CC BY
9
УДК 514.756
ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
DUALITY OF A HYPER-BAND DISTRIBUTION IN A PROJECTIVE METRIC SPACE
Е. Н. Смирнова E. N. Smirnova
ГОУ ВПО «Чувашская государственная сельскохозяйственная академия»,
г. Чебоксары
Аннотация. В работе доказано, что при задании регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов (m < n — 1) в проективно-метрическом пространстве Kn индуцируется проективно-метрическое пространство Kn, двойственное Kn относительно инволютив-ного преобразования его структурных форм.
Abstract. It is proved in the article that defining a regular hyper-band distribution of m-dimensional linear elements in the projective metric space Kn results in induction of a projective metric
space Kn which is dual to Kn in respect to an involutory transformation of its structural forms.
Ключевые слова: проективно-метрическое пространство, гиперполосное распределение, двойственность.
Keywords: projective metric space, hyper-band distribution, duality.
Актуальность исследуемой проблемы. Данное исследование является актуальным, так как двойственная геометрия гиперполосного распределения в проективно-метрическом пространстве оставалась практически неразработанной.
Материал и методика исследований. В исследовании используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [1], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [4].
Результаты исследований и их обсуждение.
Полученные результаты являются новыми и достоверными, они доложены на заседаниях научно-исследовательских семинаров и конференций различных рангов.
На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:
I,K,L = 0,n; I,K,L = 1,n; i,j,k,l,s,t = 1,m; u,v,w,x,z = m + 1,n — 1; a,p,y = m+1,n..
Оператор V действует по следующему закону:
V7 Tiu JTiU . rptu ^J . rpi^ u rpiu t rpin w V Tjv = dTjv + Tjv Wt + Tjv Ww — Ttv Wj — TjwWv .
Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп; деривационные формулы проективного репера R = {Aj } и структурные уравнения проективного пространства имеют соответственно вид [4, 143]:
A = ( AK, Dwf = ( a ( = 0. (1)
Проективно-метрическим пространством Кп называется проективное пространство Рп, в котором задана неподвижная гиперквадрика Q2n_1 (абсолют) [1, 339]. В случае A0 й Q2_1 уравнение абсолюта пространства Кп можно записать в виде [3]:
aIKxJxK +1 (gjох1 + сх° )2 = 0,a[IK] = °,goj = gjo goo = c = const * o (2)
причем условие его неподвижности определяется уравнениями
dajK _ aIL(LK _ alk(( =_- (a^g^ + aKLgI°) , dgK) _ gL°( _ c(° = aIL(; (3)
с
при этом справедливо
=_( =_- goM. (4)
с
В пространстве Кп рассмотрим регулярное гиперполосное распределение Н m-мерных линейных элементов, m < п _ 1 [2, Ю4]. Известно, что относительно репера R первого порядка подмногообразие Н определяется системой дифференциальных уравнений [2, Юб]:
( = (V = L^w = АЖ (V = N'V(0K. (5)
Продифференцировав соотношения (5), с помощью (1) получим, в частности, VAj = Ап(>, VA =А1(1, VA]n -Ajwj _А( _( =А(;
^Auu = AuuL^o , VAm _ Ат(п _ ( = AmL(o .
Каждая из систем функций {АА }, {AUVv } в силу регулярности распределения Н образует невырожденный тензор (вообще говоря, несимметричный):
п * = п k = j п wv = п w = v (7)
AikAn = АШАп = di ' AiiwAn = AwuAv =dii.
Дифференцируя (7), с использованием (6) получаем:
VAj = -ÁL-LlW ÑAUv = - AUw Aznv AWzWL.
Продолжая первое и четвертое уравнения из (6), с учетом (5) получаем:
VAjl+dj + LW)- (lLl+AjAA+AA W - A Ш + SlajjoI)=AlkW
VAjvL + dw (AwWu + Aiw^v )- dL (AjvAj^l + AwvAjL + AjwAjl Ww - Ajv(AjLWn + dJWn )= AjvL
(8)
(9)
K
def . def. .
Функция Ф = Л- A, где Л = ЛЛ Ф 0, А = \АкУ\ Ф 0 , есть относительный инвариант
первого порядка:
1 ¡иФ+(п+1)ж =ФкЮкк ,
(10)
где
2
Фк =ЛЛ;Л^К + А-Апк + - §ок . (11)
с
Продолжая уравнения (10), имеем
1ФК - (и +фжП + Лпк®: + 3% А"иаЖп) = ФкА . (12)
Возьмем новую систему из (и +1 )2 форм Пфаффа а>К :
,,0 I ФК §0К К тгп ,,п I ФК §0К I,К ,Л . л!к ли
Ю0 = Ж0 - I —-Т--Ж , Ж =Ж - I —-Т--Ж , Ю0=Ю0 +ЛкЛкаЩ ,
I и +1 с I I и +1 с I
т^у . ли тгп ли ^^к -гту лп луш^Л
И = Ю0 + Ау АшЖо ,Ю0 =w0, Ж = ЛкЖк Ж = -Лк1Ап Ж,
ЮП = -Л1акк, Ж0 = ю0, Ж = -ЛЖ0, Ж = - А™а>1, Ж = Ж +1 ЛЛ —— 3/ФГ ЖК
1 _ ^ К (13)
и +1 1
-гт0 лп ,лш —1 ли Лк ,лш —п лп ^^ш —и ,Ли . I л^ш ли 1 ЛК
ж = ашуюп , «v =-Ашуаж , ж =-Ашуж ,ж =ж +| аи Ашук--т~лЬиФк ж .
