CC BY
26
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2006, том 49, №10-12______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.2/3
А.А.Эльназаров
ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ ТРАЕКТОРИЙ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Илоловым 28.11.2006 г.)
Хаотические системы можно рассматривать как подобласть более общих нелинейных колебательных систем. Они могут быть описаны нелинейными дифференциальными или разностными уравнениями с "плавающей" частотой и амплитудой. До середины прошлого столетия считалось, что кроме предельных циклов более не существует других траекторий, описывающих колебательные свойства линейных и нелинейных детерминистических динамических систем. Однако очень скоро ученые обнаружили, что данное представление не соответствует реальности даже в трехмерном фазовом пространстве. Огромный интерес вызвала работа ученого-метеоролога Е.Лоренца [1], который изучал турбулентную динамику в атмосфере и показал, что эту динамику можно исследовать при помощи нелинейной модели, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, впоследствии называемой системой Лоренца
(х = а(у- х),
У = гх - у - ху,
2 = Ьг + ху.
Поведение решения данной системы при некоторых значениях параметров сг,г,Ь похоже на нерегулярные колебания. После работы Д.Рюэля и Ф.Такенса [2], которые впервые ввели в литературу "странные аттракторы", внимание многих физиков, математиков и инженеров было привлечено к исследованию таких систем. Понятие "хаоса" было введено в работе Т.Ли и Дж.Йорке [3]. В бывшем Советском Союзе в 60-70-е годы прошлого столетия исследованием таких сложных траекторий занимались А.Н.Колмогоров, Н.Н.Боголюбов,
В.И.Арнольд, Я.Синай, А.М.Самойленко, В.Мельников, Ю.Неймарк, Л.Шильников и А.Шарковский. В дальнейшем хаотическое поведение было выявлено во многих системах в механике, физике, химии, биологии и т.д.
В настоящее время не существует единого определения понятия хаоса. Существуют различные подходы к этой дефиниции: "разновидность порядка в отсутствие периодичности", "очевидно случайное реккурентное поведение в простой детерминированной системе", "неустойчивое апериодическое поведение в детерминированных нелинейных динамических системах" и т.д.
Отличительной чертой хаотических систем является присутствие экстремальной чувствительности к возмущениям. Это означает, что малое возмущение начальных данных может привести к полностью раздельным и кажущимися несвязанными фазовым траекториям. Считалось, что это свойство делает хаотические системы трудными для прогноза и безнадежными для управления. Если до 1990 г. объектом анализа ученых, работающих на стыке двух или нескольких направлений науки [4], было исследование и идентификация хаоса в различных областях науки, естествознания и техники, то впоследствии внимание было смещено в сторону проблем управления хаосом. Ученые осознали, что большая чувствительность хаоса представляет уникальную возможность неприсущей нехаотической динамике: произвольно малое возмущение может привести к радикально разным результатам, часто с мгновенными изменениями. Малая окрестность любой точки в хаотичной области фазового пространства содержит точки траекторий, которые могут произвольно близко посещать все другие области хаотического фазового пространства. Основная проблема теории управления состояла в том: как и каким образом уменьшить хаос или, наоборот, увеличить его в зависимости от цели задачи. Огромную роль в данной теории сыграла статья Е.Отт, С.Гребори и Дж.Йорке [5], опубликованная в 1990 г. Основная идея предложенного метода, известного как метод OGY, заключается в использовании рекуррентного свойства хаотических движений и управляющего действия только в те моменты времени, когда движение возвращается в окрестность желаемого положения равновесия или периодической орбиты. Хотя из леммы о замыкании Ч.Пью [6] известно, что любое рекуррентное движение (частным случаем которого является хаотическое движение) гладкой системы
Л
можно превратить в периодическое малым изменением правой части системы, Е.Отт,
С.Гребори и Дж.Йорке впервые применили данное свойство для управления хаотическими траекториями. Это открыло новые перспективы в естествознании и технологии. В дальнейшем были предложены другие расширения и модификации данного метода, которые нашли успешные применения в задачах управления для лазеров, химических реакций, механических, электронных и биологических систем [7]. Отличительной чертой данных методов является то, что управление происходит при помощи "нацеливания" отдельных траекторий. Однако в случае, когда необходимо одновременно управлять огромным числом траекторий, подобные методы становятся безнадежными. Это происходит во многих физических экспериментах, таких как турбулентные потоки [8], ионизация микроволновых полей [9] или в процессе синтеза в магнетических установках [10]. Недавно был предложен новый метод для уменьшения хаоса в таких экспериментах, который был назван локальным методом управления хаотическими системами [11]. Суть данного метода заключается в построении барьера
вокруг хаотических траекторий системы таким образом, чтобы держать их в "узде". Основываясь на этой идее, в работе [12] поставлена задача управления хаотическим поведением траекторий общих систем дифференциальных уравнений и приведены решения для более конкретных систем. Приведем данную постановку задачи управления.
