Імітаційне моделювання циклічних випадкових процесів на ЕОМ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Якщо зпдно з даними табл. 1, прийняти величину поля допуску для товщини неличковано! деревностружково! плити 0,4 мм (±0,2 мм), то для за-безпечення величини шдексу вiдтворюваностi Ср = 2, необхiдно зафiксувати величину середнього квадратичного вщхилення пiсля к^брування-шшшфу-вання Бпо = 0,033 мм. Саме за умови дотримання такого розсдавання можна прогнозувати роботу, при якш виникае 3,4 дефекти на мшьйон можливостей. Згiдно з рис. 4, цей ефект досягаеться для певних значень штервашв варь ювання величин Н i 8(И).

Якщо шдприемство iз виготовлення ДСП працюватиме iз середньою товщиною плити до оброблення Н = 16,7...17,5 мм i аналогiчним показником середнього квадратичного вщхилення 8(И) = 0,1.0,5 мм, то можна прогнозувати ефектившсть роботи на рiвнi 1,6 "сигма", тобто iз 460 000 плит iз мiльйону можливих не вщповщатимуть встановленим нормативним вимогам за товщиною (рис. 5).

Висновки

У результат дослiдження нами встановлено, що для зменшення кшь-костi дефектiв на мшьйон можливостей у процес здшснення процесу кашб-рування-шлiфування ДСП жорсткими абразивними цилшдрами необхiдно:

• зменшувати величину середнього квадратичного в1дхилення товщини плити тсля пресування (до початку процесу абразивного оброблення;

• фшсувати середню величину товщини плити до кал1брування -шл1фування в штерват Н = 16,9.17,3 мм.

Лггература

1. Бардонов В.А. Техническое регулирование - правовое регулирование отношений// Журнал для специалистов мебельной промышленности "Фабрика мебели". http://www.fabn-kam.ru/techreg.php.

2. Захожай В.Б., Чорний А.Ю. Статистичне управлшня яюстю: Навч. пос. - К.: Центр навчально! лггератури. - 2005. - 340 с.

3. Джордж Л. Майкл. Бережливое производство + шесть сигм: Комбинируя качество шести сигм со скоростью бережливого производства./ Пер. с англ. - 2-е изд. - М.: Альпина Бизнес Букс. - 2006. - 360 с.

УДК 004.94 Доц. С.А. Лупенко, канд. техн. наук;

acnip. А.М. Луцтв - Терноптьський державний техмчний умверситет

1М1ТАЦ1ЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЦИКЛ1ЧНИХ ВИПАДКОВИХ

ПРОЦЕС1В НА ЕОМ

Розглядаються методи комп'ютерного моделювання ци^чних випадкових процеав, що належать до класу ци^чних функцш. Вперше розроблено методи iMi-тацiйного моделювання циклiчного бiлого шуму, процесу i3 незалежними ци^чни-ми приростами та Марковського цикшчного випадкового процесу. Наведено прикла-ди iмiтацiйного моделювання дискретного циклiчного бiлого шуму та процесу i3 незалежними ци^чними приростами.

Ключов1 слова: комп'ютерне моделювання, циклiчнi випадковi процеси, цик-лiчний бiлий шум, процеси iз незалежними циклiчними приростами, марковськi цик-лiчнi процеси.

Assist. prof. S.A. Lupenko; post-graduate A.M. Lutskiv - Ternopil

state technical university

Computer simulation of cyclic random processes

The methods of computer modelling of cyclic random processes computer simulation are presented. For the first time the methods of computer simulation of cyclic white noise, process with independent cyclic increments and Markov's cyclic random processes are developed. The examples of computer simulation of discrete cyclic white noise and process with independent cyclic increments are given.

Keywords: computer simulation, cyclic random processes, cyclic white noise, processes with independent cyclic increments, Markov's cyclic random processes.

