Инвариантные аффинные связности на алгебре обобщенных дуальных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Инвариантные аффинные связности на алгебре обобщенных дуальных чисел

© М. С. Ильина

Ключевые слова: алгебры, дуальные числа, аффинные связности

Построена коммутативная алгебра размерности n над полем вещественных чисел, обобщающая алгебру дуальных чисел (последняя получается при n = 2). Определяется группа движений G этой алгебры. Найдены аффинные связности, инвариантные относительно G. Найдены геодезические.

We define a commutative algebra of dimension n over the field of real numbers, it is a generalization of the algebra of dual numbers (the latter corresponds to n = 2). We define a group G of motions, determine affine connections invariant with respect to G and find geodesic lines.

В настоящей работе мы строим коммутативную ассоциативную алгебру Лп размерности п над полем вещественных чисел, обобщающую алгебру дуальных чисел (последняя есть Л2). Группу "движений” алгебры Лп мы определяем как группу О линейных операторов в Лп, порожденную группой Кп параллельных переносов и группой V "вращений т. е. умножений на егу. Мы находим все аффинные связности в Лп, инвариантные относительно О. Для п = 2 такие связности были найдены в [1]. Мы находим геодезические, отвечающие инвариантным аффинным связностям в Лп. Оказывается, что каждая геодезическая лежит в двумерной плоскости.

§ 1. Алгебра обобщенных дуальных чисел

Напомним [4], что дуальными числами называются символы г = х + гу, х,у Є К, действия над ними производятся как над многочленами от буквы г, причем считается, что г2 = 0. В частности, два числа г = х + гу, ш = и + гу перемножаются по формуле

гш = (х + гу)(и + гу) = хи + г(ху + уи). (1.1)

Эти числа образуют алгебру Л2 над К размерности 2. Она ассоциативна и коммутативна. Дуальные числа можно реализовать как вещественные матрицы второго порядка:

х0 ух

Рассмотрим следующее обобщение алгебры дуальных чисел. Запишем вектор г Є Кп в виде г = (х,у2,... ,уп), где х Є К, у = (у2,... ,уп) Є Кп_1, и затем запишем этот вектор в виде г = х + гу. Зададим умножение векторов г = х + гу, ш = и + гу из Кп формулой, по виду точно такой же, что и (1.1):

гш = (х + гу)(и + гу) = хи + г(ху + иу).

Мы получаем ассоциативную и коммутативную алгебру над К размерности п. Обозначим ее Лп. Ее можно реализовать как алгебру вещественных матриц порядка п:

х0 у хЕ

записанных в блочном виде соответственно разбиению п = 1 + (п — 1) числа п, здесь у - вектор-столбец из Кп_1, х - число, Е - единичная матрица порядка п — 1.

Определим функцию ех стандартным рядом ех = ^2(гт/т!), получаем

е* = ех+гу = ех(1 + гу),

в частности,

егу = 1 + гу.

Группу "движений" алгебры Лп определим как группу О линейных операторов в Лп, порожденную группой Кп параллельных переносов и группой V "вращений т. е. умножений на егу. Такое умножение есть линейный оператор с матрицей

1 0

уЕ

§ 2. Аффинные связности

Приведем некоторые сведения об аффинных связностях [2], [3]. Аффинная связность на многообразии М - это соответствие V , которое каждому векторному полю X сопоставляет линейное отображение Vх пространства векторных полей в себя, удовлетворяющее следующим двум условиям:

V ¡X+дУ = I 'V X + gVY

V х (¡У) = (XI )У + I 'V х У

для ¡,д е СГХ(М) . Оператор Vх называется ковариантной производной относительно X.

Определим функции Г? = Г?(ж) (символы Кристоффеля) формулой

(д.)=е г?.

\ и / ^

Символы Кристоффеля образуют n матриц

V. = (г‘). і

і = 1.... .n

(2.1)

(к - номер строки, і - номер столбца).

Пусть Ф - диффеоморфизм многообразия М. Аффинная связность V называется инвариантной относительно Ф, если

Аффинная связность V называется инвариантной относительно группы преобразований многообразия M, если она инвариантна относительно каждого преобразования из этой группы.

Теорема 2.1 Для аффинной связности на пространстве R™, инвариантной относительно группы всех параллельных переносов, символы Кристоффеля постоянны: rj = const.

Доказательство. Для параллельного переноса x ^ y = x + а матрица Якоби есть единичная матрица. Тогда из (2.4) получаем Гт(х + а) = Гт(x). □

Пусть x(t) - кривая на многообразии M, X(t) - касательный вектор к ней (точка обозначает производную по t). Кривая x(t) называется геодезической, если Vхx = 0. В локальных координатах геодезическая задается уравнением

dФ(Vx Y ) = VdФ(x )ЛФ(У).

(2.2)

Пусть Х\,... ,хп - локальные координаты в М. Тогда д/дхг, г = 1,... ,п, -базис в касательном пространстве. Условие инвариантности (2.2) равносильно системе ( ( )) ( )

Пусть Ф в локальных координатах задается функциями уг = уг(х1,... ,хп). Тогда условие инвариантности (2.3) имеет вид

или, после приравнивания коэффициентов при производных,

(2.5)

§ 3. Инвариантные аффинные связности на алгебре Лп

В этом параграфе мы находим все аффинные связности на алгебре Лп, инвариантные относительно группы О, см. § 1, и находим геодезические.

