Игровой подход к задаче синтеза управления самолетом при заходе на посадку Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т О м XII 19 8 1

№ 1

УДК 629.735.33.015.077

ИГРОВОЙ ПОДХОД К ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ САМОЛЕТОМ ПРИ ЗАХОДЕ НА ПОСАДКУ

И. И. Титовский

Рассматривается задача об управлении неманевренным самолетом в продольном канале на участке полета по глиссаде при действии ветровых возмущений с использованием методов теории дифференциальных игр. Получен оптимальный алгоритм управления, обеспечивающий минимальное гарантированное отклонение самолета от глиссады, с учетом ограничений на скорость перекладки органов управления. Приведены результаты численных расчетов.

Рассматривается игровой подход к задаче об управлении неманевренным самолетом в продольном канале на участке полета по глиссаде при действии ветровых порывов. При таком подходе предполагается, что возмущения, в данном случае ветровые порывы, на оставшемся отрезке времени движения действуют наихудшим образом. Закон управления определяется из решения модельной игровой задачи, в которой изолированное продольное движение описывается линеаризованными уравнениями в вариациях относительно номинальной траектории. Считается, что ветровые порывы имеют ступенчатую форму, произвольную длительность и ограничены по величине

К (01 I И>2(0| (1)

здесь (¿) — вертикальная и продольная составляющие

вектора скорости порыва.

Динамика двигателя приближенно описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

РТ.Т. + Р^ + Г2) + я=кр?,

где Р—тяга; Ть Т2 — постоянные времени; <р — угол отклонения ручки управления двигателем (РУД) от номинального положения; Кр — передаточный коэффициент.

Управлениями являются угловые скорости перекладки руля высоты «1 и РУД. На управления накладываются ограничения:

I «1 (0 I < «Ъ | «2 (0 | < «2 • (-2)

Изменение плотности воздуха с высотой не учитывается.

Таким образом, в модельной задаче движение самолета описывается системой линейных уравнений девятого порядка с постоянными коэффициентами:

®п == «11 ап шг “Ь «15 ® + «16 V + Й17 Р -\-Сп cC't + С]2 w2; шг — «21 ап Н- «22 юг "Ь «25 8 "Н «26 V ~Ь «27 ^ "Г C21 ®l‘>

» = шг;

Л = а41ап + а430;

8 = «i; (3)

V = ав1 ап + «ез & + «в58 + «ее V + а87 Р + c61 wx -f с62

р = Л;

Р, = а87 Р + а88 Р| + а89 f;

<? = н2.

Здесь аш о)2, &, h, о, I/—- вариации путевого угла атаки [1], угловой скорости тангажа, угла тангажа, высоты, угла отклонения руля высоты и скорости самолета относительно земли соответственно, Pi — вспомогательная переменная.

В расчетах, представленных в работе, использовались следующие значения коэффициентов и ограничений на управления и возмущения:

an — — 0,4204;

«16=~ 0,1441; a16 = - 0,0023; a17 = — 5,6-10~4; au = — 90; a43 = 90;

«65 = — 0,019;

«66 = —' 0,047; й67 = 0,3;

и* = «2= 10 град/с; 2zv

«21 — 0;

а22 = — 0,3755; а2:, = 0,9108; д27 — 0;

«61= - 5,576;

«оз= 9,8;

а87 = —0,5;

«88 = 1 ,3;

«89 — 22,9;

= 3 м/с; W*2 = 5 м/с.

Задача системы автоматического управления самолетом на участке полета по глиссаде заключается в приведении самолета к номинальной траектории и удерживании его в наименьшей ее окрестности при действии ветровых порывов. С учетом малости угла наклона глиссады к местному горизонту в качестве расстояния до глиссады можно рассматривать отклонение высоты от номинального значения. Таким образом, необходимо определить закон управления, обеспечивающий в каждый момент времени наименьшее возможное отклонение высоты от номинального значения при любых реализациях ветровых порывов, удовлетворяющих принятым ограничениям.

Сформулированная задача решалась методом обобщенного экстремального прицеливания [2]. При использовании этого метода задача решается от начального момента времени к конечному с вычислением в каждый текущий момент времени движения оптимального управления и наихудших возмущений. Поэтому использование этого метода приводит непосредственно к синтезу оптимального закона управления. Систему уравнений (3) можно представить в следующей матричной форме:

Х = АХ + Ви + С№, (4)

где А' —вектор фазовых координат, [/ — вектор управлений, № — вектор возмущений (вектор скоростей ветровых порывов); А, В и С — матрицы, составленные из соответствующих коэффициентов системы уравнений (3).

Пусть движение по глиссаде происходит на отрезке времени [¿о, Т\ и пусть в момент времени £>г0 самолет оказался в положении, описываемом фазовым вектором X (£). Тогда для всех моментов времени определяется наибольшее возможное

отклонение от глиссады г4(х, к моменту времени х при действии наихудших порывов. Решение системы уравнений (4) в момент времени х можно представить в следующем виде:

здесь *(т, ґ) — матрица фундаментальных решений, удовлетворяющая матричному уравнению

4*(т, І) = -Х(т, і) А с начальным условием

ХЬ, х)-£,

где Е — единичная матрица.

