SAC, имеющей практически постоянное значение показателя изменения значения индекса меновой ценности, свидетельствуют графики функций I (RUR; t/1), 7 (SAC; t /1), приведенные на рис.1.
Рис.1. Графики показателей 1х (XYZ; t/1), XYZ = RUR, SAC, изменения индексов меновой ценности хеджируемой простой валюты (RUR) и хеджирующей стабильной агрегированной валюты (SAC) на тестовом периоде времени [1, T] = [1,365] (01.01-31.12.2011 г.)
Пусть в момент времени t = 1, соответствующий дате 01.01.2011 г. заключается контракт, порождающий для контрактанта-плательщика рублевые денежные обязательства, которые он должен исполнить в момент времени t = T = 365, соответствующий дате 31.12.2011 г. В контракте оговаривается использование в качестве «валюты договора» составной валюты минимальной волатильности v = (v1V..,vn), определяемой корзиной Bv* = {0.228EUR;0.190GBP;0.274JPY';0,308USD}, построенной на основании ежедневных данных о коэффициентах обмена четырех валют (EUR,GBP,JPY,USD) за годовой «обучающий период» (2010 г.). Для удобства вычислений объем «валюты платежа», которой являются российские рубли, измеряется в единицах RUR' = 100RUR (в десятках рублей).
В предположении практической неизменности меновой ценности составной валюты
—* / * * х ^
v = (Vj,...,vn) алгоритм хеджирования валютного риска, связанного с колебанием курса российского рубля относительно валют EUR,GBP,JPY,USD, можно представить в виде
следующей последовательности шагов. В день t = 1 (01.01.2011 г.) заключения договора фиксируется величина c(RUR',SAC;1) = 0.263015, указывающая объем (измеряемый в единицах u* = V*) стабильной агрегированной валюты SAC, меновая ценность которого в
этот день эквивалентна меновой ценности десяти рублей (RUR'). В договоре фиксируется, что контрагент-плательщик должен заплатить в день t = T = 365 (31.12.2011)
c(RUR', SAC;1) • c(SAC,RUR';365) = c(RUR',SAC;1)/c(RUR',SAC;365) * 1.062196RUR'. Иными словами, если оговоренный номинальный объем контракта составлял х(1) RUR', то номинальный объем платежа в момент исполнения контракта составляет х(365)RUR', где х(365) = х(1)• c(RUR',SAC;1)• c(SAC,RUR';365) * х(1)• 1.062196RUR'. Например, если объем контракта составляет 10000000RUR, то при завершении этого контракта контрагент-плательщик должен перечислить контрагенту-получателю 10621960RUR.
Описанный алгоритм хеджирования можно представить в более общем виде при помощи хеджирующей функции (hedge-function, H-function) H (t), определяемой формулой
H(t) = c(XYZ, SAC;1) • c(SAC, XYZ; t) = c(XYZ, SAC;1) ,
c( XYZ, SAC; t)
где аргумент пробегает дискретные значения t = 1,...,T. В предположении практически постоянной (на любом отрезке времени [1, t], t е [1, T]) меновой ценности стабильной агрегированной валюты SAC, хеджирующая функция H(t) указывает, что меновая ценность единицы XYZ хеджируемой валюты в момент времени t = 1 эквивалентна в момент времени t е [1, T] меновой ценности объема H(t) XYZ этой валюты.
График хеджирующей функции H(t) = c(RUR', SAC;1) • c(SAC, RUR'; t) для тестового периода 01.01-31.12.2011 г. приведен на рис. 2.
1.10
Рис.2. График функции H(t) = c(RUR, SAC;1) • c(SAC,RUR ; t) , хеджирующей валютные риски изменения курса рубля (RUR ) относительной стабильной агрегированной валюты (SAC )
Значения функции H(t), хеджирующей риски изменения меновой ценности российского рубля относительно стабильной агрегированной валюты, приведены (для некоторых моментов времени t е [1,365]) в табл.4.
Табл.4. Значения хеджирующей функции H(t) и нормализованной хеджирующей функции NH(t) для тестового периода [1,365] (01.01-31.12.2011 г.)
t Date c( RUR', SAC; t) H (t) / (SAC; t /1) NH (t)
1 01.01.11 0.263015 1.000000 1.000000 1.000000
90 31.03.11 0.278042 0.945953 0.999333 0.946585
181 30.06.11 0.278958 0.942846 0.999865 0.942974
275 31.09.11 0.245582 1.070986 1.001338 1.069556
365 31.12.11 0.247614 1.062196 1.001694 1.060447
Если само составное благо SAC, используемое для хеджирования рисков изменения меновой ценности валюты XYZ, не обладает должным уровнем стабильности своей меновой ценности, то хедж-функцию H (t) можно модифицировать, дисконтируя ее на показатель Ix (SAC; t/1) изменения индекса меновой ценности I (SAC; t). Иными словами, можно
определить нормированную хедж-функцию (normalized hedge-function, NHfUnction) NH(t) формулой
NH(t) = c(XYZ, SAC;1) • c(SAC, XYZ; t)/1 (SAC; t /1) =-----c(XIH, SAC;1)------,
c(XYZ, SAC; t) • / (SAC; t/1)
где аргумент пробегает дискретные значения t = 1,...,T.
