Группа автоморфизмов алгебры Ли М Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2008, № 2, с. 131-137

УДК 512.554.31

ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ АЛГЕБРЫ ЛИ М © 2008 г. И.С. Кириллов, М.И. Кузнецов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected], кшпе18 -1349@уа^ех.ги

Поступила в редакцию 10.03.2008

Найдены автоморфизмы исключительной простой 10-мерной алгебры Ли M над алгебраически замкнутым полем характеристики p=3. Доказано, что группа Aut M является полупрямым произведением группы PSL(2,k) и связного абелева трехмерного радикала. Найдены образующие группы AutM .

Ключевые слова: автоморфизм, алгебра Ли, деформация.

Введение

В работе А.И. Кострикина [1] было построено параметрическое семейство простых 10-мерных алгебр Ли L(s) над алгебраически

замкнутым полем k характеристики p = 3 , которые являются деформациями классической алгебры Ли типа C2. Эти алгебры изоморфны для почти всех s алгебрам В.Г. Каца [2], кото-

( 2 ^

рые определяются матрицей Картана .

V — 1 2 у

В [1] построено также трехпараметрическое семейство 10-мерных алгебр Ли L(s, 5,р). Исследование деформаций алгебры Ли типа C2, проведенное в [3], показало, что, в некотором смысле, алгебры L(s) и алгебры Ли

M = L(— 1,— 1,0) (или L(—1,—1) в обозначениях [3]) исчерпывают с точностью до изоморфизма все деформации алгебры Ли типа C2 (см. [3], стр. 300). Отметим, что согласно результатам [4] алгебра Ли C2 характеристики р = 3

является единственной классической алгеброй Ли нечетной характеристики, имеющей нетривиальные деформации. Кроме того, алгебры Ли L(s) и М входят в список градуированных

алгебр Ли L с редуктивной компонентой L0 и

неограниченным L0-модулем L—1 (см. [5]).

В работе [1] найдены автоморфизмы алгебр L(s). В данной работе мы изучаем автоморфизмы алгебры Ли М .

Через K 3 будем обозначать контактную алгебру Ли, которая реализована на векторном пространстве многочленов в разделенных сте-

пенях от переменных x, у, z высоты 1 с умножением [f, g ] = -а А( g) + а zg А( f) +

+5дyg — дуУ дzg, где А(f) = 2f—хд— —у^ уУ.

Алгебра Ли М является подалгеброй в К3 и допускает градуировку М = М—1 © М0 © М1,

где М—1 = ^1, х, х(2)^, М0 = ^у + х(2)г, г + ху,

г — ху, хг} и М1 = ^у(2) — хг(2),г(2),уг +

+ х(2)г(2^ . Легко убедиться, что М0 = gl(2),

М'а = ^у + х(2)г, г — ху, хг^ и X(М0) = {т. + ху).

Выберем в алгебре М однородный базис {Еа} следующим образом:

E-p HP z EP

x(2) xy - z z + xy y(2) - xz(2)

E-2g-p E-g-p E-g

1 - x y + x(2) z

Eg E g+p E 2g+p

xz yz + x(2) z(2) z(2)

Здесь Е = (ю = га + /Р) - система корней относительно подалгебры Картана ^Нр, , а (Е^ -

одномерные корневые подпространства.

Нами доказывается

Теорема. Группа AutM является полупрямым произведением абелева радикала R, порожденного однопараметрическими подгруппами exp tadE2a+p, exp tadE_p и exp tadEa,

t e к, и подгруппы PSL(2,к), порожденной подгруппами exp tadE±(а+р). Абелева подал-

л.

гебра О = \Е2а+р, Е—р, Еау инвариантна относительно Лпгы.

Доказательство теоремы

Отметим, что для корневого вектора А е М, такого, что (аёА)3 = 0 ехр аё А = I + + аёА - (аёА)2 будет автоморфизмом алгебры Ли М тогда и только тогда, когда Бц( А)( X ,У) = [ А,[[ А, X ],[ А, У ]]] = 0 тождественно относительно X,У е М .

