CC BY
31
ІББМ 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 6-16.
УДК 517.958: 537.84
ГРУППА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И НЕЛИНЕЙНАЯ САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОМПАНЕЙЦА
Е.Д. АВДОНИНА, Н.Х. ИБРАГИМОВ
Аннотация. Работа посвящена групповому анализу уравнения Компанейца на основе группы эквивалентности. А именно, вычисляется алгебра Ли группы эквивалентности для обобщенного уравнения Компанейца. Показано, что обобщенное уравнение Компанейца нелинейно самосопряженно.
Принцип априорного использования симметрий позволяет использовать алгебру эквивалентности для апроксимации уравнения Компанейца уравнением, обладающим расширенным классом симметрий. Используя дополнительные симметриии апроксимирующего уравнения и нелинейную самосопряженность, можно построить новые инвариантно-групповые решения и законы сохранения.
Ключевые слова: уравнение Компанейца, обобщенное уравнение Компанейца, алгебра эквивалентности, нелинейная самосопряженность, инвариантное решение, закон сохранения.
1 Предвдрителъные сведения
В настоящей работе к уравнению Компанейца применяется метод построения законов сохранения, основанный на понятии нелинейной самосопряжённости дифференциальных уравнений. Этот метод детально описан в работе [4].
Рассмотрим систему т дифференциальных уравнений
Ра(х,и,и(1),... ,и(3)) = 0, а = 1,...,т, (1.1)
с т зависимыми переменными и = (и1,..., ит) и п независимыми переменными х = (х1,..., хп).
Напомним, что сопряжённая система к уравнениям (1.1) имеет вид
. .
Еа \Х, и, V, и(1), У(1),...,и(8),У(8)) = . а =0, а = 1,... ,т. (1.2)
Определение 1. Система (1.1) называется нелинейно самосопряжённой, если сопряжённые •уравнения (1.2) выполняются для всех решений и исходной системы (1.1) после подстановки
Vа = !£>а (х, и), а = 1,... ,т, (1.3)
такой, что
<р(х,и) = 0. (1.4)
Другими словам,и, выполняются следующие уравнения:
^ (х, и, р(х, и),..., и(8), ^а Р/з{х, и,..., и(8)), а = 1,... ,т, (1.5)
© Авдонина Е.Д., Ибрагимов Н.Х. 2012.
Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации, Постановление № 220, Договор № 11.G34.31.0042.
Поступила 22 ноября 2011 г.
6
где \а — неопределённые коэффициенты, а р(а) — производные от (1.3),
Р(а) = {Ах ■■■Dia{ipа(х,v))}, а = 1,...,в.
Здесь V и р являются т-мерными векторами
У = (У \..., уш), р = (р\...,рш).
Уравнение (1-4) означает, что не все ком,понент,ы ра(х, и) вектора р одновременно обращаются в нуль.
Построение сохраняющихся векторов, связанных с симметриями дифференциальных уравнений, основано на следующей теореме.
Теорема 1. Рассмотрим нелинейно самосопряжённую систему дифференциальных уравнений (1.1). Пусть её сопряжённая система (1.2) удовлетворяется для, всех решений уравнений
(1.1) после подстановки
Vа = ра(х,и), а = 1,...,т. (1.6)
Тогда, любая точечная и контактная симметрия, или более общо, симметрия Ли-Бэклунда
д д X = С (х,и,и{1),...)— + г]а(х,и,и{1),...)-
дхг ’ (1)’ 'диа1
так же, как и нелокальная симметрия уравнений, (1.1), ведет, к закону сохранения
Вг(Сг) = 0,
построенному по следующей, формуле:
Сг = W0
д
ди0
— D^
+ Dj (^а)
д С диа.
(I!) +^>‘{ іди,|) * (^) + •
(1.7)
(1.8)
(1.9)
+ D3Dk ^а)
д С
диа
ди^к
где
Wа = г! - ^и!,
(1.10)
а, С даётся формулой,
С = у^Рц (1.11)
и называется формальным, Лагранжианом системы уравнений (1.1). Формальный Лагранжиан, должен, быть написан, в (1.9) симметрично относительно всех смешанных производных иа, и^к,... , а, “нефизические перемеиные" уа должны, быть исключены через уравнения (1.6).
