CC BY
12
УДК 519.6
Ю.1. ПЕРШИНА
Украшська iнженерно-педагогiчна академiя
В О. ПАС1ЧНИК
Харкiвська державна академiя дизайну i мистецтв
ЧИСЕЛЬНА РЕАЛ1ЗАЦ1Я МЕТОДУ ВИЯВЛЕННЯ ТОЧОК РОЗРИВУ ПЕРШОГО
роду функци одше! змшно!
Розроблено алгоритм вгдновлення лтшног розривно'1 функци одте! зм1нно1 та алгоритм знаходження точок е-розриву першого роду лтйног функцП одте! зм1нно1 за допомогою розривних Iнтерполяцшних або апроксимацшних лтшних сплайнгв. Введено поняття е-неперервност1 функци одте! змшноИ. На його основI розроблено модифгкований алгоритм виявлення розривгв першого роду нелттноИ функци одме! змтно!, використовуючи розривний апроксимацшний лтшний сплайн. ОписанI чисельнг експерименти, як1 пгдтверджують ефективнгсть запропонованих алгоритмгв.
КлючовI слова: розривна лттна Iнтерполящя, розривна лгнтна апроксимацгя, е-розрив.
Ю.И. ПЕРШИНА
Украинская инженерно-педагогическая академия
В.А. ПАСЕЧНИК
Харьковская государственная академия дизайна и искусств
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ВЫЯВЛЕНИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Разработан алгоритм восстановления линейной разрывной функции одной переменной и алгоритм нахождения точек е - разрыва первого рода линейной функции одной переменной с помощью разрывных интерполяционных или аппроксимационных сплайнов. Введено понятие е-непрерывности функции одной переменной. На его основе разработан модифицированный алгоритм выявления разрывов первого рода нелинейной функции одной переменной, используя разрывный аппроксимационный линейный сплайн. Описаны численные эксперименты, которые подтверждают эффективность предложенных алгоритмов.
Ключевые слова: разрывная линейная интерполяция, разрывная линейная аппроксимация, е-разрыв.
I.I. PERSHYNA
Ukrainian Engineering and Pedagogical Academy
V.A. PASICHNIK
Kharkiv State Academy of Design and Arts
NUMERICAL IMPLEMENTATION OF THE METHOD OF IDENTIFICATION OF THE POINTS DISCONTINUITIES OF THE FIRST KIND OF ONE VARIABLE FUNCTION
An algorithm for reconstructing a linear discontinuous function of one variable and an algorithm for finding points e -discontinuities of the first kind of a linear one variable function by means of discontinuous interpolation or approximation splines are developed. The notion of е-continuity of one variable function is introduced. On its basis, a modified algorithm for detecting discontinuities of the first kind of a non-linear one variable function using a discontinuous approxmate linear spline is developed. Numerical experiments are described that confirm the effectiveness of the proposed algorithms.
Keywords: discontinuous linear interpolation, discontinuous linear approximation, е-discontinuity.
Постановка проблеми
Протягом багатьох столггь розвитку людства iсторiя ввдшчае нерiвномiрнiсть як природных, так i сощальних явищ, як супроводжували цей розвиток (землетруси, вшни, економiчнi кризи, засухи, повеш, падшня метеорипв тощо належать до явищ, процеав, яш описуються розривними функщями). Також юнуе багато практично важливих наукових та техшчних галузей, в яких об'екти дослщження математично описуються величинами, що зазнають розрив. Так об'екти часто виникають в задачах, яш використовують дистанцшш методи i, зокрема, в задачах томографи. В багатьох задачах геофiзики встановлення мюця розташування границь, що роздiляють блоки з рiзними фiзичними властивостями, е першим етапом в подальших дослщженнях, направлених на визначення фiзичних величин, що характеризують внутршню будову Землг В комп'ютернш томографи при дослвдженш внутршньо! структури тша корисно враховувати
його неоднорвдшсть, тобто р1зну щшьшсть в р1зних частинах тша (кустки, серце, шлунок тощо мають р1зну щшьшсть, тобто щшьшсть всього тша е функщею з розривами першого роду на систем! лшш чи поверхонь).
