К вопросу о сценариях перехода колебаний из гармонических в хаотические гибких балок Эйлера Бернулли при произвольных поперечных нагрузках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О.А. Салтыкова, И.В. Папкова, А.А. Кашубина, А.О. Синичкина, C.C. Вецель, В.А. Крысько

К ВОПРОСУ О СЦЕНАРИЯХ ПЕРЕХОДА КОЛЕБАНИЙ ИЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ В ХАОТИЧЕСКИЕ ГИБКИХ БАЛОК ЭЙЛЕРА - БЕРНУЛЛИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗКАХ

Рассматривается нелинейная динамика геометрически нелинейной балки Эйлера - Бернулли, в зависимости от типа знакопеременной нагрузки и от относительной толщины. Выявлены некоторые особенности сценариев перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

Балка Эйлера - Бернулли, геометрическая нелинейность, хаос, сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические

O.A. Saltykova, I.V. Papkova, A.A. Kashubina, A.O. Sinichkina, S.S. Vetsel, V.A. Krysko

TRANSITION SCENARIOS OF THE FLEXIBLE EULER-BERNOULLI BEAMS FROM HARMONIC TO CHAOTIC VIBRATIONS UNDER ARBITRARY TRANSVERSAL LOADS

The paper considers nonlinear dynamics of the geometrically nonlinear Euler-Bernoulli beam, depending on the type of the alternating load and the relative thickness. Peculiar features of the scenarios relating the transition from harmonic to chaotic vibrations are obtained.

The Euler - Bernoulli beam, geometric nonlinearity, chaos, the scenarios of transition from harmonic vibrations to chaos

Введение. Балки как самостоятельные элементы или как часть составных конструкций широко используются в авиационной и ракетно-космической технике, судо- и автомобилестроении, энергетическом и химическом машиностроении, жилищном и промышленном строительстве. В конструк-

9

циях ответственного назначения данные элементы подвергаются различным внешним нагрузкам. Эти конструкции работают в сложном динамическом режиме при различных неблагоприятных погодных воздействиях (снег, дождь, резкие порывы ветра) и широком диапазоне температуры. Как следствие -характер колебаний таких конструкций является сложным и, в общем, стохастическим. Проблема изучения сложных колебаний распределенных структур с учетом различных нелинейностей изучена в [1-8].

Отдельным вопросом изучения динамики механических систем является вопрос о переходе систем в состояние хаоса под действием различного вида нагрузок.

Опишем основные сценарии возникновения динамического хаоса.

1. Через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейген-баума) [9]. 2. Через разрушение двумерного тора (теорема Афраймовича - Шильникова) или через разрушение замкнутой инвариантной кривой [10]. 3. Через перемежаемость (сценарий Помо - Ман-невиля), т.е. чередование во времени почти регулярных колебаний с интервалами хаотического поведения, наблюдаемый сразу за порогом возникновения хаоса [11]. 4. По сценарию Рюэля - Такенса -Ньюхауза переход в хаос осуществляется следующим образом: появляется новая линейно-независимая частота и переход к хаосу осуществляется через серию линейных комбинаций линейно зависимых частот [12].

В работе представлена математическая модель, описывающая колебания балки по гипотезе Эйлера - Бернулли, исследована динамика балки в зависимости от типов нагрузки и граничных условий, а также проведен анализ перехода от гармонических колебаний к хаотическим.

Постановка задачи

Рассматривается балка с прямоугольным поперечным сечением длиной а, высотой 2к. Как двумерная область О балка определяется следующим образом: О = {х е [0, а] - И < z < к], 0 £ г < ¥ .

Математическая модель балки Эйлера - Бернулли основывается на следующих гипотезах:

— любое поперечное сечение, нормальное к срединной линии до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к срединной линии, вместе с тем высота сечения не изменяется;

— инерция вращения элементов балки не учитывается, однако учитываются силы инерции, отвечающие за перемещения вдоль нормали к срединной линии;

— внешние силы не меняют своего направления при деформации балки;

— продольный размер балки значительно превышает ее поперечные размеры;

— геометрическая нелинейность учитывается в форме Т. Кармана [13].

Система дифференциальных уравнений в перемещениях в безразмерном виде, описывающих движения балки с учетом диссипации энергии, выглядит следующим образом:

1 и) + Ц (и, w)

д 2и / ч д 2и

— + Ц3 (и, — = 0.

