Графы с вентильной достижимостью. Марковские процессы и потоки в сетях - Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.1

ГРАФЫ С ВЕНТИЛЬНОИ достижимостью. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПОТОКИ В СЕТЯХ

© 2003 г. Я.М. Ерусалимский, В.А. Скороходов

Digraphs with valve condition is concerned. Under this condition some paths on a graph are inadmissible. Problems of reachability and stochastic process of wandering of a particle on a digraph with valve condition, and flow problem for this condition is investigated.

Рассматриваются ориентированные графы с условием вентильной проводимости на выделенных упорядоченных подмножествах дуг, вследствие чего не все пути являются допустимыми. Впервые задачи с ограничениями на прохождение по дугам выделенных множеств изучались в [1 - 4]. Рассмотрены задачи о достижимости и о случайном блуждании частицы на орграфе, а также потоковая задача при такой постановке.

Для решения перечисленных задач предложен подход, согласно которому строится вспомогательный граф большего размера, но на котором все пути являются допустимыми.

1. Достижимость на графах с условием вентильной достижимости

Пусть С^Х,и,/) - орграф и V -110 и£/, и...и£/*, при этом /У;- п £/,• = 0 \/0 < г < ] < к.

С каждым отрезком пути /г свяжем числовую характеристику 8ц (г) = 1 + й (е N и {0}), где (1 - максимальное число, для которого выполняется соотношение: | ^[1,/]дг пС/^ \ф 0. При этом считаем, что

(0) = 0 Уц.

Определение 1. Вентильным путем порядка к длины п будем называть отображение /л: [1,п]м —> и такое, что выполняется следующее условие:

Ут V/ = 1Д (<5р (т) < ]) => (цЦ +1) £ £/,.,

V/ = 7 + 1 ,к). (1)

Другими словами, если среди т дуг вентильного пути ц содержалась хотя бы одна дуга множества и], то следующая дуга пути обязана быть дугой множества и0 и,..и{/;41, или, что то же самое, прохождение по дуге множества Uj «открывает» для прохода множество £/;+1.

Условие (1) будем называть условием вентильной достижимости.

Пример I.

Рассмотрим граф на рис. 1, при этом к = 2, а дуги {и,,...,м5} такие, что /(и1) = (1,2), Ды2) = ( 1,3), Ди3) = (2,4), Дм4) = (3,2), Ди5) = (3,4).

Считаем, что и0 ={и1,и2,и4), £/,={и3} и

^ 2 = (м5 } * Рассмотрим путь ц = {м2,м4,и3},

к

Рис. 1

5„(1) = 1, 5„(2) = 1, <5^(3) = 2 . Путь ц = {и2,и4,и3} является вентильным, так как удовлетворяет условию (1).

Рассмотрим путь г] = {и2, и5}. Он не является вентильным, так как не удовлетворяет условию (1), поскольку <5^(1) = 1 и дуга и5еи2.

Для решения задачи о вентильной достижимости строится вспомогательный граф, количество вершин которого больше, чем у исходного, но на котором нет условия на прохождение по дугам, т.е. все пути являются допустимыми. При этом вентильный путь на исходном графе можно единственным образом восстановить по пути на вспомогательном графе.

Каждой вершине х исходного графа ставится в

соответствие к вершин на вспомогатель-

ном графе б'. Дуге исходного графа ставятся в соответствие дуги вспомогательного графа по следующему правилу:

1. у/ = 0, А: — 1 дуге и е ипх+ на соответствуют к-] дуг и^,...,и{к) таких, что f(u(■^) = (.x^\y^+^), а Дм°Ч1)) = (дг°'+1),у°'+1)) V» = и-1.'

2. Дуге м е ик п/ на С' соответствует одна дуга

такая, что Дк^) = (х^к\ у^).

Здесь и далее *+ = (ме £/| (р1 °/)(м) = л} - множество дуг, начальной вершиной которых является вершина х.

Если исходный граф является взвешенным (т.е. с каждой дугой и связана числовая характеристика р(и) - вес дуги и), то с дугами вспомогательного графа связываем вес соответствующей дуги исходного графа.