1. Вступ

Шд час розроблення та дослщження систем найрiзноманiтнiшого призначення значного поширення набули iмiтацiйнi експерименти на ЕОМ. 1мггацшне моделювання дае змогу дослщжувати поведшку системи, а точш-ше 11 модел^ у довшьних режимах 11 роботи, що не завжди е можливо провести з реальною системою. Яюсть iмiтацiйного експерименту насамперед виз-начаеться адекватшстю моделi дослщжуванш системi чи сигналу, що лежить в основi програмного забезпечення системи iмiтацй\

На сьогоднi актуальним е розроблення програмних систем для прове-дення iмiтацiйних експериментiв iз дослiдження функцiонування коливних систем, тобто систем, в яких сигнали мають циклiчний характер. Зокрема, це коливш сигнали бiологiчного походження: електро-, магшто-, рео-, фоно-, фотоплетизмокардiосигнал, послiдовнiсть динамiчно введених пiдписiв од-ше! особи. У роботах [1-3] дано означення цикшчних функцш та 1х шдкла-су - циклiчних випадкових процеЫв, що дало змогу розширити математич-ний апарат моделювання та аналiзу реальних циклiчних сигналiв, якi протжа-ють у коливних системах. А це ютотно збiльшило можливостi для iмiтаци реальних циклiчних сигналiв у коливних системах.

Метою ще! роботи е розроблення методiв iмiтацiйного моделювання на ЕОМ циклiчних випадкових процеЫв, зокрема, таких 1х важливих пред-ставникiв, як циклiчних бших шумiв, процесiв iз незалежними цикичними приростами, циклiчних Марковських випадкових процешв.

2. Основна частина

Згiдно робгг [1-3] дамо означення неперервного цикшчного випадко-вого процесу, що е шдкласом циклiчних функцiй.

Означення 1. Сепарабельний випадковий процес {%(<■,t),< е П,t е R}, називаеться цикшчним випадковим процесом, якщо iснуе така функщя T (t, n), яка задовольняе умовам функци ритму, тобто умовам (1), (2), що

скiнченновимiрнi вектори (%(a,t{), %(a,t2) ,...,%(a>,tk)) i (%(ю,t1 + T(t1,n)), ¿¡(<t2 + T(t2,n))),...,4(<d,tk + T(tk,n)), n е Z, де {tb t2,...,tk} - множина сепара-бельностi процесу {(<,t),<е П,t е R}, при всiх цiлих k > 1 е стохастично е^валентними у широкому розумiннi.

Функцiя ритму T (t, n) визначае закон змши часових iнтервалiв мiж однофазними значеннями цикшчно! функци.

Функщя T (t, n) повинна задовольняти певних властивостям.

Вона задана на всш дшснш ос t е R i на всш множит цших чисел, i р1вна нулю, коли n = 0. У решти випадках вона або додатна або вщ'емна, тобто:

a) T (t, n )> 0, якщо n > 0;

b) T (t, n ) = 0, якщо n = 0; (1)

c) T (t, n) < 0, якщо n < 0.

Для будь-яких t1 е R та t2 е R, для яких t2 > t1 для функци T (t, n) ви-конуеться нерiвнiсть:

ti + T (ti, n) < t2 + T (t2, n), Vn е Z. (2)

Так, для цикшчного випадкового процесу Ымейство його скшченнови-мiрних функцiй розподiлу задовольняе наступним рiвностям:

F1(x, t) = F1(x, t + T(t, n)), x, t е R, n е Z,..., Fk (xi,..., Xk, ti,..., tk) = Fk (xi,..., Xk, ti + T (ti, n),..., tk + (3)

+ T(tk,n)),xi,...,xk,ti,...,tk е Я,n е Z, k е N де функцiя T (t, n) вщображае закон змiни ритму цикшчного випадкового процесу. Якщо T (t, n) = n • T, T = const, T > 0, то будемо мати випадковий цик-лiчний процес iз стабiльним ритмом або так званий стохастично T -перюдич-ний процес за Слуцьким. Якщо T(t,nn • T, то будемо мати випадковий

цикшчний процес iз змiнним ритмом.

Аналогiчно означенню i, дамо означення дискретного цикшчного ви-падкового процесу.

Означення 2. Дискретний випадковий процес tmi),(е П,tmi е D},

називаеться цикшчним дискретним випадковим процесом, якщо юнуе така дискретна функщя T (tml, n), яка задовольняе умовам функци ритму, тобто умовам (i), (2), що скiнченновимiрнi вектори (£(,tmh), £(а>,tm2i2),..., £(а>,tmkik)) i (%(&,tmi + T(tmi,n)), 4((0,tm2i2 + T(,tm2i2,n)),..., £(rn,tmkik + T(tmkik,n)), n е Z, при всiх цiлих k > i е стохастично еквiвалентними у широкому розумшт.

