Иерархическая цикличность фазовых траекторий временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 519.6

ИЕРАРХИЧЕСКАЯ ЦИКЛИЧНОСТЬ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

© 2007 г. В.А. Перепелица, Д.А. Тамбиева, Д.Б. Айбазов

Объектом настоящего исследования являются временные ряды (ВР), статистические исследования которых датируются первыми десятилетиями XX в. [1]. При анализе временных рядов особого внимания исследователя заслуживают следующие три основные задачи:

— ответить на вопрос, является ли наблюдаемая эволюционная система хаотической [2], т. е. ее поведение порождается детерминированным нелинейным законом или она полностью случайна;

— по полученным данным наблюдения над системой требуют выявить тенденции, которые определяют поведение (в терминах нелинейной динамики эта задача носит название «реконструкция аттрактора» [3]);

— получить данные для прогноза поведения системы на возможно больший срок и обосновать приемлемый «горизонт прогноза» [4—6] с учетом операции агрегирования ее ВР.

Для ответа на первый вопрос в нелинейной динамике [3] разработан ряд инструментов, основанных как чисто на теории хаоса, так и комбинированных, т. е. объединяющих результаты теории хаоса и статистики. Отметим, что нелинейная динамика, или теория детерминированного хаоса [3, 6], является молодым направлением прикладной математики. Объектами исследования этого направления служат системы различной природы, проявляющие сложное, похожее на стохастическое поведение при относительно простых, детерминированных внутренних законах функционирования.

Нелинейная динамика тесно связана с такими естественными науками, как физика и химия. Основные базовые модели, задачи и примеры успешного применения нелинейной динамики относятся именно к физическим и химическим системам.

В последнее время различными исследователями предпринимаются попытки применять методы нелинейной динамики для моделирования и прогнозирования поведения как технических си-

стем, так и процессов, которые традиционно относятся к области общественных наук— социологии, истории и экономики.

Целью настоящего исследования, относящегося к моделированию динамики этих систем и процессов, является:

а) разработка предложений по использованию визуализации графического представления в фазовом пространстве промежуточных результатов этого моделирования;

б) разработка на базе метода фазового анализа [2, 6] инструментальных средств, применяемых для вывода качественных оценок, необходимых для построения адекватной прогнозной модели исследуемых ВР.

Для иллюстративного представления результатов исследования авторами выбраны конкретные ВР (подневных наблюдений количества застрахо-

ванных

клиентов) Ut = (иг), i = 1, 2, ...,

lt

количество рабочих дней в году г, г е {1997, 1998, ..., 2002}. Ряд и является суммой

двух ВР и' = (и') и и"г = «), из которых первый

представляет количество застрахованных мужчин, а второй — застрахованных женщин. В дальнейшем эти ряды будем называть кратко подневными ВР страхования мужчин (СМ) и ВР страхования женщин (СЖ) соответственно.

Рассмотрим ВР застрахованных клиентов (суммарно мужчин и женщин), обобщенный за весь период с 1997 по 2002 г.:

2002 и = U U

t=1997

(1)

а также слагаемые этого ВР (1) за тот же период ВР СМ

2002 U' = U Ut'

t=1997

и ВР СЖ

2002

и' = и и. (3)

г=1997

Анализ таких рядов вида (1)—(3) целесообразно начинать с их визуализации (графического представления в виде столбчатых диаграмм). На рис. 1 представлена столбчатая диаграмма отрезка ряда и', г =2001.

Один из начальных этапов визуализации имеет своей целью установить, присущи ли данному ряду свойства периодичности или цикличности. В настоящей работе качественный ответ на этот вопрос удается получить, построив скользящую среднюю (СС) [4] рассматриваемых ВР. Немаловажным является удачный выбор размерности длины периода СС.