2. Уравнение Компанейца
2.1. Введение. Уравнение
дп 1 д
(И х2 дх
известное как уравнение Компанейца, или уравнение фотонной диффузии, было выведено независимо Компанейцем1 [1] и Вайманом. [2]. В качестве исходной точки они берут кинетические уравнения для функции распределения фотонного газа и приходят к уравнению (2.1) при определённых идеализированных условиях. Полученное уравнение является математической моделью для описания развития во времени энергетического спектра низкоэнергетического однородного фотонного газа, взаимодействующего с разреженным электронным
1Он отмечает в своей статье, что работа была выполнена в 1950 году и опубликована в Отчёте Ке 336 Института Химической Физики АН СССР
(дп 2 1
+п+п
(2.1)
х
п
х
формулой
х=к- <2-2>
где к — постоянная Планка, а кТе — тем,пера,тура, электрона, со стандартным обозначением к для постоянной Больцмана. Согласно этому обозначению, ки имеет смысл фотонной энергии. При выводе данной модели используется нерелятивистское приближение. Другими словами, предполагается, что энергия электронов удовлетворяет условию кТе ^ тс2, где т — масса электрона, а с ................. скорость света. Термин низкоэнергетический электронный газ означает, что к и ^ тс2.
Уравнение Компанейца (2.1) допускает всего лишь однопараметрическую группу переносов по времени с генератором
д
* = я • (2'3)
Поэтому единственным инвариантным решением уравнения Компанейца является стационарное решение п = п(х), определяемое уравнением Риккати
<1п 2 С
— + п +п = —г • ах х4
В работе [3] показано, что групповой анализ позволяет получить большее количество инвари-аптпых решений для некоторых апроксимаций уравнений (2.1).
Целью нашей работы является обсуждение возможностей, предоставляемых групповым анализом обобщённого уравнения Компанейца на основе группы эквивалентности.
2.2. Нелинейная самосопряжённость. Для единообразия, обозначим зависимую перемен-п и
щ = х~2 Их [х4(их + и + и2)], (2.4)
или в расширенном виде
иг = х2ихх + (х2 + 4х + 2х2и)их + 4х(и + и2). (2.5)
Формальный Лагранжиан [4] для уравнения (2.5) имеет вид
С = ь[—иг + х2ихх + (х2 + 4х + 2х2 и)их + 4х(и + и2)].
Вычисляя вариационную производную этого формального Лагранжиана,
^ = Иг(ь) + Их (х2ь) — Их[(х2 + 4х + 2х2и)ь] + 2х2ь их + 4х(1 + 2и)у, ои
мы получаем следующее сопряженное уравнение ([4], § 1.3) для уравнения (2.4):
— = VI + х2 ухх — х2(1 + 2и) ух + 2(х + 2хи — 1)у = 0. (2.6)
и
Согласно [4], уравнение (2.4) нелинейно самосопряженно, если возможна подстановка
V = р(1, х,и) = 0
такая, что
X г
= Л[—иг + х2ихх + (х2 + 4х + 2х2и)их + 4х(и + и2)], (2.7)
5С
5и
*хх
V = ф(t,X,u)
где Л является неопределённым переменным коэффициентом. Имеем:
Уг = Иг[(р(г, х, и)} = рищ + рг,
Ух = Их[р(г ,х,и)]=риих + Рх, (2.8)
Vхх = Их( 1>х) = риихх + рииих + 2рхиих + рхх.
Подставляя (2.8) в выражение для вариационной производной (2.6) и выделяя члены, содержащие иг ихх
ри [иг + х2ихх] = Л[—Щ + х2ихх].
иг ихх ,
Л = ри = 0.
р = р( , х)
рг + х2рхх — х2(1 + 2и)рх + 2(х + 2хи — 1)р = 0. (2.9)
, х и.
и
х рх — 2 р = 0,
откуда
р(1, х) = с(1)х2.
Подстановка в уравнение (2.9) даёт с'(Ъ) = 0. Следовательно, V = р(Ь,х) = Сх2 с произволь-С. Л = 0
, С = 1.
утверждение.
Предложение 1. Сопряженное уравнение (2.6) обладает решением
= х2
и
нелинейно самосопряжённым с заменой (1.3), данной (2.10).