В рассматриваемом нами конкретном примере хеджирования рисков изменения меновой ценности рубля используемая составная валюта SAC имеет очень небольшой уровень волатильности на годичном тестовом периоде. Поэтому значения функции хеджирования H (t) практически совпадают со значениями нормированной функции хеджирования NH (t) (см. табл.4).
Заключение
Разрабатываемый в статье подход к хеджированию меновых (валютных, ценовых и т.д.) рисков разной природы лежит в русле общей тенденции современной экономической теории и практики, связанными с расширением использования счетных денежных единиц, индексированных относительной составных товарных и/или валютных «корзин» (см., например, многочисленные ссылки на соответствующую литературу в работах [13,15,16]).
Оптимально подобранная корзина экономических благ, позволяет, зачастую, в десятки (как это было показано в разобранном примере хеджирования валютных рисков), а то и в сотни раз снизить волатильность меновой ценности соответствующих агрегированных (составных) благ [5,7,8]. Поэтому предлагаемый метод построения оптимальных составных экономических благ, способных служить надежным «якорем» (anchor) для счетных денежных единиц, расширяет возможности их применения для описанного хеджирования различных рисков обмена, возникающих при исполнении обязательств по долгосрочным договорам.
Постоянный же мониторинг хеджирующих функций, использующих в качестве стандартов меновой ценности различные валютные, товарные и смешанные (валютнотоварные) «корзины», может использоваться и для создания более сложных финансовых инструментов хеджирования различных меновых рисков.
Список литературы
1.Ершов Э.Б. Ситуационная теория индексов цен и количеств. М.: РИОР, 2011.
2.Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа. М.: Финансы и статистика, 1990.
3.Колесников Г.И., Корников В.В., Хованов Н.В. Мультипликативные монетарные индексы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Том 14. Выпуск 6. С. 1049-1057.
4.Хитров Г.М., Хованов Н.В. Простая модель обмена: основные предположения и ближайшие следствия // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5. «Экономика». 1992. Выпуск 4. С. 101-106.
5.Хованов Н.В. Стабильные счетные единицы - основа информационного обеспечения финансово-экономической деятельности // Материалы 7-й Международной. конф. «Региональная информатика» Ч. 1. СПб., РАН, 2000. С. 95.
6.Хованов Н.В. Реляционные модели измерения ценности экономических благ // Вестник Санкт-Петербургского университета. 2002. Серия 5. Экономика. Выпуск 4. С. 149-160
7.Хованов Н.В. Измерение меновой ценности экономических благ в единицах стабильной агрегированной валюты // Финансы и бизнес. 2005. №2. С. 33-43.
8.Хованов Н.В. Феноменологическая теория стабильных метаденег // Финансы и бизнес. 2005. №4. С. 18-21.
9.Хованов Н.В. Общая модель измерения ценности экономических благ // Применение математики в экономике. Сборник статей. Выпуск 18. СПб.: ИПК «КОСТА», 2009. С. 108134.
10.Хованов Н.В., Колари Дж.В, Соколов М.В. Общая теория меновых рисков // Труды международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах».Санкт-Петербург, август 20-23, 2003. СПб.: РАН, 2003. P. 150-159.
11.Abdel-Magid M., Cheung J. Ratio scales, foreign exchange rates, and the problem of foreign currency translation // International Journal of Accounting. 1986. Vol. 22. No. 1. P. 33-49.
12.Brodsky D. Arithmetic versus geometric effective exchange rates // Weltwirtschaftliches Archiv. 1982. Band 118. P. 546-562.
13.Hovanov N.V., Kolari J.W., Sokolov M.V. Computing currency invariant indices with an application to minimum variance currency baskets // Journal of Economic Dynamics and Control. 2004. Vol. 28. P. 1481-1504.
14.Hovanov N.V., Kolary J.W., Sokolov M.V., Sutyrin S.F. Transnational corporations multicurrency assets denomination in units of an aggregated minimal risk currency // Proceedings of the International Scientific School “Modeling and Analysis of Safety and Risk in Complex Systems”. St. Petersburg, June 28 - July 1, 2005. SPb., RAS. P. 179-186.
15.Redhead K., Hughes S. Financial risk management. London: Gower Publishing Company. 1988. 16.Shiller R.J. Indexed Units of Account: Theory and Assessment of Historical Experience. Working Paper №28. Santiago de Chile: Central Bank of Chile, 1998.
17.Smith A. An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations. Oxford, Oxford University Press, 1976.