Область Б = т е Z, I = 1,Ь | е областю визначення дискретного

цикшчного випадкового процесу tml), т - номер циклу цикшчного випадкового процесу, I - номер вщлжу дискретного випадкового процесу в рамках його т -го циклу.

Так, для дискретного цикшчного випадкового процесу Ымейство його функцш розподшу задовольняе наступним рiвностям:

Fl(X,tml) = + Т^тЬ п)) Х е И, tml е Ц п е Z,•••, ^ ^ь...-, Х^ tm1l1,•••,tmklk) =

¥к (Х1,..., Хь , + Т (tmlll, п) ,•••, ^-т^ь

+Т(ть, п)), (4)

Х1,•••,Хь е Я,tmlll,•••,ть е Б, п е ^ к е N.

Стосовно iмiтацiйного моделювання неперервних циклiчних випадко-вих функцiй, то, звичайно, ми можемо моделювати на ЕОМ тшьки 1х дис-кретнi аналоги, тобто вкладеш в них дискретнi цикшчш випадковi процеси. Тобто, вiд процесу t),юе П,t е R} необхiдно перейти до вкладеного у

нього дискретного цикшчного процесу т),юе П, 1т1 е D}, до того ж

чим бшьше Ь, тим точшше i повнiше буде змодельовано на ЕОМ неперер-вний циклiчний випадковий процес. Реально завжди можемо моделювати тшьки скшченну кшьюсть циклiв процесу.

2.1. Метод 1мггацшного моделювання дискретного цикл1чного випадкового процесу

Нехай необхщно змоделювати на ЕОМ М цикшв дискретного цикшч-ного випадкового процесу tml),юе П, т е D} iз функщею ритму

Т (tml, п), що заданий своею Ь -вимiрною функщею розподiлу (4). Приведемо

алгоритм iмiтацiйного моделювання.

Кожному циклу випадкового процесу зютавимо Ь -вимiрний вектор

випадкових величин (*), I = 1,Ь,*е П'}, тобто

т) = &(*)*е П,Ют е П', т = 1,М, I = 1,Ь (5)

для Ь -вимiрноl функци розподiлу якого виконуеться рiвнiсть

Fk(Xl,..., Хь) = ^Ь(хь...

До того ж П = (П')м.

Згенеруемо перший цикл реалiзацil т), tml е D} дискретного цик-

лiчного випадкового процесу, що заданий на множит точок и^, I = 1, Ь

шляхом генерування одте! реалiзацil I = 1, Ь | вектора випадкових величин (*), I = 1, Ь |, тобто

ЮнЬб*, I = 1Ь. (7)

Згенеруемо другий цикл реалiзацil процесу, що отримуеться шляхом прове-

дення другого експерименту над вектором (*), I = 1, Ь |, але вiдлiки реалiзацil

модельованого процесу вже визначаються на множит = t1l + Т (t1l,l), I = 1, Ь.

За методом шдукци генеруемо довiльний т -й цикл, що здшснюеться шляхом проведення т -го експерименту над вектором (*), l = 1,Ь|, тобто

) = * l = 1_Ь, т = Щ, (8)

де вдаши т -го циклу реалiзацн дискретного цикшчного процесу вже визна-чаються на множинi = ^ + Т (t1l, т -1), l = 1, Ь |.

Тобто, для генерування М циклiв випадкового процесу необхщно провести М випробувань над вектором (¿), l = 1,Ь| випадкових величин,

реалiзацil якого можна отримати методом умовних розподшв [4].

Цей метод грунтуеться на ще! цикшчносл, тобто, що вибiрковi вектори в рiзних циклах циклiчного випадкового процесу е стохастично екшвалентни-ми. Проте даний метод не враховуе всю шформащю, що мютиться у Ь -вимiр-нiй функцн розподiлу цикшчного випадкового процесу. Врахування тако! ш-формаци здiйснюеться для вiдлiкiв, як мiстяться тiльки в рамках одного циклу, а не для вЫх вдашв процесу. Повнiстю шформащя про ймовiрнiсну структуру враховуеться в метод^ якщо циклiчний процес заданий тшьки своею од-новимiрною функцiею• Тому цей момент е певним недолжом методу.

Адаптуемо розроблений метод iмiтацiйного моделювання циклiчних випадкових процеЫв для iмiтацi! важливих пiдкласiв циклiчних випадкових процесiв•

2.2. 1мггацшне моделювання циклiчних бiлих шумiв

Дамо означення циклiчного бiлого шуму.