Пусть V - аффинная связность на алгебре Лп, инвариантная относительно группы О. По теореме 2.1 ее символы Кристоффеля Гк. постоянны. Для этих чисел по (2.4) получаем уравнения

дУк ду3 ^ ду„

ту1 = У>р . (3.1)

^ дхі дх. ^ 3 дхр

к,в и т,р у

Для удобства формулировок и вычислений вернемся от обозначений элементов алгебры Лп в § 1 к стандартным обозначениям векторов из Мп: х = (хі, ... , хп). Возьмем стандартный базис в Мп: ек = (0,... , 0,1, 0,..., 0), единица стоит на к-м месте.

Теорема 3.1 Аффинная связность V на алгебре Лп, инвариантная относительно группы О, зависит от п2 — п+1 параметров, соответствующие матрицы (2.1) имеют вид

^ = ( “ 0 ) , (3-2)

Vp = ( 0 0 ) , к = 2,... ,п, (3.3)

\авр — Ср 0 у

де а - число из М, Ь - вектор-столбец из Еп_1, ер -элемент стандартного

базиса в Еп_1: ер = (0,..., 0,1, 0,..., 0), единица стоит на р-ом месте, с -

вещественная (и — 1) х (п — 1)-матрица:

С22 ... С2п

Сп2 ... Спп

Ср - ее столбец с номером р = 2,... ,п.

Доказательство. Нам нужно использовать инвариантность связности V относительно группы "вращений" - умножений на еіи, V Є Мп_1. Возьмем в качестве V вектор Ьер, Ь Є М, р = 2,... ,п. Тогда это вращение есть линейный оператор х ^ у в Мп с матрицей

( 1 0

Ьер Е

она же есть матрица Якоби, так что (8. - символ Кронекера):

дук

дхі

Система уравнений (3.1) превращается в следующую

"У^у rfc^ (Sik + t Ôii Ôkp) (Ssj + t Ôgp Ôj\) 'У г. {Ômr + t Sri $mp) ■

k,s

Приравнивая коэффициенты при Ь и Ь2, получаем две системы уравнений:

0,

-рш pp

т^ш г I т^ш г

Г ip Sji + Г pj Sii

г1.

ij

.3.4)

3.5)

Сиситема (3.5) дает 4 системы соответственно 4 случаям: а) г = 1, 3 = 1; б)

* =1 3 = 1; в) г = 1> з = 1;г) г = 1 з = 1:

г1.

ij

гш

1 pj гш 1 ip

шш г ip + г pi

0 * = 1,j = 1;

1 * = 1 j = 1;

* = 1,j = 1; i,j = 1.

г. , *

г11,*

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

Равенство (3.6) означает, что в матрицах У2,... , Vп элементы первой строки, начиная со второго, равны нулю. В равенстве (3.7) при т =1 имеем Гр- = Г—, но по (3.6) левая часть здесь равна 0, так что Г— = 0. Следовательно, во-первых, (3.6) верно при всех г (не только при г =1):

г. = 0, j = 1,

ij

(3.10)

так что во всех матрицах VI, V2,..., Vn элементы первой строки, начиная со второго, равны нулю. Поэтому матрица VI имеет вид (3.2). Кроме того, (3.10) дает, в силу (3.7), что

Гт = 0 Р = 1,3 = 1

это включает в себя (3.4) и означает, что в матрицах V2,..., Vn все столбцы, начиная со второго, равны нулю. Поэтому равенство (3.8) дает Г^ = 0 для г = 1, т. е. в матрицах V2, . . . , Vn первый элемент в первой строке равен нулю и потому в матрицах V2, . . . , Vn вся первая строка равна нулю. Наконец, равенство (3.9) означает, что элемент в матрице Vp в первом столбце в т-ой строке равен а — стр. Итак, матрицы VI, V2,... , Vn имеют вид, указанный в (3.2) и (3.3). □

Приведем матрицы Vi для n =2 и n = 3;

IA с).v,.

о о A-C 0

A 0 0

V1 = ( B D F

C E G

V2

0 0 0

A - D 0 0

-E 0 0

Va

0 0 0 -F 0 0 A - G 0 0

Вернемся к обозначениям § 1: элемент из алгебры Лп есть г = х + гу. Напишем систему уравнений (2.5) для геодезических в алгебре Лп с аффинной связностью, указанной в теореме 3.1:

X + аХ2 = 0, (3.11)

ук + аХук + ЬкX2 = 0, к = 2,... ,п. (3.12)

Мы видим, что эта система содержит только элементы первого столбца матрицы

VI. Исключим параметр Ь из этой системы, в качестве параметра возьмем х. Обозначим дифференцирование по х штрихом, из (3.11), (3.12) получим

ук = х ■ ук,

ук = х ■ ук + х2 ■ Ук = х2{—аУк + Ук).

Подставляя это в (3.12), получим ук + Ьк = 0, откуда

Ьк

ук = — -кх2 + Хкх + Цк, к = 2,... ,п, (3.13)

где Хк и ¡1к - произвольные постоянные.

Всякая геодезическая лежит в двумерной плоскости. В самом деле, исключая х2 из каждой пары равенств (3.13), мы получим п — 2 линейно независимых уравнения, которые и дают эту плоскость.

Литература

1. В. Ф. Молчанов, Н. А. Малашонок. Некоторые геометрические и физические задачи для плоскости дуального переменного. Державинские чтения V, Матер. научн. конф., февр. 2000, Тамбов, 2000, 5-7.

2. П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии, М.: Гостехиздат, 1956.

3. С. Хелгасон. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, М.: Мир, 1964.

4. И. М. Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия, М.: Наука, 1969.