CC BY
8ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5
11
УДК 517.518.2+517.982.1+517.987.1
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО РИМАНУ, ПОСРЕДСТВОМ СЕЧЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ, II
В. К. Захаров, А. В. Михалев, А. А. Серединский
7. Общее определение интеграла Римана и функций, интегрируемых по Риману. Описание функций, интегрируемых по Риману. Приведем краткое изложение статьи [1].
Пусть (T, G) — тихоновское топологическое пространство с семейством всех открытых множеств G и ß — положительная ограниченная радоновская мера на T, т.е. ст-аддитивная функция ß : M — [0,a] С R, определенная на ст-алгебре M, содержащей ст-алгебру B всех борелевских множеств пространства T, и такая, что ßM = sup{ßK\K С B&K — компактное множество } для любого M Е M. Через СМ ^ обозначим ст-идеал всех ß-пренебрежимых множеств из T.
При определении интеграла Римана для топологического измеримого пространства (T, G, ß) естественным представляется подход через ß-жордановы множества. Множество P из T называется ß-жор-дановым, если fry(P) Е CJMß, где fry(P) = cly(P) \ inty P — топологическая граница множества P в пространстве (T, G). Семейство всех ß-жордановых множеств из T обозначим через J(T, G, ß). Оно является булевой алгеброй относительно теоретико-множественных операций. Ограничение меры ß на ансамбль J(T, G, ß) всех ß-жордановых множеств будем называть жордановой мерой, порожденной радоновской мерой ß, и обозначать через mß.
Покрытие (Ха С T \ а Е А) множества T называется разбиением T, если Ха П Xß = 0 для любых а = ß из А. Рассмотрим множество Г = r(T, G,ß) всех конечных ß-жордановых разбиений п = (Pk Е J(T, G, ß) \ k Е K) множества T, состоящих из ß-жордановых множеств.
Рассмотрим множество А = A(T, G,ß) всех конечных разбиений к = (Qk Е G U СМ^ \ k Е K) множества T, состоящих из открытых множеств и ß-пренебрежимых множеств. Разбиение к является ß-жордановым. Действительно, рассмотрим множества K' = {k Е K \ Qk ЕGЛ Qk Е CMß} и K" = {k Е K \ Qk Е СМ^}. Если k Е K', то fr(Qk) = clQk \ Qk С T \ U(Qk Е G \ k Е K') = U(Qk Е CMß \ k Е K'') Е CMß. Если k Е K'', то fr(Qk) = cl Qk \ int Qk С cl Qk С T \ U(Qk ЕG\k Е K') Е CMß. Назовем это ß-жорданово разбиение к Е А простым. Каждому ß-жорданову разбиению п Е Г сопоставляется простое ß-жорданово разбиение к = (Gk, Nk \ k Е K), где Gk = int Pk ЕG и Nk = Pk \ Gk Е CJMß.
Из всего сказанного выше следует, что для определения интеграла Римана для пространства (T, G, ß) нет необходимости использовать сложную булеву алгебру J(T, G, ß) и множество Г всех ß-жордановых разбиений п, а достаточно рассматривать только его подмножество А простых ß-жордановых разбиений к.
Скажем, что разбиение Л = (Ri \ l Е L) Е А является более тонким (Л > к), чем разбиение к = (Qk \ k Е K) Е А, если для любого k Е K существует множество L' С L, такое, что Qk = U(Ri \ l Е L').
Относительно этого порядка А является направленным вверх. Для каждого разбиения к Е А рассмотрим нижнюю s(f, к) = (inf(/(t)\t Е Qk)ßQk\k Е K) и верхнюю S(f, к) = (SUP(/(t)\t Е Qk)ßQk\ k Е K суммы Дарбу ограниченной функции f : T R. Ясно, что (s(f, к)\к Е А) возрастает, (S(f, к)\к Е А) убывает и s(f, к) < S(f, к).
Ограниченная функция f : T — R называется ß-интегрируемой по Риману на топологическом измеримом пространстве (T, G,ß), если sup(s(f, к)\к Е А) = inf(S(f, к)\к Е А).
Если функция f является ß-интегрируемой по Риману на (T, G,ß), то число sup(s(f, к) \ к Е А) = inf(S(f, к) \ к Е А) называется ß-интегралом Римана от функции f по пространству (T, G, ß) и обозначается через ißf.
Данное определение является обобщением классического определения интеграла Римана Iyf = J ... J f (xi,..., xn) dxi ... dxn для измеримого по Жордану подмножества T в Rn с мерой Жордана m
(с*! [2, §12.6, §12.7]).
Пусть Л — мера Лебега на Rn, порожденная объемом параллелепипедов V(n(\x^,yi\ \i = 1,... ,n)) = n(yi - xi \ i = 1,...,n), где \xi,yi\ — произвольный отрезок вида [xi,yi], ]xi,yi[, [xi,yi[ и ]xi,yi] для xi < yi из R. Пусть Л \ T — мера Лебега на T. Рассмотрим топологическое измеримое пространство (T, G (Rn) \ T, Л \ T), где G (Rn) — семейство всех открытых множеств в Rn. В [1] была доказана следующая теорема.
12
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №5
Теорема. Пусть T — измеримое по Жордану (см. [2, §12.5]) подмножество в Rn. Тогда для любой ограниченной функции f : T — R следующие утверждения равносильны:
1) f является X\T-интегрируемой по Риману (в смысле предыдущего определения) на топологическом измеримом пространстве (T, G(Rn)\T, X\T);
2) f является интегрируемой по Риману в классическом смысле (см. [2, § 12.6]).
При выполнении одного из равносильных условий 1 и 2 справедливо равенство интегралов ißf = /■■■/ f (xi,...,xn) dxi ...dxn.
Множество всех ограниченных функций, ц-интегрируемых по Риману на пространстве (T, G,ц), обозначим через RI(T, G , ц) или короче RIß. Это множество является линейным решеточным пространством. Рассмотрим его фактормножество Rß = RIßj LN ß. Оно тоже является линейным решеточным пространством. Класс эквивалентности функции f £ RIß относительно идеала LNß будем обозначать через f mod LN
Множество всех непрерывных ограниченных функций на пространстве (T, G) обозначим через C. Рассмотрим отображение u : C — Rß, такое, что uc = с mod LN ß. Функционально-факторное расширение u : C ^ RIßjLNß называется расширением Римана линейного решеточного пространства C.
ст-Идеал LN ß является слишком большим для семейства RIß. Поэтому введем более узкий идеал множеств, являющийся "родным" для функций, ц-интегрируемых по Риману.
Множество конуль-множеств coz f = {t £ T\f (t) = 0} всех непрерывных функций f на (T, G) обозначим через G0. Далее через в обозначается один из символов: 0 или 0; при этом условимся символ 0 в индексе опускать.
ц-Измеримое множество X будем называть множеством полной меры, если T \ X £ LNß.
Семейство {U £ Gf\T \ U £ LNß} всех множеств из Gf полной меры обозначим через Uf. Оно порождает идеал множеств Nf = {N С T\3U £ Uf (N С T \ U)}. Этот идеал не является ст-идеалом. Из компактной регулярности меры ц следует, что N° = Nß. Ясно, что Nß С LNß. Поскольку supp ц = T, множества U из U являются всюду плотными. Поэтому множества N из идеала N являются нигде не плотными. Значит, int N = 0 влечет ßdN = ц cl N = 0. Следовательно, N является ц-жордановым и m^N = 0. Обратно, если множество N является ц-жордановым и m^N = 0, то int N = 0. Поэтому ц cl N = ßdN + ц int N = 0 означает, что N £ Nß. Таким образом, идеал Nß совпадает с идеалом ц-жордановых множеств, имеющих нулевую жорданову меру . Для пространства (T, G(Rn) \ T, \ \ T), где T — измеримое по Жордану подмножество в Rn, идеал N\\t совпадает с обычным идеалом множеств, измеримых по Жордану и имеющих нулевую меру Жордана m.
