CC BY
57
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XV 1 9 84 № 2
УДК 629.735.33.051.83-52
ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИЙ САМОЛЕТА ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ
ПОСАДКЕ
В. П. Кузьмин, В. А. Ярошевский
Предложена методика задания наихудших реализаций продольного ветра в процессе автоматического выравнивания самолета для оценки предельных отклонений параметров траектории самолета (вертикальной скорости Уу, дальности полета Ь) в момент касания ВПП, соответствующих малому уровню заданной вероятности (Рзад = = 10~510—?). Предложенная методика применяется для исследования процесса автоматической посадки типичного пассажирского самолета.
При решении некоторых задач динамики полета возникает необходимость в отыскании „предельных" значений или отклонений параметров траектории. Под „предельными" понимаются те значения, которые могут достигаться при заданном уровне малой вероятности. Этот вопрос является чрезвычайно актуальным при рассмотрении автоматической посадки пассажирского самолета. В этом случае необходимо уметь оценивать предельные отклонения, соответствующие вероятности Рзад = 10—6 10~7 (см. [1]).
Применение для этой цели метода Монте-Карло требует практически нереальных затрат машинного времени.
Один из подходов к решению данной задачи заключается в замене случайной функции (например, случайного ветра) каноническим разложением
со
W(t)- £**?*(*)» (1)
k=0
где ck — случайные коэффициенты, ?*(^) — детерминированные функции времени (или дальности). Представление функции w{t) в виде ряда (1) можно выполнить различными способами, наиболее удобной считается та форма, в которой коэффициенты ck взаимно
некоррелированы: с1 = Ок, с1сь = 0 при 1фк,. Тогда корреляционная функция канонического разложения определяется выражением:
со
*„(<!, *г) = ® &) ® (*2) = X А* (^) ОУ • (2)
6 = 0
Один из способов задания канонического разложения, описанный в [2], определяет значения функций ер4(*) в дискретных точках Ь0, и т. д. с помощью формул:
#о). То (^о) — 1> То(У = -я-^«(^о. О при г>0;
— [?„(*,)]» Д.,
?1(<о) = 0. Ч»1 (^1) — 1. <М^) = -т{— [К^и О—То(^)?0(О^о! при г>1;
/-1
А = (*/. - 2 [?» (^)Р А, (*») = 0 При к < }, ср; (*;) = 1,
* = 0
В]
У-1
/=о
при г > у.
Применим данный способ представления ветра (продольного) на участке выравнивания пассажирского самолета, считая, что
1. *2) = °о>е-Х|*,_/21 и что продольные ветровые порывы на
участке выравнивания являются основным препятствием к выполнению точной и безопасной посадки.
Для упрощения выкладок сделаем замену переменных
гш — ода т, йх—'ксН.
Тогда К- (х,, т2) = е-1х‘—Ч Расположим опорные точки с шагом А (т0 = 0, ^=А, т2 = 2А, . . .) и, применяя выписанные формулы, найдем:
£>0=1, Д = А = - • • =1-е-2А;
ср0 (тА) = е~тН\ <р1(0) = 0, тК) = е~тН\
9 з (0) = ?2 (А) = 0, <р2 (2/г — т1г) = е-тН-,
?*(0) = . . . = ч>*[(й—1)А] = 0, ?й(АА + /иА) = е-тй, от = 0, 1 ---
Остается доопределить значения функций <рй(^) при хфтИ, Естественно допустить, что ?0 (т) = е_Т1 сРа('г) = 0 при т<(&—1)А, Та (*) = е-^-кК> при т>£А, ?*[(&— 1)А + А,]=/(А!), где О-С-^СА, /(/ч)—монотонная функция, /"(0) = 0, /(А) = 1.
Вид функции f{hl) желательно подобрать так, чтобы ряд (2) по возможности наилучшим образом аппроксимировал в среднем корреляционную функцию ен*!-*.!, рассмотрим часть плоскости (ч, Ч), >0.
В наиболее простом варианте эта функция может быть выбрана в виде /(А1) = Л1/А. Тогда, как нетрудно убедиться, в области
кк -< ^ х2 <; (& + 1) Л
формула (2) дает:
оо _ _
Е Ок 9к (т,) ?* (т,) == е-Ъ+Ъ 4- (1 - е~ы) ,
*=о
где
Т1 = Х1 — т2 = х2 — &Л.