Пусть автономная система
~т = хЛ*) 0)
т
имеет инвариантное тороидальное многообразие вида
х = ЯФ), (2)
где /(#>)=(/1 •••> /и(Ф) )' функция переменного (р = , имеющая непрерывные
частные производные по всем переменным (р1 до порядка г включительно и периодичная по каждой из переменных (р1, / = 1, т с периодом 2 л. Рассмотрим возмущенную систему
с1х
— = Х0(х) + вХ1(х), (3)
т
где функция X (х) удовлетворяет некоторым определенным условиям, при которых инвариантное тороидальное многообразие (2) невозмущенной системы (1) при достаточно малых £ сохраняется. Рассмотрим следующие предположения относительно системы (3).
I. Существует некоторое критическое значение параметра О, при котором ин-
вариантные торы возмущенной системы (3) разрушаются.
II. Данное критическое значение удовлетворяет неравенству «1.
Задача состоит в нахождении некоторых необходимых условий на "управляющий вектор" и(х, £ ), так чтобы для системы
с1х
— = Х0 (х) + еХх (х) + и(х, е )
&
при значениях близких к критическому ес существовало инвариантное тороидальное многообразие
х = К<Р,е),
где £ е (ес, £с + 3) , и 8 является достаточно малым положительным числом.
В этой работе мы рассматриваем случай, когда система (3) имеет квазипериодическое решение х = х(7, х0) . По определению имеем
х = /(Л? + ^о)
для 2л--периодичной по каждой из переменных = функции / = (/[,•••,/„) гладкости г и некоторого базиса Л = (Л}Лт). Предположим, что т истинный размер частотного базиса. Замыканием данной траектории является множество 5 , заполненное квазипериоди-ческими траекториями динамической системы (1) и гомеоморфное да-мерному тору Гт. При выполнении определенных условий (см.[13]) окрестность множества 5 представляется в виде произведения Тт х Кгде К3 является п-ш мерным кубом со стороной Ь, и вместо
евклидовых координат х = (х1,...,хп) введены координаты (р на Тт и к в К8 . После данного преобразования вместо системы (1) получим
—- = Л + а(<р, И)И,
— = Р{ср,И)к, сіі
а система (3) будет иметь следующий вид
сіср
— = Л + а(ср, И)к + (ср, К), сії
— = Р(<р,К)И + є12(<р,К),
СІІ
(4)
где функции а,Р,Ь1,Ь2 являются г-1 раз непрерывно дифференцируемыми функциями своих переменных в области
М = {4р,к^(р&Тт,}1&К8}. (5)
Допустим, что выполняются предположения I и II относительно системы (4), т.е. при некотором значении параметра £ система (4) более не имеет инвариантного тора. Прибавим к правой части системы (4) управляющий вектор в виде ш = (ш1,ш2).