Означення 3. Бший шум t)¿е П,t е Я}, тобто процес iз неза-

лежними (некорельованими) значеннями, називаеться цикшчним бiлим шумом, якщо юнуе така функцiя Т (t, п), яка задовольняе умовам функцн ритму,

тобто умовам (1), (2), що випадковi величини t) та t + Т(t,п)), п е Z,

е стохастично еквiвалентними у широкому розумшт для будь-якого t е Я .

Так, для цикшчного бшого шуму його функщя розподiлу задовольняе наступнiй рiвностi:

Fr(x, t) = Fг(x, t + Т(t, п)), Х, t е Я, п е Z. (9)

Вiдзначимо, що аналопчно можна дати i означення дискретного цик-лiчного бiлого шуму, якщо припустити, що його область визначення е дис-

кретною множиною Б = т е Z, / = 1, Ь |.

У випадку iмiтацi! дискретного цикшчного бшого шуму маемо вектор незалежних Ь випадкових величин (¿у'),/ = 1,Ь !>, отримуемо незалежно

одна вiд одно! !х реалiзацп <-С1ш,, / = 1, Ь, якi приймаються рiвними вщлжам т -го циклу реалiзацi! дискретного цикшчного бшого шуму, тобто

) = £1Шт,юе П,Шт е П', l = \Ь, т = 1М • (10)

Аналогiчно до основного методу iмiтацiйного моделювання отри-маемо М цикшв дискретного цикшчного бшого шуму.

Вiдзначимо, що у випадку iмiтацiйного моделювання цикичного бшо-го шуму цей метод враховуе всю необхiдну апрюрну iнформацiю, оскiльки будь-якi значення бшого шуму е незалежнi, а тому вся його ймовiрнiсна структура може бути зведена до одновимiрноï функци.

Наведемо приклад iмiтацiйного моделювання на ЕОМ дискретного цикичного бiлого шуму Ï3 рiвномiрним законом розподiлу та Ï3 змiнним ритмом, що визначаеться функщею ритму T(tml,1)^ T. Нехай на кожен цикл 6i-

лого шуму припадае по L = 50 його вщлтв. Щшьтсть розподшу е цикшч-ною за часовим аргументом функщею, тобто:

PZ(X, tml) = Pz(X, tmi + T(tmUП)), П E Z, tmi E D , (11)

PZ(X, tml )

1

bt

,x<

[0, btmi ) ,

tml

btml l '

m = 1, M, l = 1, L .

(12)

0, x ф, bm ).

Параметричний коефiцiент Ьт = l, т = 1,М, l = 1, Ь е цикичною числовою функцiею iз змiнним ритмом, тобто Ь1т1 = Ьт+Т(т1п), п е Z.

На рис. 1-3 подано результати iмiтацiйного моделювання цикичного бiлого шуму iз змшним ритмом.

Рис. 1. Графт реалгзаци циклiчного бтого шуму h змшним ритмом

Рис. 2. Графки математичного сподiвання та його оцшки для змодельованого

дискретного ци^чного бтого шуму

Рис. 3. Графш функци ритму змодельованого ци^чного блого шуму

Рис. 4. Реалiзацiя процесу Î3 незалежними ци^чними приростами

Як видно з рис. 2, ощнка математичного сподавання досить точно збь гаеться 3i самим математичним сподiванням циклiчного бiлого шуму, що вказуе на вiрнiсть проведеного iмiтацiйного експерименту та на його високу точшсть.

2.3. 1м1тац1йне моделювання процесу i3 незалежними цикл1чними приростами

Як вщомо [5], процес {n(®,t), t е R} з дискретним чи неперервним часом називаеться процесом i3 незалежними (некорельованими) приростами, якщо при деякому фшсованому t0 для вЫх

t-m < t-m+i <... < t-i < t0 < ti < ... < tn-1 < tn, m,n е Z iз R випадковi величини T](œ, t-m ) - r/(œ, t-m+1 ) ,...,n(®, to ) - t-1 ) to ) ti ) - to ),..., (13)

T](û), tn )-n(®, tn-1 )

незалежш (некорельованi).

