Хаотическая динамика гибких криволинейных балок Бернулли-Эйлера (часть 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1

Н.А. Загниборода, В.В. Добриян, М.В. Жигалов, А.В. Крысько, В.А. Крысько

ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ГИБКИХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК БЕРНУЛЛИ-ЭЙЛЕРА (ЧАСТЬ 2)

Задача рассматривается как распределенная, с бесконечным числом степеней свободы. Нелинейная динамика гибких криволинейных балок Бернулли-Эйлера изучается с позиции качественной теории дифференциальных уравнений: анализируется сигналы, сечение Пуанкаре, фазовый и модальный портреты, автокорреля-

ционные функции, w(x), w(x, t), 2-d и 3-d вейвлет спектры Морле, спектры мощности Фурье, построенные на основании быстрого преобразования Фурье, а также знак четырех показателей Ляпунова, полученных с помощью метода Вольфа. Обнаружены такие явления как гармонические колебания, хаотические колебания, гиперхаос, гипер-гиперхаос и, названный нами, глубокий хаос - данное явление обнаружено впервые. Построены карты ляпуновских показателей в зависимости от величины амплитуды и частоты вынуждающих колебаний.

Хаотические колебания криволинейной балки Эйлера-Бернулли, аттракторы, бифуркации, фазовые портреты, показатели Ляпунова, хаос, хаос-гиперхаос, пространственно-временной хаос

N.A. Zagniboroda, V.V. Dobriyan, M.V. Zhigalov, A.V. Krysko, V.A. Krysko CHAOTIC DYNAMICS OF FLEXIBLE CURVILINEAR BERNOULLI-EULER BEAM (PART 2)

The problem is considered as distributed with an infinite number of degrees of freedom. Nonlinear dynamics of the flexible curvilinear Euler-Bernoulli beam is studied from the perspective of qualitative theory of differential equations. We have analyzed the signals, Poincare section, modal and phase portraits, the autocorrelation function, w(x), w(x, t), 2-d and 3-d Morlet wavelet spectra, the Fourier power spectra constructed on the basis offast Fourier transformation, and also the sign of the four Lyapunov exponents obtained by the Wolf method. The phenomena such as harmonics, chaotic fluctuations, hyper-chaos, hyper-hyper-chaos and «deep chaos» as we called it, have been observed for the first time. The maps of the Lyapunov exponents as the functions of the amplitude and frequency of compelling vibration were build.

Chaotic oscillations curvilinear beams, attractors, bifurcation, phase portraits, Lyapunov exponents, chaos, chaos-hyper chaos, spatio-temporal chaos

Введение

В первой части работы проведен анализ карт динамических процессов, построенных для различных типов исследуемых параметров. В первом пункте второй части осуществляется качественный анализ (исследуются сигналы, сечение Пуанкаре, фазовый и модальный портреты, автокорреляционные функции, w(x), w(x, t), 2-d и 3-d вейвлет спектры Морле, спектры мощности Фурье, построенные на основании быстрого преобразования Фурье), определяется сценарий гармонических колебаний системы в хаотический режим. Во втором пункте производится анализ колебаний с помощью показателей Ляпунова (исследуется эволюция значений показателей Ляпунова в зависимости от амплитуды вынуждающих колебаний, а также впервые строятся карты показателей Ляпунова в зависимости от величины амплитуды и частоты вынуждающих колебаний).

1. Качественный анализ криволинейной балки

Для дальнейшего анализа была выбрана балка с коэффициентом кривизны = 48 и параметрами моделирования п = 120, А = 100, = 1. Анализ проводился при фиксированной частоте

(wp = 5,7615) возбуждающих колебаний и различных значениях амплитуды внешней нагрузки. В табл. 1-7 ячейки описывают следующие характеристики соответственно: 1) спектр мощности Фурье сигнала (t £ [1836,2348]модельного времени; x = 0.5, т.е. центр балки), 2) псевдоотображение Пуанкаре, 3) фазовый портрет, 4) модальный портрет, 5) автокорреляционная функция, 6) эпюра прогиба балки в момент времени t = 1836, 7) эпюра прогиба балки во времени t £ [1836,1852], 8) вейвлет Морле 2-d, 9) вейвлет Морле 3-d.

Анализ данных, приведенных в табл. 1-7, позволяет сделать следующие выводы. При амплитуде вынуждающей нагрузки q0 = 57 500 мы наблюдаем гармонические колебания. На модальном портрете заметно появление аттрактора, однако его масштаб настолько мал, что не отражается на фазовом портрете и не оказывает влияния на спектр мощности Фурье.

Таблица 1

q0 = 57°500, юр = 5,7615

Относительно небольшое увеличение амплитуды нагрузки до q0 = 62°500 приводит к появлению независимой и множества зависимых частот, на фазовом портрете проявляется аттрактор, модальный портрет распадается, сечение Пуанкаре фиксирует аттрактор. Для диапазона амплитуд q0 = 64°500^0 = 83°000 ситуация, в целом, сохраняется, хотя и заметны изменения в виде сечения Пуанкаре, а также в распределении энергии по частотам на спектре мощности.