Утверждение 1. Любому пути ц' на вспомогательном графе С' соответствует вентильный путь /х на исходном. Вершина у достижима при условии вентильной достижимости из вершины х на графе С тогда и только тогда, когда на С' достижима из х° , по крайней мере, одна из вершин множества,

ІУ

(0)

л.

Справедливость этого утверждения следует из построения вспомогательного графа.

Известно, что максимальное количество дуг кратчайшего пути из вершины в вершину не превышает величины п -1, где п =| X | - количество вершин рассматриваемого графа. Таким образом, для вспомогательного графа максимальное количество дуг кратчайшего пути из вершины в вершину не превышает л(£ + 1)-1, где и=|Х|; к - порядок рассматриваемых путей, т.е. | X' | = п (к +1).

Утверждение 2. При указанном построении на вспомогательном графе кратчайших путей, содержащих больше чем п -1 дугу, не существует, где П=\Х\.

Справедливость данного утверждения следует из построения вспомогательного графа.

Пример 2.

Рассмотрим граф из примера 1.

На рис. 2 показан вспомогательный граф.

Рассмотрим путь 77 = {ы2, м5}. Поскольку нет кратных дуг, для простоты его можно записать в виде последовательности вершин: 1 —> 3 —> 4.

При рассмотрении примера 1 показано, что Г] не является вентильным путем порядка 2, так как не удовлетворяет условию (1). И действительно, на вспомогательном графе ему не соответствует ни один путь.

Путь ц = {и2,ы4,и3} (в виде последовательности вершин 1—>3—>2—>4) является вентильным путем порядка 2. На вспомогательном графе ему соответствует путь 1(0) —> 3(1) —» 2(1) —»4(2).

2. Марковские процессы на графах с условием вентильной достижимости

Рассмотрим случайный процесс блуждания частицы по вершинам орграфа с условием вентильной достижимости. Частица не имеет права делать следующий переход по дугам множества £/ у до тех пор, пока

не пройдет ХОТЯ бы ПО ОДНОЙ дуге множества и

V/ = \,к . То есть можно сказать, что частица двигается только по вентильным путям.

Из-за условия вентильной достижимости (1) рассматриваемый процесс не является марковским, так как следующий переход определяется не только вероятностями перехода по дугам, но и некоторой памятью о проделанном частицей пути. При вентильном условии вероятность перехода из некоторого состояния меняется в зависимости от величины 8Ц (т), где ц - путь, проделанный частицей, находящейся в данном состоянии.

Пример 3.

Рассмотрим граф с вентильным условием при к-1 на рис. 3.

Дуги такие, что

/(и,) = (1,2), /(и2) = ( 2,3),

/(м3) = 0.4), /(и4) = (3,1).

Вероятности перехода по дугам: Р(и{) - 0,2, р{ц2) = 1, р(м3) = 0,8, р{иА) = 1.

Считаем, что = {«1}, а и 1 = {ы2,и3,и4}.

Рассмотрим путь ц = {м1,м2.н4} (в виде последовательности вершин 1 —> 2 —> 3 —> 1) и вероятности перехода из вершины 1 в начале и конце пути. В начале пути (поскольку величина 8 ^ (0) = 0) переход по дуге

м3 невозможен, поскольку дуга и3 е £/[, следовательно, вероятность перехода по ней (в данный момент) равна нулю и соответственно вероятность перехода по оставшейся дуге игеи0 равна единице. В конце пути величина 8 ^ (3) = 2 и, значит, следующий

переход из вершины 1 возможен по любой выходящей из нее дуге, или вероятности перехода из вершины 1 после прохождения по пути ц принимают значения:

р(Ц\) = 0,2, р(и3) = 0,8.

Сведем рассматриваемый процесс блуждания частицы к марковскому процессу на вспомогательном графе. Построим его по правилам, указанным выше, и введем вероятности перехода по дугам вспомогательного графа следующим образом:

Уг = 0,к Уие111Г\х+ р{и(^) =

■ р(и)

2р(у)

уєі/'пх*

У = і,к,

где и1 =£/0и...и£/у. (2)

Процесс на вспомогательном графе С' является марковским и имеет место равенство

РвІР,х,у,Ґ)= І (3)

1=0

Вероятность перехода из вершины х в вершину у на графе Є с вентильной достижимостью за г шагов равна вероятности перехода частицы за / шагов

из вершины х во множество вершин {у'°>.....уЮ] на

графе Є'.