В итоге выражение (2) в данной области аппроксимирует истинную корреляционную функцию £-("«-■'1) частично с недостатком, частично— с избытком, точное совпадение получается при х1 = 0.
При £/г < ^ 4- 1)Л, тк<^х2<^(т + 1)Л, вводя обозна-
чения х1 = 'с1 — ЛА, ^2 = 'с2 — /иЛ, найдем:
оо
Е Д* Та М Т* Ы = <?-*
к-0
и сопоставим полученное выражение К—~е~(т~к)Н При т,=0
и 11 = к они совпадают, при промежуточных значениях ^ получим завышенные значения для корреляционной функции. Прит2<С'с1 картина аналогична.
Аппроксимация истинной корреляционной функции рядом (1) является тем более точной, чем меньше к. С другой стороны, по мере уменьшения Л для аппроксимации случайной функции на данном временном отрезке требуется все большее число членов канонического разложения, что существенно увеличивает объем вычислений. Поэтому компромиссный выбор шага к очень важен. На рис. 1 сопоставляются истинные и приближенные корреляционные функции при Л = 0,4 и 0,8. На этом рисунке видно, что
|^-т1 + {ен — е н)
уменьшение в среднем приближенных значений по сравнению с точным значением корреляционной функции при малых значениях х, — х, является заметным. Оценить допустимость такого искажения корреляционной функции можно только с учетом динамики управляемого движения самолета. Если считать, что ветровые возмущения с достаточно большой частотой не оказывают заметного влияния на динамику самолета как твердого тела, то замену точной корреляционной функции на приближенную при /г = 0,4-т-0,8 можно считать оправданной.
Ограничимся рассмотрением стационарной функции тю{{) при Зщ^сопэ^ Будем считать закон распределения величины турбулентного ветра „условно-нормальным“ с плотностью вероятности
где ада(и) — среднеквадратичная величина турбулентного ветра, постоянная в данной реализации, которая пропорциональна величине систематического горизонтального ветра и на высоте Н—10 м. Распределение величины ат(и) считается заданным: обычно принимают, что она распределена по усеченному закону Рэлея ([3]), Очевидно, что суммарная плотность вероятности ветра определяется формулой
где — плотность вероятности величины ат.
Если рассмотреть условное распределение вероятностей константы ск, то его следует задать нормальным. Действительно, сумма нормально распределенных случайных функций является также нормально распределенной случайной функцией, при этом
При таком задании распределения случайных констант замена случайной функции каноническим разложением не искажает (или искажает в ограниченных пределах) не только исходную корреляционную функцию, но и исходное распределение случайной функции.
Отметим следующую особенность процесса выполнения самолетом автоматической посадки. Этот процесс условно разбивают на несколько этапов, из которых наиболее важен последний этап — выравнивание [1]. Если на предпоследнем этапе — при полете вдоль глиссады, задаваемой радиомаяком, ошибки управления (в первую очередь — отклонения вертикальной скорости) малы, то основную опасность для выполнения посадки, как правило, представляют собой турбулентные горизонтальные порывы на участке выравнивания, точнее те компоненты порывов, которые некоррелированы с ветровыми порывами на предыдущих этапах. Поэтому выделим в качестве „главного" возмущения ту часть канонического разложения (1), которая не содержит слагаемого с0 ср0(^), коррелированного с величиной ветра на предыдущем этапе.
р [от/ав (и)] =
У2тс (и)
СО
(3)
о
£)0 = а2га(м), Ок = (1 — Є 2Й) <4, (и), й>1.
Нормируем константы ck{k = 1, 2, . . .) в соответствии с формулой ск = VDkck) тогда_ корреляционная матрица для констант
ск является единичной: 1, с1ск = 0 при i=f=k.
В итоге каждой реализации случайной функции w(t) приближенно соответствует точка (си . . . , сп) в пространстве констант ск.
Моделирование процесса автоматической посадки при воздей-
ствии случайного ветра по методу Монте-Карло требует очень большого количества реализаций, если интересующие нас предельные отклонения параметров траектории соответствуют очень малым вероятностям Рзад = 10—5 ~ 10"-7.
