Иллюстрация к теореме Гаусса Маркова Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ИЛЛЮСТРАЦИЯ К ТЕОРЕМЕ ГАУССА - МАРКОВА

Наталья Борисовна Лесных

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.

Плахотного, 10, кандидат технических наук, профессор кафедры прикладной информатики СГГА,тел. (383)343-18-53

Галина Ивановна Лесныгх

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, ул.

Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной геодезии СГГ А, тел. (383)344-36-60, e-mail: [email protected]

Теорема Гаусса - Маркова иллюстрируется примером уравнивания модели нивелирной сети при различных законах распределения ошибок измерений с использованием статистических методов анализа.

Ключевые слова: теорема, анализ, закон распределения, критерий, дисперсия.

ILLUSTRATION OF THE GAUSS - MARKOV THEOREM

Natalya B. Lesnykh

Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo, Novosibirsk 630108, St., Prof., department of applied information SSGA, tel. (383)343-18-53

Galina I. Lesnykh

Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo, Novosibirsk 630108, associate Prof., department of applied geodesy and information systems SSGA, tel. (383)343-29-55, e-mail: [email protected]

Gauss - Markov theorem is illustrated by the leveling network adjustment models with different laws of measurement errors distribution using statistical methods of analysis.

Key words: theorem, analysis, distribution law, criterion, dispersion.

Теорема Гаусса - Маркова содержит доказательство того, что математическая обработка геодезических измерений по методу наименьших квадратов (МНК), при отсутствии систематических ошибок в результатах измерений и независимо от вида их распределения, позволяет получать несмещенные и эффективные оценки искомых неизвестных [1]. Дополним

теоретическое обоснование теоремы примерами экспериментальных исследований.

Сравним статистические свойства результатов уравнивания по методу наименьших квадратов (МНК) для трех законов распределения случайных ошибок измерений - нормального, логистического и Лапласа [2], [3], некоторые характеристики которых представлены в табл. 1.

Таблица 1. Свойства и характеристики

Закон Р(|Д| < а) Р(|Д| < 2а) Р(|Д| < 3а) Р(Д > 0) Б Е

Нормальный 0,683 0,954 0,997 0,5 0 0

Логистический 0,720 0,948 0,991 0,5 0 1,2

Лапласа 0,757 0,941 0,986 0,5 0 3

Логистическое распределение, по своим свойствам наиболее близкое к нормальному, двухпараметрическое: параметр сдвига а = МХ - математическое

ожидание, масштабный параметр 1 = Ол/3/р, о - среднее квадратическое

отклонение. Функция логистического распределения имеет вид:

Р(х) =---Х— , 2 = . (1)

1+е-2 1

Закон распределения Лапласа в исследованиях [3] присутствовал в смесях распределений разностей отметок, а также был признан наиболее подходящим (хотя и не вполне соответствовал) для разностей средних превышений высокоточного нивелирования. Функция распределения Лапласа а - х

Р(х) =

1

—е 1 при -¥< х <а

2 , (2)

х - а

і 1 -_Т“

1-—е 1 при а < х<¥

Мх = а=0, 1 =-^ - параметры закона распределения Лапласа.

Проверим влияние закона распределения на результаты уравнивания по МНК на примере модели нивелирной сети, состоящей из двадцати пяти замкнутых полигонов с числом измерений п = 60 и числом избыточных измерений г = 28. В истинные значения результатов измерений У1 внесены случайные ошибки А1, распределенные по нормальному (в двух вариантах) и логистическому закону с математическим ожиданием МХ = 0 и средним квадратическим отклонением о = 1, а также закону Лапласа с параметрами а = 0 и X = 1.

Случайные числа - ошибки измерений, имеющие логистическое распределение, сформированы по формуле [2]:

X=а+11п

1-Ъ

(3)

Ъ

Случайные ошибки измерений с распределением Лапласа получены по формулам:

X = а+^1п(2 • Ъ), для Ъ < 0,5; X = а - ^1п(2 - 2 • Ъ), для Ъ > 0,5, (4)

где вектор Ъ - распределен равномерно с параметрами [0, 1].

Обозначено:

у; = У; + А; - результаты измерений;

у1 = у; + V; = У; + А; + V; - уравненное значение измеренной величины;

И; = у; - У; = У; + А; + V; - У; =А; + V; - истинная ошибка уравнивания.

Для каждого заданного распределения ошибок измерений установим закон распределения истинных ошибок уравнивания, для чего выполним их статистический анализ.

Ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения. Закон распределения истинных ошибок уравнивания также нормальный: по данным второго варианта оценка асимметрии Б =- 0,151, 2о§ = 0,61; оценка

эксцесса Е=-0,31, 2ое =1,16. Значение статистики критерия Пирсона X2 =1,3,

Р( X2 > %э ) = 0,254. Выполняются все свойства случайных ошибок.

