CC BY
41
Шаталова А.Ю., Лебедев К.А.
DOI: 10.33693/2313-223X-2019-6-2-71-76
УДК 519.688
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ НЕЧЕТКОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С а-УРОВНЕВЫМ МЕТОДОМ Л-ПРОДОЛЖЕНИЯ
Шаталова Алевтина Юрьевна, ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет». Краснодар, Российская Федерация. E-mail: [email protected]
Лебедев Константин Андреевич, доктор физ.-мат. наук, профессор; ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», Краснодар, Российская Федерация. E-mail: [email protected]
Аннотация. В статье описан подход, позволяющий формально описать возникающие неопределенности в задачах линейной оптимизации. Рассмотрен обобщенный параметрический альфа-уровневый метод лямбда-продолжения задачи нечеткого линейного программирования. В модели предложены два способа, учитывающие расширения бинарного нечеткого отношения («сильное» и «слабое»). После формирования условия с учетом входящих величин в виде нечетких чисел (целевая функция и система ограничений), с помощью симплекс-метода, реализованного в Mathcad, вычисляется оптимальное решение (значение целевой функции) для каждого альфа и лямбда. На его основе построена математическая модель, которая будет учитывать случайные величины альфа и лямбда с равномерным законом распределения. В работе приводится описание имитационного исследования, которое дало набор устойчивых статистик, подтверждающих возможности метода. Используя описанную в этой статью теорию, лицо принимающее решение получает больше информации, показывающей поведение системы при малых изменениях входных параметров, чтобы сделать более обоснованные выводы о выборе финансирования того или иного инвестиционного проекта. Разработанная методика имитационного моделирования оценки нечеткости может применяться и к другим экономическим моделям с соответствующей необходимой модификацией, например для оценки кредитоспособности предприятия.
Ключевые слова: нечеткое линейное программирование, оптимизационные задачи, параметрическое линейное программирование с нечеткими данными, принцип расширения, имитационное моделирование.
Введение
Линейное программирование в настоящее время широко применяется в различных экономических задачах, например при оптимальном планировании производства, формировании минимальной потребительской продовольственной корзины, при расчете оптимальной загрузки оборудования, во время раскроя материала, при составлении плана реализации товара и т.д. [6-8; 20] На практике требование детерминированности входных данных в задаче линейного программирования является неоправданным упрощением реальности. Так, часто входящие экономические показатели характеризуется множеством факторов (сложные механизмы подсчета издержек производства, временная стоимость денег, погрешности в расчетах). Также на практике зачастую приходится принимать решение в условиях неточности исходных данных. В подобных ситуациях могут применяться специальные методы для работы с неопределенностями. Область математики, рассматривающая информацию в «неточном виде», получила название «Теория нечетких множеств» [11]. Данная теория помогает детальнее интерпретировать результаты полученные в ходе наблюдений, информации полученной опытным путем. Также она дает исследователю инструменты для анализа неоднородных и недостаточных выборок, игнорирующихся классической теорией вероятностей [Там же]. В подобных ситуациях могут применяться специальные методы для работы с неопределенностями. Экспертные системы, построенные в рамках этой теории, хорошо себя зарекомендовали не только при
оценке количественных, но и лингвистических неопределенностей [11]. В данный момент этот раздел математики является развитым научным направлением, имеющим большое прикладное значение [23; 28; 30].
При разработке инструментария для нечеткого подхода в линейном программировании используются различные методы. от вид задач, в которых множество допустимых выборов описано нечетким образом, принимают вид задач нечеткого математического программирования [5]. Существует два различных подхода к их решению:
1) подход Беллмана-Заде - задача формулируется как задача выполнения нечеткой цели при нечетких ограничениях, причем решение задается пересечением нечетких множеств цели и ограничений [3];
2) выбираются эффективные альтернативы в понимании Парето [19].
Для некоторых задач нечеткого линейного программирования нахождение полного решения - трудоемкая задача, требующая больших вычислительных затрат, поэтому на практике применяется второй подход. В этих случаях ищут так называемое «компромиссное» решение: рассматриваются различные функции предпочтения, превращающие в единственную компромиссную целевую функцию бесконечное множество целевых функций.
