CC BY
59
УДК 519.688:622.279.23
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА СИСТЕМ С УЧЕТОМ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ
А.Г. Наймушин, В.Л. Сергеев
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассматриваются проблемы параметрической идентификации эволюционных процессов, для решения которых предлагается использовать интегрированные системы феноменологических моделей с учетом априорной информации. Приводятся примеры решения задачи идентификации и прогноза жизненного цикла накопленной продукции в процессе разработки нефтяного месторождения.
Ключевые слова:
Идентификация, феноменологические модели, процессы эволюции, жизненный цикл, априорная информация, нефтяное месторождение, извлекаемые запасы.
Key words:
Identification, phenomenological models, processes of evolution, life cycle, a-priori information, oil deposit, recoverable reserves.
Введение
В настоящее время в связи с возрастающей ролью системного подхода при проектировании и управлении в условиях неопределенности актуальным является решение задач идентификации и прогноза эволюционных процессов жизненного цикла сложных технических и социально-экономических систем. Именно проблема идентификации занимает исключительно важную роль, поскольку является наиболее «узким местом» при проектировании наукоемких и интеллектуальных систем управления и принятия решений [1, 2].
Для прогнозирования жизненного цикла большое внимание уделяется феноменологическим моделям
^ = / (г, у, а) (1)
Ш
эволюционных процессов
г ___
у* = у, +& = у(г0) + I/(т,У,а)Лт+£ , г 1 п (2)
г0
отражающих их целостные системные свойства. Здесь у*, у, г=1,п - фактические и вычисленные на основе модели значения процесса в различные моменты времени ,; /(/,у,а) - известные с точностью до вектора параметров а=(а, у=1,от) функции; 4, 1=1,п - различного рода случайные факторы, представляющие погрешности расчета траектории процесса, ошибки измерения у,, неточности при выборе модели процесса и т. д.
Следует отметить, что наряду с описанием эволюционного процесса в пространстве «вход-выход» (2) известна и другая форма представления феноменологических моделей эволюционных процессов в пространстве состояний, заданная двумя системами моделей, в принципе, сводимая к одной системе [2].
Примерами эволюционных моделей (1), (2) являются текущая емкость рынка инновационного товара, накопленная добыча нефти и газа в про-
цессе разработки месторождений углеводородов, забойные давления при гидродинамических исследованиях скважин на неустановившихся режимах фильтрации [3-5].
Однако при решении задачи параметрической идентификации, связанной с определением параметров феноменологической модели жизненного цикла (2), возникают проблемы обеспечения устойчивости, повышения точности оценок, учета дополнительной априорной информации, особенно на начальной стадии развития процесса, когда объем исходных данных п мал.
В данной работе для решения отмеченных выше проблем идентификации эволюционных процессов предлагается использовать интегрированные системы феноменологических моделей с учетом дополнительной априорной информации.
Модели и алгоритмы
идентификации эволюционных процессов
Основой задачи идентификации эволюционных процессов жизненного цикла является интегрированная система феноменологических моделей вида
у* = /о(,,У,а)+4,, ,=1 ,п,
х} = /а} (у, ,а) +4} ,} = Ы, (3)
где первая система из п уравнений - стохастическая модель исследуемого эволюционного процесса жизненного цикла (2), а вторая система из йура-внений представляет модели объектов аналогов, позволяющих учитывать дополнительную априорную информацию х, известную к моменту времени ,. В качестве априорной информации могут быть использованы данные о параметрах эволюционного процесса х^а, ]=1,ш, известные к моменту времени , с погрешностью п, будущие значения тха-ектории эволюционного процесса х{п+})=уп+р у=1,/, в том числе и его предельные значения (аттракторы х„=у„). Модели объектов аналогов/а(у,,а) могут
представлять функции, функционалы, а в общем виде операторы /аі от переменных у1 в классах линейных, нелинейных параметрических либо непараметрических моделей [1]; §, гц - случайные неконтролируемые факторы.