Множество X из T назовем Zß-множеством, если X = G U N для некоторых множеств G £ Gf и N £ Nß. Семейство всех Zf-множеств из T обозначим ZPß. Оно является решеткой относительно объединений и пересечений, а также содержит края 0 и T.
Имея решеточное семейство ZPß всех Zf-множеств на T, мы можем рассмотреть линейное решеточное пространство U(T, ZPß) всех равномерных функций относительно этого семейства.
Рассмотрим также семейства Sf и SU всех ограниченных функций f : T — R, таких, что f _1[]x, £ Gf и соответственно f _1[] — ro,x[] £ Gf для любого x £ R. Эти функции будем называть Gf -полунепрерывными снизу и соответственно Gf -полунепрерывными сверху.
В [1] были доказаны следующие утверждения.
Предложение. Для ограниченной функции f : T — R следующие утверждения равносильны:
1) f £ U (T, ZPß);
2) для f существуют функции g £Sf и h £ SU, такие, что g < f < h и g ~ h mod Nf;
3) для f существуют функции g £ Sf П U (T, ZPß) и h £ SU П U (T, ZPß), такие, что g < f < h и g ~ h mod Nf.
Теорема. Для ограниченной функции f : T — R следующие утверждения равносильны:
1) f £ RI ;
2) f £ U(T, ZPß);
3) мера ц множества точек разрыва функции f равна нулю;
4) для любого n £ N существуют множество Un £ Uf полной меры и функция fn : T — R, такие, что fn\Un £ C(Un) и \f(t) — fn(t)\ < 1jn для любого t £ Un;
5) существуют счетные коллекции (gi £ C \ i £ I) и (hj £ C \ j £ J) и последовательность (Un £Uf \ n £ N), такие, что gi < f < hj для любых i и j и для любых n £ N и t £ Un существуют i и j, такие, что hj(t) — gi(t) < 1jn.
Следствие 1. Имеет м,ест,о 'равенство RI^/CN^ = RI \i/N®.
Следствие 2. Имеет место равенство RI^/CN^ = U(T, ZP^)/N®.
8. вТц-Расширения. Компактное множество E из T назовем ¡-компактным, если G П E / CN ^ для любого непустого открытого множества G, пересекающего множество E. Семейство всех ¡-компактных подмножеств из T обозначим через Л^. Наделим его порядком по вложению.
Лемма 15. Пусть K — компактное множество из T и K / CNц. Тогда E = K \ U{G Е Q\G П K Е CNе Лм и K \ Ee CN„.
Доказательство. Рассмотрим множества
H = {H Е G \ ¡(H П K) = 0} и Но = U{H Е G \ ¡(H П K) = 0}.
Проверим, что ¡(H П K) = 0. В силу радоновости меры ¡ для любого е > 0 существует компактное множество X С Ho П K, такое, что ¡X < ¡(H П K) < ¡X + е. Поэтому для покрытия (H \ H Е H) множества X существует конечная коллекция (H Е H \ i Е I), такая, что X С U(H \ i Е I). Следовательно, ¡X = ¡(K П X) < ¡(U(K П H \ i Е I)) ^Y,(¡(K П H) \ i Е I) = 0. Значит, ¡(H0 П K) < е. Из произвольности е теперь следует ¡(Ho П K) = 0.
Так как E = K \ H0, то K \ E = H0 П K. Поэтому K \ E Е CN ^.
Проверим, что E Е Л^. Пусть G — открытое множество, такое, что G П E = 0. Тогда G П K = 0. Ясно, что ¡(GП K) > 0. Поэтому 0 < ¡(G П K) = ¡((GП E) U (Ho П K)) < ¡(GП E) + ¡(H П K) = ¡(GП E).
Следствие 3. Объединение U(E\E Е Л^) плотно в T.
Доказательство. Рассмотрим произвольное открытое множество G Е G. Так как носитель меры ¡ совпадает с T, то ¡G > 0. Следовательно, существует компактное множество K С G, такое, что ¡K > 0. По лемме 15 существует ¡-компактное множество E Е Л^, такое, что справедливо вложение E С K. Значит, выполняется вложение E С G.
Рассмотрим коллекцию множеств T ^ = (Te = E\E Е Л^).
Лемма 16. Коллекция Т^ является насыщенным прикрытием на множестве T.
Доказательство. Проверим, что коллекция Т^ является насыщенной. Пусть G Е G0 и для множества 0 = Te Е Тц выполняется свойство Te П G = 0. Так как мера радоновская, то существует компактное множество K С G П Te, такое, что K / CN^. По предыдущей лемме существует ¡-компактное множество Tl = L С K. Для него выполняется вложение L С EПG и неравенство L < E. Это означает, что коллекция T является насыщенной.
Выполнение свойств прикрытия а, б очевидно. Свойство в вытекает из следствия к лемме 15. Следовательно, по лемме 11 работы [3] коллекция Т ^ является прикрытием. Лемма доказана.
Прикрытие Тц назовем ¡-компактным прикрытием пространства (T, G).
Лемма 17. Тройка (Т^, {0},C) является согласованной.
Доказательство. Ясно, что C = U(T, G0). В силу леммы 14 работы [3] нам достаточно показать согласованность тройки (Т^, {0}, G0). Выполнение свойства а из определения согласованности для тройки (Тм, {0}, G0) очевидно.
Проверим выполнение свойства б из определения согласованности для тройки (Тц, {0}, G0). Пусть G Е G0 — произвольное непустое конуль-множество. Так как supp ¡ = T, то ¡G > 0. Следовательно, существует компактное множество 0 = K С G, а по лемме 15 существует ¡-компактное множество 0 = E С K. Значит, выполняется свойство Te П G / {0}.
Теперь проверим выполнение свойства в из определения согласованности для тройки (Т^, {0}, G0). Пусть E Е Лм, G Е G0 и Te П G = 0. Так как множество E является ¡-компактным, то ¡(E П G) > 0. Следовательно, существует компактное множество 0 = L С (EПG). По лемме 15 существует ¡-компактное множество 0 = D С L. Для этого множества выполняется неравенство 0 < D < E и свойство Td\G Е {0}. Значит, тройка (Т^, {0}, G0) является согласованной. Лемма доказана.
Теперь, согласно лемме 15, можно рассмотреть на с-пространстве C насыщенное измельчение C ^ = (Ce\E е Лм), соответствующее прикрытию Т^, такое, что Ce = {с Е C\Te П coz с = 0}. Тогда ст-пространство (C, C^) является ст-пространством s-пространства (T, G, Т^). Измельчение C^ назовем ¡-компактным измельчением с-пространства C. с-Пространство C с измельчением назовем ст^-пространством (C, ). ст-Расширения u : (C, C^) ^ (A, A) будем называть ст^-расширениями ст^-простран-ства C.
Рассмотрим на множестве T решетку ZP^ и идеал N^. По определению семейства ¡-компактных множеств Лм для любого множества E Е Л ^ и любого открытого множества G Е G, такого, что Te ПG = 0, выполняется свойство Te П G / CN ^. Значит, выполняется свойство Te П G / N^. Следовательно, идеал N® является s-тощим идеалом.