1

1 1 1 1

, . ,1 1. ,||| IIlii I I

™ шп ij ч т 'Г ''l 1 Г "IN 1 "IT"'

Рис. 1. Столбчатая диаграмма ВР и', г" =2001

Примечание 1. На рис. 2 представлена СС с периодом 3 для ВР, представленного на рис. 1. Этому ВР присуща месячная периодичность (цикличность). Кроме того, достаточно отчетливо проявляется тенденция спада месячной интенсивности по мере приближения значений индекса г к июлю, августу, после которых эта интенсивность снова нарастает, не достигая, однако, уровня первого квартала года. Особо отметим, что эти два свойства, характеризующие цикличность и периодичность, присущи каждому из ВР иг, и', Щ для каждого года г е {1997, 1998, ..., 2002}. Если рассматривать обобщенные ВР и (1), и' (2), и" (3) за все годы наблюдений, то получаем для всех этих временных рядов иерархическую 4-уровневую упорядоченную систему циклов: повседневные наблюдения образуют недельные циклы, недельные составляют месячные циклы, и, наконец, месячные образуют годичные циклы.

Для более детального анализа иерархической структуры рассматриваемых ВР вида (1)—(3), авторами используется метод, который в арсенале современных методов прогнозирования ВР, приобретает все более возрастающее значение. Речь идет о так называемом методе визуализация фазовых траекторий ВР [3], получаемых в интерактивном режиме использования ПЭВМ.

В качестве фазового пространства фр размерности р = 2 для ВР иг, и, иг возьмем простейший

Рис. 2. График СС ВР Щ, г =2001

Как известно, при построении фазового пространства для конкретного ВР принципиально важным является вопрос о его размерности р . Эта размерность должна быть не менее, чем размерность аттрактора наблюдаемого ряда. В свою очередь размерность аттрактора можно оценить с достаточно приемлемой точностью, если использовать фрактальную размерность С [2]. Последняя, как отмечено в [2], вычисляется по формуле С=2—Н, где Н — показатель Херста [2]. Поскольку для анализируемых в настоящей работе ВР значения Н из интервала (0, 1), то получаем оценку С<2. Таким образом, для целей нашего исследования имеются основания использовать фазовое пространство фр (и) размерности р = 2.

При исследовании ВР вида (1)—(3), называемых ВР индивидуального страхования (ВР ИС), достаточно информативным и целесообразным является построение фазовых траекторий ВР и , и , и в фазовом пространстве фр (и) размерности р = 2 следующего вида: ф2 (и) = {{■, иг-1)}, г = 1, 2, ..., п -1. Такого вида фазовая траектория конкретного ВР ИС представлена на рис. 3.

Рис. 3. Фазовая траектория подневного

вр сж 2001 г. (и2001)

В результате визуализации фазовой траектории подневных ВР ИС наблюдений СД выявлено, что для ВР СМ и' (2) и ВР СЖ и' (3) фазовые траектории разбиваются соответственно на 226 и 239 квазициклов (рис. 4) [6]. Динамика изменения длин и самой структуры полученных квазициклов для

рассматриваемых ВР ИС демонстрируют достаточно устойчивые характеристики поведения. А именно: длина квазициклов для обоих рядов варьируется в пределах интервала [3, 10]. Причем длина квазициклов, равная 4, 5 и 6, встречается наиболее часто (см. столбчатую диаграмму частоты длин квазициклов на рис. 7 для рядов и' и и").

20 40 60

3 квазицикл

4 квазицикл

10 20 30

5 квазицикл

6 квазицикл

5 10 15 20

7 квазицикл

8 квазицикл

9 квазицикл

15 -10 -

5 0

Рис. 4. Первые девять квазициклов из разбиения фазовой траектории подневного ВР СЖ 2001 г. (и2001 ) на квазициклы

Полученные в результате разбиения фазовой траектории подневных наблюдений ИС (ВР СМ и и ВР СЖ и ) квазициклы в дальнейшем будем называть квазинеделями. Квазинедели, как правило, не всегда совпадают с привычными ка-

лендарными неделями, однако отражают недельную динамику ВР ИС в том смысле, что соответствуют рабочим неделям с учетом выходных.