Тогда (4) принимает вид:
й(р
= Л + а(<р, И)к + ((р, К) + ш1 (ср, К),
сії
сік
— = Р((р, И)к + єЬ2 (<;V, Ь) + ш2 {(р, к), сіі
(6)
Задача теперь состоит в нахождении условий на вектор-функцию ш = так чтобы у
системы (6) существовал инвариантный тор. Введем обозначение
Р0(<р) = Р(<р, 0).
Предположим, что уравнение
%- = Р,(Л1 + <р) А (7)
at
имеет фундаментальную матрицу Q* (<р) , удовлетворяющую неравенству
\\аЫ<р)\\£Ке-> (8)
для всех I £ [0, ос'), <р е 'Гт и некоторых положительных ПОСТОЯННЫХ К И У .
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пусть система уравнений (6) удовлетворяет условиям:
1) выполняются предположения I и II;
2) функции а,Р,ux,u2,Lx,L2 еСг(М);
3) фундаментальная матрица Q!{] (ср) уравнения (7) удовлетворяет неравенству (8);
3) для достаточно малого положительного постоянного v выполняется неравенство
шах(|| их{ср,h) + Ьх{ср,К) 11,11 и2h) + Ь2{ср,ti)\\<v
в области (5).
Тогда система уравнений (6) имеет инвариантный тор
h = h(cp, s),cp&Tm
при значениях е <е(£с,£с + 8), где 8 - некоторая малая положительная постоянная.
Таджикский государственный Поступило 7.10.2006
национальный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Lorenz, E.N. - Journal of the Atmospheric Sciences. - 1963. vol.20, pp. 130-141.
2. Ruelle D., Takens F. - Comm. Math. Physics. - 1971, vol.20 (2), pp.167-192.
3. Li T., Yorke J.A. - Amer.Math.Monthly. -1975, vol.82, pp.985-992.
4. Stephen W. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer, second edition.
-2003, 808 p.
5. Ott E., Grebogi C. and Yorke J.A. - Phys.Rev.Lett. - 1990, vol. 64, p.1196
6. Pugh C.C. -Amer.J.Math. - 1967, vol.89, pp.956-1009
7. Fradkov A.L., Pogromsky A.Yu. Introduction to control of oscillation and chaos. World Scientific -
1998, 391с.
8. Chandre C., Ciraolo G., Doveil F., Lima R., Macor A. and Vittot M. - Phys.Rev.Lett, 2005, 94, p.074101
9. Huang S., Chandre C., User T. - Phys.Rev. - 2006, A74, 053408
10. Chandre C., Vittot M., Ciraolo G., Chendrih P., Lima R.-Nuclear Fusion, -2006, 46,pp.33-45
11. Doveil F., Auhmani Kh., Macor A. and Guyomarc'h D. - Phys.Plasmas, 2005, 12, 010702.
12. Илолов М.,Эльназаров А. - ДАН РТ, 2005, т.48, с. 6-12.
13. Самойленко А.М., Исследование динамической системы в окрестности квазипериодической траектории.- Киев, 1990, 43с.-Препр./АН УССР. Ин-т математики; 90.35.
А.А.Эльназаров
ПРОБЛЕМАИ ИДОРАКУНИИ СИСТЕМА^ОЕ, КИ ДОРОИ РАВИШИ ХАОТИКЙ ХДСТАНД
Дар мак;ола проблемаи идоракунии системахое, ки дорои траекториями хаотики хдстанд, тадкик шудааст. Барои оилаи умумии системаи муодилах,ои дифференсиалй проблемаи идоракунй, ки дорои ахдмияти амалй дар бисьёр масъалах,ои физикаву техника дорад, дида баромадем. Барои як х,олати мушаххас х,алли ин масъала оварда шу-дааст.
А.А.Elnazarov
PROBLEM OF CONTROL FOR SYSTEMS WITH CHAOTIC BEHAVIOR
In this article we are discussing a problem of control for systems with chaotic behavior of trajectories and consider a control problem for a wide family of systems of differential equations. Solution of a concrete system of differential equations is proposed.