Теперь нетрудно проверить (см. табл. 1), что ехр аё tEю е АшМ лишь при ю = ±(а + р), 2а+ р, — Р, а. Введем обозначения: у±х(/) = = ехр аё ^Е±(а+р), ф—1 (t) = ехр аё tE2а+р, Фо ^) = = ехр аё tEа, фДО = ехр аё tE—р. Построим стандартные элементы, используемые в теории групп Шевалле [6], ю = у—1(1) у1(1) у—1(1) и

Ь (О = V—1 (()V—1 (t 1)V—1 ^)V—1 (1)V—1 (1)V—1 (1). Нетрудно видеть (см. табл. 2), что Н^) = diаg{t2,^,1, ^,1,1, Г2,1,Г2,Г2}, а действие Ю задается на базисных векторах следующим образом ю(Е2а+р) = Е—Р , ю(Еа+Р) =

= — Е

а—р -

ю(Еа) = — Еа , ю(Ер) = — Е

2а—р •

ю(Е—а ) = — Е—а, ф(Нр) = Нр и ) = —7 ,

кроме того Ю2 = гё.

Относительно присоединенного представления трехмерной подалгебры ^Е±(а+р), Нр+ 7

алгебра Ли М раскладывается в прямую сумму трех 3-мерных неприводимых ограниченных подмодулей и одномерного подмодуля. Отсюда следует

Лемма 1. Подгруппа, порожденная однопараметрическими подгруппами у±х(/) = ехр аё х х £Е±(а+р) , изоморфна Р£Ц2, к).

Далее через N (Е) будем обозначать нормализатор подалгебры (Е).

Лемма 2. Если Е = аЕ— 2а—р + ЬЕ—а—р + сЕ— а +

+ ёЕ—р + еНр + у£ + ^Ер + ЬЕа + кЕ а+р + тЕ2а+р

- элемент из М , для которого codimN(Е) < 3 . Тогда а = Ь = с = е = / = ^ = к = 0, т.е.

Е е О = (Е2а+р, Е—р, Еа) .

Доказательство.

1. Сначала докажем, что g = а = 0 . Допустим, что это не так. Без ограничения общности считаем, что а Ф 0 . Действительно, если а = 0 , но g Ф 0, то

ю( Е) = — ,?Е— 2а—р — кЕ—а—р — сЕ—а + тЕ—р +

+ еН р — !^ — ЬЕа — ЬЕа+р + ёЕ2а+р ,

и мы приходим к ситуации, когда коэффициент при Е —2а—р отличен от нуля, поскольку, очевидно, элементы Е и сЕ, се АиМ , имеют нормализаторы одинаковых размерностей. При помощи автоморфизма Ь(7) при t 2 = а мы перейдем к элементу, который снова обозначим через Е с а = 1 . Далее, с помощью автоморфизма ф—^), t = Т , переходим к элементу, который снова обозначим через Е , с а = 1 и Т = 0 . Аналогично, с помощью автоморфизма ф0^), t = Ь, можем считать, что Ь = 0, а с помощью автоморфизма Щ1^), где t - корень

многочлена g + ct — t2, можем считать g = 0 . Поэтому, без потери общности считаем, что

Е = Е— 2а—р + сЕ— а + ёЕ— р + еН р +

+ ЬЕа + кЕа+р + тЕ2а+р .

Теперь если X = х1Е2а+р + х2 Еа + х3Е— р +

+ Х4 Еа+р е NM (Е) , то

[Х, Е] = х1(—сЕа+р + еЕ2а+р —%—Нр ) +

+ Х2 (сНр + еЕа — Е— а—р — кЕ2а+р ) +

+ хз ( сЕ—а—р + еЕ— р + кЕа ) +

+ Х4 (сЕр + ЬЕ2а+р — ёЕа + Е— а) = ЦЕ .

Так как в левой части нет Е—2а—р, то q = 0 .