. 1 д4w I д2и дw

и, и)----[--— — е,--+ а = 0,

; 12 дх4 [ дг2 1 дг

(1)

т , ч д2и ди* ди д2и 3 д2и (диV т , ч д2и ди здесь ЬЛи,и) = —-— +--- , Л(и,и) =--1 — I , Ц(и,и) =—2--- нелинейные операто-

дх2 дх дх дх2 2 2 дх ^ дх) дх2 дх

ры, черточки над безразмерными параметрами для простоты опущены. Безразмерные параметры:

4

_и_иа_х„ а _ а

и =7—г, и =—-, х= —, а = ~,—г, а = а—-—,

(2И) (2И)2 а (2И) (2И)4 Е

(2)

- г а , г=—, т = —, к = т к "\|

Eg _ а

—, е = е -.

1 1 к

г

К уравнениям (1) следует присоединить краевые и начальные условия. Краевые условия:

1. Консольная балка (схемы а - в, табл. 1)

и(0,г) =М°г) = и(0,г) = 0; Mx (а,г) = ^ (а,г) = Qx (а,г) = 0. (3)

дх

2. Заделка-заделка (схема г, табл. 1)

я(0, г) = я(а, г) = и (0, г) = и(а, г)

Начальные условия:

Эя(0, г) _ Эя(а, г)

Эх

Эх

0.

(4)

х)| г=0

Эя(х)

: 0; и(х), .=0 = 0,

= 0:

Эи(х)

0.

(5)

(6)

Эг г=0 Эг г=0

Бесконечномерная задача (1)-(5) с помощью метода конечных разностей, с аппроксимацией о(с2) сводится к конечномерной - системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В каждом узле сетки получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

\Ь1С (я, (г), и, (г)) + дг (г) = в№, (г) + Я (г);

14,с (я, (г), и, (г)) = ви (г)+и, (г); (, = 0,..., п), где, п - число разбиений по пространственной координате, с - шаг по пространственной координате, Ь1с(я,(г), (г)), Ь2с (я, (г), (г)) разностные операторы. Задача Коши решается методом Рунге - Кут-

та четвертого порядка точности.

Решение осуществляется с помощью методов нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений: строятся сигналы, фазовые портреты, сечения Пуанкаре, Фурье-спектры, автокорреляционные функции, применяются вейвлет-преобразования и анализ знаков показателей Ляпунова.

Приведем схемы, отражающие решаемые в работе задачи.

Таблица 1

Расчетные схемы

б

а

в

г

Нелинейная динамика консольной балки при некоторых типах нагрузки

Проведем анализ нелинейной динамики консольной балки (схемы а-в табл. 1) в зависимости от трех типов нагружения:

Тип 1. На рассматриваемую балку действует знакопеременная поперечная нагрузка, распределенная на единицу длины, действующая в направлении оси 02, вида (табл. 1а):

а = а0ът(юрг). (7)

Тип 2. Нагрузка а = д(х, г) (7) действует на треть длины консольной балки, со стороны не закрепленного края балки (табл. 1б).

Тип 3. К незакрепленному краю балки приложен момент вида (табл. 1в):

М = М 0ът(арг). (8)

Задача решается со следующими значениями управляющих параметров: 1 = 50, ор = 5.1, е1 = 1, шаг по пространственной координате п = 40, шаг по времени Дг выбирался из условий устойчивости получаемых решений по принципу Рунге Дг = 3.90625 • 10—3.

Для первого типа нагрузки (таблица 1, а) приведем сценарий перехода к хаосу.

Таблица 2

Сценарий перехода колебаний от гармонических к хаотическим

Частоты

10

Гармонические колебания на частоте о = 5.1.

35

оор = 5.1, о = 2.74

Двухчастотные колебания

49

о

о

о2 = 2о — о„ = = -а- = 0.39 2 ^ р 7 13

Колебания системы происходят на двух независимых частотах, с последующей серией линейно зависимых от них частот.