Лемма 18. Тройка (1Ч, Я®, ZV4) является согласованной.
р!
Доказательство. Выполнение свойства а из определения согласованности для тройки (Тр, , ) очевидно.
Проверим свойство б из определения согласованности для тройки (Тр,, 2Твр). Рассмотрим множе-
ство Z Е ZVf \Я®. По определению решетки ZVЧ справедливо равенство Z = GUN для некоторых G Е G® и N Е Я®. Так как Z = G U N / Я®, то G = 0. Поскольку мера / — радоновская, для множества G существует компактное множество K, такое, что K С G и K / СЯ 4. По лемме 15 существует /-компактное множество Е, такое, что Е С K. Для этого множества справедливо равенство Te П Z = ЕЕ СЯ 4, а следовательно, Te П Z / Я®.
Теперь проверим свойство в из определения согласованности для тройки (I4,Я®, ZV4). Пусть для некоторых множеств Е Е Л ^ и Z = G U N Е ZV4 выполняется свойство Te П Z / Я®. Тогда справедливо свойство Е П G = 0 и по определению /-компактных множеств меет место Te П G / СЯЧ. Так как мера / радоновская, то существует компактное множество K С Е П G, такое, что K = СЯ4. По лемме 15 существует /-компактное множество L, такое, что L С K. Для /-компактного множества L Е Л ^ выполняется равенство Tl \ Z = 0 Е Я 4 и неравенство L < Е.
Итак, выполняются все три свойства согласованности тройки (%Ч, Я®, ZVЧ). Лемма доказана.
Так как тройка (I4, Я®, ZVЧ) согласованная, то из леммы 14 работы [3] следует, что тройка (I4, Я®,
U(T, ZV4)) тоже согласованная. Тогда по лемме 12 работы [3] можно рассмотреть на с-пространстве
А = U(T, ZV4)/Я® насыщенное измельчение A4 = (Ae Е C(U(T, ZVЧ)/Я®)\Е Е Л4), соответствующее
прикрытию АЧ, такое, что AE = {а Е А\Уи Е N (TE П cozn а Е Я®)}. Тогда пара (U(T, ZVe4)/Я®, АЧ) является сг-пространством.
Поскольку с-пространство U(T, ZV4) является широким, то по лемме 13 [3] гомоморфизм u : C ^
U(T, ZV4)/Я®, такой, что ис = с, является функционально-факторным СГ4-расширением u : (C, C) ^
(U(T, ZV®4)/Я®, &ч). Так как, согласно п. 7, выполняется равенство U(T, ZV4)/Я® = RI 4/СЯ4, то рассмотренное расширение является расширением Римана. Таким образом, мы расширение Римана превратили в СГ4-расширение.
9. Предварительные леммы о сгч-расширении Римана. Далее с-пространство RI4/СЯ 4 = U(T, ZV®4)/Я® будем обозначать через А.
Пусть ue : А ^ А/Ае обозначает факторотображение из А в А/Ае .
Лемма 19. Пусть f Е А и f Е Ае. Тогда существует число n Е N, такое, что для любого множества U Е U® справедливо (cozn f+ U cozn f-) П Е П U = 0.
Доказательство. Утверждение леммы является непосредственным следствием из определения идеала Ае и равенства cozn f = cozn f+ U cozn f-.
Лемма 20. Пусть f Е А. Если uef > 0 (uef ^ 0), то для любого числа n Е N существует множество U Е U®, такое, что f (t) > -1/n (соответственно f (t) > -1/n) для любого t Е U П Е.
Доказательство. Неравенство uef > 0 (uef ^ 0) означает, что существует элемент р Е Ае, такой, что f+р > 0 (f+р ^ 0). Так как р Е Ае, то для любого числа n Е N выполняется свойство cozn рПЕ Е Я®. Отсюда следует, что существует такое множество V Е U®, что (coz2n р П Е) П V = 0. Это означает, что \p(t)\ < l/2n для любого t ЕV П Е.
Неравенство f + р > 0 (f + р > 0) означает, что существует такой элемент а Е I 4 = {а Е RI4Е N(cozn а Е Я4)}, что f + р + а > 0 (f + р + а > 0). Так как coz2n а Е Я4, то существует такое множество W Е U®, что coz2n а П W = 0. Это означает, что справедливо неравенство \а(^\ < 1/2n для любого t Е W.
Рассмотрим множество U = V П W. Тогда выполняется неравенство \p(t) + o:(t)\ < \p(t)\ + \o:(t)\ < 1/2n + 1/2n = 1/n для любого t Е U П Е. Так как имеет место неравенство f (t) > -(p(t) + а(^) (f (t) > -(p(t) + o:(t))) для любого t Е T, то справедливо неравенство f (t) > -1/n (f(t) > -1/n) для любого t U П Е.
Лемма 21. Пусть f Е А и uef > 0. Тогда существует число n Е N, такое, что для любого множества U Е U® выполняется cozn f+ П Е П U = 0.
Доказательство. По лемме 19 существует число n Е N, такое, что (cozn f+ Ucozn f-) ПЕП W = 0 для любого множества W Е U®. Предположим, что существует множество V Е U®, такое, что cozn f+ П ЕП V = 0. По лемме 20 существует множество U Е U® такое, что выполняется неравенство f (t) > -1/n для любого t е!1 П Е. Следовательно, cozn f+ П Е П V П U = 0 влечет выполнение неравенства cozn f-П Е П V П U = 0.
Это означает, что существует t Е EП VП U, такое, что f (t) < -1/n. Из полученного противоречия следует утверждение леммы.
Лемма 22. Пусть f Е A и ue f > 0.
1) Если ue f > 0, то для любого числа m Е N существует вещественное число x < 1/m, такое, что cozm(f + x1)+ П E П U = 0 для любого множества U Е .
2) Если ue f = 0, то для любого числа m Е N и любого вещественного числа x > 1/m справедливо cozm(f + x1)+ П E П U = 0 для любого множества U Е .
Доказательство. 1. Возьмем произвольное число m Е N. По лемме 20 существует число n Е N, такое, что cozn f+ П E П U = 0 для любого множества U Е U°. Так как cozn f+ = {t Е T\f (t) > 1/n} и cozm(f + x1)+ = {t Е T\f (t) > 1/m — x}, то cozn f+ С cozm(f + x1)+ при 1/m — x < 1/n. Следовательно, можно взять любое вещественное число x, такое, что x < 1/m и x > 1/m — 1/n. Тогда cozm(f + x1)+ П E П U = 0 для любого множества U Е U°.
2. Из того что справедливо равенство ue f = 0, следует, что выполняется свойство cozn f П E Е N° для любого числа n Е N. Возьмем произвольные числа m Е N и x > 1/m. Рассмотрим множество zn f = {t Е T\\f (t)\ < 1/n}. Так как E = (E П cozn f) U (E П zn f) и E / N°, то zn f П E / N° для любого числа n Е N. Следовательно, zn f П E П U = 0 для любого множества U Е U°.
Так как 1/m — x < 0, то существует число n Е N, такое, что справедливо неравенство 1/m — x < —1/n. Следовательно, вложения zn f С{ Е T \f (t) > —1/n} С cozm(f + x1)+ влекут неравенство cozm(f + x1)+ П E П U = 0 для любого U Е U°.
Лемма 23. Пусть f,g Е C, тогда следующие утверждения равносильны:
1) f <_g в C;
2) ue f ^ ueg в A/Ae для любого множества E Е Л^.
Доказательство. То, что из первого неравенства следует второе, очевидно. Необходимо показать, что второе неравенство влечет первое.
Предположим, что не выполняется неравенство f < g в C. Это означает, что X = coz(f — g)+ = 0. Так как supp ¡ = T, то X / CN ^. Из того что мера ¡ радоновская, следует, что существует компактное множество K С X, такое, что ¡K > 0. По лемме 15 существует мерокомпактное множество E С K. Значит, Te П coz(f — g)_ = 0 влечет (f — g)_ Е Ae, т.е. (uef — ueg) Л 0 = 0. Отсюда следует, что выполняется неравенство ue f ^ ueg. Из полученного противоречия следует, что справедливо неравенство f < g в C.
10. Теорема граничности для расширения Римана. Нижеследующая теорема граничности была анонсирована в работе [4]. Напомним, что здесь через A мы обозначаем с-пространство RI^/CN^ =
U (T, ZP; )/N°.
Теорема 2. Пусть f Е A. Тогда существуют счетные коллекции P = (g¿ Е C\i Е I) и Q = (hj Е C\j Е J), такие, что f = т — sup(g¿ Е C\i Е I) = т — inf(hj Е C\j Е J).
Доказательство. По условию f принимает значения из некоторого отрезка [—z,z]. Для функции f существует последовательность (кп \ n Е N) конечных покрытий Kn = (Znk Е ZP° \ k Е Kn), таких, что w(f, Kn) < 1/n. По определению Znk = Gnk U Nnk для некоторых Gnk Е G0 и Nnk Е N®. Рассмотрим числа xnk = inf (f (t)\t Е Znk) и y,nk = sup(f (t)\t Е Znk). Пусть Gnk = coz gnk для некоторой функции gnk Е C+. Рассмотрим функции gnki = (—z1 + lgnk) Л xnk1 Е C, hnk¡ = (z1 — lgnk) V ynk 1 Е C, такие, что gnki < f < hnki для всех l Е N.
Рассмотрим множества Gnki = {t eT \ gnk (t) > (z + xnk)/l}П{t Е T \ gnk (t) > (z — ynk )/l} Е G0. Ясно, что Gnk = U(Gnki \ l Е N). Если t Е Gnki, то gnki(t) = xnk и hnki(t) = ynk. Поэтому 0 < hnki(t) — gnki(t) = ynk — xnk < 2/n. Рассмотрим множества Un = U(Gnk \ k Е Kn) Е и Gni = U(Gnki \ k Е Kn) Е G0. Тогда Un = U(Gni \ l Е N). Рассмотрим также функции gni = sup(gnki \ k Е Kn) Е C и hni = inf(hnki \ k Е Kn) Е C. Из предыдущих неравенств следует, что gni < f < hni и \hni(t) — gni(t)\ < 2/n для любого t Е Gni.
Проверим, что f = т — sup(gni Е C\(n,l) Е N2) = т — inf(hni Е C \ (n,l) Е N2). Зафиксируем мерокомпактное множество E Е Л^. Пусть £ Е A и ue С ^ ue gni для любой пары чисел (n,l) Е N2. Предположим, что не выполняется неравенство ue С ^ ue f, т.е. ue (£ Л f ) < ue f. Это равносильно тому, что ue(f — С)+ > ue0. Значит, по лемме 21 существует число p Е N, такое, что cozp(f — £)+ П E П U = 0 для любого множества U Е U0. Значит, cozp(f — С)+ П Te / N^. Так как тройка (Т^, N^, RI^) согласована, то существует мерокомпактное множество L С E, такое, что L \ coz2p(f — £)+ Е N^. Следовательно, L П coz2p(f — £)+ П Un = 0. Отсюда следует, что L П coz2p(f — £)+ П Gni = 0 для любого числа n Е N и некоторого числа l Е N, зависящего от n. Возьмем число n = 6p и некоторое мерокомпактное множество M С L П Gni. Так как umС ^ umgni, то по лемме 22 выполняется cozpi(С — gni + xi1)+ П M П U = 0
для любого числа р\ £ М, некоторого числа Х\ £ М и любого множества и £ Ы0. Следовательно, со^Р1 (£ — дп1 + Х11)+ П Тм / Мр. По свойству согласования тройки (Тр, N0, Шр) существует мерокомпакт-ное множество Ы\ С М, такое, что Ы\ \ со^2Р1 (С — дп\ + Х11)+ € Мр. Аналогичным образом, поскольку иМг / ^ имгкп\, по лемме 22 выполняется соъР2 (кп[ — / + Х21)+ П М1 П и = 0 для числа р2 £ М, некоторого числа Х2 £ М и любого множества и £ Ы0. Следовательно, соъР2 (кп1 — / + Х21)+ П Тм1 £ М0 влечет существование множества М2 С М1, такого, что М2 \ соч2Р2 (кп1 — / + Х21)+ £ Мр.
Рассмотрим множество X = соъ2р(/ — £)+ П сот,2р1 (С — дп\ + Х11)+ П соъ2р2(кп[ — / + Х21)+. Тогда М2 \ X £ М° влечет У = М2 П X = 0.
Так как М2 С Оп\, то —2/п < кп[(Ь) — дп\ (Ь) < 2/п для любого Ь £ М2. Кроме того, для любого Ь £У выполняются неравенства (/(Ь) — С(Ь)) V 0 > 1/2р, (С(Ь) — дпг(Ь) + х{) V 0 > 1/2р1 и (кп(Ь) — /(Ь) + Х2) V 0 > 1/2р2. Это означает, что выполняются неравенства / (Ь) — £(Ь) > 1/2р, £(Ь) > дп1 (Ь) + 1/2р1 — Х1 и /(Ь) <Кг(Ь) — 1/2р2 + Х2.
Отсюда /(Ь) — £(Ь) < Ьпл(Ь) — 1/2р2 + Х2 — ды(Ь) — 1/2р1 + Х1.
При выводе этого неравенства мы воспользовались леммой 22, утверждение которой состоит из двух случаев, которые накладывают разные ограничения на числа р1 ,р2 и Х1,Х2. Поэтому дальнейшие рассуждения распадаются на четыре случая, приводящие к одному и тому же неравенству.
В первом случае для любого рг существует вещественное число Хг < 1/рг. Поэтому Хг — 1/2рг = (хг — 1/рг) + 1/2рг < 1/2рг. Возьмем рг = п. Тогда /(Ь) — £(Ь) < 2/п + 1/п = 3/п = 1/2р.
Во втором случае рг любое и Хг > 1/рг любое. Возьмем рг = 3п и Хг = 2/рг. Тогда /(Ь) — £(Ь) < 2/п — 1/6п + 2/3п — 1/6п + 2/3п = 3/п = 1/2р.
В третьем случае для любого р1 существует Х1 < 1/р1 и р2 и Х2 > 1/р2 любые. Возьмем р1 = п,р2 = 3п и Х2 = 2/р2 = 2/3п. Тогда Х1 — 1/2рх < 1/2р1 = 1/2п, и поэтому /(Ь) — £(Ь) < 2/п + 1/6п + 2/3п + 1/2п = 3/п = 1/2р.
В четвертом случае р1 и Х1 > 1/р1 любые и для любого р2 существует вещественное число Х2 < 1/р2. Возьмем р1 = 3п,р2 = п и х1 = 2/р1 = 2/3п. Тогда /(Ь) — £(Ь) < 1/2р.
Во всех четырех случаях получается неравенство /(Ь) — £(Ь) < 1/2р, противоречащее предыдущему неравенству /(Ь) — £(Ь) > 1/2р.
Из этого противоречия следует, что пеС ^ иЕ/. Поэтому справедливо равенство пе/ = 8Щ)(педп11 (п,1) £ М2) для любого множества Е £ Лр. Переобозначая пару индексов (п,1) £ М через индекс г £ М, мы можем записать равенство / = г — 8Щ)(дг £ С\г £ М).
Аналогично проверяется, что выполняется равенство иЕ/ = 'ш{(иЕЪ,пг\(п,1) £ М2) и соответственно / = г — \и{(Ьз £ С\] £ М). Теорема доказана.
Теорема 2 означает, что функционально-факторное сГр-расширение Римана и : (С, Ср) ^ (А, Ар) является граничным СГр-расширением типа Z0с.
11. Теорема полноты. Нижеследующая теорема полноты была также анонсирована в работе [4]. Здесь, как и ранее, А = Шр/£Мр = и(Т, 2Гвр)/М°.
Теорема 3. Для любого г-сечения (Р,0) £ СиЬ° в А, где Р = (дг £ А\г £ I) и Q = (к] £ АЦ £ 3), существует элемент / £ А, такой, что / = г — 8Щ)(дг £ А\г £ I) = г — т{(к]Ц £ 3).
Доказательство. Доказательство проведем для в = 0. По теореме 2 существуют счетные коллекции Рг = (дгк £ С\к £ Кг), Р( = (д'и £ С\1 £ Ьг) и ^^ = (к]т £ С\т £ М]), Q3 = (к]п £ С\п £ N3), такие, что дг = г — вир Рг = г — ш{ Р[ и к] = г — вир = г — ш{ Qj. Это означает, что для любого Е £ Л р справедливо иЕдг = вир(иЕдгк \ к £ Кг) = т{(иЕд'г1 \ г £ Ьг) и иЕк] = вир(иЕк]т \ т £ М]) = т{(иЕк]п \ п £ N3).
Рассмотрим счетные множества Г = и({г} х Кг\г £ I) и А = и({^} х N3Ц £ 3). Тогда из ассоциативности супремума и инфимума следует, что выполняются равенства &пр(иЕд7\7 £ Г) = т{(иЕк$£ А), где 7 = (г, к) и 5 = (],п). Из леммы 23 следует, что д^к ^ дг и к] < к]п для любых к £ Кг и п £ N3. По условию дг < к] для любых г £ I и ] £ 3. Следовательно, д7 < к^ в А. Так как идеал М^ тощий, то д7 < в С.
Рассмотрим ^-полунепрерывные функции д £ Б)0 и к £ Б^ (см. п. 7), такие, что д(Ь) = 8ир(д7(Ь)\7 £ Г) и к(Ь) = 1п{(к^ (Ь)\5 £ А) для любого Ь £Т. Из неравенства д7 < к$ следует неравенство д < к.
Докажем, что д ~ кшоёМ). Рассмотрим конульмножества Ое^ = {Ь £ Т\к§(Ь) — д7(Ь) < е} и и£ = ^(Ое^^\(7, 5) £ Г х А). Проверим, что и£ является множеством полной меры. Предположим, что это не так. Тогда существует множество Ь £ Лр, такое, что ие П Ь = 0. Так как ие П Ь = 0, то для любого Ь £ Ь справедливо неравенство к^ (Ь) — д7(Ь) > е для любого ^ £ Г и 5 £ А. Следовательно, к(Ь) — д(Ь) = Ы(к6(Ь) — д(Ь)\5 £ А) = Ы(к6(Ь) — 8пр(д1 (Ь)\^ £ Г)|5 £ А) = т{(Ы(к6(Ь) — д7(Ь)\^ £ Г)|5 £ А) > е для любого Ь £ Ь.
По условию \п1(иЕН^ —иьдг\(г,]) £ Iх 3) = 0. Рассмотрим функции ф = (е/2)1 и ф(Ь) = Н$ —д7 — ф £ С. Тогда ф(Ь) > ф(Ь) для любого Ь £ Ь влечет иЕф > 0. Отсюда иьЫ — иьд1 > иьф для любого 7 £ Г и 5 £ А. Поэтому неравенство иЕН^п — иЕдгк > иьф для любых п £ N3 и к £ Кг влечет — иЕдг = \ni(\ni(uLНjn — иь9гк\к £ Кг) \ п £ N) > иьф > 0 для всех г и что противоречит условию.
Из полученного противоречия следует, что ие является множеством полной меры. Если Ь £ ие, то Н(Ь) — д(Ь) < Н(Ь) — д1 (Ь) для некоторых ^ £ Г и 5 £ А влечет Н(Ь) — д(Ь) < е. Следовательно, {Ь £ Т\\Н(Ь) — д(Ь)\ > е}С Т \ ие £ N0 влечет Н ~ д шоёN0. Из предложения и теоремы из п. 7 следует, что Н,д £ Шц и Н = д £ А.
Осталось проверить, что д = т — 8ир(дг £ А\г £ I) = т — \п1(Н] \] £ 3). Пусть Е £ , £ £ А и иЕС > иЕдг для любого г £ I. Тогда иЕС ^ иЕд7 для любого ^ £ Г. Предположим, что не выполняется неравенство иЕС > иЕд, т.е. иЕ(С Л д) < иЕд. Это равносильно тому, что иЕ(д — С)+ > иЕ0. Значит, по лемме 21 существует число р £ М, такое, что cozp(g — С)+ П Е П и = 0 для любого множества и £ . Отсюда cozp(g — С)+ П Те / N0. Так как тройка (Гц,N0, и(Т, )) согласована, то существует мерокомпактное подмножество Ь С Е, такое, что Ь \ coz2P(g — С)+ £ N¡1. Следовательно, Ь П coz2P(g — С)+ П ие = 0. Отсюда Ь П coz2p(g — С)+ П = 0 для любого числа е и некоторых 7 и 5, зависящих от е.
Возьмем е = 1/4р и некоторое мерокомпактное множество М С Ь П О. Так как им С ^ им д7, то, согласно лемме 22, cozPl(С — д7 + Х11) + П М П и = 0 для любого множества и £ Ы°. Следовательно, cozPl (С — д1 + Х11)+ П Тм £ N¡1. По свойству согласованности существует мерокомпактное множество М1 С М, такое, что Тм1 \ coz2pl (С — д1 + ж11)+ £ N°.
Аналогичным образом, так как им1 д ^ им1 Ы, то, согласно лемме 22, cozP2 (Н$ — д + Х21)+ПМ1Пи = 0 для любого множества и £ Ы°. Следовательно, cozP2 (Н$ — д + Х21)+ П Тм1 £ N0 влечет существование мерокомпактного множества М2 С М1, такого, что Тм2\coz2P2 (Н$ —д+Х21)+ £ N0. Рассмотрим множество X = coz2p(g — С)+ Пcoz2pl (С — д1 + Х11)+Пcoz2p2(Н$ — д + Х21)+. Тогда М2 \X £ N0 влечет У = М2ПX = 0.
Так как М2 С Ое^, то —е < Н$ (Ь) — д7(Ь) < е для любого Ь £ М2. Кроме того, для любого Ь £ У выполняются неравенства (д(Ь) — С(Ь)) V 0 > 1/2р, (С(Ь) — д1 (Ь) + Х1) V 0 > 1/2р1 и (Не(Ь) — д(Ь) + Х2) V 0 > 1/2р2. Следовательно, д(Ь) — С(Ь) > 1/2р, С(Ь) > д7(Ь) + 1/2р1 — Х1 и д(Ь) < Н^(Ь) — 1/2р2 + Х2. Отсюда д(Ь) — Ш < Н&(Ь) — 1/2р2 + Х2 — (Ь) — 1/2р1 + Х1.
При выводе этих неравенств мы, так же как и в доказательстве предыдущей теоремы, воспользовались леммой 22, утверждение которой состоит из двух случаев, которые накладывают разные ограничения на числа Р1,Р2 и Х1,Х2. Поэтому дальнейшие рассуждения распадаются на четыре случая, приводящие к одному и тому же неравенству.
В первом случае для любого рг существует вещественное число Хг < 1/рг. Поэтому Хг — 1/2рг = (Хг — 1/рг) + 1 /2рг < 1/2рг. Возьмем рг = 1/е. Тогда выполняется неравенство д(Ь) — С(Ь) < е + е/2 + е/2 = 2е = 1/2р.
Во втором случае рг любое и Хг > 1/рг любое. Возьмем рг = 3/е и Хг = 2/рг. Тогда выполняется неравенство д(Ь) — С(Ь) <е — е/6 + 2е/3 — е/6 + 2е/3 = 2е = 1/2р.
В третьем случае для любого р1 существует Х1 < 1/р1 и р2 и Х2 > 1/р2 любые. Поэтому Х1 — 1/2р1 < 1/2р1. Возьмем р1 = 1/е, р2 = 3/е и Х2 = 2/р2 = 2е/3. Тогда выполняется неравенство е — е/6 + 2е/3 + е/2 = 2е = 1/2р.
Наконец, в четвертом случае р1 и Х1 > 1/р1 любые и для любого р2 существует Х2 < 1/р2. Возьмем р1 = 3/е, Х1 = 2/р1 = 2е/3 и р2 = 1/е. Тогда, как и выше, выполняется неравенство д(Ь) — С(Ь) < 1/2р.
Во всех четырех случаях получается неравенство, противоречащее предыдущему неравенству д(Ь) — С(Ь) > 1/2 р. Из полученного противоречия следует, что иЕ С ^ иЕ д. Поэтому верно равенство иЕ д = 8ир(иЕдг\г £ I).
Аналогично проверяется, что справедливо равенство иЕд = 1п1(иЕН^\] £ 3). Теорема доказана.
Теорема 3 означает, что функционально-факторное ет^-расширение Римана и : (С, ) ^ (А, ) является полным по типу 2°с и по типу 2с.
12. Теорема регулярности. Здесь, как и ранее, А = RI CN ^ = и(Т, )/N0. Будем обозначать факторотображение из С на С/Се через фе .
Теорема 4. Пусть даны коллекция (ег £ С\г £ I) и элемент е £ С. Тогда равенства с = т — 8ир(сг £ А\г £ I) в А и е = т — 8ир(ег £ С\г £ I) в С равносильны.
Доказательство. Пусть выполняется равенство с = т — 8ир(сг £ А\г £ I). Тогда по лемме 23 е > ег. Поэтому фЕе > Феег для любых г £ I и Е £ Л^.
Пусть й £ С и справедливо неравенство фЕЛ > Феег. Тогда имеет место равенство фЕ(((! — ег) Л 0) = 0,
т.е. (! — Сг) Л 0 £ се. Значит, по определению сг-расширения справедливо свойство (! — сг) Л 0 £ ае, т.е. иЕ((с1> — Сг) Л 0) = 0 в а/ае. Следовательно, иЕй > иЕсг для любого г £ I. Так как иЕс = 8ир(иЕсг\г £ I), то иЕс > иЕ с. Поэтому иЕ (((! — с) Л 0) = 0, т.е. и((! — с) Л 0) £ ае . Так как по определению сг-расширения и-1[АЕ] = СЕ, то (! — с) Л 0 £ СЕ, т.е. рЕ((с( — с) Л 0) = 0. Значит, рЕ! > рЕс.
Из двух доказанных свойств следует, что рес = 8ир(рЕсг \ г £ I) в С/Се для любого Е £ Лр. Это означает, что с = г — 8ир(сг £ С\г £ I).
Пусть выполняется равенство с = г—8ир(сг £ С\г £ I). Необходимо показать, что иЕ с = 8ир(иЕ сг\г £ I) в А/АЕ для любого мерокомпактного множества Е Л .
Пусть а £ А и иЕ а > иЕ сг для любого г £ I. По теореме 2 а = г — \п{(с1] £ АЦ £ 3) для некоторой коллекции непрерывных функций (с] £ С Ц £ 3). Значит, иЕ а = \п{(иЕс1] Ц £ 3). Поэтому иЕ — сг) > 0 в А/Ае для любых индексов г £ I и ,] £ 3. Следовательно, и((с] — сг) Л 0) £ Ае. Так как и-1[АЕ] = Се, то (— сг) Л 0 £ Се, т.е. ре((— сг) Л 0) =0. Значит, выполняется неравенство ре!] ^ РЕсг для любых г £ I и ] £ 3.
Так как рЕс = 8ир(рЕсг £ С/СЕ\г £ I), то рЕ(] > рЕс для любого ] £ 3. Поэтому рЕ((— с) Л0) = 0. Это означает, что (с] — с) Л 0 £ Се. Из вложения и[СЕ] С Ае следует, что ( й ] — с) Л 0 £ Ае, т.е. справедливо равенство иЕ ((с — с) Л 0) =0. Отсюда иЕ(] > иЕ с для любого ] £ 3 .В результате получаем неравенство иЕа> иЕс .
Из равенства с = г — 8ир(сг £ С\г £ I) следует, что с = 8ир(сг £ С\г £ I). Поэтому с > сг для любого индекса г £ I. Значит, с > сг и поэтому иЕ с > иЕ сг для любого индекса г £ I.
Из двух доказанных свойств следует, что иЕ с = 8ир(иЕ сг\г £ I) для любого мерокомпактного множества Е Л . Теорема доказана.
Следствие 4. Пусть даны коллекция (сг £ С\г £ I) и элемент с £ С. Тогда равенства с = г — \п{(сг £ А\г £ I) в А и с = г — \п{(сг £ С\г £ I) в С равносильны.
Из теоремы 4 следует, что сгр-расширение Римана и : (С, Ср) ^ (А, Ар) является регулярным по типу Zвc. Эта теорема допускает следующее обобщение.
Теорема 4'. Пусть и : (С, С) ^ (А, А) — произвольное граничное сг-расширение типа Zвс. Тогда оно является регулярным.
Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 4.
13. Расширение Римана как дедекиндова оболочка. Теорема единственности. Здесь, как и ранее, А = Шр/СМр = и(Т, 2~Рвр)/Мр. Из теорем граничности и полноты следует, что сгр-расширение Римана и : (С, Ср) ^ (А, Ар) является дедекиндовой сг-оболочкой типа Z°с сг-пространства С.
Оказывается, что для такой оболочки справедлива теорема единственности.
Теорема 5. Дедекиндова сг-оболочка типа Z °с сгр-пространства (С, Ср) является единственной с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Пусть V : (С, Ср) ^ (В, В) — некоторая другая дедекиндова сг-оболочка типа Z°с и "е : В ^ в/ве обозначает факторотображение из В в в/ве .