В настоящей работе для исследования динамики ВР ИС авторами предложен подход, который основан на агрегировании уровней ВР. А именно, в процессе моделирования построены фазовые траектории и их разбиения на квазициклы не только для ВР подневных наблюдений, но также и для ВР понедельных, помесячных и т. д. наблюдений. То есть, для подневных уровней рассматриваемых ВР СМ и (2) и ВР СЖ и (3) осуществлено их агрегирование путем использования операции суммирования в пределах таких интервалов, как неделя, месяц и т. д. Полученные в результате этого ВР в дальнейшем будем обозначать через ин = (и\ \ и ин = (и*) соответственно. Дальнейшее агрегирование ВР СМ ин (ВР СЖ ин ) осуществляется путем прямого суммирования недельных значений и' (и"), относящихся к соответствующему месячному интервалу. В итоге были получены производные от понедельных ВР СМ ин и ВР СЖ ин помесячные временные ряды СМ и СЖ, состоящие из понедельных уровней, эти помесячные ВР соответственно будем обозначать через им и им.

Наряду с рис. 3 и 4 с целью использования визуализации в процессе сравнительного анализа динамика исходного (подневного) и агрегированного (понедельного) ВР на рис. 5 и 6 дано графическое представление соответственно фазовой траектории ВР ин и ее квазициклов.

Рис. 5. Фазовая траектория ВР СЖ понедельных наблюдений (ин)

Рис. 6. Примеры квазициклов, выделенных из фазовой траектории ВР СЖ понедельных наблюдений (ин) (см. далее с. 25)

35

30

25

20

15

0

0

10

20

30

40

^ Л

r \

1

20 10 ) 20 40 60

4

<

\ /

\ 1

-20 20 40 60

то для квазигодов наблюдается полное совпадение с годами календарными.

v

15 -10

5 О

v

15 10 5 0

4 а

д

Рис. 6. Окончание

В контексте сравнительного анализа на рис. 7, 8 и 9 дано графическое представление частоты появления значений длины квазициклов в фазовых траекториях подневных, понедельных и помесячных ВР, из которых последние два являются результатом операции агрегирования. Здесь длиной квазицикла является число точек в нем.

v 60 50 40 30 20 10 0

ГГп

123456789 р а

V 60 50 40 30 20 10 0

- - ffcrr:

1 23456789 10 11 Р

Рис. 7. Столбчатая диаграмма частоты длин квазициклов для рядов и' и и" (квазинедели): а — ВР СМ подневных наблюдений (и '); б — ВР СЖ подневных наблюдений (и' )

В соответствии с вышеизложенным квазициклы, полученные в результате разбиения фазовых траекторий ВР ИС понедельных наблюдений, получили название квазимесяцев, для ВР ИС помесячных наблюдений выявлены квазигоды. Отметим, что если квазинедели и квазимесяцы не всегда совпадают с их календарными аналогами,

Рис. 8. Столбчатая диаграмма частоты длин квазициклов для рядов и'н и ин (квазимесяцы): а — ВР СМ понедельных наблюдений (ин); б — ВР СЖ понедельных наблюдений (ин)

1 2 3 4 5 6 Р а

й

2 3 4 5 6

Рис. 9. Столбчатая диаграмма частоты длин квазициклов для рядов им и им (квазиквартал): а — ВР СМ помесячных наблюдений (им); б — ВР СЖ помесячных наблюдений (им )

Для дальнейшего изложения сравнительного фазового анализа ВР ИС введем следующие обозначения: р — длина квазицикла; тр — частота (в процентном выражении) появления квазициклов длины р в агрегированном ВР СМ и' , г = {д, н, м} (в процентном выражении); ^Г — частота (в процентном выражении) появления квазициклов длины р в агрегированном ВР СЖ иг , г = {д, н, м} (в процентном выражении).

v

Для ВР СМ и' и ВР СЖ и; рассмотрим статистику пар (р, т^), (р, т|) и (р, т^), а также пар (р, ^д^ , (р, и^) и (р, , полученных

по результатам фазового анализа. Сводное представление этих пар дано в табл. 1—3, а также на рис. 10-12.

Таблица 1

Сводная таблица процентного соотношения длин выделенных квазициклов ВР СМ и ВР СЖ (и'и и' ), полученных с помощью фазового анализа

Длина квазицикла (Р ) i 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ВР СМ и; (m) 0 0 0 24 28 19 14 8 4 3

ВР СЖ и; (wp) 0 0 0 27 26 21 13 7 6 0

-см

СЖ

Рис. 10. Графические изображения процентного соотношения длин квазициклов для ВР СМ и ВР СЖ подневных наблюдений (и' и и" ), полученные с помощью фазового анализа

Таблица 2

Сводная таблица процентного соотношения длин выделенных квазициклов ВР ин и ин, полученных с помощью фазового анализа

Длина квазицикла (Р ) i 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ВР СМ и; (mP) 0 0 0 17 59 21 3 0 0 0

ВР СЖ и; (<) 0 0 0 15 49 26 10 0 0 0

Ир графического изображения пар (р, т^) и (р, , где ; = {д, н, м}, (см. рис. 10-12) можно заключить, что имеет место некоторое «подобие» в характеристиках динамики соответствующих пар рядов и' и и; , ; = {д, н, м}.