186

о

о3 = о, • 9 = о + 2о, = — • 9 = 3.53

32 1 2 13

576

о4 = о — 2о2 = о2 • 5 = 1.95

793,75

о5 = о4 — 2о2 = 3о2 = о — 4о2 = 1.19

1171

о6 = о3 + 2о2 = о + 4о2 = 4.32

1212

о7 = 2о2 = 0.79 и о8 = 6о2 = 2.34

2253.3

Для данной нагрузки ниже представлены графики

Спектр мощности Б (о)

Сигнал и(0.5, г)

Фазовый портрет

)

Сечение Пуанкаре

(и,+Т)

рад-

Система находится в состоянии хаоса. На спектре мощности наблюдается большое количество частот, фазовый портрет приобретает нерегулярную форму, сечение Пуанкаре представлено множеством точек

а

0

Описанный переход соответствует классическому сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза, который описан в [4].

Далее остановимся на сценарии перехода из гармонических в хаотические для второго типа нагружения (табл. 1 б).

Таблица 3

Сценарий перехода колебаний от гармонических к хаотическим

Ч0

Частоты

10-1000

Гармонические колебания на частоте ССр = 5.1.

2000

сор = 5.1, С1 = 0.39

300010000

С2 = 2.73, С3 = 3.53, С4 = 4.3, С = 117, С = 195

Двухчастотные колебания и серия линейно зависимых частот

48000

При данной нагрузке на спектре мощности Фурье наблюдается зашумление. На 2й вейвлет спектре независимая частота с1 = 0.39 со временем исчезает. Происходит изменение сигнала и фазового портрета._

Сигнал ^(0.5, ^)

Спектр мощности 5 (с)

-10

БД 1

о

(

1 й> 1

Фазовый портрет в пространстве (м?, л&, #)

2й вейвлет-спектр Морле

Сценарий перехода системы от гармонических к хаотическим колебаниям соответствует классическому сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза.

Далее приведем сценарий для третьего типа нагружения консольной балки (табл. 1в).

Таблица 4

Сценарий перехода колебаний от гармонических к хаотическим

Чо

Частоты

0,5

Гармонические колебания на частоте с = 5.1

0,825

Ср = 5.1, С = 0.39

Двухчастотные колебания

0,83

С

5.1, с = 0.39 ,С2 = 2.73

Происходит бифуркация удвоения периода, т.е. первая бифуркация Хопфа, в результате появляется частота с = 2.73

С

10

5.1, С = 0.39, с2 = 2.73

С3 = 3.53

25

Ср = 5.1, с = 0.39, с2 = 2.73 С3 = 3.53

С4 = 1.17

Двухчастотные колебания и серия линейно зависимых частот

25-70

ср = 5.1, С3 = 3.6

90

ср = 5.1, с3 = 3.6, С = 2.1

100

Ср = 5.1, с = 3.6, = 2.1 ,С6 = 0.6

105

Утроение периода колебаний. Графики представлены ниже

Сигнал ^(0.5,1)

Спектр мощности 5 (с)

Фазовый портрет в пространстве (м?, , м&)

2й вейвлет-спектр Морле

и 1 ДА 4- <Г ®5 и «V ®з 1"

[П^ | 6) |

Таким образом, последний сценарий принципиально отличается от первых двух. При малых амплитудах внешних вынуждающих колебаний появляющиеся частоты полностью совпадают с частотами для первого и второго сценария (табл. 2, 3). Но необходимо отметить бифуркацию удвоения периода, которой нет в первом и втором сценарии. В дальнейшем линейно зависимые частоты исчезают, и появляются новые, не присутствующие в других сценариях.

Сравнение поведения системы при различных типах нагружения позволяет говорить о значительном влиянии типа нагрузки на динамику консольной балки. Несмотря на то, что сценарии перехода для каждого типа нагружения одинаковы и соответствуют классическому сценарию Рюэля - Та-кенса - Ньюхауза, сценарии имеют отличительные особенности.

Наиболее неустойчивой является система с приложенной к свободному краю знакопеременной нагрузкой (второй сценарий). Балка выдерживает амплитуду внешнего воздействия на порядки больше, чем для второго и третьего типа нагружения.

В каждом рассмотренном сценарии присутствует частота о = 0,39.

Сценарии перехода к хаосу для всех трех типов нагружения можно классифицировать как классический сценарий Рюэля - Такенса - Ньюхауза.