Для багатьох промислових шдприемств наявшсть засоб1в неруйшвного контролю якосл продукцп на р1зних етапах И виробництва е актуальним завданням. Рентгешвсьш засоби неруйшвного контролю не мають альтернативи в тих випадках, де параметрами контролю якост1 вироб1в можуть бути внутргшт геометричн розм1ри складових частин вироб1в, просторове розташування внутршшх деталей, структура матер1ал1в 1 наповнювач1в, наявшсть домшок, раковин або трщин. Необхвдно ввдзначити, що при неруйшвному контрол1 великогабаритних вироб1в (з рад1ацшно! товщиною > 1000 мм) не можуть бути застосоваш традиц1йн1 методи пл1вково! рештенографп через високу варпсть витратних матер1ал1в 1 тривалого часу контролю. Найбшьш перспективними, в даному випадку, е методи цифрово! радюграфи, особливо обчислювальна томограф1я. Обчислювальн томограф1чн1 системи неруйшвного контролю на сьогодш е единими техшчними засобами, як1 дозволяють визначити м1сце розташування 1 геометричш розм1ри прихованих дефекпв в контрольованому вироб1, а також контроль виробу в реальному масштаб! часу його технолопчного виготовлення.
Той факт, що на сьогодшшнш день не юнуе загально! теори опис1в вказаних явищ та процес1в, говорить про актуальшсть створення теори наближення розривних функцш розривними конструкщями та розробки метод1в виявлення точок або лшш розриву функцп, оск1льки вказан явища вщграють величезну роль в житп людства. Тому кожний крок, направлений на створення теоретичного шдгрунтя опису вказаних явищ та процес1в без сумшву може значно змшити подальший розвиток людства 1 вае! планети в цшому.
Тобто актуальною е задача розробки та дослщження теори наближення розривних функцш за допомогою розривних сплайшв та розробка метод1в виявлення точок або лшш розриву функцп для бшьш точного уявлення про структуру дослщжуваного об'екта. Н чисельному розв'язанню присвячена дана стаття.
Аналiз останнiх досл1джень та публiкацiй
Задача наближення неперервних функцш неперервними сплайнами з достатньою повнотою описана в багатьох роботах, наприклад, [1]. 1снують багато технчних задач, в яких наближуюча функщя не обов'язково е гладкою, шод1 допустима 11 розрившсть - лише б похибка наближення була достатньо мала. Наближення такого типу рашше детально не розглядалося, юнують тшьки шдходи до розв'язання такого типу задач, як1 працюють для частинних випадк1в. В сво!х роботах Петухов О.П. [2] дослщжуе наближення розривних функцш в метрищ Хаусдорфа. 1снують методи розв'язання крайових задач з розривними розв'язкми, в розвиток яких внесли значний вклад так вчеш, як Серпенко 1.В., Дейнека В.С., Скопецький В.В., Литвин О.М. та шш1 [3]. В робот О.Л. Агеева, Т.В. Антоново! [4] запропонований метод визначення числа точок розриву та !х положення на основ1 використання явища Пббса. Але для цього потр1бна додаткова шформащя: найменша та найбшьша величини стрибшв наближуючо! функцп. Кр1м того, припускаеться, що штервали, в яких знаходяться явища Пббса, не перетинаються, тобто неможливо вщдшити точки розриву, що знаходяться близько один в1д одного.