Поскольку — х17 = х4 Е— а = 0, тогда х1 = х4 = 0 . Из системы

|Е—а—р: х2 + хзс = 0

[Яр : х2с = 0 получаем, что х2 = 0 . Предположив, что хотя бы один из коэффициентов с, е, к отличен от нуля, например с Ф 0, получим х3сЕ—а—р = 0, тогда х3 = 0 . Следовательно, найдены четыре линейно независимых по модулю N(Е) элемента. Это невозможно поскольку codimN(Е) < 3 . Значит, с = е = к = 0 . Таким образом,

Группа автоморфизмов алгебры Ли М

133

Е = Е-2а-р + dE-р + hEa + тЕ2а+р •

Пусть X = Х1Е2а+р + Х2Еа + Х3Е-а + Х4Еа+р e

e Nm (Е), то

[ X, Е ] = Xi(-Z-H р)-Х2 Е- а-р

+

дует, что х3 = 0 , что противоречит условию о коразмерности нормализатора. Значит,

Ь = к = 0 и Е = сЕ—а + ёЕ— р + еНр + Т2 + НЕа +

+ тЕ

2а+р •

+ Хз (тЕа+р - hHр + dE-а-р + Е-р ) +

+ Х4 (ЙЕ2а+р - dEa + Е-а) = ЯЕ •

Опять-таки, поскольку, в левой части отсутствует слагаемое Е-2а-р , то q = 0 . Тогда

— x1Z = x3 Е- р = х4 Е- a = 0, откуда получаем Х1 = Х3 = Х4 = 0 . Остается равенство Х3 (тЕа+р - hHp + dE-a-р + Е-р) = из которого следует, что Х2 = 0 Нашли четыре линейно независимых по модулю N(Е) элемента, следовательно, codimN(Е) > 4. Полученное противоречие доказывает, что g = a = 0 .

Е = bE- а-р + сЕ- а + <^Е-р + еН р + fZ +

+ Ма + кЕа+р + тЕ2а+р •

2. Докажем, что b = к = 0.

Допустим, что это не так. Аналогично первому пункту, без ограничения общности мы можем считать, что к Ф 0 (используя тот же автоморфизм ю ). При помощи автоморфизма h(t), при

t 2 = к , мы перейдем к элементу, который снова обозначим через Е с к = 1. Как и в первом пункте, последовательно применяем автоморфизмы у ч(-f), ф0(т), ф1(-h) (на каждом шаге мы

обозначаем полученный элемент через Е). Поэтому без потери общности считаем, что

Е = ЬЕ-а-р + сЕ-а + dE-р + еНр + Еа+р .

Если X = Х1Е-а-р + Х2Еа + Х3Е-р + Х4Е-2а-р e

e Nm (Е), тогда

[X,Е ] = -Х1(сЕ- 2а-р + Z) + Х2 (-ЬЕ- р + сНр +

+ еЕа -Е2а+р ) + Х3(-сЕ-а-р + еЕ-р + Еа )-

- Х4 (сЕ-р + еЕ-2а-р + Е-а ) = qE ■

Поскольку в левой части нет Еа+р , то q = 0 , откуда x1Z = -x2Е2а+р = -х4Е-а = 0, поэтому Х1 = Х2 = Х4 = 0 . Остается равенство

х3(-сЕ-а-р + еЕ-р+ Еа) = 0 , из которого сле-

3. Докажем, что с = f = 0 .

Рассмотрим У-1(1)( Е) = сЕ _

+ (т — h + d) Е- р + еНр + fZ + (т + h) Еа +.

2а-р + 7е- а-р + сЕ- а +

+ тЕ2а+р .

Поскольку элемент^1 Е и v—1 (1)(Е), имеют нормализаторы одинаковых размерностей, т.к. V—1(1) - автоморфизм, то, исходя из пунктов 1 и 2, получаем, что коэффициенты при Е

2а-р

Е

-а-р

должны быть равны нулю, т.е. с = f = 0 и

Е = dE - р + еНр + hEа + тЕ2а+р

4. Осталось доказать, что е = 0 .

Допустим, что е Ф 0, X = х1Е2а+р + х2Е— а +

+ х3Е— р+ х^Еа е Nм (Е). Тогда [X, Е] = х1еЕ>а+р +

+ х2(тЕа+р — еЕ— а — ЬНр + ёЕ— а—р ) + х3еЕ— р +

+ х4еЕа = qE. Отсюда следует, что — х2еЕ—а = 0

и, значит, х2 = 0 , но в левой части отсутствует слагаемое Нр. Поскольку е Ф 0 , то q = 0 и

х1 = х3 = х 4 = 0 . И мы опять приходим к противоречию с условием о коразмерности нормализатора. Поэтому е = 0 .