Рис. 11. Графические изображения процентного соотношения длин квазициклов для ВР СМ и ВР СЖ понедельных наблюдений (ин и ин), полученные с помощью фазового анализа

Таблица 3

Сводная таблица процентного соотношения длин выделенных квазициклов ВР им и им, полученных с помощью фазового анализа

Длина квазицикла (Р ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ВР СМ U' (m" ) ; v м ' 0 0 0 11 67 11 11 0 0 1

ВР СЖ U' (w" ) ;м 0 0 0 22 56 11 11 0 0 0

Рис. 12. Графические изображения процентного соотношения длин квазициклов для ВР СМ и ВР СЖ помесячных наблюдений (им и им ), полученные с помощью фазового анализа

Примечание 2. Для более строгого определения термина «подобие», в контексте настоящей работы, необходимо определить и формально представить критерии степени «подобия». В качестве таких критериев предлагаются следующие характеристики динамики временных рядов: цикличность (устойчивое совпадение длин квазициклов [5, 6]), периодичность, а также локальные максимумы и локальные минимумы рассматриваемых графиков процентных соотношений длин квазициклов.

Критерий «степени подобия» двух ВР и1, и2 определим в виде следующей формулы суммирования модуля разностей:

X к - qJ

Ли \и 2 ) = -

^ > 100%

(4)

пар рядов (и' ,ин), (ин,им) и (и' ,им) (табл. 4 и рис. 13), а также для ВР СЖ— (и" , ин), (ин, им )

где 4р = {тр, , = {т2, w2}, ¿1 = тах(р(и1)),

Ь2 = тах (р (и2)).

На рис. 10—12 дано графическое изображение

I 1 21

представленных в (4) разностей #р - qЛ , которые отражают собой расстояния между точками р на соответствующих графиках. На базе экспертного подхода сформулируем следующее.

Определение 1. Два ВР и1, и2 будем считать «подобными», если вычисленная согласно (4)

степень «подобия» этих рядов 1, и2) не превосходит ^3 : ^(и 1,и2 )< 13 .

Для рассматриваемых конкретных ВР СМ и ВР СЖ повседневных наблюдений (и' и V ) на основании (4) вычисляем степень их подобия ц(и', V') = 0,14, (5)

где значение ц(и', V) получено на основании следующих расчетов:

д(и', V') =(|0%-0%Н0%-0%|+|0%-0%М24%-

27%|+|28%-26%|+|19%-21%|+|14%-13%|+|8%--7%|+|4%-6%|+|3%-0%|)100%=(0%+0%+ +0% + 3%+2%+2% + 1 + 1%+2%+3%)/100%= = 14%/100%=0, 14<1/3.

По аналогии с (5) проведем расчеты для ВР СМ и ВР СЖ понедельных (V и V) и ежемесячных наблюдений (им и им):

д(ин, и") =(|0%-0%|+|0%-0%|+|0%-0%|+|17%-

— 15%|+|59%—49%|+|21%—26%|+|3%—10%|+|0%— —0%|+|0%—0%|+|0%—0%|)/100%=(0%+0%+ +0%+2%+10%+5%+7%+0%+0%+0%)/ /100%=24% / 100%=0, 24< 1/3;

д(им, Ц^) =(|0%-0%|+|0%-0%|+|0%-0%|+|11%-

22%|+|67%-56%|+|11%-11%|+|11%-11%|+|0%--0%|+|0%-0%|+|0%-0%|)/100%=(0%+0% + +0% + 11% + 11%+0%+0%+0%+0%+0%) /

/100%=22% / 100%=0, 22< 1 /3. Очевидно, что все три пары временных рядов (V' и V'), (ин и ин), (им и им) можно квалифицировать как подобные в смысле примечания 2. Наряду с представленным выше сопоставительным анализом пар ВР СМ и ВР СЖ подневных, понедельных и помесячных наблюдений ( V, и V; , г = {д, н, м}), авторами настоящей работы проведен аналогичный анализ для ВР СМ

и (U' ,UM) (табл. 5 и рис. 14).