Нелинейная динамика балки в зависимости от геометрического параметра 1

Далее приведем результаты исследования сценариев перехода к хаосу колебаний балки с учетом граничных условий (4), в зависимости от 1 . Рассматривается динамика балки с учётом локальной нагрузки а0. Количество разбиений балки по длине п=40, локальная нагрузка приложена на левый край (таблица 1, г) и занимает 10 узлов, коэффициент демпфирования для прогиба £=1, а частота вынуждающих колебаний Шр = 5,1.

Табл. 5 построена при А = а/2К = 30 - отношение длины балки а к её высоте 2И..

Таблица 5

Сценарий перехода колебаний от гармонических к хаотическим

а0

Частоты

50

шр = 5,1, а1 = 1,86.

Двухчастотные колебания.

100

шр = 5,1, а1 = 1,86, а2 = 1,27 = -шр.

500

Ь1 = 4,4179, а1 - а2 = шр - Ь1

500-1500

а1- а2 = шр - Ь1~ 0,58.

Двухчастотные колебания и появление серии линейно-зависимых частот.

1500

а3 = 0,68 = 7.5шр, а4 = 0,09, Ь2 = 3,83, Ьэ = 2,45, при этом Шр - Ь1 = Ь1 - Ь2 = Ь3 - а1 = а1 - а2 = а2 - а3 = а3 - а4 ~ 0,58.

Сигнал и(г)

Фазовый портрет

Спектр мощности Б, М

Переход в хаос происходит по классическому сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза [14]. Следующий численный эксперимент проводился при А = 50.

Таблица 6

Сценарий перехода колебаний от гармонических к хаотическим

40

Частоты

50-100

Гармонические колебания на частоте шр = 5,1

500

шр = 5,1, а1 = 1.85, а2 = 1,27 =-шр

10000

шр = 5,1, а1 = 1.85, а2 = 1,27 = ^шр, Ь1 = 4.4

а1 - а2 = шр - Ь1

Двухчастотные колебания и серия линейно-зависимых частот

15000

а4 = 0,08, а3 = а4 + К = 0,67, Ь2 = а4 + 6К = 3,81, Ь4 = а4 + 4К = 2,46. К = а1 - а2 = а2 - а3 а3 - а4 = Ь2 - а1 = шр-Ь1 == Ь1- Ь2 ~ 0.59

Сигнал ^(г)

Фазовый портрет w(W)

Спектр мощности Б, М

5. ¿Ь

О

-10

-15

а 1 ь Ыр

а-

Ь.

аг 241 Ь' ь, и

J

J 1

(О

Таким образом, переход в хаос осуществляется через появление двух независимых частот с последующей серией зависимых частот (сценарий Рюэля - Такенса - Ньюхауза [14]).

Далее проанализируем сценарий перехода от гармонических колебаний к хаотическим колебаниям при А = 100.

Таблица 7

Сценарий перехода колебаний от гармонических к хаотическим

40

Частоты

50-100

Гармонические колебания на частоте шр = 5,1

500

шр = 5,1, а1 = 187.

500022000

шр = 5,1, а1 = 1,87, а2 = 1,27 = ^шр. Графики представлены ниже

Двухчастотные колебания и серия линейно-зависимых частот

Сигнал w(г)

Фазовый портрет w(W)

Спектр мощности Б, ЗЬ

5, <>Ъ

-8 - ]0 .-1 - и

-

- Ф у

* 1

со

о

Из трёх полученных результатов, записанных в табл. 5-7, видим, что чем меньше отношение длины к толщине А балки, тем быстрее система переходит в состояние хаоса. Можно отметить, что при А = 30 система переходит в хаос при q0 = 5000, а при А = 50 при q0 = 22000. При А = 100 увеличение нагрузки не приводит систему в состояние хаоса. Частоты % и а2 постоянны при всех значениях А. При А = 30 и А = 50 сценарии перехода системы в хаос одинаковы и соответствуют сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза.

Основываясь на приведенных выше исследованиях перехода колебаний балки от гармонических в хаотические, можно сделать следующие выводы:

1. Переход колебаний механической системы в хаос существенно зависит от граничных условий, типа нагружения и относительной толщины.

2. Сделано обобщение критериев перехода колебаний из гармонических в хаотические, а именно: переход в хаос для механических систем характеризуется появлением двухчастотных независимых колебаний с последующим появлением серии зависимых частот - сценарий Рюэля - Такенса - Ньюхауза.