Рассмотрим примеры интегрированных систем феноменологических моделей с учетом априорной информации. При использовании априорной информации о параметрах моделей эволюционного процесса а,, полученных к моменту времени і, систему моделей (3) можно представить в виде
¡У* = /(г,Уг ,а) + ^ , г =1, п,
[а/ =а+п. (4)
В случае логистической модели роста [3] и априорных сведений о ее аттракторе - модель (4) принимает достаточно простой вид
і ______________________
У/ = У (/0) + I (а1Уг-а2Уг№ + £,, г = Ы
/0
хх=ах1а2 +п. (5)
При использовании априорной информации о параметрах феноменологической модели а и экспертных оценок будущих значений эволюционного процесса -п+ система моделей (3) принимает вид
ІУ* = /а(г, У г,а)+&, г = 1, n,
[а=а +п, Уп+, = /(Уп+і а)+У], і=1,1. (6)
Следует отметить, что уравнения вида (3)-(6) представляют простейшую интегрированную систему моделей первого уровня. По аналогии с [1] имеют место и многоуровневые иерархические интегрированные системы феноменологических моделей.
С позиции системного подхода процесс параметрической идентификации эволюционных моделей (3) можно представить как решение оптимизационных задач вида [1]
а*(0) = аг§штФ(а,0),
ß„ = arg min J0{an{ß)\
(7)
(8)
по параметрам а интегрировании системы моделей эволюционных процессов жизненного цикла
Гу* = Ка+£,
[х = Раа+п (9)
и комбинированного показателя качества Ф, выбранного в виде суммы взвешенных частных квадратичных показателей качества
<&(a,ß) = y* -F0a\\ + x-Fp\
(10)
где запись arg minfx) означает точку минимума x* функции Jx)fx)=minflx)); O(a,ß)=O(J0(a), ßJk(a), k=l,l) - комбинированный показатель качества системы моделей (3), представляющий заданную функцию (функционал) Ф от частного показателя качества J0(a) модели эволюционного процесса жизненного цикла и взвешенных весами ßn частных показателей качества Jk(a) моделей дополнительных априорных данных и экспертных оценок.
Следует отметить, что рассматриваемая технология выбора оптимальных решений (7), (8) позволяет синтезировать достаточно широкий спектр известных и новых алгоритмов идентификации для линейных и нелинейных интегрированных систем моделей эволюционных процессов (3), а также для различных показателей качества и методов решения оптимизационных задач. Например, для линейной
оптимизационная задача (7) сводится к решению систем линейных уравнений вида
(^,^0 + ГатЖ(в)^ )а*(в) =
= (^тГу * + гатж (в)Х), (11)
где запись ||ХУ означает квадратичную форму ХГМХТ; у*=(у,*, і=1,п) - вектор фактических значений эволюционного процесса; х=(х;, у=1,ф - вектор дополнительных априорных сведений и экспертных оценок; /о=(^.(,ч,у,), ]=1,ш, і=1,п) - матрица известных функций ■;-1,у,) в модели исследуемого объекта размерности (тхп); Ва=(фа](у), /=1Д к=1,т) - матрица известных функций %(у) в модели объектов аналогов размерности (йхт); W(в)=diag (вк, к=1,т) - диагональная матрица весовых функций, определяющих значимость (вес) априорных данных х; У - известная матрица вероятностно-статистических характеристик случайных величин 4, і=1,п. Для получения системы линейных уравнений (11) достаточно взять частные производные по параметрам а от комбинированного функционала (10) и приравнять их к нулю.
Для нелинейной интегрированной системы моделей эволюционных процессов жизненного цикла вида
Гу* = і, (а) + 4,
(х = іа (а)+n, (12)
и комбинированного показателя качества Ф
ф(а, в) = ||у- - №)| I + Iх - і, (а) 12(в)
оптимизационная задача (7) при использовании метода Гаусса-Ньютона [6] сводится к последовательному решению систем линейных уравнений вида
а* = а- + h Ааі-, і = 1,2,3,
(DT0WD0 + DTaW (ß)Da) і, Аа*-і = = (DT0We0 + DTaW (ß)e a )i-i,
(13)
где
'woa ,i=^, j=ітл
да,
J У?