Для уменьшения числа реализаций предлагается следующая методика. В пространстве (си . . . , сп) задается сфера радиуса R, зависящего от уровня вероятности Рзад, так, чтобы
Р (C,>R)< Рзад- (4)
Смысл этого неравенства будет пояснен ниже. Пока рассмотрим случай
Рб>/?)=Я81Д.- (5)
Здесь
00
P(Pi>R)=\p(fi)dcu
R
00
Р (С\) =1 Р& 11 в* («)] Р К (и)1 daw (и)-
где
Далее с помощью метода Монте-Карло задаются реализации констант равномерно распределенные по сфере
~с\+ . . . ^7n^RK (6)
Для этого достаточно задать систему независимых случайных констант ак с нормальными распределениями
, -і
= ~уШе 2 ’ к== ''' * п
и формировать параметры
Ck— R
У Oj + . . . +>л
Очевидно, что константы ск равномерно заполняют поверхность сферы (6).
Пусть нас интересует в первую очередь один главный траєкторний параметр ц (например, вертикальная скорость в момент касания ВПП), и пусть этот параметр достигает своего максималь-
ного значения [Атах на сфере радиуса/? в некоторой точке А (рис. 2). Тогда при достаточно большом количестве реализаций можно рассчитывать на выпадение точек, достаточно близких к А, В которых значение р. близко К Цп|ах. Для оценки необходимого количества точек сделаем самое простое предположение: функция [А (с, . . . , сп) является линейной по си . . . , сп и достигает максимума при с^-Ц, с2 — ... = = сп— 0 (последнее предположение не уменьшает общности, поскольку все точки сферы равноправны). Тогда
Н) к,
где |х0 = |д. (0,. . . , 0), &< 1 — для точек, попадающих на заданный сферический сегмент с полууглом раствора = агссоэ примыкающий к точке А {Я, 0, . . . 0) (рис. 2). Отношение площади этого сегмента к площади всей сферы составляет (см., например, [4]):
5 (£, п)
агссов к
Бт"-2 срй<р 0_________________
71
J вт"-2
о
При равномерном распределении точек по сфере вероятность непопадания отдельной точки на этот сегмент составляет 1—5, а вероятность попадания хотя бы одной точки при N реализациях составляет
Рм = 1 _ (1 _ ~ 1 -е-*ы
(при малых значениях 5). Задавая, например, Ядг = 0,9, получим
е_*', = 0,1 или
Б
Формулы для 5 {к, п) могут быть найдены при использовании табличных интегралов ([4]):
5(А, 2) = , 5(£, 3)= 1 ~ С05у* ,
■к 2
5 {к, 4) = -??«--8.|-п^«., Б(к, 5)= -2~ ,
2к 4
5(Й,6).
12(Р* — 881П + 51п 4<Р*
12я
5 (к, 7):
8 — 15 СОБ 4- Ю С053 <Ра — Зсов3 16
и т. д., где <р*= arccosA. Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Таблица 1
k п 2 3 4 5 6 7
0,8 5 0,2 0,1 0,049 0,028 0,0154 0,0086
N 12 23 46 82 149 267
0,9 S 0,145 0.05 0,0187 0,00725 0,0028 0,00119
N 18 46 122 318 799 1930
Как видно, число необходимых реализаций сильно возрастает с ростом п и к.
Найдя точку An, в которой при данном числе реализаций значение [л. достигает максимума, нетрудно затем организовать перебор точек на поверхности сферы в окрестности точки An = = (clNj . . . ,cnN) и уточнить расположение точки А. Например( можно после первоначальной серии из N испытаний в дальнейшем
П
проводить испытания ТОЛЬКО ДЛЯ тех точек, у которых
i = l
где kx — число, несколько меньшее единицы. Поверхность уровня {х = ^тЭх касается сферы в точке А. Если эта поверхность близка к касательной плоскости в точке А и если допустить, что внутри сферы не содержится замкнутых поверхностей уровня |А = !*тах> ТО вероятность ДОСТИЖвНИЯ ЗНачеНИЯ [Атах близка к Рзад в соответствии с равенством (5).
В простейшем случае, когда случайная функция w(t) является гауссовской, коэффициенты ск распределены по нормальному закону. Тогда зависимость радиуса R от вероятности Рзад определяется табл. 2.