Якщо наближувати розривну функцш неперервними тригонометричними функщями, виникае явище Пббса. Для боротьби 1з згаданим явищем були розроблен р1зн1 ф1льтри [5]. В останн к1лька десятилггь були розроблен методи, яш пом'якшують явище Пббса в розкладанн Фур'е ввд розривних функцш. Але повного видалення явища Пбса н фшьтри, н згадан методи не дають. В робот1 [6] розроблен методи ввдновлення лшш розриву за допомогою вейвлепв. Щ методи вадновлення використовують полтармошчш вейвлети, як1 мають несшнчений носш. Такого типу конструкцп, в загал1 кажучи, можуть привести до згладжування сигналу, який дослвджуеться, 1 вимагати додаткового анал1зу отриманих результапв.
В робот1 [7] авторами запропонований, обгрунтований та дослвджений метод ввдновлення розривно! лшшно! функцп одше! змшно! та алгоритм виявлення точок ¿-розриву. В данш статп представляеться чисельна реал1защя запропонованого алгоритму, та наводиться модифжований алгоритм виявлення точок розриву нелшшно! функци одше! змшно!.
Мета дослщження
Постановка задачь Нехай задана лшшна функщя одше! змшно! /(х) на штервал! [0; 1] з можливими розривами першого роду в точках хк, к = 1, п . Задан вузли розбивають штервал [0; 1] на п -1 частин. Треба побудувати та дослвдити метод ввдновлення розривно! функци /(х) та виявити точки ¿■-розриву.
Викладення основного матерiалу досл1дження Метод виявлення точок ¿-розриву.
Визначення 1. Будемо називати розривним штерполяцшним лшшним сплайном на ввдр!зку [хк,хк+1], к = 1,п -1 функцш 5(х) е С_1[а,Ь], яка визначаеться наступним чином:
5(х) = Ск+ + Ск+! , к = М-Г, (1)
Хк Хк +1 Хк +1 Хк
де С+, С-+1, к = 1, п -1 - параметри сплайна 5(х), що визначаються у вигляд1 односторонн1х границь
С+ = Иш /(X),
х^ хк + 0
С+1 = 11ш / (х) •
х^ хк+1-0
Теорема 2. Якщо /(х) е С 1 [а, Ь], яка е г раз диференцiйованою на кожному з iнтервалiв
[хк, хк+1], к = 1, п -1, г = 1,2, то залишок К/(х) = /(х) - £(х) наближення розривним iнтерполяцiйним сплайном вигляду (1) на кожному iнтервалi розбиття буде мати вигляд
"А-1-1
Кк/(х) = | /(гх, Ъйх е [хк, хк+1], в(х, =
х Хк +1 (хк О
х1- х1т.
(г -1)!
х хк (хк+1 О хк+1 - хк (Г - 1)!
хк <1< х
х хк
к = 1, п -1.
Далi пропонуеться алгоритм виявлення розривiв функци одте! змшно! та алгоритм оптимального визначення вузлiв наближуючого сплайна, який сформулюемо по кроках.
Визначення 2 Розривним апроксимацшним лiнiйним сплайном на вiдрiзку [хк, хк-1], к = 1, п -1 будемо називати розривну функцш, визначену формулою (1), де коефщенти С+, С-+1 сплайна знаходяться методом найменших квадратiв в штегральнш формi:
-1 хк+1
X I (/(Г) - £(/))2 Л
^ Ш1П
С
(2)
В( х) =
, де к(х) - лiнiйний неперервний полшом.
Оптимальним набором вузл1в будемо називати таку найменшу шльшсть вузл1в, серед яких е точки е-розриву функци, та таку, що розривний сплайн, побудований на 1х основ^ наближуе функцш 1з заданою точнютю.
Теорема 3. Якщо /(х) е С_1[0;1] е кусково-лшшною функщею 1 мае одну точку розриву першого
роду х* = т, т, к е N, т < 2к, тод1 можна И виявити не бшьше, шж за к ггерацш. 2к
Теорема 4. Якщо /(х) е С_1[0;1] - кусково-лшшна функщя i мае одну точку розриву першого роду х*, то виявити И можна за к = [- 1og2 2е] ггерацш з похибкою е.