При амплитуде q0 = 85°000 наблюдается распад сечения Пуанкаре, распад аттрактора на фазовом портрете, и скачкообразный переход системы в гармоническое состояние при амплитуде q0 = 86°000. Однако данное состояние оказывается нестабильным, и уже на интервале q0 = 86°500 - q0 = 87°000 наблюдается переход в хаос (на 2-ё вейвлете Морле заметна перемежаемость частот, на 3-ё вейвлете виден переход энергии колебаний на низкие частоты, сечение Пуанкаре распадается в аттрактор, на фазовом и модальных портретах наблюдается аттрактор, автокорреляционная функция резко ниспадает). Важно отметить, что изменение касается не только характера колебаний, но и такой характеристики как максимальный прогиб.

При амплитуде q0 = 86°500 он равен 1,75, а при q0 = 87°500 равен 10,5 (это отчетливо видно на эпюре прогиба). При этом максимум прогиба перемещается по координате к центру, и система перестает быть чувствительной к несимметричным граничным условиям. Фактически тонкая криволинейная балка прохлопывает и теряет возможность сопротивляться внешней нагрузке, это хорошо заметно на построенной во времени эпюре прогиба.

Дальнейший анализ носит исключительно теоретический характер, так как прогиб криволинейной балки превысил допустимые гипотезой границы. Для всех амплитуд внешней нагрузки, приведенных далее, на фазовых портретах отчетливо различим аттрактор Лоренца. Аттрактор на сечении Пуанкаре постепенно распадается до облака точек. Автокорреляционная функция резко ниспадает. Спектр мощности Фурье постепенно зашумляется, и в последних таблицах мы наблюдаем сплошной пьедестал и глубокий хаос.

Таблица 2

д0 = 62°500, юр = 5,7615

Таблица 3

Яо = 85°000, Шр = 85°000

Анализ спектра мощности Фурье позволяет выделить следующие сценарии перехода системы в хаос. При амплитуде вынуждающей нагрузки, меньшей, чем q0 = 57°500 наблюдаются гармонические колебания на частоте вынуждающих колебаний ор = 5,7615. При увеличении амплитуды появляется частота о1 = 2,614 несоизмеримая с основной, и практически одновременно с ней появляется линейно зависимая частота о2 = ор - о1. Процесс продолжается далее, и мы наблюдаем сценарий Рю-эля-Таккенса-Ньюхауза. Это отчетливо видно при амплитуде вынуждающей нагрузки q0 = 62°500. Сценарий сохраняется до нагрузки q0 = 86°000, когда система возвращается в гармонический режим колебаний с одной частотой. При увеличении нагрузки от q0 = 86°500 до q0 = 87°000 возникает явление перемежаемости (это заметно на 2-ё вейвлете Морле), что приводит к сильному зашумлению спектра, однако, на нем можно различить частоты о1 = 2,405, о2 = ор - о1, и тот же сценарий Рюэля-Таккенса-Ньюхауза. В чистом виде данный сценарий сохраняется до амплитуды q0 = 87°500. При большей амплитуде система начинает вести себя необычно - в ней наблюдаются одновременно 2 сценария. Так, при амплитуде q0 = 88°500 мы можем наблюдать основную частоту ор, две частоты о1 и о2 = ор - о1 из предыдущего сценария Рюэля-Таккенса-Ньюхауза, и частоты о3 = ор/2 = 2,884, о4 = ор/4=1,424, о5 = 3/4ор = 4,308.

Как видно из значений частот о3, о4, о5, это бифуркации Хопфа, т.е. наблюдается сценарий Фей-генбаума перехода системы в хаос. Система продолжает пребывать в этом двойственном состоянии.

Однако при амплитуде q0 = 95°500 система перестраивается, и мы наблюдаем частоту о1 = ор/2 = 2,884, а также частоты о2 = 1,387, о3 = 1,497, о4 = 4,271, о5 = 4,369. Важно отметить, что частоты ^2, ^3 группируются возле частоты ор/4 = 1,436, а частоты о4, о5 возле частоты

, т.е. наблюдаются бифуркации Хопфа в скрытой и явной форме, и затухающий сценарий Рюэ-ля-Таккенса-Ньюхауза. При подобном анализе колебаний криволинейной балки на интервале внешней нагрузки от q0 = 95°000 до q0 = 96°000 выяснилось, что система скачкообразно перестраивалась в это и в предыдущее состояние несколько раз. Двойственное поведение системы сохраняется и при более высоких значениях q0 , пока не вырождается в глубокий хаос со сплошным пьедесталом на спектре мощности Фурье.