В работах [18; 19] представлены методы линейной оптимизации с нечеткими данными, позволяющие находить оптимальные решения задач линейного программирования с коэффициентами «в виде нечетких чисел путем сведения их к параметрическим задачам линейного программирования».
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
В работе [23] рассмотрен пример данного подхода к экономической задачи оптимального инвестирования. В статье [24], в отличие от [10; 19; 23], предлагается усовершенствовать метод: ввести дополнительный параметр Л е [0, 1], и вместо четырех связанных между собой задач с а е [0, 1] рассматривать две, но с двумя параметрами а, Л е [0, 1]. Параметр Л назовем параметром «гибкости», а сам метод параметрическим а-уровневым методом Л-продолжения задачи нечеткого линейного программирования.
Построенная модель позволяет решить задачу линейной оптимизации при нечетких коэффициентах в ограничениях и целевой функции. Вместе с тем, вид самой задачи при этом значительно усложнился и полученные результаты нуждаются в дополнительной интерпретации. В данной статье с этой целью предложен анализ функций принадлежности, полученный с помощью имитационного моделирования, которое в последнее время получило все большую популярность среди математических подходов.
Имитационная теория применяется для воспроизведения исследуемых процессов или явлений. Это раздел математического моделирования помогает учитывать влияние различных параметров, дать обоснование наиболее рационального решения для эксперта, накопить достаточно устойчивую статистику оценки надежности окончательного решения [21]. Имитационные модели - компьютерные программы, воспроизводящие события, происходящие в реальной системе. Достоинством такого подхода является возможность замены естественного процесса поведения системы на ускоренный процесс смены событий. Результатом работы такой модели является собранная статистическая информация о наиболее важных характеристиках (время ожидания, незначительно измененные входные величины), полученная в результате наблюдения за имитационной моделью.
Цель данной работы состоит в том, чтобы, используя разработанную модель нечеткого линейного программирования [24] и имитационное моделирование, подтвердить выводы о возможностях метода и дать набор устойчивых статистик.
Постановка задачи
В [19] задачи нечеткого линейного программирования рассматривались с коэффициентами в виде нечетких треугольных чисел, имеющих левую (Ц, правую (Я) стороны и середину (С), поэтому в линейной задаче выражение для целевой функции и ограничений могут быть записаны в форме левой (I) или правой (Я) стороны с использованием среднего значения (С) [23].
1,01—1-1-тт-1-
0,8..................V.............- 0,8
0,6 - / \
0,4 - / \
0,2........./.......................\-----0,2
05.13.18
При возникновении бинарного отношения можно установить следующие способы сравнения:
a = (aL, aC, aR); b = (bL, bC, bR),
где aC < bC - сравнение, аналогичное сравнению действительных чисел; aL < bR - «слабое» отношение; aR < bL -«сильное» отношение.
Данные обозначения вводятся в [19].
Таким образом, можем выделить два расширения бинарного отношения неравенства «меньше или равно» (<): «слабое» - A min < B, (Al < BR) и «сильное» - A max < B, (AR < BL), где А и В - линейные выражения относительно неизвестных с нечеткими треугольными коэффициентами (в частности треугольное число). Так как задача линейного программирования содержит отношение неравенства/равенства в ограничениях, которые могут быть записаны в форме левой (L) или правой (R) стороны коэффициентов, а целевая функция также может быть записана в форме левой (L) или правой (R) стороны коэффициентов, то метод задает четыре связанные между собой параметрические задачи.
В статье [24] рассмотрен метод четырех задач нечеткого линейного программирования [19], который обобщен до параметрического а-уровневого метода Л-продолжения.
