Групповое преследование в рекуррентных дифференциальных играх Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.977

© Н. Н. Петров, Н. А. Соловьева ГРУППОВОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ В РЕКУРРЕНТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ1

Приведены условия поимки одного убегающего в линейных нестационарных задачах группового преследования в предположении, что все участники обладают равными возможностями и фундаментальная матрица однородной системы является рекуррентной.

Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, рекуррентные функции, поимка, контрстратегии.

§ 1. Постановка задачи

В пространстве Кк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + т лиц: п преследователей Р\,... ,Рп и m убегающих ..., Ет [1—7]. Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид

х!г = A(t)xi + Щ, Xi(to) = х0, Пг € V.

Закон движения каждого из убегающих Ез имеет вид

Уз = А(г)Уз + V, Уз(^ = у°, Уз € V,

где Хг, уз, иг, Уз € Кк, А(^ — непрерывная матричная функция, V — строго выпуклый компакт с гладкой границей, гО = X0 — у0.

П р едположение 1. Фундаментальная матрица Ф^) системы

й = А(Ь)й, Ф(^) = Е

является рекуррентной на [^, те), а Ф(£) равномерно ограничена на [^, те).

§ 2. Поимка одного убегающего

Пусть т = 1, преследователи используют квазистратегии, условие поимки убегающего — Хр(т) — у1(т) € Мр при некоторых р, т, где Ы\,..., Мп — заданные выпуклые компакты, причем х0 — у0 / Мг для всех г.

Теорема 1. Пусть выполнено предположение 1 и у0 € 1п1со{х° — М1, ... ,ХПп — Мп}. Тогда в игре Г происходит поимка.

§3. Поимка скоординированных убегающих

Предполагается, что все убегающие используют одно и то же управление. Цель группы преследователей — поймать хотя бы одного убегающего, условие поимки убегающего — хр(т) = уя(т) при некоторых р,д,т, причем г0з = 0.

Т еорема 2. Пусть выполнено предположение 1 и

1Шсо{х?, ...,х°п}^ со{у0, ...,у°т} = 0. (1)

Тогда в игре Г происходит поимка.

хРабота поддержана РФФИ (грант № 12-01-00195).

Следствие 1 (см. [4]). Пусть А(Ь) = 0 для всех t ^ 0, V = ^(0) и выполнено условие (1). Тогда в игре Г происходит поимка. Пример 1. Пусть к = 2, ^ = 0, матрица А(Ь) имеет вид

Матрица Ф(Ь) является рекуррентной. Утверждение 1. Пусть выполнено условие (1). Тогда в игре Г происходит поимка.

1. Благодатских А.И., Петров Н.Н. Конфликтное взаимодействие групп управляемых объектов. Ижевск: Удмуртский университет, 2009. 266 с.

2. Благодатских А. И. Почти периодические конфликтно управляемые процессы со многими участниками // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 2. С. 83-86.

3. Банников А.С., Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 1. С. 40-51.

4. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С.75-79.

5. Петров Н.Н. К нестационарной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2. Вып. 4. С. 74-83.

6. Петров Н.Н., Петров Н.Никандр. О дифференциальной игре «казаки-разбойники» // Дифференциальные

N. N. Petrov, N. A. Solov’eva

Group pursuit in the recurrent differential games

We obtaine new conditions for the solvability of some problems of group pursuit.

Keywords: differential game, evader, pursuer, group pursuit.

Mathematical Subject Classifications: 49N70, 49N75

Петров Николай Никандрович, декан, математический факультет, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: [email protected]

Соловьева Надежда Александровна, аспирант, кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: [email protected]

Petrov Nikolai Nikandrovich, Dean, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia

Solov’eva Nadezhda Aleksandrovna, post-graduate student, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia

Тогда фундаментальная матрица Ф^) имеет вид

Список литературы

уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1366-1374.

7. Чикрий А.А. Конфликтно-управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 380 с.

Поступила в редакцию 15.02.2012