Следствие. Пусть ф - произвольный автоморфизм алгебры М . Тогда

ф(Е2а+р) = а1Е2а+р + Ь1Еа + с1Е— р , ф(Е— р ) = а2Е2а+р + Ь2Еа + с2Е— р .

Доказательство. Действительно,

NM (Е2а+р ) = (Е-р, Нр,Z, Ер, Еа, Еа+р, Е2а+р NM (Е-р ) = (Е-2а-р,Е-а-р,Е-р, Нр,Z, Еа, Е2а+^ .

То есть codimN (Е2а+р) = codimN (Е- р) = 3.

Е = ^а+р + ЬЕа +

Замечание. Пусть

+ сЕ— р Ф 0 и codimN(Е) < 3 . Допустим, что

а = 0 или с = 0 . Покажем, что тогда Ь = 0 . В самом деле, допустим а = 0 и Ь Ф 0. Рассмот-

рим элемент V—1(Ь 1с)(Е) = ЬЕа. Однако codimN(ЬЕа) > 5 , что противоречит условию codimN(Е) < 3 . Значит, Ь = 0 . (Если с = 0 , то применяем автоморфизм Ю и приходим к предыдущему случаю).

Завершение доказательства теоремы. Пусть ф - произвольный автоморфизм алгебры М .

По предыдущему утверждению ф( Е2а+р) =

= а1Е2а+р + Ь1Еа + с1Е—р , ф(Е— р) = а2Е2а+р +

+ Ь2Еа + с2Е— р. Мы покажем, что, умножая р на автоморфизмы V±1(t), можно добиться, чтобы ф(Е2а+р ) = Е2а+р , ф(Е— р ) = АЕ— р,А Ф 0,

А е к .

Если а1 = 0, тогда с1 Ф 0, иначе ф(Е2а+р) = = Ь1Еа, что невозможно (см. замечание). Применим к элементу ф(Е2а+р) автоморфизм ю и переобозначим ю о ф через ф. У полученного элемента а1 Ф 0 . Поэтому без потери общности считаем, что а1 Ф 0. Далее, V—1^ )(ф( Е2а+р)) =

= а^2а+р + (tаl + Ь)Еа + (alt2 — Ь^ + с1)Е— р. Поскольку а1 Ф 0, то можно подобрать t так, чтобы а^2 — Ь^ + с1 = 0. С учетом замечания, если а^2 — Ь^ + с1 = 0, то ta1 + Ь1 = 0 . И мы получаем что V—1(0(ф(Е2а+р)) = а1Е2а+р . При этом

V—1 (t)(ф(Е— р)) = ~2Е2а+р + ~2Еа + Е— р. Отметим, что с2 Ф 0 , т.к. если с2 = 0 , то, учитывая замечание, получаем Ь2 = 0 и V—^)(ф( Е— р)) = = а2Е2а+р. Мы получили противоречие, т.к. два

линейно независимых элемента при автоморфизме отобразились в линейно зависимые элементы. Рассмотрим

^( 5)^—1^ )(ф( Е— р ))) = (~2 ^ + ~2 5 + ~2) Е2а+р + + (—5~2 + ~2 )Еа + ~2Е— р ,

поскольку с2 Ф 0 , то можно подобрать 5 такое, что ~252 + Ь25 + а2 = 0 . При таком 5 , с учетом замечания, Ь2 — 5~2 = 0 . Тогда V1(5)^—1^) х х (ф(Е— р))) = ~2Е— р. Заметим, что автоморфизмы 1//1(5) при любом 5 оставляют элемент Е2а+р неподвижным. Поэтому V1(5)^—^) х

Х (ф(Е2а+р))] = а1Е2а+р . Дaлее, применим авто-

морфизм ) при t2 = а1, полученный автоморфизм снова обозначим через р , тогда

ф(Е2а+р ) = Е2а+р , ф(Е— р ) = АЕ—р,А = а1~2 .