Таблица 1
Параметрический а-уровневый метод Л-продолжения задачи нечеткого линейного программирования
Вид целевой функции Вид ограничений
X(cTx)a +(1 -^)(cTx)a ^min(max) X( Ax )а+(1 -X)( Ax )£< <XbR +(1 -X)bLa
X(cTx)a +(1 -^)(cTx)a ^min(max)
Преимущество приведенного метода состоит в том, что четыре задачи из [24] включаются в эти две, как частный случай. Новый подход позволяет получать более общие и гибкие решения, дает возможность влиять на меру принадлежности, чувствительность, устойчивость получаемых результатов. Исследования, приведенные в статье [24] показывают, что нечеткий подход обобщает известную методику [19], но при этом усложняет расчеты. Поэтому полученные результаты нуждаются в интерпретации, которые возможны за счет анализа функций принадлежности с помощью имитационного моделирования.
Построим математическую модель, которая будет учитывать случайные величины а и Л с равномерным законом распределения в задаче с аЛ продолжением нечеткого линейного программирования. Учитывая формулы табл. 1, данная модель рассматривает две задачи, используя тем самым двусторонний подход. Целевая функция будет учитывать левосторонний и правосторонний случаи при одних и тех же ограничениях.
Задача:
f = (cTx max; A x < b, x > 0,
где
f 7. 0 > r b ]
cT = (( c2); A = 0 a21 ; b = k
V a31 a32 J b3 \ 3 J
/ \
5 L 10 C 15 R 20
Рис. 1. Треугольное число a = (aL, aC, aR)
Шаталова А.Ю., Лебедев К.А.
заданные параметры - нечеткие нормальные треугольные числа со значениями:
с1 =(4,8; 5,05; 5,3); с2 =(2,9; 3,0; 3,1); а11 =(0,9; 1,0; 1,1); а12 =(0; 0; 0); а21 =(0; 0; 0); а22 =(0,9; 1,0; 1,1); а31 =(4,9; 5,0; 5,1); а32 =(2,9; 3,0; 3,1); Ьг =(0,8; 0,9; 1); Ь2 =(1; 1,1; 1,2); Ь3 =(5,9; 6,0; 6,1).
Реализация метода
Множество допустимых решений задачи с четкими коэффициентами показывает рис. 2.
Используя описанную выше модель, представим задачу нечеткого линейного программирования в виде двух параметрических задач:
/ = X(cTx)а +(1 -X)(cTx)а ^max; X( Ax )а +(1 -X)( Ax )a<XbR +(1 -X)bLa;
/ = X(cTx )а +(1 -X)(cTx )a ^ max; X( Ax )1+(1 -X)( Ax t<XbR +(1 -X)bL,
(1)
(2)
Рис. 2. Множество допустимых решений задачи
где Л е [0, 1]; А, п и Ь матрицы с элементами в виде нечетких чисел, представимых в виде а-сечений, при а, Л е [0, 1].
Иметационное моделирование
Программный модуль будет производить 1000 итераций и с каждым витком цикла вычислять значение целевой функции для сгенерированных случайных входных переменных а, Л е [0, 1] с помощью функции гпё, которая реализует равномерно распределенную величину на отрезке [0,1] (рис. 3, а, б).
На первом этапе после присвоения а, Л случайных значений, происходит преобразование коэффициента из нечеткого множества в параметрический вид согласно формулам табл. 1 с использованием а-сечений. Затем формируются ограничения и вид целевой функции по формулам (1) и (2).
После формирования условия, с помощью симплекс-метода реализованного в Mathcad вычисляется оптимальное решение для каждого а, Л е [0, 1]. Например, конкретная единичная реализация случайной равномерно распределенной величины на промежутке [0, 1] оказалась равной / = 5,201.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0,73 0,126 0,813 0,798 0,559 0,3 0,027 0,226 0,433 0,456 0,562 0,376 0,803 0,728
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0,50 0,019 0,045 0,369 0,294 0,889 0,046 0,011 0,282 0,689 0,259 0,992 0,372 0,743
б
Рис. 3. Имитационная реализация случайного процесса:
а - изменение значения а е [0, 1]; б - изменение значения Л е [0, 1]
На основе полученных оптимальных значений в каждой итерации вычисляется математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение оптимальных значений и значения целевой функции. С помощью симплекс-метода реализованного в MathCad вычисляется оптимальное решение, которое находится либо в одной, либо в другой угловой точке. На основе полученного значения данной функции, вычисляется функция принятия решения.