3. Потоки в сетях с вентильной достижимостью

Рассмотрим потоковую задачу в сети Є с вентильной достижимостью. Так как при наличии условия (1) некоторые пути на графе становятся недопустимыми, то применять стандартные алгоритмы нельзя.

Подход к решению поставленной задачи состоит в том, что строится вспомогательный граф Є' по правилам, указанным для графов с вентильной достижимостью.

Обозначим через £/(/) = } множество,

порожденное дугой иі V/ = 1, т.

На С' находим поток и переносим его на С следующим образом: суммарный поток, пропущенный

по дугам множества С/ (і), считаем пропущенным по

дуге м,- V; = \,т. Но если будем искать поток на Є' стандартными алгоритмами, то может получиться, что по одной дуге графа Є (физической) будет пропущен поток, величина которого больше пропускной способности дуги.

Рассмотрим алгоритм Форда - Фалкерсона. Модернизируем его для вспомогательного графа следующим образом: при насыщении некоторой дуги пропускную способность всех дуг, принадлежащих тому же множеству и (/'о), уменьшаем на величину насыщения.

Запишем поэтапно действия подхода:

1. Строим вспомогательный граф Є'.

2. По графу Є' строим граф С следующим образом: так как «настоящий» источник известен, то избавимся от псевдоисточников, которые возникнут на Є', но поток от них зависеть не будет. Таким образом, уменьшаем размерность задачи.

3. На графе Є' запускаем модернизированный алгоритм Форда-Фалкерсона.

4. Переносим результат на «физический» граф Є.

Пример 4.

Рассмотрим граф на рис. 4, при этом: к = 2, а дуги {щ,...,ип} такие, что: /(и,) = (1,2), /(н2) = (1,3), /(“з)= (2,4), /(и4)=(3,4), /(и5) = (3,5), /К) = (5,6), Л«7) = (4,6), /(«в) = (4,7), /(н9) = (2,3), /(и10) = (б,7), /(«„) = (6,8), /(м12) = (7,8).

Считаем, что £/0 = {м1,м2,м8}, и1 = {и3,м4,и3,и9} и и2 = {Иб,И7,М)д,Мл,И[2}

Вспомогательный граф С'(Х', [/',/') показан на рис. 5.

Рис. 5

Ростовский государственный университет

Вспомогательный граф С’(Х',и",/') показан на рис. 6 (через запятую указаны пропускная способность и величина локального потока по соответствующей дуге, найденная при помощи классического алгоритма).

Насыщение дуг происходило следующим образом.

Для удобства (поскольку нет кратных дуг) здесь используем запись пути как последовательности вершин. 1(0) 2(1) -> 3(2) -» 5(2) 6<2) -» 8(2) потоком

величины 1;

1(0) -» 2(1) -> 4^ -4 6(2) -* 7(2) -> 8(2) потоком величины 2;

1(0> —> 3(1) —> 4(2) —> 7® —> 8® потоком величины 3;

1(0) —>3(1) —>5(2) —>6(2) —»8(2) потоком величины 4.

«Собираем» полученный поток на «физическом» графе (рис. 7).

Таким образом, пример показывает, что построения вспомогательного графа без модернизации алгоритма Форда - Фалкерсона [5] недостаточно, так как стандартный алгоритм пропускает по «физической» дуге и5 поток величины 5, хотя пропускная способность этой дуги равна 4.

Работа выполнена при поддержке гранта Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных наук Е 02-1.0-231.

Литература

1. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. II Вычислительные системы и алгоритмы. Ростов н/Д, 1983. .

2. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. II Алгебра и дискретная математика, Элиста, 1975.

3. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Смешанная достижимость на частично ориентированных графах. М., 1985. 7 с. Деп. в ВИНИТИ, 18.05.85 № 5892-82.

4. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика. М., 2001.

5. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М., 1978.

_______________________________ 9 декабря 2002 г.