2.3. Простое доказательство нелинейной самосопряжённости. Возможно простое доказательство нелинейной самосопряжённости уравнения Компанейца, основанное на Теореме 8.1 из [4]. Напомним эту теорему для случая системы, содержащей единственное дифференциальное уравнение
F(t, х, и, щ, их,ихх) = 0. (2.11)
В этом случае, упомянутая теорема 8.1 утверждает, что если уравнение (2.11) обладает нетривиальным законом сохранения в виде
Dt(C:) + Dx(C2) = y,(t, х, и) F(t, х, и, щ, их,ихх), (2.12)
тогда уравнение (2.11) является нелинейно самосопряжённым, и подстановка (1.3) даётся урав-
нением
v = ц,(t, х, и). (2.13)
Вернёмся к уравнению (2.4). В этом случае имеем
F{г,х,и,и1,их,ихх) = и - Dx \хА(их +и + и2)]. (2.14)
Далее, уравнение (2.4) можно записать как уравнение сохранения с сохраняющимся вектором
С1 = х2 и, С2 = —х4(их + и + и2).
Этот вектор позволяет записать закон сохранения (2.12) в виде
Иг(С^ + Их(С2) = х2 Е(Ь, х, и, иг, их,ихх), (2.15)
где Е задано уравнением (2.14). Следовательно, ,х,и) = х2, и (2.13) даёт замену (2.10), и таким образом доказывается Предложение 1.
(3.1)
3. Обобщённое уравнение Компанейца
3.1. Обобщенная модель. При первоначальном выводе уравнения (2.1) появляется следующее более общее уравнение с неопределёнными функциями /(п) и к(х) (см. [1], уравнения (9), (10) и их обсуждение):
' — = — — \к2(х)( — + 1 (п))
дЪ к(х) дх[к (х) \ дх +! (п))
Затем, из физических соображений Компанеец берет /(п) = п(1 + п) и к(х) = х2. Этот выбор существенно ограничивает свойства симметрии модели. А именно, уравнение (2.1) имеет только одну симметрию — группу переносов по времени с генератором (2.3), см. § 2.1.
Обобщенную модель (3.1) можно использовать для расширения свойств симметрии на основе теоремы о проекциях (Н.Х. Ибрагимов, 1986; см. Статью 3 в [6]) и принцип априорного использования симметрий [7]. Таким путем могут быть получены точные решения, известные для частных приближений уравнения Компанейца. Более того, этот подход может привести к новым апроксимациям решений и законов сохранения, когда нужно учесть различные возмущения идеализированной ситуации предполагаемого уравнения в модели Компанейца (2.1).
3.2. Нелинейная самосопряжённость. Запишем обобщённую модель (3.1) следующим образом:
иг = кЩВх{к2 (х)[их + !(и)}}, к'(х) = 0. (3.2)
В расширенном виде
иг = к(х) (ихх + 1'(и)их) + 2кк(х) (их + /(и)). (3.3)
Формальный Лагранжиан для уравнения (3.3) имеет вид
С = у [ — иг + к(х) (ихх + /'(и)их) + 2к!(х) (их + /(и))], (3.4)
следующее сопряжённое уравнение для обобщённого уравнения Компанейца (3.2):
^ = Уг + к(х) Ухх — к(х)/' (и) Ух + [к' (х) /' (и) — к''(х)]у = 0. (3.5)
и
Следующее утверждение о нелинейной самосопряжённост уравнения (3.2) доказывается так же, как в § 2.3.
Предложение 2. Обобщённое уравнение Компанейца (3.2) нелинейно самосопряжённо с подстановкой (1.3) вида
V = к(х). (3.6)
4 Генераторы группы эквивалентности Для вычисления алгебры Ли группы эквивалентности, запишем уравнение (3.3) в виде
иг = к[ихх + !иУх] + 2кх [их + /], (4.1)
Ь = /х = 0, кг = ки = 0. (4.2)
Генераторы группы эквивалентности
¥ = р1д + р2д +^д +.Лд + ,,2 д (ЛЧ]
¥ ~(т +(зх + ’1ди +,1д] + ,дк (43)
получаются из условий инвариантности уравнений (4.1)-(4.2). Коэффициенты и г] оператора
(4.3) зависят от переменных Ь, х, и, тогда как коэффициенты ,а зависят от Ь, х, и, /, к.