Было проведено n = 1-1000 имитаций случайных величин а, Л е [0, 1], результаты работы метода, приведены в табл. 2 и в 3 ниже. Во второй колонке - математические ожидания, в третьей - среднеквадратичные отклонения величин f, xv x2, ind. Так как задача с четкими коэффициентами легко реализуема в графическом виде (рис. 2), можно заметить, что оптимальное решение будет в одной из двух угловых точек. Значение ind показывает, какой из двух угловых точек принадлежит оптимальное решение и имеет значение либо 1, либо 2.
Таблица 2
Математические ожидания и среднеквадратичное уклонение величин У, х1, х2, ^ нечеткой задачи, представленной в виде формулы (1)
M a = yíü
f 6,042 0,075
xi 0,843 0,132
X2 0,596 0,224
ind 1,162 0,368
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ 05.13.18
в одной или в другой угловой точке (математическое ожидание ^ = 1, 2 равно 1,162), что указывает на высокую чувствительность полученной модели. В табл. 3 наоборот показано, что данная модель с ограничениями типа (2) не обладает такой чувствительностью (математическое ожидание ^ = 1, 2 равно 1).
Анализ показывает, зависимость степени неопределенности и оптимального решения, и может в зависимости от чувствительности, существенно влиять на конечный результат. Использование случайных а, Л е [0, 1] показывают такие зависимости и будучи выбранными экспертами могут прогнозировать результат оптимизации. По этой причине параметр а можно назвать параметром «нечеткости» (задает степень нечеткости входных параметров), а параметр Л - параметром «гибкости» задает степень чувствительности модели). Вместе они дают возможность влиять на свойства линейной задачи оптимизации: меру принадлежности, чувствительность, устойчивость.
На рис. 4 представлены результаты имитационного моделирования значений целевой функции:
П
6,3-1--1-1--г
б
Рис. 4. Имитационная реализация случайного процесса - изменение значения целевой функции вида:
a - l(crx)l + (l-Х)(сгх)Л^- max; б - f = х(сгх)Л+(1 -Х}(стх))а^ max
На рис. 4, a, б показывают, что значение целевой функции изменяется в интервале (5,7; 6,3), и хотя зависит от случайных значений а, Л е [0, 1] изменяется в довольно узких пределах.
Также сравнивая два случая табл. 2 и 3, когда целевая функция будет учитывать либо левосторонний, либо правосторонний случай можно заметить, что среднеквадратичное отклонение входящих переменных в случае правосторонней целевой функции уменьшается, а дисперсия исходного значения увеличивается. Случай с правосторонней целевой функцией принимает оптимальное значение в одной и той же точке при любых а и Л из отрезка от 0 до 1,
Таблица 3
Математические ожидания и среднеквадратичное уклонение величин У, х1, х2, ^ нечеткой задачи, представленной в виде (2)
M q = 4d
f 6,048 0,107
x1 0,9 0,0034
X2 0,5 0,01
ind 1 0
Сравнив значение таблиц можно заметить, что в первом случае (табл. 2), оптимальное значение при различных случайных а, Л е [0, 1] принимает оптимальное значение
что с точки зрения экспертного понимания природы экономической задачи, свидетельствуют о большей степени «четкости» получаемых данных.
Заключение
Согласно предложенной модели для рассмотренной задачи построены две модели, учитывающие два расширения бинарного нечеткого отношения («сильное» и «слабое»). После формирования условия, с помощью симплекс-метода, реализованного в MathСad вычисляется оптимальное решение для каждого а, Л е [0, 1], и вычисляется оптимальное
Шаталова А.Ю., Лебедев К.А.
решение и значения целевой функции. Была проведена 1000 имитационных опытов случайных величин а, Л е [0, 1]. Результаты работы метода и сравнение получаемых значений, статистические характеристики исследуемых величин приведены в таблицах.
Исследование, которое было проведено в данной работе, дало набор устойчивых статистик, подтверждающих выводы о возможностях применения описанного метода задачи нечеткого линейного программирования с а-уровневым методом Л-продолжения. Используя предлагаемую теорию, эксперт сможет более обосновано принимать решения о финансировании инвестиционных проектов. Разработанная методика имитационного моделирования оценки нечеткости может применяться и к другим экономическим моделям с соответствующей необходимой модификацией, например для оценки кредитоспособности предприятия [1; 25].
Литература
1. Бамадио Б., Кузякина М.В., Лебедев К.А. Оценки кредитоспособности предприятия на основе пятифакторной модели Альтмана при использовании аппарата нечетких множеств и среднеквадратичного интегрального приближения // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2014. [Электронный ресурс]. URL: http://ej.kubagro.ru/2014/10/pdf/39
2. БережнойЛ.Н. Теория оптимального управления экономическими системами: учеб. пособие. СПб.: ИВЭСЭП, Знание, 2002.
3. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях. В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976. С. 172-215.
4. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.
5. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация. К.: Выща Школа, 1991. 191 с.
6. Коршунова Н.И., Плясунов B.C. Математика в экономике. М.: Ви-та-Пресс, 1996.
7. Лагоша Б.А., Дегтярева Т.Д. Методы и задачи оптимального управления: учеб. пособие. М.: МЭСИ, 2000.
8. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.
9. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979.
10. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими переменными. М.: Мир. 1975. 559 с.
11. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат; пер. с англ. 2-е изд. (эл.). М.: БИНОМ - Лаборатория знаний, 2013. 798 с.
12. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1976.
13. Семенчин Е.А., Шаталова А.Ю. Инвестиционный портфель с переменным объемом фонда инвестирования // Фундаментальные исследования. 2012. № 9. C. 739-744.
14. Семенчин Е.А., Шаталова А.Ю. Математическая модель максимизации прибыли, получаемой банком за счет реализации инвестиционных проектов // Фундаментальные исследования. 2012. № 6. C. 258-262.
15. Семенчин Е.А., Шаталова А.Ю. Оценка эффективности оптимального инвестиционного портфеля // Вестник КубГУ. Естественные науки. 2012.
16. Семенчин Е.А. Методика оценки эффективности оптимального инвестиционного портфеля. В кн.: Семенчин Е.А., Шаталова А.Ю. Экономическое развитие России в условиях глобальной нестабильности: тенденции и перспективы. Сочи, 2012.
17. Семенчин Е.А. Оптимизация инвестиционного портфеля c ограниченным объемом инвестирования. В кн.: Семенчин Е.А., Шаталова А.Ю. Экономика и эффективность организации производства. Брянская государственная инженерно-техническая академия, 2012.
18. Стародубцев И.Ю. Решение задачи линейного программирования с нечеткими параметрами // Технические науки - от теории к практике: сб. ст. по матер. VI междунар. науч.-практ. конф. Новосибирск: СибАК, 2012.
19. Фидлер М. Задачи линейной оптимизации с неточными данными / М. Фидлер, Й. Недома, Я. Рамик, И. Рон, К. Циммерманн. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. 288 с.
20. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование экономических систем. Динамическое программирование. М.: ИНЭУП, 1997.
21. Харин Ю.С. Основы имитационного и статического моделирования: учеб. пособие / Ю.С. Харин, В.И. Малюгин, В.П. Кир-лица, В.И. Любач, Г.А. Хацкевич. Минск: Дизайн ПРО, 1997. 288 с.
22. Хачатрян С.Р. Методы и модели решения экономических задач / С.Р. Хачатрян, М.В. Пинешня, В.П. Буянов. М.: Экзамен, 2005. 384 с.
23. Шаталова А.Ю. Нечеткое линейное программирование в задаче оптимального финансирования инвестиционных проектов, максимизирующей получаемый предприятием доход / А.Ю. Шаталова, К.А. Лебедев // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2015. № 9. Ч. 1.
24. Шаталова А.Ю. Параметрический а-уровневый метод \-про-должения для задачи нечеткого линейного программирования / А.Ю. Шаталова, К.А. Лебедев // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. 2018. № 1.
25. Шаталова А.Ю., Лебедев К.А. Усовершенствованный метод Альтмана для оценки кредитоспособности предприятия // Вестник научных конференции. 2018. № 4-2 (32). С. 119-122.
26. Altman E.I. Financial ratios, discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy. Journal of Finance. 1968. 23 (4).
27. Beaver W. Financial Ratio as Predictors of Failure, Empirical Research in Accounting. Journal of Accounting Research. 1967. № 4.
28. Deluca A., Termini S. A definition of a non-probabilistic entropy the of fuzzy sets theory. Information and Control. 1972. № 4.
29. Fulmer J. A Bankruptcy classification model for small finns. Journal of Commercial Bank Lending. 1984. № 6.
30. Hiyama T., Sameshima T. Fuzzy logic control scheme for an-line stabilization of multi-machine power system. Fuzzy Sets and Systems. 1991. Vol. 39.
MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS AND COMPLEX PROGRAMS 05.13.18
DOI: 10.33693/2313-223X-2019-6-2-71-76
SIMULATION OBJECTIVES OF FUZZY LINEAR PROGRAMMING WITH AN a-LEVEL METHOD OF A-CONTINUE
Shatalova Alevtina Jur'evna, Kuban State University. Krasnodar, Russian Federation. E-mail: [email protected] LebedevKonstantin Andreevich, PhD, professor; Department of Math and Computer Science, Kuban state University. Krasnodar, Russian Federation. E-mail: [email protected]
Abstract. The article describes an approach that allows to formally describe the arising uncertainties in linear optimization problems. The generalized parametric alpha-level method of lambda-continuation of the fuzzy linear programming problem is considered. The model offers two methods that take into account the expansion of the binary fuzzy ratio ("strong" and "weak"). After the condition is formed taking into account the incoming quantities in the form of fuzzy numbers (the objective function and the system of constraints), the optimal solution (the value of the objective function) for each alpha and lambda is calculated using the simplex method implemented in Mathcad. On its basis, a mathematical model is built that will take into account the random values of alpha and lambda with a uniform distribution law. The paper presents a description of the simulation study, which confirms the conclusions about the possibilities of the method. Using the proposed theory, the decision-maker receives more information showing the behavior of the system with small changes in the input parameters to make more informed conclusions about the choice of financing of an investment project. The developed method of simulation of fuzzy estimation can be applied to other economic models with the appropriate necessary modification, for example, to assess the creditworthiness of the enterprise.
Key words: fuzzy linear programming optimization problem, parametric linear programming with fuzzy data, the principle of expansion, fuzzy.
Reference list
1. Bamadio B., Kuzyakina M.V., Lebedev K.A. Enterprise credit ratings based on the Altman five-factor model using fuzzy sets and root-mean-square integral approximation // Politematicheskij setevoj elektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agrar-nogo universiteta. 2014. [Electronic resource]. URL: http://ej.kuba-gro.ru/2014/10/pdf/39
2. Berezhnoy LN. The theory of optimal control of economic systems. Tutorial. SPb.: IVESEP, Znanie, 2002.
3. Bellman R., Zade L. Decision Making in Vague Conditions. In the book: Issues of analysis and decision-making procedures. M.: Mir, 1976. P. 172-215.]
4. Zade L. The concept of a linguistic variable and its application to making approximate decisions. M.: Mir, 1976.
5. Zaichenko Yu.P. Operations research. Fuzzy optimization. K.: Vyshcha Shkola, 1991. 191 p.
6. Korshunova N. I., Plyasunov B. C. Mathematics in economics. M.: Vita-Press, 1996.
7. Lagosha B.A., Degtyareva T.D. Methods and problems of optimal control: proc. allowance. M.: MESI, 2000.
8. Kolemaev V.A. Mathematical Economics: Textbook for universities. M.: UNITI, 1998.
9. Ivanilov Yu.P., Lotov A.V. Mathematical models in economics. M.: Nauka, 1979.
10. Ortega J., Reinboldt V. Iterative methods for solving nonlinear systems of equations with many variables. M.: Mir. 1975. 559 p.
11. Pegat A. Fuzzy modeling and control / A. Pegat; per. from English. 2nd ed. (el.). M.: BINOM - Laboratoriya znanij, 2013. 798 p.
12. Pontryagin LS. Mathematical theory of optimal processes / L.S. Pon-tryagin, V.G. Boltyansky, R.V. Gamkrelidze, E.F. Mishchenko. M.: Nauka, 1976.
13. Semenchin E.A., Shatalova A.Yu. Investment portfolio with a variable volume of investment fund. Fundamental research. 2012. № 9. P. 739-744.
14. Semenchin E.A., Shatalova A.Yu. A mathematical model for maximizing the profits received by the bank through the implementation of investment projects. Fundamental Research. 2012. № 6. P. 258-262.
15. Semenchin E.A., Shatalova A.Yu. Evaluation of the effectiveness of the optimal investment portfolio // Vestnik KubGU. Estestvennye nauki. 2012.
16. Semenchin E.A. Methods for assessing the effectiveness of the optimal investment portfolio. In book: Semenchin E.A., Shatalov A.Yu. Russia's economic development in the context of global instability: trends and prospects. Sochi, 2012.
17. Semenchin E.A. Optimization of the investment portfolio with a limited amount of investment. In book: Semenchin E.A., Shatalov A.Yu. Economy and efficiency of production organization. Bryansk State Engineering-Technic Academy, 2012.
18. Starodubtsev I.Yu. Solution of the linear programming problem with fuzzy parameters // Technical Sciences - from theory to practice: collection of articles. Art. on mater. VI Intern. scientific-practical conf. Novosibirsk: SibAK, 2012.
19. Fidler M. Problems of linear optimization with inaccurate data / M. Fidler, J. Nedom, J. Ramik, I. Ron, K. Zimmermann. M.-Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», Institut komp'yuternyh issledovanij, 2008. 288 p.
20. Khazanova LE. Mathematical modeling of economic systems. Dynamic programming. M.: INEUP, 1997.
21. Kharin Yu.S. Fundamentals of simulation and static modeling: proc. allowance / Yu.S. Kharin, V.I. Malyugin, V.P. Kirlitsa, V.I. Lyubach, G.A. Khatskevich. Minsk: Dizajn PRO, 1997. 288 p.
22. Khachatryan S.R. Methods and models for solving economic problems / S.R. Khachatryan, M.V. Pineshnya, V.P. Buyanov. M.: Ekzamen, 2005. 384 p.
23. Shatalov A.Yu. Fuzzy linear programming in the problem of optimal financing of investment projects, maximizing the income received by the enterprise / A.Yu. Shatalov, K.A. Lebedev // International Journal of Applied and Fundamental Research. 2015. № 9. Part 1.
24. Shatalov A.Y Parametric a-level ^-continuation method for a fuzzy linear programming problem / A.Yu. Shatalov, K.A. Lebedev // Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, informatika. 2018. № 1.
25. Shatalova A.Yu., Lebedev K.A. Improved Altman method for assessing the creditworthiness of the enterprise // Vestnik nauchnyh kon-ferencii. 2018, № 4-2 (32). Pp. 119-122.
26. Altman E.I. Financial ratios, discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy // Journal of Finance. 1968. 23 (4).
27. Beaver W. Financial Ratio as Predictors of Failure, Empirical Research in Accounting // Journal of Accounting Research. 1967. № 4.
28. Deluca A., Termini S. A definition of a non-probabilistic entropy the of fuzzy sets theory // Information and Control. 1972. № 4.
29. Fulmer J. A Bankruptcy classification model for small finns // Journal of Commercial Bank Lending. 1984. № 6.
30. Hiyama T., Sameshima T. Fuzzy logic control scheme for an-line stabilization of multi-machine power system. Fuzzy Sets and Systems. 1991. Vol. 39.