Поскольку Е2а+р = ф(Е2а+р ) = ф[Е2а+р, Нр ] = = [ф(Е2а+р),ф(Нр)] = [Е2а+р,ф(Нр)] , то ф(Нр) =

= а1Ер + Ь1Нр + с1Х + ё1Еа+р + п , где, п е О =

= (Е2а+р,Е— р,Еа) , причем Ь1 + с1 = 1 . Анал°-

гично, АЕ— р = ф( Е— р ) = ф[ Е— р, Н р ] = [ф( Е— р X ф(Нр)] = [АЕ—р, ф(Нр)] , т.е. Е—р = [Е—р,ф(Нр)] . Отсюда получаем, что ф( Нр) = а2 Е—а—р +

+ Ь2Нр + с22 + ё2Е—2а—р + п , где Ь7 —с2 — 1 и

2 2

п е О . Тогда ф( Нр) = ЬН р + сХ + п , где

р

Ь — с = 1 и Ь + с = 1. Тогда Ь = 1, с = 0 и ф( Нр ) = Нр + п . Пусть ф( Нр ) = Нр + п = Нр + + еЕ2а+р+ТЕа+gE—р. Рассмотрим автоморфизм 0 = ф—1(—е) ф0(—/) ф1(—g). Тогда 0(фнр))=Нр. Поскольку автоморфизмы фг-, г = — 1, 0,1, действуют тождественно на О , то

0(ф(Е2а+р)) = Е2а+р и 0(ф(Е— р)) = АЕ— р . Для

краткости записи, обозначим автоморфизм 0 о ф снова через ф.

ф( Е2а+р ) = Е2а+р , ф( Е— р) = АЕ—р,

А Ф 0, ф(Нр) = Нр. Для завершения доказательства теоремы нам осталось показать, что

ф = гёМ .

Сначала докажем, что ф - диагональное отображение. Аналогичными рассуждениями, как и с элементом Нр , нетрудно убедиться, что

ф(2) = 2 + еЕ2а+р+ТЕа+gE—р . Так как [ф(2X

ф( Нр)] = ф[2, Н р ] = 0, то [7 + еЕ 2а+р + ТЕ а +

+ gE— р, Нр ] = еЕ2а+р + ТЕа + ёЕ— р = 0 . Следовательно, е = Т = g = 0 и ф(X) = X . Из равенства [ф( Еа), 2 ] = [ф( Еа), ф( 2)] = ф[ Еа, 2 ] = 0 получаем, что ф(Еа) е^Е—а, Нр, X, Е^ . С другой стороны, из системы

[ф(Еа X Е2а+р ] = [ф(Еа ), ф(Е2а+р )] =

= ф[Еа, Е2а+р] = 0,

А[ф(Еа ), Е—р ] = [ф(Еа ), ф(Е— р )] =

= ф[Еа, Е— р ] = 0

Таблица умножения в алгебре М

Тдбир2

Акмрфзы

^2x3 Е- Eg E hp r Z E E E+p ^Op

ч$> E2g, ^gp Eg-К1g{ E H ZrE-gp -p+^-g- '^^-gp Ea-Ep kOp-+Z+ -^Op ^gp-g+ -kp

Ц-Щт -E EpZ -^gp Дд-? E- -eg- —^Op hp Z—Eap E E+Eap ^ap ^2gp

Ф® ^H—Ea, ^gp-К E-Kp E H—bp Z—Ep E Ex ^ap ^2gp

Ф@ E2g , Eg , -E ^gp-E E-p- -Eg E Hp+E, r Z E—Xp+ +2^2ap Eg Ep-Egp ^2gp

Ф) E2gp ^gp EtE-i E H-Ep Z-Ep ip+(/p- -Z+Ep Ex ^ap^fig ^2gp

о -Op -Eg E# H r - Z ~~Eap -g ~Ep E

h) iEg iEap Eg E H r Z Ex t kgp t K2op

получаем, что ф(Еа) е О , тогда ф(Еа) = БЕа . Поскольку [ф(Ер ),Z] = [ф(Ер ),ф(Z)] = ф[Ер, Z] =

= ф(Ер) , то ф(Ер) = аЕ2а+р + ЬЕр + сЕа+р . С

другой стороны, имеет место равенство [ф(Ер), Яр ] = [ф(Ер ),ф(Нр)] = ф[Ер, Нр ] = ф(-Ер) =

= -ф(Ер), из которого следует, что ф(Ер) =

= ёЕр + еЕ-а+Е 2а-р. Следовательно, фЕр)=С-Е.