Таблица 4

Сводная таблица процентного соотношения длин выделенных квазициклов ВР V' , V и ^, полученных с помощью фазового анализа

Длина квазицикла (Р ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ВР СМ и; (mp) 0 0 0 24 28 19 14 8 4 3

ВР СЖ и; (wp) 0 0 0 17 59 21 3 0 0 0

ВР СЖ U' () М V М 0 0 0 11 67 11 11 0 0 1

-дни недели месяцы

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 13. Графические изображения процентного соотношения длин квазициклов для ВР СМ подневных V', понедельных V и помесячных ^ наблюдений, полученные с помощью фазового анализа

Вычислим степень подобия для следующих пар ВР ИС (V', V), (V, Vм) и (V', V

V)=0,65>1/3; ц(цн, ггм)=0, 3< 1/3; ц(д, V¿)=0, 78>1/3.

Таблица 5

Сводная таблица процентного соотношения длин выделенных квазициклов ВР V , V и ^ , полученных с помощью фазового анализа

Длина квазицикла (Р ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ВР СМ и; (mp) 0 0 0 27 26 21 13 7 6 0

ВР СЖ и; (w;) 0 0 0 15 49 26 10 0 0 0

ВР СЖ UМ (wM ) ММ 0 0 0 22 56 11 11 0 0 0

Вычислим степень подобия для пар ВР СЖ

(и", ин), (ин, им) и (и", им).

ц(и',ин)=0,56>1/3; ^(ин, им)=0,3<1/3; и^=0,6>1/3.

Таким образом, для ВР СМ и для ВР СЖ имеет место подобие характеристик динамики между их понедельными и помесячными наблюдениями. В это же время, ряды подневных наблюдений на уровне визуализации (см. рис. 13, рис. 14) демонстрирует низкую степень подобия с рядами понедельных и помесячных наблюдений в смысле примечания 2.

-ДНИ

недели месяцы

Рис. 14. Графические изображения процентного

соотношения длин квазициклов для ВР СЖ подневных и , понедельных ин и помесячных наблюдений им , полученные с помощью фазового анализа

На основе результатов представленного выше анализа динамики ВР ИС авторами настоящей работы построена 4-уровневая иерархическая модель ВР ИС: дни х (I уровень)— квазинедели х2у (II уровень)— квазимесяцы х3к (III уровень)— год х (IV уровень). Графическое изображение структуры иерархической модели ВР СД представлено на рис. 15.

Отметим, что согласно [8] под термином структура иерархическом системы (модели) понимается сеть связей между элементами некоторой системы (объекта), обладающая следующими свойствами:

1) каждый элемент принадлежит (хотя бы формально) одному из уровней иерархии и может быть соединен только с элементами других уровней;

2) для каждого элемента системы в сети существует единственная цепь (путь), связывающая его с одним из элементов верхнего уровня.

Большинство известных к настоящему времени методов прогнозирования, так или иначе, оперируют выявленными в исследуемой системе (ВР) свойствами цикличности и периодичности. Таким образом, сам факт наличия явно выраженной цикличности, более того, знание ее численного выражения на разных уровнях рассматриваемой иерархической модели ВР ИС являются важными основанием возможности построения на базе методов нелинейной динамики адекватной модели прогнозирования этих ВР.

IV уровень

III уровень

*21 I Л22 I 23 I Л24 J ( 25 X 26 1 27

11 X 12 X 13 X 14 X 15

II уровень

I уровень

41

32

Рис. 15. Графическое изображение структуры иерархической модели ВР ИС

В процессе проведения фазового анализа агрегированных ВР застраховавшихся клиентов (мужчин, женщин) были выявлены соотносящиеся (сравнимые) между собой показатели цикличности повседневных, понедельных и помесячных наблюдений. Столбчатые диаграммы частоты длин квазициклов для подневных, понедельных и помесячных наблюдений ВР СД (мужчин, женщин) представлены на рис. 7-9. Соотносящиеся цикличности позволяют говорить об иерархической природе наблюдаемых колебаний значений исследуемых ВР ИС.