Пусть а £ А. Так как расширение и : (С, Ср) ^ (А, Ар) является граничным по типу Z°с, то выполняется равенство а = г — 8ир(исг\г £ I) = г — ш{(ис]Ц £ 3) для некоторых коллекций (сг £ С\г £ I) и (£ СЦ £ 3). Значит, \п{(иЕис] —иЕисг\(г,]) £ Iх3) = 0 в а/ае для любого мерокомпактного множества Е £ Лр. Отсюда в силу регулярности расширения Римана по теореме 4 следует, что \п{(рЕ— ресг\(г,]) £ I х 3) =0 в с/се для любого Е £ Лр. Так как по теореме 4 расширение V : (С, Ср) ^ (В, В) также является регулярным, то имеет место равенство \n{(vEvdj — VEVСг\(г,j) £ I х 3) =0 в в/ве для любого Е £ Лр. В силу полноты сг-пространства В по типу Z°с существует элемент Ь £ В, такой, что Ь = г — 8ир^сг\г £ I) = г — т^\j £ 3).
Проверим, что элемент Ь не зависит от выбора коллекций (сг £ С\г £ I) и (£ С^ £ 3). Пусть а = г — 8ир(ис'к\к £ к) = г — т{(и(Щ £ Ь) для некоторых коллекций (с'к £ С\к £ К) и (£ С\1 £ Ь). Согласно предыдущему абзацу, существует элемент Ь' £ В, такой, что Ь' = г — 8ир^ск\к £ К) = г — т^\1 £ Ь). Из того что \п{(иЕи— иЕисг\(г, I) £ I х Ь) = 0 в а/ае для любого множества Е £ Лр, аналогично выводится равенство ш^еV— VEисг^г^) £ I х Ь) = 0 в в/ве для любого мерокомпактного множества Е £ Лр. Следовательно, выполняется равенство т{(т{^ЕV— VE'исг\г £ I)\1 £ Ь) = 0. Отсюда выводим равенство ш{^еV![ — Ь\1 £ Ь) = 0. Это означает, что Ь' — Ь = 0, т.е. Ь' = Ь.
В силу доказанной единственности мы можем определить отображение и> : А ^ В, полагая и:а = Ь.
Проверим, что отображение и> является инъективным. Пусть а' £ А и справедливы равенства и:а = ■ша'. Согласно предыдущему построению, а' = г — 8ир(ис'к\к £ К) = г — т{(и\1 £ Ь) и Ь' = г — \к £
к) = г — т^\1 £ Ь) для некоторых коллекций (с'к £ С\к £ К) и (£ С\1 £ Ь). Так как имеет место равенство Ь = Ь', то выполняется равенство sup(vEVсг — VEV('^(г, I) £ I х Ь) = 0 в В. Значит, г — —
ув!1\(г, I) £ IхЬ) =0 в В. Из регулярности ет-расширения V : (С, ) ^ (В, В) следует равенство т—8ир(ег — \(г,1) £ I х Ь) =0 в С. Отсюда и из регулярности ет-расширения и : (С, ) ^ (А, ) следует равенство т — 8ир(иег — ий\\(г, I) £ I х Ь) = 0 в А. Это значит, что 8ир(иЕиег — иЕиа1\(г, I) £ I х Ь) = 0 в А/АЕ для любого Е £ Л^. Так как по условию иЕ а = 8ир(иЕ иег\г £ I) и иЕ а' = ш{(иЕ ий[\1 £ Ь) в А/Ае , то, применяя правило ассоциативности супремума, получаем последовательно равенства 8ир(иЕиег —ш{(иЕ\1 £ Ь)\г £ I) = 0, 8ир(иЕиег — иЕа'\г £ I) = 0 и иЕа — иЕа' = 0. Значит, а — а' £ П(АЕ\Е £ Л = {0} влечет а = а'.
Проверим теперь, что отображение и> : А ^ В является сюръективным. Пусть Ь £ В. Так как ет-расширение V : (С, ) ^ (В, В) является граничным, то Ь = т — 8ир^ег\г £ I) = т — ш^й.,-\] £ 1) для некоторых коллекций (ег £ С\г £ I) и (й- £ С\] £ 1). Поэтому имеет место равенство т — 8ир^ег — ис— \(г,]) £ I х 1) = 0 в В. Из регулярности ет-расширения V : (С, ) ^ (В, В) следует равенство т — 8ир(ег — й-\(г,]) £ I х 1) = 0 в С. Отсюда и из регулярности ет-расширения и : (С, ) ^ (А, А ^ следует равенство т — 8ир(иег — ий-\(г,]) £ I х 1) = 0 в А. Так как ет-расширение и : (С, ) ^ (А, ) является полным по типу то существует элемент а £ А, такой, что а = т — 8ир(иег\г £ I) = т — in{(udj\] £ 1). Из приведенного выше построения отображения и> следует, что Ь = wa.
Таким образом, отображение w : А ^ В является биективным. Проверим, что отображение w сохраняет все структуры.
Пусть а £ А и Х £ М. Тогда а = т — 8ир(иег \ г £ I) = т — in{(udj \ ] £ 1) для некоторых коллекций (ег £ С \ г £ I) и (й- £ С \ ] £ 1) и wa = т — 8ир^ег \ г £ I) = т — \ ] £ 1). Если Х < 0, то,
умножая все эти равенства слева и справа на Х, получаем Ха = т — 8up(uxdj \ ] £ 1) = т — 1п{(иХег \ г £ I) и xwa = т — 8ир^ХЙ:/ \ ] £ 1) = т — ш{^Хег \ г £ I). По определению отображения w мы имеем w(xa) = т — 8up(vxdj \ ] £ 1) = т — ш{^Хег \ г £ I). Следовательно, w(xa) = xwa. Для Х > 0 рассуждение еще проще.
Пусть а, а' £ А. Тогда а = т — 8ир(иег\г £ I) = т — т{(ий:\] £ 1) и а' = т — 8ир(ие'к\к £ К) = т — ш{(и^\1 £ Ь) для некоторых коллекций (ег £ С\г £ I), (й- £ С\] £ 1), (е'к £ С\к £ К) и (й[ £ С\1 £ Ь). По определению отображения w для элементов Ь = wa и Ь' = wa' справедливы равенства Ь = т — 8ир^ег\г £ I) = т — in{(vd:,:\] £ 1) и Ь' = т — 8ир^е'к\к £ К) = т — \1 £ Ь).
Из равенств иЕа = 8ир(иЕиег\г £ I) = in{(uEudj\] £ 1) и иЕа' = 8ир(иЕие'к\к £ К) = 'хп{(иЕиИ1\1 £ Ь) следует равенство иЕ(а + а') = 8ир(иЕи(ег + е'к)\(г,к) £ I х К) = т{(иЕи(й- + )\(], I) £ 1 х Ь) для любого Е £ Лц, т.е. а + а' = т — 8ир(и(ег + е'к)\(г,к) £ I х К) = т — ш^и^- + й'1)\(],1) £ 1 х Ь). По определению отображения w : А ^ В получаем равенства w(a + а') = т — 8ир^(ег + е'к)\(г, к) £ I х К) = т — т{(и((1- + (II)\(], I) £ 1 х Ь). Из приведенных выше равенств для Ь и Ь' следуют равенства VEw(a + а') = 8ир^Еv(ег+е'к)\(г, к) £ IхК) = 8ир^Е 1]ег+8ир^Еvе'k\к £ К)\г £ I) = 8up(vE 1]ег+vEЬ'\г £ I) = vEЬ+vEЬ' = vE^а + wa'). Значит, w(a + а') — ^а + wa') £ П(ВЕ\Е £ Лм) = {0}. Поэтому w(a + а') = wa + wa'.