Визначення 4. Базисним розривним лшшним сплайном на штерват [0; 1] будемо називати сплайн
\к(х), х е [0;1], [0, х г [0;1]!
Теорема 5. Довшьну розривну лшшну функцш /(х) з1 сшнченною к1льк1стю розрив1в першого роду можна представити у вигляд1 суми базисних розривних сплайшв.
Дшсно завжди, знайдуться такi М е N i параметри Ск±, що лшшну розривну функцш можна записати у вигляд1
М ( к Л
/(х) = £ В(Мх - к; С±), Ск± = / ^М ± 0Л •
В ро6от1 [7] був наведений алгоритм виявлення точок розриву для лшшно! функци одте! змшно!. Цей алгоритм можна модифшувати i для нелшшно! функци. Наведемо спочатку приклад. Приклад. Нехай в обласп В = [0,1] задана функц1я (рис. 1):
|2х +1, х е (0,0.4] / (х) = [ •
[2х , х е (0.4,1]
Тобто ця функщя мае один розрив першого роду в точщ х = 0.4 . Задамо е = 0.01. Оскшьки задана функц1я нелшшна, а наближувати будемо л1н1йними розривними сплайнами, то потр16но задавати точшсть наближення 5, наприклад 5 = 0.01. Адаптуемо алгоритм, наведений в робот [7].
Рис. 1. Графи,- функци.
3
"1
На першому кроц будуемо розривний апроксимацшний сплайн S(x) з вузлами xk, k = 1, n за формулою (1) з невщомими коефщентами C+, Ck+1, k = 1,n-1. Знаходимо вектор C з умови (2).
Д^ на другому кроцi на кожному з iнтервалiв [xk, xk+1], k = 1, n -1 обчислюемо значення
J* = max Jk (x), Jk (x) = I f (x) - Spk (x)|. I крок 3 зводиться до перевiрки умов: 1) Jq < 5, Jq+1 < 5, де 5 -
xk < x< xk+1
задана точшсть наближення; 2) S(x) е s -неперервною в точцi xq+1. Якщо цi умови виконанi, то вузол xq+1 видаляемо з розгляду. З уах J* обираемо максимальне значення M = max(J*) та дшимо iнтервал, в якому
1< k in
це максимальне значення отримуеться, навпiл.
На новiй множит вузлiв знову будуемо апроксимацiйний сплайн за формулою (1) та за формулою (2) знаходимо вектор коефщенпв C .
Перевiряемо виконання умови maxif(x)-S(x)| <5, де 8 - задана точшсть наближення. Якщо
xe[ a,b]
умова виконана, то отримали набiр оптимальних вузлiв наближуючого сплайна, серед яких знаходяться i розриви задано! функци. Якщо вказана умова не виконана, то повертаемося до кроку 3.
Застосуемо цей алгоритм до задано! функци. Оберемо вузли сплайна: x1 = 0, x2 = 0.3, x3 = 0.6, x4 = 1. Побудуемо розривний апроксимацшний лшшний сплайн у виглядi формули (1). Наведемо деяш промiжнi результати наближення
При цьому оптимально обрали вузли сплайна, яш дорiвнюють
x1 = 0, x2 = 0.4, x3 = 0.5065, x4 = 0.6, x5 = 0.7, x6 = 0.8, x7 = 0.9, x8 = 1. Наведемо модифжований алгоритм наближення розривно! нелшшно! функцi! . Крок 1. Будуемо розривний апроксимацшний сплайн S(x) на заданих вузлах xk, k = 1, n за формулою (1) з неввдомими коефщентами C+, C-+1, k = 1, n -1. Причому на першiй ггераци вважаемо, що одностороннi значення функци в заданих вузлах зб^аються. Знаходимо вектор C = (C1+,C-,C+,C3-,...,C++-1,C-) з умови (2). Шсля пiдстановки знайдених коефiцiентiв у сплайн (1) отримаемо сплайн Sk (x) = Sk (x, C1), x e [xk, xk+1], k = 1, n -1.
