CC BY
32
УДК 621.372.82
С.А. Комаров, В.В. Щербинин Характеристики согласования конечной волноводной решетки с импедансным фланцем при излучении в слоистую среду
Введение.Широкое применение в технике сверхвысоких частот получили невыступающие волноводные излучатели в виде открытого конца волновода с фланцем. Одной из основных областей применения данного класса антенн является контактное радиоволновое зондирование природных сред и искусственных материалов. В ряде случаев волноводные излучатели объединяются в решетки. При этом может возрасти информативность однократного измерения, появляется возможность исследования локальных неоднородностей в объекте путем регистрации рассеянного сигнала несколькими приемными раскрывами одновременно с различных направлений. Кроме того, можно изменять параметры диаграммы направленности первичного поля за счет вариаций амплитудно-фазового распределения на плоскости антенны. В связи с этим представляет интерес теоретическое рассмотрение процессов в такой системе при излучении сигнала в неоднородную среду. Имеется достаточно большое количество работ, в которых проведен анализ влияния свойств исследуемой среды и параметров волноводной системы на характеристики согласования (коэффициенты отражения, коэффициенты взаимной связи излучателей, входные адмитансы) для волноводов распространенных на практике поперечных сечений [1—3]. Как правило, подобные рассмотрения производятся для идеально проводящих фланцев.
В настоящей работе проведен теоретический анализ взаимного влияния излучателей в волноводной антенной решетке с конечным числом апертур, расположенных на фланце с произвольным сторонним импедансом при излучении в плоскослоистую среду.
При построении решения использован вариационный подход. Применение вариационного принципа к определению характеристик согласования полубесконечного волновода и взаимного влияния двух волноводов с общим импедансным фланцем описано в работах [4-6].
Постановка задачи. Рассмотрим невыступающую антенную решетку диапазона СВЧ, состоящую из N апертурных излучателей на основе открытых концов идентичных полу-бесконечных волноводов произвольного попереч-
ного сечения с идеально проводящими стенками. Раскрывы волноводов расположены на плоском фланце, который совпадает с координатной плоскостью г = 0 и характеризуется сторонним импедансом ЕЕ0, где Е0 - волно-
вое сопротивление свободного пространства, (рис.). Взаимное положение и ориентация рас-крывов задаются произвольным параллельным переносом их по отношению друг к другу на
координатной плоскости /? = {*,>'}. Положение центра п-того раскрыва на плоскости фланца определяется поперечным радиус-вектором р .
5(2) ‘‘2 _/®£
^(2) в
г70 Эр Эы
5 0 5
1 XI 4 Т1М
Геометрия задачи
Предположим, что волновод с номером п = р возбуждается волной основного типа с частотой, набегающей на раскрыв вдоль оси г. Временная зависимость полагается вида е-1“‘, для волноводов выполняется условие одномодового режима. Излучение производится в полупространство г = 0, заполненное, в общем случае, произвольным плоскослоистым диэлектриком с поглощением. Требуется определить характеристики согласования и взаимного влияния излучателей в данной системе. Задача полагается линейной, поэтому более общий случай возбуждения нескольких волноводов в системе нетрудно получить на основе частных решений данной задачи с дальнейшим использованием принципа суперпозиции.
Построение решения. Выражения для касательных составляющих электрического и магнитного полей на раскрыве Б каждого из волноводов с текущим номером п могут быть записаны в виде:
ё,п(р,-о) = г0„4, (р)+Т,уьА, (р)
/г=1
нт (р- о) = /0„» х ^„(р)+-4( (р>
*=1
/7Єі<Ч (1)
ги” 54 0/7 _ 11 + Г И =
где п = 1,2,..., N. Здесь поперечные ортонорми-рованные собственные функции п-того волновода для мод с номером к обозначены как
Фк,,(р) = Фк-(р-р„>
Не нарушая общности решения, можно положить амплитуду первичной возбуждающей волны равной единице. Тогда выражения амплитудных коэффициентов волны основного типа У0п и 1оп для касательного электрического и магнитного полей в (1) представимы записаны в следующем виде:
_ "Го ТппфР
р, 10п _ |}’о^1 _ ^п = р- (2)
Здесь Гр - комплексный коэффициент отражения первичной волны по электрической составляющей от раскрыва; тп - коэффициент передачи в волновод с номером п; У0 - собственный характеристический адмитанс бесконечного волновода рассматриваемого типа. Для высших типов волн (к > 0) связь между амплитудными коэффициентами определяется следующим образом:
(3)
где Ук - характеристические адмитансы высших мод.