D idfa,k(Лy,o) , — • ;— ^
D„ = ——-----, k = 1, l, j = 1, m
У Im
2
- матрицы частных производных от моделей исследуемого процесса и моделей объектов аналогов; е0=(у*-Г0(а)), ёа=(х-1*(а)) - векторы невязок, \ -параметр шага.
Отметим, что приведенные выше оценки параметров интегрированных систем феноменологических моделей (9), (12) при определенных значениях управляющих параметров и дополнительных априорных сведений соответствуют многим традиционным методам идентификации. Например, из (11) при нулевых значениях априорных данных -=0,у=1,^ и Fa=W=I, рк=р, к=1,т (где I- единичная матрица) следуют известные Ridge-приближения и регуляризирующие по Тихонову оценки параметров линейных регрессионных моделей [6]
а* = (^ +1 в)-1 ^ у*, (14)
позволяющие получать устойчивые решения при вырожденности либо плохой обусловленности матрицы ¥0Т¥0. Следует отметить, что оценки (14) являются оптимальными приближениями параметров, доставляющих минимум стабилизирующего функционала А.Н. Тихонова [7]
Ф(а, в) = ||у* - *оа||2 + вМ\2,
следующего из комбинированного показателя качества (10).
При аналогичных условиях оценки параметров (13) для нелинейных моделей совпадают с устойчивыми оценками метода Левенберга-Марквард-та [6]
а* = а,- + Ц Аа,-, г = 1,2,3,...,
(ОТО +1 в)-Аа*-1 = (О 0 ео + Ш (в Я)-, (15) а при в=0 - с методом Гаусса-Ньютона а* = а,- + Ц Аа , г = 1,2,3,..., да>о)м Ааг*-1 = (О 0ео),-. (16)
Следует также отметить, что задача (8) по определению оптимальных значений вектора управляющих параметров Д* не имеет аналитического решения и решается методами последовательных приближений.
Идентификация эволюционного процесса
накопленной добычи нефти
На рис. 1-3 и в таблице приведены результаты решения актуальной задачи анализа и контроля разработки лицензионных участков нефтяных месторождений, прогноза накопленной добычи нефти и оценки извлекаемых запасов.
Для решения задачи интеграции геологической и технологической информации и идентификации эволюционного процесса использовалась интегрированная система моделей накопленной добычи нефти вида
у* = / (г,а)+& =
г __
<= у(к)+«1 /ехр(-а2т)т“3ёт+^, г=1,п,
г,= кф+п = / (,,а)+г\, (17)
где у/, 1=1,п - фактические значения добычи нефти объектов разработки за период времени А*; у(*0) - накопленная к начальному моменту времени *0 добыча нефти; - априорная информация
06 извлекаемых запасах; 2 - геологическая оценка балансовых запасов; к - экспертная оценка коэффициента извлечения.
Фактические значения накопленной добычи нефти пласта Ю2 нефтяного месторождения Томской области за 23 года разработки приведены на рис. 1-3 сплошной линией 1. Линии 2-5 представляют оценки прогнозной добычи нефти у(4+т), начиная со второго года разработки
У(гп +т) = / (гп +т,a*(в*)),
гп = п, п = 1,5,т =1,23 - п, (18)
где ап*(вп*) - оценки параметров модели (17), полученные на основе (13) при соответствующих значениях матриц частных производных от модели годовой добычи нефти, векторов невязок и при оптимальном значении управляющего параметра вп* (3), полученного с использованием метода золотого сечения.