Таблица 2
R 1 2 3 4 4,417 4,892 5,327
^зад 0,15 < 0,0228 0,00135 3 10-5 0,5-10—5 0.5-10-6 0,5-10“7
После того как найдена точка А, можно скорректировать результат, принимая во внимание влияние и остальных менее существенных возмущений. Предположим для простоты, что остальные возмущения можно определить введением дополнительных констант Ви...,Вт с единичной дисперсией (например, используя, аналогично предыдущему, метод канонических разложений), и что эти константы распределены по тому же закону, что и коэффициенты ск. Выпишем уравнение для поверхности уровня функции [А(сй, Bi)=f(ck, еВі), проходящей через точку с, = /?, с, = ... =сп= == В, ^ — Вт = 0:
V- (ск> Ві) — Ртах-
4—«Ученые записки» № 2
49
Здесь е-—параметр малости, указывающий на малое влияние второстепенных возмущений. Действительно, поверхность уровня в линейном приближении может быть заменена касательной плоскостью, уравнение которой имеет вид
2-гаг +2^
<--1 к-2
Учитывая, что точка А является точкой экстремума функции ^ и,
следовательно, -^- = 0 при к = 2, . . . ,п, получим формулу для дск
расстояния от начала координат до касательной плоскости к поверхности УРОВНЯ 5г) = Ртах
\~diT7 ==(-)(£2)> а частные производные и -щ- вычисляются при
?! = /?, с2 = ся = В1 = ... = Вп = 0.
^ ! Ф \2
Сумма в линейном приближении является дисперсией
значений ц. при воздействии одного „существенной возмущения (с1 = сг —. . . = сп = 0) и случайной совокупности „несущест-венных“ возмущений. Поэтому, для учета несущественных возмущений в первом приближении, с точностью до 0(е4), достаточно
определить величину градиента функции -^(Я), фиксируя наибо-
<?С1
лее неблагоприятную комбинацию существенных возмущений (которая определяется значениями с1 = Я, с2 = ■ ■ . = сп = 0) и проводя расчеты по методу Монте-Карло со случайным заданием комбинации несущественных возмущений. После выполнения этих операций величина вероятности Я[!*(£*, £*) > цгоах] оказывается скорректированной до величины Р (сх >/?т1П) >Рзад.
Отметим, что при больших эта коррекция может привести к увеличению вероятности Р [(*(?£, £(.)>[Атах] на один или даже два порядка, по сравнению с Рзад, поскольку, например, при нормальном законе распределения констант сь значение Р(с2>/?) очень сильно изменяется при больших /? (см. табл. 2). С учетом этого становится понятным смысл неравенства (4). Поэтому целесообразно с самого начала задавать два значения Я согласно неравенству (4) „с запасом11 на их коррекцию и найти н.тах(Лад) путем логарифмической интерполяции.
Предложенная методика применялась для оценки точности и безопасности автоматического приземления типичного пассажирского самолета. Рассматриваемый вариант системы автоматического выравнивания основан на отслеживании „экспоненциальной" траектории, на которой выполняется соотношение
Т/ __ ^ном — ^ас
* V НОМ у
Ауу
где Яном и Ууном—номинальные высота и вертикальная скорость, /Уас и Куу — константы [1].
В качестве главного возмущения на участке выравнивания рассматривалась продольная составляющая турбулентности, зависящая от постоянного ветра и. Горизонтальная и боковая составляющие ветра их и иг считались не зависящими от высоты Н для //-<15 и задавались усеченными нормальными законами распределения со следующими параметрами;
аих = = 3,75 м/с, иг = 0, и.х = — 2,7 м/с,
|и,|<7,7 м/с, —12,8 м/с<мЛ.-<5,1 м/с.
Продольная составляющая турбулентности задавалась, как
функция давности Ь и считалась стационарным гауссовским процессом с корреляционной функцией:
к„аи
где £о=180 м, а зависимость среднеквадратичного отклонения о№ от модуля ветра \и\ определялась соотношением аш = 0,18 \ и\. Закон распределения величины и коэффициентов ск определяется формулой (3).
В табл. 3 приведены вероятности превышения характерных значений коэффициентов ск для продольных порывов ветра. Как следует из сравнения результатов, приведенных в табл. 2 и 3, закон распределения продольных порывов ветра существенно отличается от нормального для больших значений порывов.