Пусть ех и е2 — единичные векторы, все компоненты которых за исключением четвертого равны нулю и

~cr ~0 -

0 0

1 і Є<2 — -1

0 0

0 0

Тогда величину наибольшего прогнозируемого отклонения в момент времени х, г4(х, t) при действии наихудших возмущений можно представить в виде:

г4 (х, t) = max I еJ X(г, t) X (t) + min f eJ X (x, x') BU (i')dx' -f

i = 1-M 7 }

+ max w

индексом „t“ обозначено транспонирование.

Если для любого любого IV (£) и любого е1 существует и (¿) такое, что

і)[Ви{і)А-СІГ(0]<тіптах{е?*(х, і){ВІЇ + СЩ, (5)

то можно показать [2], что при всех возможных реализациях возмущений отклонение от глиссады в момент времени х не превысит величины

где с1 — сколь угодно малое положительное число.

По аналогии с [2] условие (5) можно назвать условием регулярности. В этом случае оптимальное управление находится следующим образом [2]. Вводится функция /. (¿)

приводит к следующему оптимальному закону управления:

а ее — один из векторов в направлении которого в момент времени х достигается наибольшее отклонение от глиссады. Можно показать, что при таком выборе управления

Расчеты показывают, что в рассматриваемой задаче условия регулярности выполняются на промежутке времени х — г, много меньшем времени движения по глиссаде Т—¿0. Поэтому в работе используется метод, являющийся модификацией подробно изложенного в [3] метода решения нерегулярных игровых задач с терминальным функционалом.

В нерегулярном случае значения е4(х, £) могут с течением времени достигать значений е% (х4 ¿0). Это объясняется тем, что функция е# (х, /0) может иметь несколько максимумов при различных х и в различных направлениях [т. е. при различных £5(х)]. С помощью управления ограничить одновременно рост этих максимумов нельзя. В этом случае функция /. (¿) может возрастать до сколь угодно большой величины и даже сменить знак. Поэтому в данной работе функцию предлагается записать в следующем виде:

и управление вычисляется из условия минимизации ~ Х(г?). Это

и

здесь

т

и №

где

S*(0 = max {$,(•:, t)\+d. ti~.tr

Величина e* (t) является максимальным прогнозируемым отклонением на оставшемся отрезке времени движения. Управление и возмущение определяются из условия минимакса величины

Чтобы в любой момент времени величина отклонения не

превышала s®(£), функция h(t) должна быть положительной ограниченной дифференцируемой функцией. В выборе вида функции >. (t) при таком подходе существует определенный произвол. В работе рассматривается наиболее простой случай, когда величина X [t)

постоянна. Производную при условии >.it) = const запишем

следующим образом:

т (I

■ (х, 0 in

ch* (t) dt

(О-

l (<. t)

Г dt '

J [**(<)-*«

(т, t)P

J

(6)

di

[.• (i) — (X, t■)]»

Можно показать, что минимум правой части (6) по и достигается при иор1:

¿}ор15(*) = тк1 {¿>Т 5 (/)} ,

где

5(0-/-

е*Х(%, t)di

[** (*)-«*(*. OP

(7)

е,м

46

V

В

£*

ct>

4

Наихудшие возмущения определяются аналогичным образом из условия максимизации е* (¿).

Функция \(р) является аналогом функции Ляпунова; с ее помощью при вычислении управления определяются момент времени, когда возможно наибольшее отклонение от глиссады, и направление, в котором оно может произойти, а также учитывается возможное увеличение отклонений в остальные моменты времени.

Численное решение задачи показало, что для любых начальных условий, начиная с некоторого момента времени, величина е* (¿) становится равной некоторой постоянной величине е‘. На рис. 1 показана зависимость в*(£), соответствующая нулевым начальным условиям (кривая /) и начальным условиям захвата глиссады (кривая 2), когда самолет совершает горизонтальный полет на высоте 400 м. На рис. 2 и 3 показана траектория движения в плоскостях (Л, и (а, V) при наихудших ветровых порывах и нулевых начальных условиях.

.

V

V

1

2 ‘t Рис. 1

8 tc

Видно, что полученная траектория не соответствует реально допустимым траекториям движения самолета, так как отклонения угла атаки и скорости от номинальных значений слишком велики. Это происходит из-за того, что при синтезе управления не учитывается ограничение на допустимый угол атаки и величину скорости. Максимальные значения в4(х, достигаются при сравнительно малых значениях х —* ^ (порядка 4—6 с), а характерное время длиннопериодического движения в несколько раз больше. Поэтому вклад от управления тягой в величину г(х, /) много меньше вклада от управления рулем высоты. Это приводит к тому, что при опреде-

Ь,м

6

4

2

О I 4 6 8 10 12 14 15 13 г, с

Рис. 2

лении управления тягой с помощью соотношения (8) появляется некоторая „свобода“, когда скорость может меняться в широких

пределах. Чтобы избавиться от этого явления, необходимо ввести ограничения на изменения угла атаки и скорости.