Точные значения извлекаемых запасов за все время разработки нефтяного пласта Ю21 составили £,=7,4-106 тонн. Априорная информация об извлекаемых запасах выбиралась равной —,=5-106тонн с ошибкой порядка 30 %.
Корректировка априорной информации в модели (17) проводилась по схеме
2„,п = / (Т ,ап(в*)), п = 2,3,...,
где Т соответствует времени завершения разработки нефтяного пласта (Т=43).
В таблице приведены значения относительных ошибок оценок извлекаемых запасов за первые
7 лет разработки нефтяного пласта
§п = аЪз ((/ (Т ,ап(в*п)) - г ,)/г,), п=2,7,
полученные на основе (13) и условно названные методом интегрированных моделей (МИМ), методом Гаусса-Ньютона (МГН) (16) и методом Левен-берга-Марквардта (МЛМ) (15).
Из таблицы видно, что метод интегрированных моделей позволил улучшить экспертную оценку извлекаемых запасов с 30 до 5 % ошибки, что отражено и на графиках рис. 1 (линии 2-4), демонстрирующих достаточно быструю сходимость прогнозных значений накопленной добычи нефти (18) к их фактическим значениям.
Номер года разработки
Рис. 1. Фактические (линия 1) и прогнозные значения добычи нефти (линии 2~5) сучетом априорной информации о запасах
Таблица. Относительная ошибка оценок извлекаемых запасов, %
Методы Длительность разработки (номер года)
2 3 4 5 6 7
МИМ 0,461 0,244 0,173 0,086 0, 059 0,046
МГН - 8,405 6,537 0,369 0,469 0,319
МЛМ 3,483 0,363 0,312 0,343 0,349 0,301
Номер года разработки
Рис. 2. Фактические (линия 1) и прогнозные значения добычи нефти (линии 2~5) с использованием метода Гаусса-Ньютона
Для сравнения качества прогноза на рис. 2 и 3 приведены прогнозные значения накопленной добычи нефти, полученные с использованием метода Гаусса-Ньютона, начиная с третьего года разработки, и метода Левенберга-Марквардта, - со второго года разработки.
Номер года разработки
Рис. 3. Фактические (линия 1) и прогнозные значения добычи нефти (линии 2~5) с использованием метода Левенберга-Марквардта
Выводы
1. Для идентификации эволюционных процессов жизненного цикла систем предложено использовать интегрированные системы феноменологических моделей с учетом априорной информации.
2. Приведен метод синтеза и примеры оптимальных, в смысле квадратичных показателей качества, оценок параметров линейных и нелинейных интегрированных систем феноменологических моделей.
3. На примере идентификации эволюционного процесса накопленной добычи нефти показано, что предлагаемые модели и алгоритмы, условно названные методом интегрированных моделей, позволяют при малом объеме промысловых данных получить более точные оценки извлекаемых запасов по сравнению с классическими алгоритмами Гаусса-Ньютона и Левенбер-га-Марквардта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев В.Л. Интегрированные системы идентификации. -Томск: Изд-во ТПУ, 2011. - 198 с.
2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении. - М.: Финансы и статистика, 2002. -368 с.
3. Кожухова В.Н., Семенычев Е.В. Методы идентификации логистической динамики и жизненного цикла продукта моделью Верхулста // Экономика и математические методы. - 2012. -Т 48. - №2. - С. 108-115.
4. Кемерова П.А., Сергеев В.Л., Аниканов А.С. Адаптивная идентификация и интерпретация нестационарных гидродинамиче-
ских исследований с учетом притока продукции в скважине // Известия Томского политехнического университета. - 2011. -Т. 319. - № 4. - С. 43-46.
5. Хасанов М.М., Карачурин Н.А., Тяжев Е.А. Оценка извлекаемых запасов на основе феноменологических моделей // Вестник инженерного центра ЮКОС. - 2001. - № 2. - С. 3-7.
6. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. - М.: Финансы и статистика, 1981. - 300 с.
7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 392 с.
Поступила 24.12.2012 г.