Литература

1. Лерсонс X М Корреляция временных рядов // Математические методы в статистике. М., 1927. С. 303-324.

2. Летерс 3. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.— 333 с.

3. Дурдюмое С. Л., Миине^ким Г. Г., Лотаиое Л. Нестационарные структуры, динамический хаос, клеточные автоматы //Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур.: Сб. ст. М., 1996. С. 95-164.

4. Лемман 3. Малая энциклопедия Трейдера. Киев, 1997.

5. Сигел 3. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.

6. Лереиели^а Л. , 7Муееа Ф. , Темироеа Г. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования. Ставрополь, 2005.

7. Лете^с 3. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. М., 2004.

8. Задачи оптимизации иерархических структур /В.Т. Дементьев, А.И. Ерзин, Р.М. Ларин, Ю.В. Шамардин. Новосибирск,1996.

Новочеркасская государственная мелиоративная академия

4 октября 2006 г.

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ НА ЭТАПЕ ИЗГОТОВЛЕНИЯ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

БЕЗ УЧЕТА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

© 2007 г. И.А. Акимов, В.Н. Козлов

Постановка задачи управления технологическим процессом по радиальной схеме в цилиндрической системе координат имеет следующий вид. Найти решение системы уравнений

Э<к (r, т) _ Э % (r, т) + 1 dtk (r, т) r

с Эт 1 (r, т) Эг

Эг 2

fk (r,т);

dr

(1)

1 dmk (r, т) d2mk (r, т) 1 dmk (r, т) .

--^^ _-+--^^ + hk (r, т); (2)

ck Эт dr2 r 3r

Э «k (r, т) + 1 Э«к (r, т) «k (r, т) _ k(1 + ц) dtk (r, т);

Эт2

Эг

1 -Ц

Эг

(3)

Rk-1(q>) < r < Rk(ф) для k=1, 2, ..., n,

при начальных условиях:

tk (r,0) = to ; m (r,0) = mo ; Mk (r,0) = 0 ; и при граничных условиях:

tn (ф), т) + ^ ^^ = р (ф, т);

an dn

mn (R (ф), T) + Xn dmn (Rn(ф),т) = 0;

ßn

Эп

Un(R„(ф),т) _ Uо;

?k-l(Rk-lW,т) _ tk№-1(ф),т); mk-1(Rk-1(ф),т) _ mk(Rk-1(ф),т); k _ 2,...,n;

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10) (11)

Uk-1(Rk-1(ф), т) _ Uk(Rk-1(ф), т);

№(ф),т)-кfr^т) _ ро(Ф,т); a1 Эп

™2^(ф), т) -

Х2 Эт2^(ф), т)

_ 0;

ß2 Эп ui(rOw,т) _ Uо;

л -1(Rk-1(ф), т) Л ^k (Rk-1(ф), т).

^k-1-л-_ Ak ■

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

ди ди

дтк-1(Ф), т) = -е дтк -1(Ф), т) П1,

*к-1 дИ = *к дИ , (17)

где «к, Хк, ак — коэффициенты температуропроводности, теплопроводности и теплопередачи, соответственно; Ск, сВк, Рк — коэффициенты про-водности потенциала массы, массопередачи и массоотдачи; Ж— доля жидкого состояния рассматриваемой среды (при затвердевании вещества); У — плотность этой части среды; о — скрытая теплота кристаллизации; т — время; х — пространственная координата; tk — температура области Лк,т, к = 1, 2; тк— объёмная концентрация к-го компонента; ик — поле скоростей или деформации. Необходимо отметить, что в задаче (1)—(17) описываются взаимосвязанные процессы тепло- и массообмена. Уравнение теплопроводности (1) содержит наряду с источниками тепла f (;, т) слагаемые, обусловленные тепловыделениями за счет градиента тк и дополнено соответствующими уравнениям (2) и (3), где ц — безразмерный коэффициент, характеризующий свойства термонапряжений. Рассматривается осе-симметричный случай. Соответствующая система уравнений запишется в векторной форме: