Метод физической оптики в задаче о поле излучения волновода с импедансным фланцем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.372.82

В.В. Щербинин

Метод физической оптики в задаче о поле излучения волновода с импедансным фланцем

Введение. Невыступающие волноводные излучатели в виде открытого конца волновода с фланцем получили широкое практическое применение в технике СВЧ. Это делает актуальной разработку методов расчета их электродинамических характеристик. Для волноводных антенн с идеально проводящим фланцем такие методы развиты достаточно хорошо, однако приближение идеально проводящего фланца в ряде случаев неприменимо. Учет конечной проводимости фланца может быть произведен с использованием модели импедансного фланца.

Важнейшая характеристика любой антенны -это диаграмма направленности излучения. Расчет характеристик поля излучения волновода с импедансным фланцем методом моментов произведен в работах [1, 2]. Однако метод моментов во-первых, не является универсальным и для каждой конфигурации волновода решение необходимо проводить заново; во-вторых объемы математических выкладок и численных расчетов при его использовании довольно велики, что не всегда удобно на практике. Представляется актуальной разработка более универсального приближенного метода расчета характеристик поля излучения волноводной антенны с импедан-сным фланцем.

Постановка задачи. Г еометрия задачи изображена на рисунке 1. В координатной области г < 0 расположен невыступающий полубеско-нечный цилиндрический волновод произвольного поперечного сечения, ось которого совпадает с осью г. Стенки волновода являются идеально проводящими. Волновод заполнен однородным диэлектриком без потерь с диэлектрической проницаемостью еи магнитной проницаемостью т

г

A

E„ Us w

S W у ZZt.

0 p

S

Раскрыв волновода S расположен на бесконечном фланце в плоскости г = 0. Фланец характеризуется постоянным сторонним импедансом

ZZ где ^о -

= то,

- импеданс свободного про-

Рис. 1. Геометрия задачи

странства; е0 и т0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства соответственно.

Полупространство г > 0 заполнено однородным идеальным диэлектриком, характеризующимся диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью т.

Волновод возбуждается электромагнитной волной основного типа единичной амплитуды, набегающей на раскрыв S вдоль оси г. Волновой процесс является гармоническим во времени с круговой частотой ю. Зависимость от времени

определяется как е—ш . Решение задачи проводится в системе единиц СИ.

Требуется определить характеристики поля, излучаемого этой антенной в полупространство г > 0 - диаграмму направленности по полю для волн обеих поляризаций, а также мощность излучения антенны.

Нахождение плотности потока энергии в дальней зоне. Поля в верхнем полупространстве могут быть записаны с помощью двух скалярных компонент векторных электромагнитных потенциалов в форме интегралов Фурье:

ле,ш( г \ 1 С е,т(гХр+г№?е ->Г

Ае е) = (Р2 I а’йХ , (1)

\2п) -с

здесь ае (х) и ат (х) _ неизвестные спектральные

функции; ^ =7-х2; К = кол]етя .

Решение поставленной задачи связано с удовлетворением в плоскости фланца г = 0 граничных условий сшивания касательных составляющих полей на раскрыве волновода и граничных условий импедансного типа вне раскрыва. В работе [1] предложено использовать граничные условия в виде линейной комбинации:

Е(р,+о)-0и X Н{(р,+0)= р(р\ "р;

Ht (р,+0) = Ht (р-°), ре £, (2)

где р (р) - вспомогательная финитная функция вида:

143

О’ p е S;

Et (p’-О)- zZqU x Ht (p’-О), p ї s.

(3)

Использование формулы связи касательных компонент электромагнитного поля с компонентами векторных потенциалов и первого из граничных условий (2) позволяет выразить спектральные функции ae’m(х) через ^ и ^ -проекции фурье-трансформанты вспомогательной функции F (р) на оси полярной системы координат пространства волновых чисел {Х,у}:

’ ()-" ()

1 iks

fx(x).

ZG WsZs + ksZ x

. - iksZs fy( )

' ksZs + WsZ x ’

(4)

где г, = у _ импеданс диэлектрического за-

полнения полупространства г > 0, нормированный на импеданс свободного пространства % .

Подставляя найденные спектральные функции в формулы (1), можно преобразовать выражения для г-компонент векторных потенциалов к виду:

At (pj’z)-

iks

о 2-л

fX (Х’У)

i^p cos(y-j)+iWsz

(2—)2 Zо О О WsZs + ksZ Am (p,j’z)-

iksZs ґ j* fУ (X’y) giXpCOS (y-j)+iWsz

'(2-г О О

d^dy;

d^dy.

(5)

Функции /^(Х,у) и /у(Х,у) являются периодическими по углу ¥ и могут быть разложены в ряды следующим образом:

/ (Ы= Е ^(хУ^; ь()(х)=

П=-С

1 2р

= -- | /Х (Xy)e-,nУdy■;

2р

fy(Х’У)- іbn2)(x)einy;ьП2)(х)-

n-- ¥

і 2- — J fy (Xy)e-mydy.

2— о

(6)

Подставляя эти разложения в уравнения (5) и используя свойства цилиндрических функций,

можно преобразовать интегралы (5) к симметричным пределам:

AZ (p’j’z)=

-iks +0 in +“

(2—) ZG n--o -¥

A" (pj’z )-

-'ksZs +0 in +“

І ineinj J bni)(x)Hni)(Xp>

WsZs + ksZ

dX;

(2—)2

І ineinj J bi(:)(x)H{(;)(Xp)

iWsZ

e s

(7)

n--¥ -О

ksZs + WSZ

dX.

Поскольку в рамках поставленной задачи интерес представляет только поле излучения в дальней зоне ( р ® : ), то функции Ханкеля можно заменить их асимптотическими представлениями. Сворачивая ряды по формулам (6), можно преобразовать выражения для скалярных компонент потенциалов к виду:

Aze p’j’ z)-

—ks ---------s—e

(2—)2 ZG

A" (pj’z)-

—ksZs

T fx (X’y) eXp+iWsz dX ;

j W Z + k Z д/X5

о WsZs + ksZ

(2—)2

I 2 +j° fy (X’y) eiXp+iWsz dX

l—p -0 WsZs + ^ VX’

(8)

Поскольку угловые зависимости поля излучения удобно рассматривать в сферической системе координат, необходимо в выражениях (8) перейти к ней, выполнив замену переменных

X = ks sin a ; Ws = ks cos a ; dX = ks cos a da . Применяя к оценке полученных интегралов метод перевала [4] и пренебрегая в дальней зоне слагае-

1

мыми малости выше У , можно найти компоненты поля в виде сферических волн. Для вертикальной поляризации ненулевой компонентой электрического поля является:

2— Zs cos0 + Z

а для горизонтальной:

fy (ks

Ee - -

ik Z fy (ks Sinq’j) e

s s COS0

iksr

(9)

(1О)

2п г,, + г cosб г

Полученные выражения для компонент поля являются строгими и позволяют найти точное решение поставленной задачи в том случае, если

известен вид функции / (Х,у) .

Нахождение приближенного решения. Как показано в работах [1, 4], нахождение явного вида

функции р (р) представляет собой сложную са-

iW-Z

e

а

а

4

e

r

s

r

О

144

Рис. 2. Диаграмма направленности излучения прямоугольного волновода с идеально проводящим фланцем: А - вертикальная поляризация; В - горизонтальная поляризация

мостоятельную задачу, решение которой в замкнутой форме до настоящего времени не найдено. Это обстоятельство вынуждает использовать для нахождения вида функции различные приближенные методы.

Наиболее простым является приближение физической оптики. Это приближение состоит в пренебрежении дифракционными эффектами на границах волноводной апертуры. Функция

Р (р) в этом случае может быть приближенно

задана в виде распределения касательных компонент электромагнитного поля в поперечном сечении бесконечного волновода. Поскольку возбуждение волновода производится волной основного типа, можно воспользоваться одномодовым приближением:

Р (р) = АоФо (р) . (11)

Здесь ф0 (р) - волновая функция основной моды; А0 - неизвестная комплексная амплитуда, которая может быть найдена с помощью вариационного метода, развитого в работах [4, 5].

Таким образом, приближенные выражения

для нахождения проекций функции / (Х,у) на

оси полярной системы координат пространства волновых чисел примут вид:

/ (х У ) = Аофох (хУ ) /у (х У ) = АоФоу(хУ),

где Ф0(Х,у) - фурье-трансформанта волновой функции ф0 (р).

Методическая погрешность полученного приближения может быть оценена только путем сравнения численных результатов с экспериментальными данными. Экспериментальные результаты для диаграммы направленности излучения прямоугольного волновода с идеально проводящим и импедансным фланцем опубликованы в работе [2].

Была составлена расчетная программа на алгоритмическом языке ЕОКТИАМ 95, вычисляющая функции направленности излучения вертикальной Ре (б,ф) и горизонтальной Рт (в,фф поляризаций прямоугольного волновода с фланцем. Компоненты электрического поля в дальней зоне рассчитываются по формулам (9) и (10). Нормировка осуществляется на постоянное значение

Eо -

ik.

4~ab

s2 —

где а и Ь - ширина широкой и узкой стенок волновода соответственно.

Расчет значений комплексной амплитуды А0 производился по формулам, заимствованным из

ik

r

s

e

r

145

работы [5]. Размеры сторон волновода а = 2.286 см, Ь = 1.016 см. Волновод не имеет заполнения и излучает в свободное пространство.

Результаты расчетов для случая идеально проводящего фланца представлены на рисунках 2 и 3. Можно заметить, что предложенный метод дает завышенные (на 5 дБ) значения амплитуды поля, хотя форма диаграммы направленности практически соответствует экспериментально найденной. Осцилляции экспериментальной зависимости, хорошо заметные на рисунках, объясняются конечными размерами фланца в реальном эксперименте.

Для импедансного фланца результаты сравнения предложенного теоретического метода с экспериментальными данными работы [2] в целом аналогичны, только расхождение несколько меньше и не превышает 2 дБ.

Таким образом, можно сделать вывод, что предложенный метод может быть использован для расчета диаграммы направленности одиночного волновода с импедансным фланцем в случае нормировки на амплитуду поля в направлении максимума излучения. Расчет мощности излучения требует использования либо более строгих методов расчета, либо многомодового приближения.

Литература

1. Комаров С.А. Излучение из полубесконечного волновода с импедансным фланцем // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1976. Т. 16.

2. Yoshitomi K. Radiation from a rectangular waveguide with a lossy flange / K. Yoshitomi, H.R. Sharobim // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. 1994. Vol. 42, №10.

3. Комаров С.А. Вариационный принцип в задачах

излучения из полубесконечного волновода с импе-дансным фланцем // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1985. Т. 28, №3.

4. Федорюк М.В. Метод перевала. М., 1977.

5. Комаров С.А. Входной адмитанс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду / С.А. Комаров, В.В. Щербинин // Известия АГУ. 1997. №1.