Интерполяционные и комбинаторные свойства некоторых классов степенных пространств Кёте Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.254, 517.982.276

DOI 10.18522/0321-3005-2016-3-25-30

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ И КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СТЕПЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ КЁТЕ

© 2016 г. М.А. Шубарин

Шубарин Михаил Александрович - кандидат физико-мате- Shubarin Mikhail Aleksandrovich - Candidate of Physical матических наук, доцент, факультет математики, механики and Mathematical Science, Associate Professor, Faculty of и компьютерных наук, Институт математики, механики и Mathematics, Mechanics and Computer Science, Vorovich компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090. of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia.

Изучаются интерполяционные (внутренние и внешние) и комбинаторные свойства степенных пространств Кёте первого рода и степенных пространств Кёте почти первого рода. Интерполяционные свойства формулируются в терминах интерполяции относительно подходящей категории интерполяционных пар, комбинаторные - в терминах совокупностей координатных подпространств рассматриваемых пространств Кёте.

Ключевые слова: пространства Кёте, степенные пространства Кёте, интерполяционные классы.

Interpolational (inner and outer) and combinatorial properties of Kothe power spaces are studied in this paper. This interpolational properties are expressed in terms of interpolation related to appropriate category of interpolation pairs, and combinatorial properties are expressed in terms of collection of coordinate subspaces of investigated Kothe spaces.

Keywords: Kothe spaces, power Kothe spaces, interpolation classes.

1. Бесконечную матрицу А = (арп )™,п= называют матрицей Кёте, если для произвольного р найдутся числа д , С такие, что 0 < арп < Садп для произвольного п. Пространством Кёте (определяемым матрицей Кёте А = (ар п =) называют векторное пространство

К (А) = |х = (Хп )П=1: Ур

■ 2 (|хПрр,п)

П=1

) < +<х| .

Набор норм

) задаёт в этом пространстве

топологию пространства Фреше (т.е. полного мет-ризуемого локально выпуклого пространства). Последовательность ортов е = (еп), еп := (8^п )+=1 образует абсолютный (канонический) базис в каждом пространстве Кёте.

Пусть и с N (всюду в статье предполагается,

что N - множество натуральных чисел; NN -множество числовых последовательностей, принимающих значения во множестве натуральных чисел). Замыкание в топологии пространства X = К(А) линейной оболочки, натянутой на подпоследовательность (еп )пеи канонического базиса, называют базисным подпространством (определяемым последовательностью и) и обозначают

через Хи = К (А; и). Свойства пространства Кёте, которые можно сформулировать в терминах совокупности всех его базисных подпространств, будем называть комбинаторными. В предлагаемой статье изучается связь между интерполяционными и комбинаторными свойствами конкретных типов пространств Кёте - степенных пространств Кёте (СПК) первого рода.

А

Проективное тензорное произведение К (А) ® К (В) канонически изоморфно пространству Кёте К(С),

где ср,к := ар,п{к)¿р,т(к) и (1п(к\т(к))- некоторая перенумерация множества натуральных чисел.

2. Пусть матрица Кёте А = (арп) допускает 1рп = ехр(Ир(п)ап) , в котором п ; УрЗдЗС > 0 :Уп С- < < Ич (п) - Ир (п) < С; ехр(0 = ег.

Если а = (ап) и И = (Ир (п)), то пространство Фи (а):= К (А) - СПК. Пространства этого типа были введены Т.Б. Шагиняном [1] (общие свойства СПК изучались также в [2, 3]). Базисные подпространства в Фи (а) будем обозначать через Фи (а; и).

представление an ^ при

Пример 1. Если Ар (п) = 5р , где (5 р) - числовая последовательность такая, что 5р Т 5 е (-да,+да] при

р Т +да, то СПК Е5 (а) := Фа (а) называют СПК конечного типа (если 5 < +да) и СПК бесконечного типа (если 5 = +да). Известно, что пространство Е5 (а) не зависит от выбора последовательности (5р). Обзор свойств СПК конечного и бесконечного типов содержится в [4-6]. Базисные подпространства в Е5 (а) будем обозначать через Е5 (а; и).

Условия, выделяющие СПК конечного и бесконечного типов среди всех СПК, формулируются в терминах инвариантных классов (Dj), ] = 1,2.

Пространство Фреше X (топология в котором определяется набором норм (|| -|| )) принадлежит

классу пространств (Dj), j = 1,2, если выполняется условие (1), если j = 1, или (2), если j = 2 :

Зр0УрЗр1ЗС : Ух е х IIхр < с||х||ро Ир1, (1)

УроЗрУЛЗС : х'е X' (||х|'р)2 < С||хЦ'ро . (2)

Здесь И := ®ир{| X (х) |: х е X,||х||^ < 1} .

Семейства ф1) и ф2) были введены соответственно в работах Д. Фогта [7] и Д. Фогта, М.-Й. Вагнера [8]. Следует обратить внимание на то, что в упомянутых работах использовались другие обозначения: (Д) = ^Щ) и (D2) = (О). Но в

контексте статьи удобнее использовать обозначения, предложенные В.П. Захарютой [6].

Предложение 1 [1, 2]. Для произвольного СПК Фа (а) условия 1-3 и 4-6, приведенные ниже, попарно эквивалентны:

1. Фа (а) = Ео(а) .

2. Фа (а) е ф2).

3. Уе> ОЗр : Уд ~Хт(Ад (п) - кр(п)) <е .

п^-да

4. . Фа (а) = Еда (а) .

5. Фа (а) е Щ) .

6. Уе > ОУр Зд : Нш (Ад (п) - Ар (п)) > е .

п^да

Предложение 2 [1, 2]. Если в Фа (а) нет базисных подпоследовательностей, изоморфных СПК конечного типа, то это пространство изоморфно СПК бесконечного типа.

3. Для произвольного пространства Кёте К (А) положим dj(К(А)) := {и = (пк):К(А;и) е (Dj)}, j = 1,2. В других терминах эти классы были определены в [9].

М.М. Драгилев [9] и В.П. Захарюта [10] обратили внимание на то, что свойства СПК существенно зависят от того, как в этих пространствах накапливаются базисные подпространства, изоморфные СПК конечного и бесконечного типов. В качестве характеристики, описывающей совокупности подпространств этого типа, можно взять семейства dj (K (A)), j = 1,2.

Пример 2. Если hp (n) = —1+ Xnp, Xn е (0,1], то

Р

СПК E(a, Х):=Ф^ (a) называют СПК первого рода. Они введены В.П. Захарютой; обзор результатов, связанных с СПК первого рода, они содержатся в [10], где доказывается, что Eo(a) ® Ex(b) изоморфно СПК первого рода.

Известно [10, с. 244], что ие d1 (E(X, a)) ö E(k, a) = Ex (a) ö lim X > 0 , (3)

k

ие d2(E(X,a)) öE(X,a) = E0(a) ö lim Xn = 0 (4)

k^+x h

для произвольной последовательности индексов и = (щ); СПК конечного и бесконечного типа, а также их декартовые и проективные тензорные произведения изоморфны СПК первого рода.

Определение 1. Пусть и = (^) - разбиение множества натуральных чисел на бесконечное семейство попарно непересекающихся бесконечных подмножеств и j = 1,2. Будем говорить, что это

семейство порождает d. (K(A)), если выполняются

два условия: и е dj(K(A)) для любого k ; если и -

бесконечная последовательность индексов такая, что и n Uk конечно для всех k , то и е d^_j (K(A)).

Другими словами, и е dj (K(A)) тогда и только тогда, когда иси1 ^^ для подходящего индекса k .

Будем говорить, что пространство Кёте K(A) имеет тип {¿1 j) (и писать K(A) е(й?1 j)), если существует семейство и = (uk), порождающее

dj (K(A)).

Лемма 1. Если K(A) е (dhj) и K(B) = K(A), то K (B) е (dh j).

Лемма 2. (du) n (d12) = 0. Доказательство. Предположим, что

K(A) е (d1 1) n (d^2) и семейства и = (uk) и "Л = ("k) порождают соответственно d^K(A)) и d2(K(A)). Из определения 1 следует существование последовательности (mj) такой, что

mj eujk(j) nqj и k(j +1)>к(j). По построению (mj) e d2(K(A)) (так как семейство u = (uk) порождает di (K(A)). Но это противоречит тому, что семейство q = (-к) порождает d2(K (A))).

Степенное пространство Кёте называют нерас-щепляемым [7], если оно не имеет тип (dj),

j = 1,2, и не изоморфно декартовому произведению пространств из (di) и (d2).

Из определения 1 и условий (3), (4) следует, что всякое нерасщепляемое СПК первого рода имеет тип (du). Примером пространств типа (d^) являются нерасщепляемые степенные пространства второго рода F(ц, а) [10]. По определению СПК F(ц, а):=Ф^ (а) называют степенным пространством второго рода, если hp (п):=-1/p + шт(цп, p),

цп > 1. Из леммы 2, в частности, следует неизоморфность произвольных нерасщепляемых степенных пространств первого и второго рода.

Предположим, что пространства E(X, а) и F(^ d) нерасщепляемые. Можно показать, что пространство E(X, а) ® F(^ d) не принадлежит классам (d1, j).

Неизвестно, существуют ли СПК, принадлежащие классам d j) и не изоморфные СПК первого

или второго рода.

4. Найдём условия, характеризующие СПК первого рода в классе всех СПК. Эти условия описываются в терминах абсолютно выпуклых подмножеств специального вида - центральных квазибочек (эти объекты были введены В.П. Захарютой в [11] (также [2])).

Квазибочкой в пространстве Фреше X называют замкнутое, абсолютно выпуклое подмножество B в X такое, что линейная оболочка, натянутая на это множество, есть всюду плотное в X векторное подпространство.

Пример 3. Пусть дана числовая последовательность а = (ап) такая, что ап > 0 для произвольного п. Тогда множество Be (а):=

= |x = (xn) e K(A): 21 xn | ап < 1 j будет квазибочкой в произвольном пространстве Кёте (квазибочки такого вида в дальнейшем будут называться базисными). Покажем, что Be (а') = Be (а'') тогда и

только тогда, когда ап =ап для произвольного п. Другими словами, квазибочка Be (а) однозначно определяется последовательностью а = (ап ) .

Предположим, что Be (а ') = Be (а ''), но ап ^ ап для некоторого по . Рассмотрим число-

п0 п0 вую последовательность

(хп) такую,

что

хп = а > 0 и хп = 0 для всех п Ф щ . При сделанном предположении число а всегда можно выбрать так, что эта последовательность будет принадлежать только одной из заданных квазибочек. Обратное утверждение очевидно.

Определение 2. Пусть т е (0,1). Квазибочку В в пространстве Фреше X будем называть т -центральной, если

Ур Зд ЗС > 0: Ух е X ||х|| < С\\х\|

■1|1—ТН IIх IIb II hg

V(

XI p )х.

Vp3q3C > 0: Vx'e X' ||x| < C||x'

Здесь B° := {x'e X': Vx e B | x'(x)|< 1} - поляра := inf{X > 0 : x e XB} (не исклю-

множества B

IlB

чается случай, когда ||х||5 = да ).

Квазибочка Ве (а) будет т -центральной в К (А) тогда и только тогда, когда выполняется условие Зте (0,1) Ур Зд ЗС > 0: Уп арп < СаЩ й„

- > C—1а1—ха х

> C ап ap,n ■

1-Ха х ад'п' (5)

Множество всех т -центральных базисных квазибочек в К (А) обозначим через QCe (К(А); т).

При т = 1/2 определение т -центральной квазибочки совпадает с определением центральной квазибочки [11].

Лемма 3. Пусть X - СПК. Следующие условия равносильны:

- X изоморфно СПК бесконечного типа;

- некоторая окрестность нуля в X является центральной квазибочкой;

- в X существует базис окрестностей нуля, состоящий из центральных квазибочек.

Лемма 4. Пусть X - СПК. Следующие условия равносильны:

- X изоморфно СПК конечного типа;

- в X существует ограниченная центральная квазибочка;

- в X существует фундаментальная система ограниченных центральных квазибочек.

Лемма 5. Предположим, что множество натуральных чисел разбито на два непересекающихся подмножества V 0 и V!. Если квазибочка Ве (а) такая, что Ве (а, V ) е QCe (XV ) при j = 0,1, то

Ве (а) еQCe (X) .

Следующее утверждение является обобщением доказанной в [4] характеризации СПК первого рода.

Теорема 1. Для произвольного СПК Ф^(a) равносильны условия:

- Фh (a) изоморфно СПК первого рода;

- QCe (Фь (a); т) ^0 для произвольного те (0,1). Следствие 1. Для произвольного СПК Фк (a)

равносильны условия:

- в ФА (a) существует центральная квазибочка;

- Фh (a) изоморфно дополняемому подпространству в E0(a')®Ex(a") для подходящих последовательностей d = (an ) и a'' = (an ) .

Импликация 1 ^ 2 следует из определения 2. Для доказательства обратного утверждения понадобится несколько вспомогательных утверждений.

Фиксируем произвольное т е (0,1). Пусть X = Фк (a) - СПК такое, что QCe (K(A); т) ^0. Не ограничивая общности, можно считать, что Be := Be (а) е QCe (K(A)) (здесь an = 1 для всех n). Из определения СПК и (5) следует, что в этом случае Vp 3q = q(p)3C: 3^Vn > n0,

C_ < hq (n) _ hp (n)< C, (6)

hp (n) _ т hq (n) < 0 < hq (n) _ т hp (n).

Для произвольного бесконечного множества индексов и = (nk) положим

Mx (и) := lim lim hp (nk).

p —k —

Лемма 6. При сделанных предположениях справедливы следующие утверждения:

- Mx (и) = 0 для любой последовательности

ие d2(X);

- Vuе d2(X) Vs> 0Vq3r limhr(n)_limhq(n) <s .

Иеи иеи

Доказательство. Покажем, что выполняется свойство 1. Для этого фиксируем произвольную последовательность (nj) е ¿2(Фh(a)). Из условия

(6) следует, что ^ (nj) > hp (nj) _ hq( p)(nj) и ^q(p) (nj ) < hq^p) (nj ) _ hp (nj ) для произвольного p и всех j , начиная с некоторого места. Искомое утверждение следует из доказанных неравенств и предложения 1.

Фиксируем произвольную последовательность ие d2(X). Из свойства 1 следует, что для произвольного s > 0 существует q такое, что

lim hp (n) _ lim hq (n) < Mx (и) _ (Mx (и) _ s) = s для

Лемма 7. Квазибочка Ве(Р) тогда и только тогда является т -центральной в X, когда выполняются условия:

- ЗС > 0 Уп - Сап < 1п(Рп) < Сап;

- Уиеd2(X) 1Ш = 0 .

пеи, и^+да ап

Определим для базисных квазибочек характеристику, аналогичную dj (X).

Подмножество локально выпуклого пространства называют ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью нуля этого пространства.

Определение 3. Пусть Ве (Р) - квазибочка в пространстве Кёте К (А). Тогда семейство Л^Р, К (А)) (соответственно Л2(Р, К (А))) состоит из всех бесконечных последовательностей индексов и = (п^), для которых множество Ве (Р) ш К (А; и) является окрестностью нуля в К (А; и) (соответственно ограниченным подмножеством в К (А; и)).

Из определения 3 следует, что и = (пк) е Л1(Р, К (А)) » Зр ЗС > 0 :Уп Р^ < Сар^ ,

и = (пк) е Л2(Р, К (А)) » Ур ЗС > 0 :Уп Р^ > Сар^к .

Лемма 8. Если Ве (Р) е0Се (X, т), то Л j (Р, X) = dj (X), ] = 1,2. Если, кроме того, X не-

расщепляемо, то существует семейство (ик )да=1 попарно непересекающихся подмножеств во мно-

да

жестве N натуральных чисел такое, что N = и ик

к=1

и иеЛ^Р, X) тогда и только тогда, когда и с и! ^... ^ ик для некоторого к .

Теорема 2. Пусть X и 7 - пара пространств Кёте, в которых существуют центральные квазибочки. Если dj (X) = dj (У) , ] = 1,2, и

бСе(X;т) = бСе(У; т), то 0>е1) (X) = 0>е]) (Г), ] = 1,2. Говорят, что пространства Кёте К (А) и К (В)

а

диагонально изоморфны, и пишут К(А) = К(В), если существует изоморфизм Т: К (А) ^ К (В) такой, что Теп = tиeи для подходящей числовой последовательности (п ).

Следствие 2. Пусть К (А) и К(В) - СПК, в которых существует центральная квазибочка. Следующие условия равносильны:

любого p .

I. K(A)=K(B).

II. (К (А)) = (К (В)), 3 = 1,2,

QCe (К (А); т) = QCe (К (В); т).

В теореме 2 и в условии II следствия 2 квазибочка Ве (Р) отождествляется с положительной последовательностью р = (Рп). Это означает, что равенство QCe (X; т) = QCe (У; т) понимается в следующем смысле: Ве (у) е QCe (X) Ве(у) е QCe (У) для произвольной положительной числовой последовательности У = (у п ).

Теперь можно завершить доказательство теоремы 1. Данное пространство либо принадлежит одному из классов пространств (й■), либо предста-

вимо в виде декартового произведения пространств типа (¿1) и (¿2), либо нерасщепляемо. В первых двух случаях оно изоморфно СПК конечного или бесконечного типов либо декартовому произведению СПК конечного и бесконечного типов, т.е. некоторому СПК первого рода.

Предположим, что данное пространство нерасщепляемо. Из леммы 6 следует, что X е (йц).

Пусть семейство (и^ )да=1 порождает й^). Рассмотрим пространство Е(Х, а), в котором X п = « _1, как только п е и . Из лемм 3-7 и теоремы 2 следует, что (X) = (У), 3 = 1,2, QCe (X; т) = QCe (У; т).

Но тогда в силу следствия 1 пространства X и Е(Х, а) диагонально изоморфны.

Таким образом, данное СПК в любом случае изоморфно подходящему СПК первого рода. Теорема доказана.

5. В этом разделе будут изучаться внутренние интерполяционные свойства СПК первого рода. По определению внутренние интерполяционные свойства пространств Фреше описываются в терминах подходящего интерполяционного функтора (определённого в категории интерполяционных пар или интерполяционных семейств банаховых пространств). Этот функтор применяется к паре или семейству пространств из проективного спектра банаховых пространств, определяющих рассматриваемое пространство. Будет найдено внутреннее интерполяционное свойство, характеризующее СПК первого рода в классе всех СПК. Это свойство описывается в терминах вещественной интерполяции. Определение этого метода (и другие необходимые понятия из теории интерполяции линейных операторов) цитируется по [12].

Определение 4. Пусть X = [X0,Xl] - интерполяционная пара банаховых пространств. Для фиксированных ре[1,да], те (0,1) пространство

Xх,p = (X0, X1)x,p состоит из всех x e X0 + X1, для которых конечна норма Ц • Ц^ :

Л1/p

11 х p

dt

(+да

1 [Гх K (t, x; X0, X1)]p-v 0 t

sup t—х K (t, x; X 0, X1)

t >0

, p e [1, да) p = да

Здесь

K(t,x,X0,X1) := mf{||x0||

wx,

+1

x

и

х = х0 + х1, х3 е X3 } || • || „ - норма в X,.

II И^А 3

Известно [12], что пространство X т, р = (X0, Xl)x р является банаховым, промежуточным и интерполяционным между Xo и X1.

Для произвольной положительной последовательности а = (ап) через 1р (а) (при р е[1, да)) обозначим множество всех числовых последовательностей х = (хп), для которых конечна норма

% (а) ' 11 111„ (а) '

+да / \

^(^п 1 ап )p п=1

1/p

Предложение 2 [12, теорема 1.18.1]. Пусть даны положительные числовые последовательности

а(0) = (а(0)) и а(1) = (а®). Если р е[1, да), то

(/р(а(0)),/р(а(1))^= 1р(а(т)) , где а? := (а^)1-(а«)т .

Определение 5. Пусть X - пространство Фре-ше, топология в котором определяется набором норм (I • II ). Будем говорить, что пространство X

имеет тип

(Cu)q (где q e [1,+да]) и писать

X e (C11 )q , если

3у e (0,1/2) 3^ : N ^N VpVr :

(Xp , Xr )y,q 3 (Xp(p), Xp(r))1-,

(7)

r,q-

В частности, (Cl,l) := (^,1)1.

Из предложения 2 следует, что для пространства Кёте К( А) условие (7) эквивалентно условию Зу е (0,1/2) Зр: N ^ N УрУ^ = ^р,г)Уп :

-,1-Г „Г

ар,пау,п < C( P, Г)ау( р),Пар(У ),п ■

Заметим, что всякое пространств Кёте типа (^д) либо расщепляемо, либо содержится в (йц) .

Теорема 3. Класс пространств ^д)д является идеалом пространств Фреше в смысле А. Пича [13, определения 2.1.1 и 29.2.1]. Другими словами, выполняются следующие условия:

- всякое конечномерное пространство содержится в (^ 1);

x

- если X е (Cn) и пространство Фреше Y изоморфно дополняемому подпространству в x , то Y е (Cu{);

- если X,Y е (Cu), то X х Y е (Cu).

Теорема 4. Для произвольного СПК X равносильны условия:

- X изоморфно подходящему СПК первого рода;

- X изоморфно дополняемому подпространству в E0(a)®Ex(d) для подходящих положительных числовых последовательностей a = (an) и b = (dn);

- X е (Cy) .

Литература

1. Шагинян Т.Б. Об одном классе пространства Кёте

// Теория функций, дифференциальные операторы и их приложения. Элиста, 1976. С. 128-137.

2. Шубарин М.А. Изоморфизмы степенных пространств:

дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д., 1994. 117 с.

3. Шубарин М.А. Классы пространств, порождаемые ин-

терполяцией диагональных операторов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. № 1. С. 24-26.

4. Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов

н/Д., 2003. 143 с.

5. Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы

в ядерных пространствах // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, вып. 4. С. 63-132.

6. Захарюта В.П. Некоторые линейные топологические

инварианты и изоморфизм тензорных произведений центров шкал // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1974. № 4. С. 62-64.

7. Vogt D. Charakterisierung der Unterraume von s // Math. Z.,

1977. Vol. 155. P. 109-117.

8. Vogt D., Wagner M.J. Charakterisierung der

Quotientenraume von s und eine Vermutung von Martinean // Studia Math. 1980. Vol. 67. P. 225-240.

9. Драгилев М.М. О специальных размерностях, опреде-

лённых на некоторых классах пространств Кёте // Мат. сб. 1969. № 80, т. 2. С. 225-240.

10. Zachriuta V.P. Linear topological invariants and their appli-

cation to isomorphic Classification of generalized power spaces // Turk. Math. J. 1996. Vol. 20, № 1. P. 237-289.

11. Захарюта В.П. Критерий квазиэквивалентности базисов

в ядерных пространствах // XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах,

Поступила в редакцию

Челябинск, 26-30 мая 1986. Ч. I. Челябинск, 1986. С. 106.

12. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные про-

странства. Диф. операторы. М., 1980. 664 с.

13. Пич А. Операторные идеалы. М., 1983. 664 с.

References

1. Shaginyan T.B. [A class of Kothe space]. Teoriya funktsii,

differentsial'nye operatory i ikh prilozheniya [The theory of functions, differential operators and their applications]. Elista, 1976, pp. 128-137.

2. Shubarin M.A. Izomorfizmy stepennykh prostranstv: dis. ...

kand. fiz.-mat. nauk [Isomorphisms power spaces]. Rostov-on-Don, 1994, 117 p.

3. Shubarin M.A. Klassy prostranstv, porozhdaemye

interpolyatsiei diagonal'nykh operatorov [Classes spaces generated by interpolating diagonal operators]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki, 2006, no 1, pp. 24-26.

4. Dragilev M.M. Bazisy v prostranstvakh Kete [Bases in spac-

es of Kothe]. Rostov-on-Don, 2003, 143 p.

5. Mityagin B.S. Approksimativnaya razmernost' i bazisy v

yadernykh prostranstvakh [Approximate dimension and bases in nuclear spaces]. Uspekhi mat. nauk, 1961, vol. 16, no 4, pp. 63-132.

6. Zakharyuta V.P. Nekotorye lineinye topologicheskie

invarianty i izomorfizm tenzornykh proizvedenii tsentrov shkal [Some linear topological invariants of the isomorphism of tensor products scales centers]. Izv. SKNTs VSh. Estestv. nauki, 1974, no 4, pp. 62-64.

7. Vogt D. Charakterisierung der Unterraume von s. Math. Z.,

1977, vol. 155, pp. 109-117.

8. Vogt D., Wagner M.J. Charakterisierung der

Quotientenraume von s und eine Vermutung von Martinean. Studia Math., 1980, vol. 67, pp. 225-240.

9. Dragilev M.M. O spetsial'nykh razmernostyakh,

opredelennykh na nekotorykh klassakh prostranstv Kete [On special dimensions defined on some classes of Kothe spaces]. Mat. sb., 1969, no 80, vol. 2, pp. 225-240.

10. Zachriuta V.P. Linear topological invariants and their appli-

cation to isomorphic classification of generalized power spaces. Turk. Math. J, 1996, vol. 20, no 1, pp. 237-289.

11. Zakharyuta V.P. [Criterion quasiequivalence bases in nucle-

ar spaces]. XI Vsesoyuznaya shkola po teorii operatorov v funktsional'nykh prostranstvakh [XI All-Union school on theory of operators in functional spaces]. Chelyabinsk, May 26-30, 1986. Part I. Chelyabinsk, 1986, p. 106.

12. Tribel' Kh. Teoriya interpolyatsii. Funktsional'nye

prostranstva. Dif. operatory [Interpolation theory. Functional spaces. Diff. operators]. Moscow, 1980, 664 p.

13. Pich A. Operatornye idealy [Operator ideals]. Moscow,

1983, 664 p.

24 мая 2016 г.