Напомним, что в линейном решеточном пространстве А справедливы следующие свойства обобщенной дистрибутивности для элементов а,Ь £ А и коллекций (аг £ А\г £ I) и (Ь- £ А\] £ 1): 1) если а = 8ир(аг £ А\г £ I) и Ь = 8ир(Ь- £ А] £ 1), то а Л Ь = 8ир(аг Л Ь- £ А\(г,]) £ I х 1); 2) если а = ш{(аг £ А\г £ I) и Ь = Хп{(Ь- £ А] £ 1), то а V Ь = ш{(аг V Ь- £ А\(г,]) £ I х 1). Кроме того, справедливы аналогичные свойства обобщенной ассоциативности.
Применяя эти свойства ассоциативности и дистрибутивности, получаем равенства иЕ а V иЕ а' = 8ир(иЕиег V иЕие'к\(г,к) £ I х К) = т{(иЕий- V иЕиб!1 \(],1) £ 1 х Ь) и иЕа Л иЕа' = 8ир(иЕиег Л иЕ ие'к\(г,к) £ I х К) = т{(иЕ ий- Л иЕ ий[\(],1) £ 1 х Ь) для любого Е £ Л^. Отсюда следует, что а V а' = т — 8ир(и(ег V е'к)\(г,к) £ I х К) = т — inf(u(dj V й'1 )\(],I) £ 1 х Ь) и а Л а' = т — 8ир(и(ег Л е'к)\(г, к) £ I х К) = т — inf(u(dj Л !)\(], I) £ 1 х Ь). По определению отображения w : А ^ В получаем w(aVa') = т—8ир^(егVе'k)\(г, к) £ IхК) = т—Ш^^-Vй'г)\(],1) £ 1 хЬ) и w(aЛa') = т—8ир^(егЛе'к)\(г, к) £ I х К) = т — Л й'^К], I) £ 1 х Ь). Из приведенных выше равенств для Ь и Ь' и указанных свойств
дистрибутивности и ассоциативности следуют равенства VEw(a V а') = 8ир^Е'иег V VEvdk\ (г, к) £ I х К) = vEЬ V vEЬ' = vE^а V wa') и vEw(a Л а') = 8ир^Еvег Л vEvе'k\(г, к) £ I х К) = vEЬ Л vEЬ' = vE^а Л wa') для любого Е £ Лц. Значит, w(a V а') — wa V wa' и w(a Л а') — wa Л wa' принадлежат П(ВЕ\Е £ Л = {0}. Поэтому w(a V а') = wa V wa' и w(a Л а') = wa Л wa'.
Покажем теперь, что w[AE] = Ве.
Пусть а £ Ае. Из того что ет-расширение и : (С, Сц) ^ (А, Ац) является граничным по типу следует, что а = т — 8ир(иег £ А \ г £ I) = т — ш^и!- £ А \ ,] £ 1) для некоторых коллекций (ег £ С \ т{ г £ I) и (й- £ С \ ] £ 1). Поэтому wa = т — sup(vcг £ В \ г £ I) = т — 'in{(vdj £ В \ ] £ 1). Это значит, что 0 = иЕа = 8ир(иЕиег \ г £ I) = т{(иЕий- \ ] £ 1) и vEwa = sup(vEvе \ г £ 1) = vdj \ ] £ 1).
Так как отображения и, V, иЕ и VE сохраняют конечные порядковые границы, то, применяя свойства обобщенной ассоциативности и дистрибутивности, мы получаем равенства 0 = 8ир(иЕиег+ \ г £ I) и 0 = inf(uEudj_ \ ] £ 1). Следовательно, иЕиег+ = 0 и UEudj- = 0 для любых г и Поэтому иег+ £ Ае
и udj- E Ae влекут ci+ E Ce и dj- E Ce• Отсюда vci+ E Be и vdj- E Be, т.е. vevci+ = 0 и VEvdj- = 0. Аналогичным образом vewü+ = sup(vevcí+ | i E I) и vewü- = inf(vEvdj- | j E J). В результате мы получаем vewü+ = 0 и vewa- = 0. Это означает, что (wa)+ = wa+ E Be и (wa)- = wa- E Be. Поэтому wa = (wa)+ + (wa)- E BE.
Обратно, пусть b E Be. В силу сюръективности отображения w : A ^ B выполняется равенство b = wa для некоторого элемента a E A. Как и выше, a = r — sup(uci E A | i E I) = r — inf(udj E A | j E J) для некоторых коллекций (ci E C | i E I) и (dj E C | j E J). Поэтому b = r — sup(vci E B | iE I) = r — inf(vdj E B | j E J). Это значит, что uEa = sup(uEuci | i E I) = inf(uEudj | j E J) и 0 = vEb = sup(vEvci | i E I) = inf(vEvdj | j E J). Так же как в предыдущем абзаце, 0 = sup(vEvci+ | i E J) и 0 = inf(vEvdj- | j E J). Следовательно, vevcí+ = 0 и vEvdj- = 0 для любых i и j. Поэтому vci+ E Be и vdj- E Be влечет ci+ E Ce и dj- E Ce. Отсюда uci+ E Ae и udj- E Ae, т.е. ueuci+ = 0 и ueudj- = 0. Аналогичным образом uea+ = sup(uEuci+ | i E I) и uea- = inf(uEudj- | j E J). В результате мы получаем uea+ = 0 и uea- = 0, т.е. a+ E Ae и a- E Ae. Следовательно, a = a+ + a- E Ae.
В результате мы доказали, что отображение w является изоморфизмом между cr-расширениями u : (C, ) ^ (A, Ap) и v : (C, ) ^ (B, B). Теорема доказана.
Это означает, что расширение Римана C ^ RIp/Np полностью характеризуется свойствами гранич-ности и полноты.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Захаров В.К., Серединский А.А. Новая характеризация интеграла Римана и функций, интегрируемых по Рима-ну // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 2. 16-23.
2. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1, 2. М.: Наука, 1991.
3. Захаров В.К., Михалев А.В., Серединский А.А. Характеризация пространства функций, интегрируемых по Ри-ману, посредством сечений пространства непрерывных функций, I // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 6-13.
4. Захаров В.К., Серединский А.А. Description of Riemann integrable functions by means of cuts of the space of continuous functions // Междунар. конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.): Тез. докл. М: Матем. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, 2005. 370.
Поступила в редакцию 17.05.2006
УДК 514.76
О ТИПОВОМ ЧИСЛЕ УПЛОЩАЮЩИХСЯ 6-МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБРЫ КЭЛИ
М. Б. Банару, А. М. Банару
Дорогому Вадиму Федоровичу Кириченко к его 60-летию
1. Почти эрмитовой структурой на четномерном многообразии М2п называется пара {3,д = {-, •)}, где 3 — почти комплексная структура, д = {■, ■) — риманова метрика [1]. При этом 3 и д должны быть согласованы условием
{3Х, 3У) = (X, У), УХ, У £ ЩМ2п).
Здесь $.(М2п) — модуль гладких (класса С^) векторных полей на М2п. Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым многообразием. С каждой почти эрмитовой структурой {3,д = {■, ■)} на многообразии М2п связано поле дважды ковариантного кососим-метрического тензора (т.е. 2-формы) ^, определяемого равенством
^(X, У) = (X, 3У), Ж, У £ ЩМ2п) и называемого фундаментальной (или келеровой [2]) формой структуры.