Ограничение на угол атаки вводится следующим образом: требуется, чтобы во время движения

|а(^)1<а*. (8)

Величина а* определяется из условия непревышения допустимого угла атаки адоп. Аналогичным образом вводится ограничение на скорость

(9)

Величины я*, V* должны удовлетворять неравенствам

а* > ъо*/У0,

Приближенно учет ограничений (8), (9) можно осуществить следующим образом. Введем функции >-„(/), XV(0:

й Т (1

— ) I) ’ М*)=| ^-еа(т,0 ;

t *

здесь еД-с, ¿), г6(т, {) — максимальные возможные отклонения а и V в момент времени х, которые вычисляются так же, как е4 (х, {). Управление определяется из условия минимизации функции '^(¿)

'И0 = ^ + /с!-Ч0 + №"~ МО. (10)

где Ко., Ку — положительные константы.

При малых отклонениях а и V от номинальных значений второе и третье слагаемые в (10) близки к нулю и управление определяется из условия минимума При приближении а или V

к граничным значениям соответствующие слагаемые в правой части (10) неограниченно возрастают и управление вычисляется из условия выполнения ограничений (8), (9). В работе использовались значения Ка, Ку, <**, V*:

Ка = Ку= 1, я* = 4°, 1/ = 6 м/с.

Численное решение задачи с ограничениями (8), (9) показало, что их введение слабо повлияло на величину е*, которая возросла на несколько процентов. В то же время полученные траектории движения отвечают по а и V требованиям, предъявляемым к движению самолета. Отметим, что ограничение на а можно не учитывать при сохранении ограничения на V, но в этом случае полу-

Рис. 4

чаются слишком большие значения |шг|. На рис. 4 и 5 представлены траектории движения в плоскостях (А, ¿), (а, V), полученные при решении задачи с ограничениями (8), (9) и нулевыми начальными условиями.

Изложенная выше методика решения модельной игровой задачи справедлива при ограничениях, наложенных не только на скорости отклонения органов управления, но и на сами углы отклонения управляющих органов.

Численное решение показало, что отклонения органов управления при использовании соотношения (10) в рассматриваемой задаче малы. Поэтому можно отказаться от учета ограничений на углы отклонения органов управления. В этом случае введенные выше максимальные прогнозируемые отклонения по а, Н, V (е„, п= 1, 4, 6) можно вычислять по формуле

¿*я/(т, 0^(0 -||*в6К *)Ь1Х\ъМ-/=1 /

—^)\ьпи\й^ + ||АГп1(х, х')си+Хп2(х, г')с211ио\№-+-

где ХпЛх, х')— элементы матрицы фундаментальных решений.

Оптимальный закон управления рулем высоты выписывается в явном виде:

( т

И, (/) — — 11\ 81§П

) Г 51еп [ЛГУ (-Г, 0] Л-,ь (•=,

\} [а*-|*°(х, 01-•“(■г. <)Р

+

0] хл (■*. О л%

I,

81§П [Л'Ц(т, 0] Ха Г)сИ % (т, ОI - е0(х, <)р ) [»• (О - ! X" о 1 - (х, ¿)Р

X

- Т г (11 "1

.) [6* (0 - 1 (*. 0 1 - «4 ('. 0] = 1

здесь

Х°п(-; 0-Е Хп> (х, *)**(*).

* = 1

Г

*«(', ¿) = ] [ |ЛГя1 (х, х')си + ^П2(х, х')с12|®1 + |^я1(т, ^)с,г\га\\й1' — т

— $\\ХпЪ(1, Хп9{-, Х')|Н2]^', л=1, 4, 6.

Аналогичным образом можно выписать закон управления тягой.

Математическое моделирование движения самолета с учетом полных уравнений движения и полученным законом управления дало хорошее совпадение с решением модельной задачи. При моделировании рассматривалось воздействие наихудших и случайных ветровых порывов. Во всех случаях отклонение самолета от глиссады к началу выравнивания не превышало величины е0. Таким образом, величина ®* является минимальным гарантированным отклонением самолета от глиссады к началу выравнивания при заданных аэродинамических характеристиках самолета и выбранной максимальной величине ветровых порывов. Величина вд может быть использована для сравнительной оценки существующих алгоритмов управления самолетом на участке полета по глиссаде.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горбатенко С. А., Макашев Э. М., П о л у ш к и н Ю. Ф., Шефтель Л. В. Механика полета. М., .Машиностроение“, 1969.

2. К р а с о в с к и й Н. Н., Субботин А. Н. Позиционные дифференциальные игры. М., „Наука*, 1974.

3. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М., „Наука“, 1970.

Рукопись поступила 1ЦХ1 1979 г.