Граничные условия задачи на плоскости рас-крывов г = 0 записываются для касательных составляющих полей со стороны верхнего и нижнего полупространств следующим образом:
£ДР,+0)-270»хЯДр,+0) = <!
0 р г ре8,г (46)
(4а)
г/ х Н1п(р, -0) = и хН,(р, + 0) где функции Рп(р) определены как
Подставляя в условие (5) выражения (1), а также учитывая (2) и (3), получим:
(5)
(е;
В формуле (6) значения для А связаны с волноводными коэффициентами передачи т и отражения Гр следующим образом:
А„ = ат,
р
п Ф р,
где а = 1- ^0^ р = 1 + 2^.
Кроме того, из соотношений (2) и (7) следует, что:
Амплитудные коэффициенты Укп, с учетом ортогональности поперечных волновых функций волноводов, могут быть определены из (6)
через Р„(,Р) следующим образом:
' —
Граничное условие сшивания магнитного поля (4б) с учетом (1) и (3) записывается следующим образом:
-1оА„(р)+'Е¥кгьА,(р):
к=1
(Ю
= нх #,(/?,+0) р є Л',,
Подстановка в ( 1 0) выражений (9) приводит к следующей записи граничного условия:
( )
В формуле ( 1 1 ) полагается, что поле на раскрывах со стороны верхнего полупространства может быть представлено с помощью граничного условия (4а) через функцию Грина
верхнего полупространства (}(р - р'') таким образом, что
N
-"хЯ,( р,+0) = [ 0( р - р’)¥ш (Р уір
ш=1$
(12)
Л =оГ+(! п = р:
(Т)
После этого условие (11) может быть записано в виде следующей системы из п-век-торных интегральных уравнений относительно неизвестных функций Р (ру~
(13)
Векторная система (13) может быть расписана на скалярные составляющие следующим образом:
1»пФот-(р) ~
т=1,$'
л *
■и
«/=1>5г
°хх(р-р') +
У1г
к=11 220}^ °тг (р-р') +
тФьгс (Р)Фк,ш О')
р'шЛр'№ +
■ X
}\
/,=11 ^0}к
-ФыЛр)Фь,Лр')
(14)
РшЛр'№'
Система интегральных уравнений (14), содержащая 2п скалярных уравнений, не имеет точного решения. Поэтому получение и анализ физических характеристик системы могут быть проведены приближенными методами, например с использованием вариационного принципа.
Система интегральных уравнений (13) может быть записана в матричном виде. Для этого необходимо определить векторы-столбцы Е и ¥ размерности 2п
Т --
' Р\(.р)' ЫР)
р„Ср)
(15)
В этом случае система (13) примет вид:
Т = КР ре .V, (16)
где под Б понимается площадь раскрыва волновода, соответствующего последовательно каждому из уравнений системы (16). Через К обозначен линейный интегральный оператор задачи, так что
\М{р,р')Р(р')ёр'
(17)
Здесь М(р.р') представляет собой блочную матрицу, каждый элемент которой размерностью 2x2 имеет следующий вид:
М11Ш(р,р') = 0(р-р') + }
.Гг
к=11
(18)
Далее необходимо использовать определе-
ние скалярного произведения двух векторов произвольной размерности А и В в виде:
(А,В) = ^АВс1р
Умножая систему интегральных уравнений (16) на вектор-столбец Е, можно получить следующее скалярное равенство:
= (20) Введем функционал задачи путем очевидных преобразований равенства (20):
Ь = ^,Ч') =
()
Покажем, что определенный таким образом функционал Ь является стационарным по отношению к вариациям функции Е. Вычисление вариации функционала Ь приводит к выражению вида (22).