Означення 4. Стохастично неперервний з незалежними приростами процес rj(œ, t) будемо називати процесом з незалежними цикшчними приростами, якщо юнуе така функщя T ( t, n ), яка задовольняе умовам функци ритму, тобто умовам (1), (2), що при фжсованому h > 0 розподши прирос™ (ди-ференцiалiв) Ahn(œ,t)(dn(œ,t)) i Ahn(œ,t + T(t,n)) (dn(œ,t + T(t,n))) одинаковi для довшьного n е Z та для будь-якого t е R.

Алгоритм iмiтацil реашзацй цт( tml) дискретного випадкового процесу iз незалежним циклiчними приростами грунтуеться на перетворенш згенеровано! реалiзацil tml) дискретного бшого шуму згiдно з таким сшввщношенням:

т l ___

п(т1 ) = ЕЁ£»(кг), X = 1,Ь, т = 1,М. (14)

к=1 г=1

Наведемо приклад iмiтацiйного моделювання процесу iз незалежними циклiчними приростами, який утворено за алгоритмом (14), якщо циклiчний бь лий шум (14) е рашше змодельований, нiж бiлий шум iз рiвномiрним розподiлом.

2.4. 1м1тац1йне моделювання цикл1чних марковських випадкових процес1в

Як вщомо, марковським випадковим процесом називаеться випадковий процес, в якого багатовимiрнi функци розподiлу визначаються одновимiрною

функщею розподiлу i умовними функцiями розподшу переходiв, тобто

к _

^(х1,...,Хк,tl,...,tk) = (х1,tl) П(,tу|ху-1,tj-l), х1, tj е Я, у = 1,к . (15)

}=2

Марковський процес називають стацюнарним, якщо сiмейство його функцш розподiлу е iнварiантне стосовно до зсувiв у часi. Якщо Ымейство функцiй розподiлу е перiодичним за сукупшстю часових аргументiв, то гово-рять про перiодичний марковський процес.

Дамо означення цикшчного марковського процесу. Означення 5. Марковський процес називаеться цикшчним, якщо юнуе така функщя Т (t, п), яка задовольняе умовам функци ритму, тобто умовам

(1), (2), що для його одновимiрних безумовно1 та умовно1 функцш розподшу мають мюце рiвностi:

^ (х,t) = /1 (х,t + Т(t,п)), х,t е Я, п е Ъ, ¥1 (tj\xj-l, tj-l) = (Х] tj + Т (tj, п )| Х-Ь tj-l + Т (tj-l, п)), (16)

Ху, tj е Я, у = 2, к, п е Ъ .

Аналопчно можна дати означення дискретного цикшчного марковського випадкового процесу, що приймае значення iз сюнченно1 або злiченноl множин.

Розглянемо алгоритм iмiтацiйного моделювання дискретного цикшчного марковського випадкового процесу зi скiнченною областю значень.

Нехай необхщно провести iмiтацiйне моделювання дискретного цик-лiчного марковського випадкового процесу iз змiнною функцiею ритму

Т (tml, п), що заданий на област визначення D = - tml, т = 1,М, Х = 1, Ь >, до того

ж, нехай процес набирае цш значення iз множини -1, К. Нехай у початковий

момент часу ^ = 0 процес перебувае в одному iз К можливих станiв, ймовiр-нiсть перебування в яких задаеться вектором ймовiрностей початкових станiв

Ро = -Рок, к = 1, К \,

(17)

до того ж, для ймовiрностей вектора (17) виконуеться рiвнiсть

К

Е Ро, к=1. к=1

(18)

Уся подальша еволюцiя марковського дискретного цикшчного випад-кового процесу задаеться множиною iз Ь матриць ймовiрностей переходу

РХ,11 Рх,12 ... РХ,1К РХ,21 РХ,22 ... РХ,2К

РХ,К1 РХК2 ... РХ,КК

X = 1, Ь.

(19)

множиною моментiв часу |t1l, X = 1, Ь, що задають область визначення першого

циклу процесу та функщею ритму Т (t1l, т), т = 2,М, яка визначае вс подальшi моменти часу дискретно1 областi визначення марковського процесу, тобто:

т = к + Т(,т -1), т = 2,М, X = 1,Ь. (20)

Алгоритм iмiтацiйного моделювання дискретного марковського цик-лiчного випадкового процесу полягае в наступному.