и, , к,
записывается в виде
1д 2 д д 1 д 2 д д д д ¥ = ^ + С V +П^~ +,1^7 + ,2^Г + (1^- + С2-7— + (22
а дх ди д/ дк диг дих дихх
(4.4)
1 д 1 д 1 д 2 д 2 д 2 д + и197,. + и2Ж + Ж + Ж,. +Ш2Ж + ш°дк.'
Инвариантность системы (4.1)-(4.2) требует, чтобы следующие уравнения выполнялись на многообразии, заданном уравнениями (4.1)-(4.2):
¥( — иг + к\ихх + /иих] + 2кх \их + /)] = 0 (4.5)
¥ и = 0, ¥ /х = 0, ¥ кг = 0, Уки = 0. (4.6)
, 2, 22
продолжения:
С1 = вг(я) — щОг(£1) — ихИгХС2),
(2 = Их(г}) — щИх (£ ^ — ихИх(£2), (4.7)
С22 = Их (Г]) — игИх (£ ^ — ихИх (£2) — 2игхИх(£1) — 2иххИх( С2).
При вычислении ш® независимыми переменными являются Ь, х, и, а зависимыми переменны-мп — / и к. Мы рассматриваем операторы полного дифференцирования Иг, Их, Ии по незави-, х, и.
Я Яг
-Я ъ Я
дх + х дк
= дх + дк,’ (4.8)
»„ = ди+и я •
д и д
Тогда, коэффициенты ш^ продолженного оператора (4.4) заданы формулами
и? = 5г(ра) — ^Ъг(Я), г = 1, 2, 0, (4.9)
где И1 = Иг, 1)2 = Их, И0 = Ъи.
Анализ определяющих уравнений начнём с исследования уравнений (4.6). Они записываются в
ВИД0
= 0, ш1 = 0, ш2 = 0, ш2 = 0. (4-10)
Уравнения (4.9) и (4.8) дают
ш11 = АОх1) — идг(г,) = Я£- — и (I,
ш1 = 5х(р1) — иЪх(ц) = ях + кх Як — и дх,
ш2 = 5гХ,2) — кх,т2) = —кх як,
ш02 = 5и(,2) — кх,Ии(с2) = яи + и Я2 — кх Як.
ди д} ди Подставляя (4.11) в уравнения (4.10), получаем следующую систему:
д ,1 , &П =0
а !и а ,
(4.11)
д,1 + к д,1 ; д11 0
"я + кх^1 $ иТГ = 0 ,
дх дк дх
ЯЯ_ кд_е =ъ т х а ,
ди2 + , 2 к 2 0
+ 1и^7- кх^~ = °. ди д} ди
(4.12)
Так как эти уравнения должны выполняться тождественно по всем переменным /и и кх, уравнения (4.12) порождают следующую систему:
дц1
°, д °,
д =
°, дц1 = °,
Ж
°, д£2 = °,
сМ
°, дц2 = °,
~д!
т
д и1 = ° да! = ° д!
дх ’ дк ’ дх
дц2
~Ж
дц2 дц2 д£2
(4.13)
0.
ди д/ ди
Общее решение уравнений (4.13) даётся функциями
,х,и), С2(х), 1(и), ц1(и, /), ц2(к,х). (4-14)
Обратимся к уравнению (4.5). Оно записывается в виде
— (д + к[ (22 + /и (2 + ш0их] + [ихх + !иих]ц2 + 2кх[ (,2 + Ц1} + 2[их + /}ш2 = 0. (4.15)
С помощью формулы (4.9), получаем коэффициенты ш, входящие в уравнение (4.15):
ь дц1 г/дц1 ,дг1
ш ^ ) - }"°х(,1) = Ж + Г7>т - !'ди, = о^ - к ох к 2) = ^ ^ ^
(4.16)
Затем, учитывая информацию (4.14), запишем формулы продолжения (4.7) в следующем виде:
С1 = 1 и - М & + и^1),
С2 = 1 их - Сх + ихЛи) — ихЛх ,
. ц 2 /1 1 12 1 ч (4 '17)
С22 = 1 ихх + 1 их - и+А^хх + 2ихСхи + £ииих + Сиихх) ,
- ихЛхх - 2иЬх(Сх + ихХи) — 2ихх£,х .