Так как [1, ф(Е-2а-р )] = [фСЮ, ф(Е-2а-р )] =

= Ф[Z, E-2g-p ] = фСЕ-2g-p ) , то ф(Е- 2g- p ) = aE-g- p +

+ bE- p+ CE- 2g-p . Но поскольку [Hp,ф(E-1g-p )] =

= [ ф(Hp X^E-2g-p )] = ф[Hp,E-2g-p ] = ^E-2g-p ) ,

значит ф(E-2g-p) = dEp + eE-g + fE-2g-p . П°лу-

чaем, что ф(E-2g-p ) = DE-2g-p . ф(Eg+p ) =

= ф^д, Ep ] = KEg),ф(Ep)] = [BEg, CEp] = BCEg+p.

Кроме т0г0, ф(E- g-p ) = ф[E 1g-p, Eg] = [4<E- 2g-p ),

ф( Eg )] = [ DE - 2g-p, BEg ] = DBE

g p

ф( E-g ) =

= 4^[Eg+p,E- 2g-p ] = [^-Eg+p X^E- 2g-p )] = [BCEc

2g p

-ic+p’

DE

2g p

] = BCDE - g .

BEO = ф( EO ) = ф[ E

= [E2g+p,DBE- g-p ] = DBE g,

2g+p, E- g-p ]

g p

Z = ф(Z) = ф[Eg+p , E-g-p ] =

Таким образом, доказано, что отображение ф является диагональным, т.е. ф = diag{D, BD, BCD, A,1,1, C, B, BC,1}. Далее, имеем систему равенств

a+p’ -a-p

= [ BCEa+p, DBE- a-p ] = B2CDZ,

AE-p = ф(E- p ) = ф[ E- a,E- 2a-p ] =

= [ BCDE- a, DE- 2a-p ] = BCD2 E- p,

BEa = ф( Ea ) = ф[ E- p, Ea+p ] =

= [ AE- p, BCEa+p ] = ABCEa из которой получаем условия на коэффициенты: D = 1, B2C = 1, A = BC и B = ABC . Отсюда

получаем A3 = 1. Поскольку мы работаем в алгебраически замкнутом поле характеристики 3,

то A = 1 , B = A2 = 1 и C = 1 . Последнее означает, что ф = idM .

Пусть S - подгруппа в AutM, порожденная y±1(t), а R - подгруппа, порожденная фi (t), i = -1,0,1. Мы доказали, что группа Aut M порождается однопараметрическими подгруппами y±j(t) и фг- (t), i = -1,0,1. Кроме того, любой автоморфизм записывается в виде произведения у о ф, где фе R, ye S. Согласно

лемме 1 подгруппа S изоморфна PSL(2,к). Так как G = ^E2a+p, Ea, E-^ - абелева подалгебра, подгруппа R является абелевой подгруппой. Рассматривая ограничения автоморфизмов на подалгебру G , убеждаемся, что R -нормальная подгруппа в Aut M . Очевидно, R П S = {id}, что завершает доказательство теоремы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 0501-00580).

Список литературы

1. Кострикин А.И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т . 34. С. 744-756.

2. Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли. М.: Мир, 1993.

3. Кострикин А.И. О деформациях классических алгебр Ли характеристики три / А.И. Кострикин, М.И. Кузнецов // Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 3. С. 299-301.

4. Кузнецов М.И. Деформации классических алгебр Ли / М.И. Кузнецов, Н.Г. Чебочко // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 8. С. 69-88.

5. Benkart G. The simple graded Lie algebras of characteristic three with classical reductive component L0 / G. Benkart, A.I. Kostrikin, M.I. Kuznetsov // Com-mun. Algebra. 1996. V. 24. P. 223-234.

6. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 262 с.

и

A GROUP OF AUTOMORPHISMS OF LIE ALGEBRA M

I.S. Kirillov, M.I. Kuznetsov

The automorphisms of exceptional 10-dimensional simple Lie algebra M over an algebraically closed field of characteristic p=3 have been found. It has been proved that the group AutM is a semidirect product of the group PSL(2,k) and the connected abelian three-dimensional radical. The group generators for AutM have been found.