Таблица 4

до = 86°000, шр = 5,7615

Яо = 87°000, Шр = 5,7615

Таблица 6

Яо = 88°500, Шр = 5,7615

Таблица 7 25

2. Анализ колебаний тонкой криволинейной балки с помощью показателей Ляпунова

Показатели Ляпунова - количественная характеристика, которая позволяет оценить степень хаотичности движения системы. Количество показателей Ляпунова зависит от количества уравнений, описывающего систему. Каждому уравнению ставится в соответствие один показатель Ляпунова. Если показатель Ляпунова отрицательный, то имеет место гармоничный процесс, если показатель положительный, то можно говорить о наличии хаотической компоненты в траектории движения. Существуют различные методы определения ляпуновских показателей. В данной работе для их определения использовался метод Вольфа.

Метод рассчитывает старший показатель Ляпунова по выборке из единственной координаты и используется, когда неизвестны уравнения эволюции системы, и нельзя измерить все её фазовые координаты.

Пусть имеется временной ряд х(Х), 1 = измерений одной координаты хаотического процесса, произведённых через равные промежутки времени. Методом взаимной информации определяют временную задержку , а методом ближайших ложных соседей - размерность пространства вложения т. В результате реконструкции получается набор точек пространства Ят:

, (2.1)

где I = .

Выберем из последовательности (2.1) точку и обозначим её х0. Просматривая последовательность (2.1), найдём точку , такую, что выполняется соотношение , где в - это

фиксированная величина, значительно меньшая, чем размер реконструированного аттрактора. Также необходимо, чтобы точки и были разделены во времени. После этого отслеживается эволюция этих точек на реконструированном аттракторе до тех пор, пока расстояние между ними не превысит заданную величину . Обозначим полученные точки и , расстояние между точками - , а

промежуток времени эволюции - .После этого снова рассматривается последовательность (2.1) и

находится точка , близкая к , такая, что выполняется равенство . Векторы

и должны иметь, по возможности, одинаковое направление. Далее процедура повто-

ряется для точек и .

Повторяя описанную процедуру большое количество раз М, старший показатель оценивают как

(2.2)

Подробное описание метода Вольфа можно найти в [1].

С применением метода Вольфа были определены показатели Ляпунова для сигналов в центральной точке балки при разных значениях амплитуды вынуждающей нагрузки (исследовался диапазон , с

шагом в 500 единиц). Результаты приведены на рис. 1.

Из приведенного графика видно, что система проходит зону гармонических колебаний (все показатели меньше либо равны нулю), зону постоянных перестроений системы (третий и четвертый показатель постоянно меняют свои значения и большую часть этого интервала больше нуля), и переходит в зону глубокого хаоса, когда все показатели больше нуля. Эти данные полностью согласуются с анализом, приведенным в предыдущей главе.

Помимо этой формы анализа, был осуществлен более широкий анализ - были построены карты показателей Ляпунова. Как и в картах, приведенных в первой части статьи, карты показателей Ляпунова строятся в зависимости от управляющих параметров \(£р, Ц0}, на тех же интервалах значений. В табл. 8 приведены карты показателей Ляпунова и обозначения для карт.

Таблица 8

Рис. 1. Зависимость 1 (д0)

;|1 "Шд.

Ойнкичсния псашагел.*^ ."[ляли-оса щ А отрни лтельнил пясжэасгшя Гглршонпвчеснсе ЕОЖН?|Ц-П [Я 1 [ ттолоипеиьный показатель |дрос1 щ 1 отрнцательнш* 2 л-ол-о^пт-щ^к ГТОКА1АШ1 (ХЛМ -ПИТфЛайе). 1 (щкщогсе-льньсГс, .5 положительных ЛтаЛЗЛГйЛ! 1>ЭОС-Г[!Пер-Т1СПСр\ЛОС1 4 лолюжнтыьны показателя ц (иС?Д<Л1ф^и:и-п|1

■ЩЗЛ

Сравнение табл. 8 с табл. 6 и 7 из первой части статьи показывает отличную сходимость разных видов анализа. При этом каждый вид карты отражает свои аспекты динамического процесса, а совместное их использование дает достаточно полное понимание все картины целиком.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ № НК 12-01-31204.

ЛИТЕРАТУРА

1. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J.B. Swift, H.L. Swinney, J.A. Vastano // Physica. 1985. V. D16. P. 285-317.

Загниборода Николай Александрович -

аспирант кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Добриян Виталий Вячеславович -

аспирант кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Жигалов Максим Викторович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Крысько Антон Вадимович -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика и механика» Энгельсского технологического института (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Крысько Вадим Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Nikolai A. Zagniboroda -

Postgraduate

Department of Applied Mathematics and System Analysis

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Vitaly V. Dobriyan -

Postgraduate

Department of Applied Mathematics and System Analysis

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Maksim V. Zhigalov -

Ph. D., Associated Professor,

Department of Mathematics and Modeling,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Anton V. Krysko -

Dr. Sc., Professor,

Head: Department of «Higher Mathematics and Mechanics»

Engels Institute of Technology (brunch)

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Vadim A. Krysko -

Dr. Sc., Professor,

Head: Department of Mathematics and Modeling, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 17.04.13, принята к опубликованию 20.02.13