Подставим выражения (4.16)-(4.17) в определяющие уравнения (4.15) и сначала приравняем нулю члены, содержащие игх :
-2Щх( Сх + ихСи) = °.
Это даёт уравнения
сх = & = °.
Следовательно,
^ = е1^). (4.18)
Теперь подставим ^ = ° в уравнения (4.16)—(4.17) и получим:
шо =»1 + [») -1 (и)]U, ш2 =»х + [»1 - &]кх ; (4.19)
(4.20)
0. = [1 (и) - &}иt, <2 = 1 (и)их - CXих,
Ъ г ] иЪ, Ц 2 = 11 ( и) их ч х их,
С2 2 = [ 1 (и) - 2^х\ихх + 1,,(и)и2х - ^хих.
После подстановки этих выражений в определяющее уравнение (4.15), получим
- 1Щ + Щихх + 1'и2х - ^их - 2£ихх + /Чих-
Г^их + ц'уПх + (^ - 11)!1Ух] + [ихх + 1'их\ц2 + (4.21)
2к [» + 1их] + 2(их + Л • [Ц2х + (Ц2Н - й)к\ = °.
Заменим иг его выражением, заданным уравнением Ед. (4.1), и запишем первый член в уравнении
(4.21) в виде
-т/[кихх + П /иих + 2кхих + 2Пх/].
Мы применяем к полученному определяющему уравнению (4.21) обычную процедуру решения определяющих уравнений и получаем следующее общее решение определяющих уравнений (4.5)-(4.6):
С1 = С1 + С2Ь, ^2 = Сз + С^х, 1 = С5 + С^и,
12 ц1 = (С6 - С4)/, ц2 = (2С\ - С2)к,
где С1,С2,Сз,С^,С5,Сб — произвольные постоянные. Общее решение определяющих уравнений даёт следующий генератор группы эквивалентности для обобщённого уравнения Компанейца
(3.3):
У = С1У1 + С2У2 + ••• + С6Уб. (4.23)
Итак, алгебра Ли группы эквивалентности обобщённого уравнения Компанейца (3.1) натянута на операторы
д д д 1 = т, 2 = - дк,
Уз = дх, у^ = хд-/А + 2кд-, дх дх д} дп
д д д
У5 = 7Т, Уб =и— + / — •
ди ди д}
5. Модели с двумя симметриями Рассмотрим следующие проекции X и Z генератора группы эквивалентности (4.23):
д д д гмР) = х -«■ * + «2дх + ''сщ-
(4.24)
г? _ л ® д і д 2 д
рг(х У) = І дТ + Г{— +^ +V
(5.1)
дх ди д/ дк
Воспользуемся теоремой о проекциях (см. Статью 3 в [6]). В нашем случае теорема утверждает, что если уравнения
/ -Р(и), к -Н(х) (5.2)
инвариантны относительно группы с генератором 2, то соответствующее уравнение (3.3) допускает группу с генератором X.
Пример 5.1. Для иллюстрации метода рассмотрим простой пример, основанный на, операторе Ув из (4-24) ■ Уравнения (5.1) дают,
д д д Х - иди ’ 2 -Ув -идН1 + V <5-3»
Условия инвариант,ноет,и для, уравнений (5.2) относительно 2 имеют вид
[2(/ - Р(и))]ї=Р(и) - 0, [г(к — Н(х))]н=н{Х) - 0. (5.4)
В нашем случае, они, дают, одно уравнение:
йР
Р — и—— - 0, аи
от,куда, Р - ки, к -соті., а, функция к(х) является произвольной. Следовательно, уравнение
щ - к(х)(ихх + ких) + 2к'(х)(их + ки) (5.5)
допускает,, наряду с (2.3), дополнительный оператор (см. (5.3))
д
Х = "nu • <5-6»
Пример 5.2. Найдем модель, основанную на операторе
д д д д
Y = Y4 — Y6 — еп =x— — (u + Є) — — 2f — +2h~ ■ (5.7)
Х,
д д
Х = xfx — (u + e) aU' (5'8)
Z
Условия инвариантности (5.4) имеют вид
d F d H
—2 F + (u + є)—— = о, 2 H — x—— = о
du dx
и дают,
f = C (u + e)2, h = Kx2.
C = І , K = І .
