Инвариантные торы дифференциальных уравнений с запаздыванием в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №2

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

Академик АН Республики Таджикистан М.Илолов, А.А.Эльназаров ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1 .Введение

Проблемам существования, единственности и гладкости исследования инвариантных тороидальных многообразий систем дифференциальных уравнений в конечномерных пространствах посвящено много работ (см. [1-4] и ссылки на литературу в них). Инвариантные торы счетных систем дифференциальных уравнений рассматривались академиком А.М.Самойленко и его учениками [5-7]. Отдельно были исследованы вопросы существования и гладкости инвариантного тора счетной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием [8]. Условия существования, единственности и гладкости инвариантных торов дифференциальных уравнений с неограниченными дифференциальными коэффициентами в абстрактном пространстве были изучены в работе [9], в которой рассматривается возмущение неограниченного секториального оператора в банаховом пространстве, порождающего аналитическую полугруппу. В цитируемой работе в качестве основного инструмента исследования использован оператор-функция Г рина задачи об инвариантных торах.

Данная работа посвящена распостранению полученных в [9] результатов на случай системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в банаховом пространстве.

Основные обозначения и результаты. Пусть Е - банахово пространство с нормой II , -А - секториальный оператор в пространстве Е, порождающий аналитическую полугруппу {е~А‘}, t> 0.

Для линейного, вообще говоря, неограниченного оператора Ь введем обозначения: Б(Ь) - область определения оператора Ь; Я(Ь) - множество значений оператора Ь; о(Ь) - спектр оператора Ь. Пусть ()< а < \. Для секториального оператора А дробная степень А~а а Ь(Е) . При этом В(Аа) = К(А~а). Пусть Д =А + а1, где а выбирается таким

образом, что 1(еа(А]) > 0. Положим для каждого а> 0,Ха = 1)(А") и наделим пространство Ха нормой графика ||х||а =|д"|хе Ха. Обозначим через С(Тт,Е)пространство V

раз непрерывно дифференцируемых функций из тора Тт в банахово пространство Е, у которых производная порядка [у], у > 0, удовлетворяет условию Гельдера с показателем а = у-[у\ если V- нецелое. Норма Су{Тт,Е) определяется по формуле

11^11 ~|]тах||1?У || I ^Е>[',]^((Р)-в1у]8(¥)\\

(последний член отсутствует, если V - целое); CkUp{Tm,E) - пространство всех функций из

Су(Тт,Е), у которых к-я производная удовлетворяет условию Липщица.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

^- = а(<р), = (-А + P{<p))x{t) + B(jp)x(t -h) + f(jp), (1)

at at

где a{(p)(ECl{Tm),(p = {(pl,...,(pm)', A - секториальный оператор в пространтсве Е х <е D(A);P(<p),B((p),f((p) являются 2л периодическими относительно каждого (р.,

i = l,m отображениями, принадлежащими пространству Су(Тт,Е). х(-) е D(A) a D(P(<p)) = D(B((p)) = Е;0 < h = const < оо.

В случае, когда В(<р) = 0, получим:

= а(<Р), = (~А + Р(Р)Ж0 + /О) • (2)

at at

В работе [8] для этой системы исследованы проблемы существования, единственности и гладкости инвариантного тора.

2. Существование инвариантного тора

Под инвариантным тором системы (1) будем понимать множество

М = {(х,<р) : л = r(p) е С(Тт,Е),<р е TJ, (3)

удовлетворяющее следующему тождеству

dr((pM>)) = ^_А + Р(р (p)))r(0, (р)) + B(<pt((p))r(<pt_h(<p)) + f{(pt{(p)), (4)

at

где <pt (<р) - решение уравнения

^- = а(<р). (5)

at

Пусть

S = {{x,(p)\\\x\\<d,(p&Tm}.

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть система уравнений (1) такова, что выполняются условия:

I) функции a{<p),P{<p),f{(p) удовлетворяют условию Липщица;

II) для 0< а < 1 отображение Р{ср) <eCv{Tm,L{Ea ,Е));

2л 2л

') отображение f(<p)^Cy(Tm,E), причем J... J||f{(p)\d(p1...d(pm<x,;

III

IV) для каждого і > 0 существует функция 0 < к(1) < оо такая, что

1

шах |Р((£>)ехр ^||<А:(ґ), |А:(ґ)й?ґ < со ;

V) существует оператор-функция Грина задачи об инвариантных торах О0(т,<р), удовлетворяющая следующему неравенству:

||О0(г,<р)|<№-ад,

где N, S не зависят от ср;

VI) оператор - функция В{(р) удовлетворяет условию

VII) выполняется неравенство

11 11 2 N 11 11

Тогда существует инвариантный тор (3) системы уравнений (1).