Крок 2. На кожному з iнтервалiв [xk, xk+1], k = 1, n -1 обчислюемо значення J* = max Jk (x),
xk < x< xk+1
Jk (x) = | f (x) - Sk (x)|.
Крок 3. Якщо виконуються умови: 1) Jq < 5, Jq+1 < 5, де 8 - задана точшсть наближення; 2) S(x) е £-неперервною в точш xq+1, то вузол xq+1, то видаляемо з розгляду.
Крок 4. З уах J* обираемо максимальне значення M = max(J*) та дшимо штервал, в якому це
1< k in
максимальне значення отримуеться, навпш.
Крок 5. На новш множит вузлiв знову будуемо апроксимацшний сплайн за формулою (1) та за формулою (2) знаходимо вектор коефщенпв C .
Перевiряемо виконання умови maxi f (x) -Sp( x)| <5, де 5 - задана точнiсть наближення. Якщо
xe[ a,b]
умова виконана, то ми отримали набiр оптимальних вузлiв наближуючого сплайна, серед яких знаходяться i розриви задано! функц^'. Якщо вказана умова не виконана, то повертаемося до кроку 3.
Висновки
В робоп пропонуеться алгоритм вщновлення розривно! лшшно! функц^ одте! змшно! за допомогою апроксимаци розривним лтшним сплайном та модифiкований алгоритм виявлення точок розриву першого роду у випадку, коли розривна функщя не обов'язково е лiнiйною. 1нформашею про функцiю е !! значення, яш можна отримати на довшьнш скiнченнiй множинi точок з штервалу [0; 1]. Також в
робоп запропонована чисельна реалiзацiя модифшованого алгоритму. Наведений тестовий приклад.
Автори вважають перспективним розвиток теори наближення розривних функцш багатьох змшних розривними сплайнами та побудову математичних моделей розривних процешв на основi розроблено! теори, оскiльки, як вже було зазначено, задачi дослiдження процесiв, що мають розриви, виникають досить часто. Наступним кроком автори планують обгрунтувати метод вiдновлення розривних функцiй двох змшних та метод виявлення лшш та точок £-розриву, використовуючи розбиття областi визначення функцн двох змшних на прямокутш елементи, з метою опташзаци кiлькостi обчислень.
Список використаноТ лiтератури
1. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения / Н.П. Корнейчук. - М.: Наука, 1984. - 352 с.
2. Петухов А.П. О приближении разрывных функций в метрике Хаусдорфа / А.П. Петухов // Математические заметки. - 1985. - Т. 32, № 1. - С. 25-40.
3. Дейнека В.С. Анализ многокомпонентных распределенных систем и оптимальное управление / В.С. Дейнека, И.В. Сергиенко. - К.: Наукова думка, 2007. - 703 с.
4. Агеев А.Л. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных / А.Л. Агеев, Т.В. Антонова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т.15, № 1(49). - С. 3-13.
5. Gottlieb D. On the Gibbs phenomenon I: recovering exponential accuracy from the Fourier partial sum of a non-periodic analytic function / D. Gottlieb, C.W. Shu, A. Solomonoff, H. Vandeven // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1992. - № 43. - Р. 81-98.
6. Rossini M. Detecting discontinuities in two-dimensional signals sampled on a grid / M. Rossini // Journal of Numerical Analysis, Industrial and Apply Mathematics.- 2007. - Vol. 1, № 1. - P. 1-13.
7. Литвин О.М. Дослщження методу знаходження точок розриву першого роду функци одше! змшно! / О.М. Литвин, Ю.1. Першина, В.О. Паачник // Вюник НТУ "ХШ". Серiя: Математичне моделювання в технщ та технолопях. - Харшв: НТУ "ХШ". - 2015.- № 6(1115) - С.67-76.