1. У початковий момент часу = 0 визначаемо стан, в якому перебувае процес, шляхом перев1рки умови:

5г-1 <а*о < Sг, г = 1, К,

(21)

де £0 = 0, Бг = Е Рок, $К = 1; аЮо - реалiзацiя базово1 випадково1 величини

к=1

а(ю) з рiвномiрним на пiвiнтервалi [0,1) розподiлом, яка може бути отримана вiдомими методами iмiтацil (метод середнiх квадратiв, конгруентш методи).

Тобто, для деякого г = е |1, Кнерiвнiсть (21) обов'язково виконаеться, а це

означатиме, що реалiзацiя цикшчного марковського випадкового процесу у початковий момент часу прийме значення, що рiвне к = г?11 ^) = г?11).

2. Для визначення стану реашзацй модельованого процесу в наступний момент часу ^2 беремо г?11-й рядок першо1 матриц 1з множини матриць ймов1рностей переходу (19) 1 згенерувавши реашзащю а* базово1 ви-иадково1 величини а(ю), иерев1ряемо умову:

Бг-1 <а*< Я, г = 1, К.

(22)

де Бг = ^Рц/ • Тобто, для деякого г = г12 е |1,К| нерiвнiсть (22) обов'язково

виконаеться, а це означатиме, що реалiзацiя циклiчного марковського випад-кового процесу в момент часу 112 прийме значення, що рiвне к = г12 (12) = г12 )•

3. У загальному випадку, для визначення значення реашзаци цикшчного

марковського випадкового процесу в момент часу tml, т = 1,М, I = 1, Ь ,

якщо в момент часу tmJ-1 процес перебував в гт ы-му (гт-1 е <1, К |) стат, необхщно взяти к -й рядок (к = Гт—) I -1 матриц 1з множини матриць ймов1рностей переходу (19) згенерувавши реашзащю аЮт1 базово! ви-падково! величини , перев1рити умову:

Бг-1 <аЮпй < Бг, г = \К, (23)

де Бг = ^ р1к,- • Тобто, для деякого г = гт1 е <<1, К| нерiвнiсть (23) обов'язково

виконаеться, а це означатиме, що реашзащя цикшчного марковського випадкового процесу в момент часу tml прийме значення, що рiвне к = гт (tml) = гт).

3. Висновки

У робот розроблено методи iмiтацiйного моделювання дискретних цик-лiчних випадкових процесiв, зокрема, циклiчних бiлих шумiв, процесiв iз неза-лежними цикшчними приростами, циклiчних марковських випадкових проце-сiв• Подано результати iмiтацiйного моделювання на ЕОМ цикшчного бшого шуму та процесу iз незалежними цикшчними приростами. Розроблено методи iмiтацiйного моделювання дають змогу проводити iмiтацiйнi експерименти iз дослiдження реальних коливних систем та цикшчних сигналiв• Зокрема, iз ви-користанням методу статистичних випробувань (методу Монте-Карло) на ос-новi розроблених методiв iмiтацil циклiчних випадкових процеЫв можна проводити комп'ютерш експерименти iз знаходження ймовiрнiсних характеристик вихщного сигналу лшшно! та нелшшно! динамiчних систем, коли на !х вхiд дiе циклiчний випадковий процес • Результати можуть бути використанi шд час розроблення програмних генераторiв тестових цифрових сигналiв для потреб навчання та тестування комп'ютерних систем розшзнавання образiв•

Лiтература

1. Приймак М., Боднарчук I., Лупенко С. Умовно перюдичш випадков1 процеси 1з змшним перюдом// Вюник тДтУ^ - Тернотль: ТДТУ - 2005, т 10, № 2. - С 143-152^

2. Лупенко С. Цикшчний випадковий процес 1з змшним ритмом// Тези доповщей дев'ято! наук-техш конф^ - Тернотль: ТДТУ^ - 2005^ - С 61

3. Лупенко С. Цикшчш випадков1 функцп в задачах моделювання цикшчних сигнал1в та коливних систем// Вим1рювальна та обчислювальна техшка в технолопчних процесах^ -Хмельницький: Навчальна книга^ - 2005, № 1 - С 132-139^

4. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике^ - М^: Советское радио, 1971 - 328 с

5. Красильников О.1., Марченко Б.Г., Приймак М.В. Процеси з незалежними перюдич-ними приростами 1 перюдичш бш шуми// Вщб1р 1 обробка шформаци\ - 1996, вип Щ - С 22-27^