Таблица 3
/? 1 2 3 4 4,4 5,8 7,2 8,4 9,5
Рзал 0,12 0,027 0,0074 0,0017 10-з 10-4 10-5 10-5 10-7
Основным возмущением на участке выравнивания считалась продольная турбулентность, которая задавалась каноническим разложением (1). Шесть функций <р*(/.) задавались в зависимости от дальности через интервалы Д/.= 150 м (рис. 3), что соответствует дальности Ь = 900 м. Каноническое разложение турбулентного ветра (1) можно рассматривать, как сумму последовательных порывов ветра заданной формы, причем положительным значениям коэффициентов ск соответствуют попутные порывы, а отрицательным — встречные.
Поставим задачу определения предельных отклонений параметров траектории самолета в момент касания ВПП, соответствующих вероятности Язад=10~6. Как следует из табл. 3, если в качестве возмущений рассматривать только турбулентность, то необходимо, согласно (5), принять /? = 8,4. С учетом других возмущений, согласно (4), необходимо принять /?>8,4.
Поиск максимума величин \Уу] и £ при Н = 0 на сфере (6) осуществлялся методом Монте-Карло (число реализаций N==210)
для двух значений /? = 8 и 11. Расчеты проводились таким образом, что при изменении величины /? реализации значений скЩ=ск повторялись. В табл. 4 и 5 приведены реализации, соответствующие максимальным по модулю значениям вертикальной скорости и дальности, отсчитываемой от порога ВПП. Для каждого значения Я в табл. 4 и 5 приведено несколько наихудших реализаций.
Таблица 4
Параметры реализаций с наибольшими значениями величины \Уу\
Я = 8___| Я=11 1 ____ ск
У у, м/с Ь, м | Уу. м/с Ь, м С1 с2 са с5 сб
—1,84 270 —2,72 260 0,12 0,87 0,08 -0,32 -0,32 0,04
—1,63 240 -2,80 200 0,87 0,46 0 0,18 0 -0,02
— 1,90 275 -2,77 250 0,27 0.84 0,06 -0,32 0,34 0
—1,95 691 -2,50 715 -0,37 -0,57 —0,29 -0,34 0,5 0,28
-2,06 705 —2,62 720 0,24 -0,43 —0,61 -0,12 —0,37 0,2
—1.9 270 —2.76 244 0,35 0,81 0,02 0,44 0,04 0,17
— 1,94 792 -2,71 816 -0,07 —0,41 —0,34 -0.6 —0,33 0,49
Таблица 5
Параметры реализаций, соответствующих наибольшей дальности
Я = 8 1 Я = 11 |_____________________________________ск
Уу, м/с Ь, м Уу, м/с Ь, м Сз с6
—0,9 915 — 1.7 986 —0,29 -0,09 0,13 -0,51 -0,50 -0,62
-1,2 930 -2,0 991 0,04 0,21 0 —0,53 -0.56 -0,60
0,8 924 -1,8 1000 -0,27 -0,08 -0,07 -0,17 -0,60 —0,72
-1,2 886 -1,9 940 0,30 0,10 -0,42 -0,24 —0,75 —0,31
Из табл. 4 видно, что реализации, соответствующие наибольшим по модулю значениям вертикальной скорости, разделяются на два характерных типа, существенно отличающихся по величине дальности. Траектории с малой дальностью соответствуют попутным порывам ветра (т > 0), а траектории с большой дальностью соответствуют последовательности встречных порывов и одного попутного в конце траектории.
Следует отметить, что формально реализация, соответствующая максимальному значению | Уу\, является единственной. Например, при /?=11 она относится к первому типу (короткая траектория), но, учитывая близость значений Уу = — 2,80 м/с и —2,71м/с и приближенность поиска экстремума методом Монте-Карло, следует рассматривать оба типа реализаций при оценке влияния всех прочих возмущений.
Реализации, соответствующие наибольшим значениям дальности (табл. 5), характеризуются последовательностью возрастающих по скорости встречных порывов, начинающихся с дальности 200—300 м от начала траектории выравнивания.
Если рассматривать в качестве возмущения только продольную составляющую турбулентности, то полученные результаты дают следующие соотношения для вероятности превышения характерных значений вертикальной скорости и дальности точки касания от порога ВПП:
Р (\Уу \ >2,06 м/с) = Р(/?> 8) = 1,4-10 6,
Я(1>930 м) = Я(/?>8)= 1,4-10“6.
Для того чтобы оценить влияние других возмущений, необходимо зафиксировать наихудшую реализацию турбулентности и провести расчет по методу Монте-Карло для всех других возмущений.