_ 2(/,Т)(^,Т) - (Р,Г)2[(&, КР) + (/, КдТ)]
" ТШ7 <22>
<£ = -
Необходимо учитывать, что =
— Это справедливо вследствие того,
что для матрицы элементы кото-
рой определены равенством (18), выполняется
условие М(р,р') = Мтгде индекс Т обозначает комплексное сопряжение. Тогда выражение (22) может быть преобразовано к виду:
о!, =
(р,шу
= 0.
(23)
Полученное выражение равно нулю, поскольку в скобках числителя дроби (23) образуется интегральное уравнение задачи. Это доказывает стационарность построенного функционала по отношению к решению системы интегральных уравнений.
Приближенное решение задачи может быть найдено с использованием свойства стационарности функционала (21). Задача может быть решена в одномодовом приближении, когда решение предполагается в виде
К(р) = -Ы.Л1), или как вектор-столбец I7 = А ф(Г В этом случае выражение (21) мо-
жет быть преобразовано к следующему виду:
L = ■
(24)
Аф^КАф^)
Проводя вариацию амплитудных коэффициентов А и учитывая, что должно выполняться условие стационарности, можно получить:
ЛУ-
)) = о.
(25)
Запись (25) может быть реализована в виде системы алгебраических уравнений, учитывая (19) и приравнивая к нулю множители при первых вариациях каждого из коэффициентов Ап:
N
'^Рииґ^іп 11 ,
(26;
777=1
где
Рит = | |ФоЛрККр-рІФотірУІр'йр 27 )
ЗА ' ( )
С учетом связи между коэффициентами (8) система (26) может быть переписана относительно лишь неизвестных значений амплитуд-
ных коэффициентов А :
К + ? }о1, 23^ . V
2- Рт„ + — Д" =------- " = 1....Л ' ( 28 )
И=Л «) а
Найденные А как решения системы (28), позволяют вычислить физические характеристики волноводной системы, используя равенства (7):
ГР = -(Ар - !3) 11 = Р- Т„ = — -4 " * Р ( 29 )
ах а
Выводы. Решена задача о взаимном влиянии излучателей волноводной решетки с произвольным конечным числом идентичных элементов и импедансным фланцем. Получена система интегральных уравнений задачи. Показана возможность введения стационарного функционала, связанного с характеристиками согласования излучающей системы. В одномодовом приближении задача сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений, порядок которой равен числу волноводов в антенной решетке. В частном случае нулевого стороннего импеданса фланца наблюдается совпадение с известным ранее решением задачи.
Литература
1. Воскресенский Д.И., Кременецкий С.Д., Гринев А.Ю., Котов Ю.В. Автоматизированное проектирование антенн и устройств СВЧ. М., 1988.
2. Gajda G.B., Stuchly S.S. Numerical analysis of open-ended coaxial lines // IEEE Trans. on Microwave theory and technique Vol. MTT-31. №5. 1983.
3. Amitay N., Galindo V. Characteristics of Dielectric Loaded and Covered Circular Waveguide Phased Array // IEEE Trans. on Antennas and propagation Vol. AP-17. №6. 1969.
4. Комаров С.А. Вариационный принцип в зада-
чах излучения из полубесконечного волновода с им-
педансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1985 Т. 28. №3.
5. Комаров С.А., Щербинин В.В. Входной адми-танс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду // Известия АГУ. 1997. №1.
6. Komarov S.A., Scherbinin V.V. Self and mutual
admittance of waveguide system with impedance flange // 2000 International Conference
Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2000) Proceedings, Kharkov, Ukraine, 2000.