3. Для двух типов граничных условий выявлены частоты, присутствующие в каждом сценарии, не зависимо от типа нагрузки и геометрических параметров балки.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИМОЛ-А-2014 № 14-01-31335

ЛИТЕРАТУРА

1. Awrejcewicz J. Nonclassic Thermoelastic Problem in Nonlinear Dynamics of Shells / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko. Springer - Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo. 2003. 430 p.

2. Awzejcewicz J. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems / J. Awzejcewicz, V.A. Krys'ko, A.F. Vakakis . Springer - Verlag, Berlin, New York, London, Paris, Tokyo, 2004. 356 p.

3. Awrejcewicz J. CRC Series: Modern Mechanics and Mathematics. Introduction to asymptotic methods / J. Awrejcewicz, V.A. Krysko. Chapman&Hall/SRC London, New York, 2006. 251 p.

4. Awrejcewicz J. Chaos in Structural Mechanics / Jan Awrejcewicz, Vadim A. Krysko. Springer, 2008. 424 p.

5. Chaotic nonlinear dynamics of cantilever beams under the action of signs-variables loads / A.V. Krysko, M.I. Koch, T V. Yakovleva, U. Nackenhorst, V.A. Krysko // PAMM, Special Issue: 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Graz, 2011, Vol. 11. Issue 1. P. 327-328.

6. Chaotic synchronization of vibrations of a coupled mechanical system consisting of a plate and beams / J. Awrejcewicz, A.V. Krysko, T.V. Yakovleva, D.S. Zelenchuk, V.A. Krysko // Latin American Journal of Solids and Structures. 10 (2013). P. 161-172.

7. Яковлева Т.В. Контактное взаимодействие пластины и локально расположенной балки / Т.В. Яковлева, О.А. Салтыкова, В.А. Крысько // Актуальные вопросы науки: материалы XIII Между-нар. науч.-практ. конф. Москва, 25.04.2014. М., 2014.

8. Антоненко Э.В. Математические модели потери устойчивости неоднородных цилиндрических оболочек от неравномерной радиальной нагрузки / Э.В. Антоненко, Т.Э. Шульга // Изв. Сарат. ун-та. Нов. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 3. С. 79-83.

9. Feigenbaum M.J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations / M. J. Feigenbaum // J. Sat. Phys. 1978. Vol. 19. № 25. Р. 61-84.

10.Hopf E. A. Mathematical example displaying the features of turbulence / E. A. Hopf // Comn. Pure Appl. Math. 1948. Vol. 1. P. 303-322.

11.Pomean Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomean, P. Manneville // Comm. Math. Phys. 1980. Vol. 74. № 2. Р. 189-197.

12.Newhouses. Occurrence of Strange Axciom - A Attractions near Quasiperiodic Flow in Тm, m < 3 / Newhouses, D. Ruelle, F. Takens // Commun Math. Phys. 1978. Vol. 64. № 1. Р. 35-40.

13. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. М.: Наука, 1972. 492 с.

14.Шустер Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. М.: Мир, 1988. 240 с.

Салтыкова Ольга Александровна - Olga A. Saltykova -

кандидат физико-математических наук, Ph.D., Associate Professor

доцент кафедры «Математика Department of Mathematics

и моделирование» Саратовского and Modeling

государственного технического университета Yuri Gagarin State Technical

имени Гагарина Ю.А. University of Saratov

Папкова Ирина Вячеславовна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Кашубина Анастасия Андреевна -

магистр кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Синичкина Анастасия Олеговна -

аспирант кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Вецель Сергей Сергеевич -

аспирант Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Крысько Вадим Анатольевич -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Irina V. Papkova -

Ph.D., Associate Professor Department of Mathematics and Modeling, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Anastasiya A. Kashubina -

Master student

Department of Mathematics and Modeling, Yuri Gagarin Technical University of Saratov

Anastasiya O. Sinichkina -

Postgraduate

Department of Mathematics and Modeling, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Sergei S. Vetsel -

Postgraduate

Department of Mathematics and Modeling, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Vadim A. Krysko-

Dr. Sc., Professor

Head: Department of Mathematics and Modeling, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 17.12.14, принята к опубликованию 11.05.15