и+1 )
В силу соотношений (1), (3), (5)-(9), (12), (13) дифференциальные формы а>К являются структурными формами нового проективного пространства Рп , так как удовлетворяют уравнениям структуры проективного пространства, аналогичным (1):
_- _- _- _- (14)
ба-К =ж люК ж = 0 .
Формы аК служат формами инфинитезимального перемещения тангенциального
репера
X}:
VI "г ТК
где
1 1 Ш
Х = "+УФ^А0 А '"Ап~1 ], Х = иФ П1 [А0 А Апа]+1 -■АшАш+\ ■■■Ап-1 ],
1 п-\ \
Ху = П+\Ф ^ АПу Д А ■■■ашаш+\ ■■■Аи-\ АпАи+\ ■■■ап-\ ] , ХП = Пф1АпА ■■■ап-\ ] .
Согласно соотношениям (5), (13) справедливо
аи = ЛЖ, Ж = ЛЖ, ЮуП = АкЖа, Ж = КьЖ1.
(15)
(16)
Система уравнений (16) (аналогично системе (5)) в репере (15) определяет гиперполосное распределение Н с Рп, двойственное исходному распределению Н с Кп. Из соотношений (13) с использованием (4) находим
Щ =-1 ВоЩ, (17)
с
где
Вок =-+тФк , Вох = -ВоЛпЛх + ^Фх, (18)
п +1 п + 1
Воп =- ВоЛЛ - ВохАТК, .
п + 1
_ ____ — — 2 _
Функции ФК = Л-]п1ЛуК + АЩ" А"ЩК + — ВоК (см. (11)) с использованием соотношений
с
(13), (16), (18) имеют строение
Фк = — Во к , Фх =-ФкЛк1Л% + — Вох, Фп =-Фк^Л]п-ФхАГКп + — Воп. (19) с с с
В силу равенств (13), (16)-(19) преобразование У / Щ ® ЩК по закону (13) является инволютивным, то есть У ° У-.
Продолжая уравнение (17), с использованием (13), (17) находим
сШоь - ВоКщК - сЩ1 = аЬКЩоК >а[ш] = (2о)
Продолжая (2о), с использованием (14) приходим к уравнениям
^а1К - аЩ - а1КЩ1 = а1К1Що , а1[КЬ] = 1 а1[КВь]о . (21)
&К - аЩ - аЬКЩ1Ь = -1 (аиВКо + аКьВю )Що1.
С помощью соотношений (13), (17), (2о2), (21) получим следующее уравнение
(22)
Уравнения (2о^ и (22), вместе взятые, представляют собой условие неподвижности (сравни с (3)) тангенциального абсолюта ^п2_1 пространства Рп, уравнение которого относительно тангенциального репера (15) записывается в виде
акх1хК +1 Во X1 + сх0 )2 = о. (23)
с
В этом уравнении X1 представляют собой координаты гиперплоскостей X - образующих элементов абсолюта (23) - относительно тангенциального репера {х} (см. (15)):
Х = X1X; функции В1 о имеют строение (18), а функции а КК в силу (18), (2о) охватываются компонентами фундаментальных геометрических объектов третьего порядка исходного распределения Н в Кп.
Резюме. Доказаны следующие предложения:
Теорема 1. При задании регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов Н в проективно-метрическом пространстве Кп индуцируются:
1) в третьей дифференциальной окрестности проективно-метрическое пространство Кп, двойственное Кп относительно инволютивного преобразования структурных форм по закону (13); при этом уравнение абсолюта пространства Кп относительно тангенциального репера (15) имеет вид (23), где коэффициенты и а1К определяются соответственно во второй и третьей дифференциальных окрестностях элемента исходного распределения Н в Кп ;
2) во второй дифференциальной окрестности многообразие Н в Кп, двойственное исходному распределению Н, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (15) имеют вид (16), аналогичный уравнениям (5) распределения Н в Кп.
Теорема 2. Многообразие Н, двойственное исходному взаимному регулярному гиперполосному распределению т-мерных линейных элементов Н, также является взаимным.
Теорема 3. Семейство гиперплоскостей второго порядка (23), вообще говоря, не совпадает с семейством касательных к абсолюту 01п_1 (2) гиперплоскостей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
2. Столяров, А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 1994. - 290 с.
3. Столяров, А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : сб. науч. тр. - Калининград : Калининградский университет, 2001. - Вып. 32. - С. 94-101.
4. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.