Приведем идею доказательства данной теоремы. В области S рассматривается последовательность торов х = rk(<p),k = 0,1,2,..., каждый из которых является инвариантным тором системы уравнений

= (-А + P{cpt 0)))х(0 + B(<pt (jp))rk_x {<pt_h {<р)) + f(<pt О)). (6)

at

Отметим [8], что выполнение условий i)-iv) теоремы 1 гарантирует существование инвариантного тороидального многообразия /,(ср) системы (4) при г0(р) = 0,<р е Тт, которое можно представить в виде

г1(Ф)= "\G0(T,<p)f(<pT(<p))dT ,

причем

1И(И1-^

ПРИ ||/И#-

Далее доказывается, что данная последовательность торов равномерно сходится и предельная функция является инвариантным тором системы (1).

3. Свойства гладкости инвариантного тора Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Пусть

Тогда, если для произвольной функции / е.Сги (Тт,Е) оператор-функция Грина системы (2) удовлетворяет неравенству

11G0 (г, <p)f{<pt О) | |j < Ne~sw 11 /1 |j, t e R,

Hi = IHL it m ,<pt{(p)решение первого уравнения системы (2) при произвольном (р еГл; N и ó

II 111 II IICíip(ím,¿L)

положительные постоянные, не зависящие от ф, то инвариантный тор (3) принадлежит пространству С1{Тт,Е).

4. Пример

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

д(р

dt

-sin (р

dz d2z 2л

dt дх

+ J cos <p z (r -h)dr + sin<^

(7)

где функция должна удовлетворять начальным

г(х, 0) = 0, <р( 0) - 0

и граничным условиям

г(0,Г) - 0, г(1^) - О к > О характеризует запаздывание в системе.

Если определить оператор

d2v(x)

Av(x) = —

dx

0 < х < 1

где V-гладкая функция на [0,/] с v'(O) = 0, v(l) - 0, то А является секториальным оператором в пространстве L2(0,l) [9].

Систему (7) можно записать в виде

dcp

dt

dz

dt

= - sin (p

2 л

= -Az+ I cos (pz{r - h)dT + sin cp.

(8)

0

Инвариантный тор системы (8) определяется соотношением

r(<p) = \\mrk(<p),

где

0 / 2 71

rÁ9)^ \\E{x,^,T)[\cos(pT((p)rk((pT_h((p)) + ún(pT((p)\d^dT,(p

со О

EY £ \ 2^-1 -(ЖпП)гт ■ ЛП ■ ЛП г

Е(х,с,т) = — > е у ’ sin—jcsin — с /tí / /

О I

, г) sin (рт (<p)d^dT, <р є Tv

со О

Президиум АН Республики Таджикистан,

Таджикский государственный национальный университет

Поступило 05.04.2006 г.

U

ЛИТЕРАТУРА

1. Самойленко А.М. Элементы математической теории колебаний. М.: Наука, 1987, 302 с.

2. Самойленко А.М.,Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. Киев: Вища школа, 1987, 287 с.

3. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М.,Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами. Киев: Наукова думка, 1984, 213 с.

4. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М.,Кулик В.Л. Исследования дихотомии линейных систем дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1990, 270 с.

5. Самойленко А.М.,Теплинский Ю.В. Счетные системы дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1991, 287 с.

6. Эльназаров А.А. - Укр. мат. журн., 1997, т.49, № 12, с.1717-1722.

7. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Лекции о теории колебаний систем с запаздыванием. Киев: Институт математики АН УССР, 1967, 309 с.

8. Илолов М.,Эльназаров А.А. - Вестник Хорогского университета, серия 1,1999, №1, с.30-35.

9. Самойленко A.M., Илолов М. - Укр. мат. журн., 1992, т.44, №1, с.93-100.

М.Илолов, А.А.Эльназаров ТОР^ОИ ИНВАРИАНТИИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ БО ЦАФОМОНЙ ДАР ФАЗОИ БАНАХ

Масъалаи мавчудият ва суфтагарии тори инвариантии як системаи абстрактии муодилах,ои дифференсиалй бо кафомонй дар фазои Банах тадкик шудааст. Натичах,о дар мисоли мушаххас нишон дода шудаанд.

M.Ilolov, А.А.Elnazarov INVARIANT TORUS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH LAG IN BANACH SPACE

The problem of existence and smoothness of an abstract differential equations with lag in Banach space was studied. The results are shown in a concrete example.