Ошибки измерений подчиняются логистическому закону распределения. Закон распределения истинных ошибок уравнивания - нормальный: Б = 0,136,

Е=-0,345. Значение статистики критерия Пирсона X2 =0,676, Р( X2 > X2) = 0,411.

Выполняются все свойства случайных ошибок для нормального закона распределения. Логистический закон также имеет место, но с худшими показателями для свойств случайных ошибок логистического распределения и

меньшей вероятностью критерия Пирсона: X2 = 2,37, Р(X2 > X2 )= 0,124.

Ошибки измерений распределены по закону Лапласа. Оценка эксцесса Е=2,969, фактически совпадает с теоретическим значением эксцесса кривой распределения Лапласа, Е = 3. Две ошибки превышают 30, но меньше 3,50. Закон распределения истинных ошибок уравнивания - нормальный:

Б = 0,355, Е=-0,298. Значение статистики критерия Пирсона X2 = 0,404, Р(X2 2

> X:?) = 0,525. Выполняются все свойства случайных ошибок нормального закона распределения, статистика критерия равенства средних 1 = 0,644, Р(1 > 1э) = 0,522.

2

Поправки к результатам измерений, полученные под условием [V ]=шт также распределены нормально:

Б = - 0,435, Е = 0,025, %2 = 2,275, Р( с2 > с2) = 0,131; 1 = 1,542, Р(; > Із) = 0,128.

Случайные ошибки результатов измерений А ^ подчиняются закону распределения Лапласа (А18 = 5,30, А32 = 5,52). Поправки МНК vL распределены нормально ^8 =- 2,92, vз2 =- 2,96). Истинные ошибки уравнивания ^ =АL + VL распределены нормально (и^ = 2,38, И32 = 2,56).

Таким образом, все вектора истинных ошибок уравнивания: для

нормального закона ошибок измерений и1, и2, логистического закона ил,

закона Лапласа UL распределены нормально. По результатам проведенных исследований истинные ошибки уравнивания случайны (не смещены) и распределены нормально, что является не только иллюстрацией, но и некоторым дополнением теоремы.

Сравним точность результатов уравнивания.

Средние квадратические ошибки результатов измерений, вычисленные до уравнивания по случайным ошибкам каждой выборки, по формуле Г аусса

т =

[А2]

п

(5)

получили следующие значения:

1) Нормальный закон распределения т1 = 0,96, т2 =1,08:

2) Логистический закон т л =1,00;

3) Закон распределения Лапласа mL =1,65.

Ряды измерений с ошибками, распределенными по нормальному и логистическому законам можно считать равноточными.

Насколько совпадают результаты оценки точности уравненных измерений одной и той же нивелирной сети при различных законах распределения ошибок измерений, проверим двусторонним критерием равенства дисперсий Фишера: Средняя квадратическая ошибка уравненного измерения будет определяться формулой:

т=

ит • Р • и

п

(6)

где Р - весовая матрица уравненных результатов измерений.

Е

= т^ = ит • Р • и1 = ит • и1 = 36,94 =

тл ил •Р •ил

т

и л • и л

32,34

1,143, Р(Е > Ез) = 0,606.

Здесь Р • Р 1 = Е.

т2 ит • и2 46,98

т

л

т

и тл • и л

32,34

1,453, Р(Е > Ез) = 0,151;

2

Высокая вероятность достигаемого уровня значимости Р(Е > Ез) позволяет говорить о равенстве характеристик точности уравненных по МНК превышений по различным вариантам исследований. Гипотеза о равенстве дисперсий не противоречит результатам наблюдений. Альтернативная гипотеза о том, что дисперсии не равны, должна быть отвергнута.

При одинаковой точности измерений закон распределения не оказывает влияния на точность результатов уравнивания, вследствие чего и на эффективность оценки дисперсии.

Статистика Ез для различных заданных законов распределения до уравнивания больше, чем после уравнивания. Например, до уравнивания Ат А

Ез = ^=2,335, Р(Е > Ез) = 0,0013 - мала.

А2 •А2

После уравнивания: Ез = ^ ^ = 70,64 =1,504, Р(Е > Ез) = 0,117,

-'А з Т Л ґ АП 4 7

ит • и2 46,98

нулевая гипотеза не противоречит результатам опыта.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Большаков В.Д., Маркузе Ю.И., Голубев В.В. Уравнивание геодезических построений. - М.: Недра, 1989. - 413 с.

2. Лемешко Б.Ю. Статистический анализ одномерных наблюдений случайных величин. - Новосибирск: НГТУ, 1995. - 125 с.

3. Лесных Н.Б. Законы распределения случайных величин в геодезии: монография -Новосибирск: СГГА, 2005. - 128 с.

© Н.Б. Лесных, Г.И. Лесных, 2012