Групповое преследование в примере Л. С. Понтрягина Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГРУППОВОЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЕ В ПРИМЕРЕ Л.С. ПОНТРЯГИНА

© И. Н. Баранова

Приводятся достаточные условия поимки группой преследователей одного убегающего в примере Л.С. Понтрягина при условии, что характеристическое уравнение имеет хотя бы один положительный корень и убегающий не покидает пределы многогранного множества. Работа продолжает исследования [1 — 5].

В пространстве Кк (к ^ 2) рассматривается дифференциальная игра Г п + 1 лиц: п преследователей Р\,... ,Рп и убегающий Е. Закон движения каждого из преследователей Рг имеет вид:

(О I (-1) II

х\ + й1х\ +-----+ а\Хг = иг, иг е V,

хг(0) = x0i0,■■ ■,х(1-1)(0) = ха-1-Закон движения убегающего Е имеет вид:

у(1) + й1у(1-1') +-+ Щу = V, V е V,

у(0) = Уо,---,У(-1)(0) = У-1-

Здесь Хг, у, иг, V е Кк, а,1,... ,щ е Кк, V — выпуклый компакт в Кк.

Предполагается, что убегающий Е не покидает пределы выпуклого множества

Б = {у : у е Кк, (р, у) ^ 0, з = 1,...,г}

с непустой внутренностью. Цель группы преследователей — поймать убегающего, цель убегающего — уклониться от встречи.

Определение1. Говорят, что в игре Г происходит поимка, если существуют Т > 0 и функции иг(Ь) = иг(Ь, х®0,..., х°й_ 1,... ,у°,..., уг0_1, VI (•)) такие, что иг(Ь) е V для всех Ь е [0,Т] и для любой допустимой измеримой функции V (и(Ь) е V,y(t) е Б

для всех Ь е [0,Т]) найдутся момент т е [0,Т] и такой номер д, что хд(т) = у(т), где

^к() = Мв),в е [0,Ь]}.

Обозначим через (Ь), д = 0,1,... ,1 — 1, решения уравнения

№(1') + а1№(1-1') + • • • + а№ = 0

с начальными условиями

Ц0) = 0, ...,и)(д-1)(0) = 0, №(д)(0) = 1, №(д+1)(0) = 0,...,№(1-1)(0) =0.

П р е д п о л о ж е н и е 1. Среди корней характеристического уравнения

X1 + Щ1А1 1 + • • • + а1 = 0 (1)

есть положительный вещественный корень.

Пр едположение2. фг— 1 (Ь) ^ 0 для всех Ь > 0.

Пусть далее

Z0 = x0 _ y0

^гв ^гв Ув >

Ш) = ^(t)4 + • • • + ^i-i{t)zh-1,

rj(t) = М%0 + • • • + <Рl-i{t)y{°-l.

Отметим, что n(t) представимо в виде n(t) = eXsttY(y0 + R(t)), где As — максимальный

вещественный корень уравнения (1), Y — его кратность, lim R(t) = 0.

t—

Определим функцию A : V ^ R1 вида

A(£, v) = sup{A : A ^ 0, —A£ £ V — v},

где £ — фиксированный ненулевой вектор Rk.

Лемма. Существует a > 0 такое, что

lim [‘ т-(( — г)е>-> dT = a

t—™Jо (t + 1)Y

Обозначим через d = max{||v||,v £ V}, 5 = inf minmax{max Ai(£l(t), (p1,v))}.

t vEV i

Теорема1. Пусть выполнены предположения 1, 2, r = 1, 5 > 0 и

n(5 + d) — 52a + 5(p1,y°) < 0.

Тогда в игре Г происходит поимка.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. №3. С. 145-146.

2. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.

3. Петров Н.Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1997.

4. Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.

5. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова Думка, 1992.

Баранова Ирина Николаевна Удмуртский государственный ун-т Россия, Ижевск e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.