Расчеты проводились для трех „наихудших“ реализаций турбулентности, две из которых соответствуют максимальной величине модуля вертикальной скорости и одна — максимальной дальности. Эти реализации были заданы путем коррекции наихудших реализаций, определенных приближенно методом Монте-Карло и приведенных в табл. 4 и 5. Так, например, в полученных реализациях, соответствующих коротким траекториям, можно превратить коэффициенты с4, съ и св в нули, поскольку эти коэффициенты
определяют не имеющий в данном случае значения ветер при
6
большой дальности, и, пользуясь условием 22 с* =1, несколько
Й=1
увеличить по модулю значения си с2 или с3, что приводит к повышению значения \ \/у\. Траектории, соответствующие трем выбранным таким образом реализациям турбулентности приведены на рис. 4 — 6. На этих рисунках изображено изменение по времени основных параметров движения самолета в процессе выравнивания: высоты Н, вертикальной скорости Уу, угла тангажа отклонения руля высоты от балансировочного положения на глиссаде Д8й.
В качестве „второстепенных" возмущений рассматривались отклонения начальных условий, постоянный ветер, разброс веса
(+13%), центровки (+7%) и угла наклона глиссады (2,5° — 3°). Отклонения начальных условий определялись интегрированием уравнений продольного управляемого движения самолета на участке полета вдоль глиссады с изменением высоты от 400 м до 15 м. При этом учитывалось влияние атмосферных возмущений и радиопомех в канале глиссадный маяк — глиссадный приемник.
Значений скорректированных коэффициентов ск и значения среднеквадратичных отклонений параметров движения самолета в момент касания ВПП, обусловленных действием второстепенных возмущений в дополнение к турбулентности на участке выравнивания для трех выбранных реализаций (рис. 4 — 6), приведены в табл. 6. Для каждой из трех выбранных реализаций продольных порывов среднеквадратичные отклонения параметров приземления самолета, обусловленные действием второстепенных возмущений, определялись методом Монте-Карло по 100 реализациям.
Таблица 6
Я = 8
Реализа- ция С1 с2 Сз с5 Сб м/с м/с м в£, м
Рис. 4 0,32 0,95 0 0 0 0 -2,2 0,22 240 37
Рис. 5 -0,365 -0,365 -0,548 -0,365 +0,548 0 -2,1 0,19 700 50
Рис. 6 0 0 -0,15 —0,45 -0,75 —0,45 — 1.5 0,23 870 52
Для уточнения величины параметра ц, соответствующего уровню вероятности Рзад с учетом всех возмущений, воспользуемся формулой (7), которую можно записать в виде:
-----г „ • ' (8)
У
\ Лг '
где /? (^щах) — зависимость, полученная без учета второстепенных возмущений, /?([Атах) — уточненная зависимость, — среднеквадратическое отклонение параметра ц при воздействии „главных“ возмущений и случайных „второстепенных" возмущений. Считая, что значения а,,, слабо зависят от /? 0*тах), а также аппроксимируя зависимость !*тах(/?) в диапазоне от /?= 8 до /?=11 линейной функцией, можно с помощью формулы (8) найти значения ^шах, соответствующие различным значениям /?, и величину Рзад по табл. 3.
По формуле (8) определим уточненные значения параметров Уу | и Ь при Н — 0, соответствующие вероятности Р — 10—6 (Я = 8,4):
^(1 Уу I > 2,83 м/с дг 10 6,
Р{Ь > 1220 м)« 10~в.
Данные оценки получены в предположении о единственности максимальных значений параметров (| Т/^ [ и Ь при Н = 0) по коэффициентам канонического разложения ск, заданных на сфере. Это
w,
м/с
5
Г— о 1>
Рис. 4
Рис. 5
■иг,
л»/С
Рис. 6
условие не выполняется для величины вертикальной скорости, поскольку на сфере имеется фактически две точки максимума \Уу\. В этом случае вероятность превышения вычисленного значения | Уу 1 повысится почти вдвое.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белогородский С. Л. Автоматизация управления посадкой самолета. — М.: Транспорт, 1972.
2. Вентце ль Е. С. Теория вероятностей. —М.: Наука, 1958.
3. Характеристики ветровых возмущений в нижних слоях атмосферы. — Обзор БНТИ ЦАГИ, 1979, № 545.
4. Прудников А. П., Б р ы ч к о в Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.
Рукопись поступила 20IX 1982 г.