уравнение
ut = x2 [uxx + 2(u + e)ux] + 4x[ux + (u + є)2} (5.9)
допускает, двумерную алгебру Ли с базисом
д д д
Х1 = ж Х2 = x3i — (u + е)3U • (5'ш)
Построим инвариантное решение относительно оператора Х2. Инварианты для, Х2 определяются уравнением,
Х2 J( , x, u) = о,
которое записывается в виде
д J д J
x-------(u + є)— = о.
c)x Bu
Одним, из его решений является
Jl = .
Решив хара,кт,ерист,ическое уравнение
d x d u
1---------= о,
x U + £
получим, второе решение
J2 = x(u + є).
Инвариантное решение получается, полагая
J2 = ФЫ1).
Другими словам,и, мм полагаем,
или
Подставив (5.11) в (5.9), получаем, от,куда
x(u + є) = Ф(і)
u = —є + — • (5.11)
x
Ф = 2(Ф2 — Ф),
І
Ф =
І- Ce2t
Ф
u = —є + W—aS)' (5'12)
Пример 5.3. Построим закон сохранения
А(С 1) + Бх(С 2)=°
для, обобщённого уравнения Компанейца (3.2) используя симметрию (2.3). В этом случае Ш = -иг, формальный Лагранжиан даётся формулой (3.4), а первая компонента, вектора (1.9), в силу подстановки (3.6), имеет вид
дГ
С1 = Ш~дщ = -П(х)щ = -°х{ к2(х)[их + / (и)]}.
Согласно общей теории, мы можем перекинуть члены вида Ох(...) в компоненту С2 сохраня-
С1 = С2 = °.
относительно переноса времени (2.3) ведет, к тривиальному сохраняющемуся вектору.
Пример 5.4. Построим сохраняющийся вектор для, уравнения (5.5), используя его дополнительную симметрию (5.6),
х -4-
ди
В этом случае Ш - и, формальный Лагранжиан имеет вид
С - у[—щ + к(х)(ихх + ких) + 2к'(х)(их + ки)], и первая компонент,а, вектора (1.9), с учётом подстановки (3.6), записывается в виде
С1 - к(х)и.
Вычислив вторую компоненту вектора (1.9), мы приходим к закону сохранения
Ог[к(х)и] — Ох{к2(х)[их + ки]} -0. (5.13)
Замечание 1. Закон сохранения (5.13) справедлив для уравнения (3.2) с произвольной функцией /(и) :
Оі[к(х)и] — Ох{к2(х)[их + /(и)]} -0. (5.14)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. С. Компанеец, “Об установлении теплового равновесия между квантами и электронами,” ЖЭТФ, том 31, № 5(11), с. 876-885, 1956.
R. Wevmann, “Diffusion approximation for a photon gas interacting with a plasma via the Compton effect,” Physics of Fluids, vol. 8, pp. 2112-2114, 1965.
N. H. Ibragimov, “Time-dependent exact solutions of the nonlinear Kompaneets equation,” J. Phys. A: Math. Theor., vol. 43, 2010. doi: 10.1088/1751-8113/43//50/502001.
N. H. Ibragimov, “Nonlinear self-adjointness in constructing conservation laws,” Archives of ALGA, vol. 7/8, pp. 1-99, 2010-2011. See also arXiw:1109.1728vl[math-ph], 2011, pp. 1-104.
E. D. Avdonina and N. H. Ibragimov, “Equivalence algebra of the generalized Kompaneets equation,” Archives of ALGA, vol. 7/8, pp. 100-108, 2010-2011.
N. H. Ibragimov, Selected Works, II. Karlskrona: ALGA Publications, 2006.
H. X. Ибрагимов, О. В. Руденко, “Принцип априорного использования симметрий в теории нелинейных волн, Акустический Журнал, том 50, № 4, 2004, с. 481-495.
Елена Дамировна Авдонина,
Лаборатория "Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий,
Уфимский Авиационный Технический Университет, ул. Карла Маркса 12,
450000, г. Уфа, Россия E-mail: alenaish@yahoo. com
Наиль Хайруллович Ибрагимов,
Лаборатория "Групповой анализ математических моделей естествознания, техники и технологий,
Уфимский Авиационный Технический Университет, ул. Карла Маркса 12,
450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]
