CC BY
24
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 514.16
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРКВАДРИКИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В.Е. Фомин
Аннотация
У гиперповерхности (п + 1)-мерного евклидова пространства в каждой точке существуют п главных направлений - собственных векторов оператора Вейнгартена в данной точке гиперповерхности. Алгоритм поиска главных направлений в этом случае сводит-
п
липейпых уравнений. Для гиперповерхностей бесконечномерного гильбертова пространства этот алгоритм пе действует. Более того, оператор Вейпгартепа в этом случае может вообще пе иметь собственных векторов. В данной работе к задаче поиска главных направлений гиперквадрики параболического типа мы подошли с другой стороны. Задав локальное представление произвольного ненулевого вектора, мы находим в явном виде точку па поверхности, в которой этот вектор задаёт главное направление.
Ключевые слова: гильбертово пространство, оператор Вейпгартепа, главное направление гиперквадрики.
В конечномерном случае в каждой точке гиперповерхности (п + 1)-мерного евклидова пространства существуют п главных направлений - собственных векторов тензора Вейнгартена в данной точке гиперповерхности. Алгоритм поиска главных направлений в этом случае известен и сводится к нахождению корней ха-
п
Для гиперповерхностей бесконечномерного гильбертова пространства этот алгоритм не действует. Более того, оператор Вейнгартена в этом случае может вообще не иметь собственных векторов. В данной работе к задаче поиска главных направлений гиперквадрики параболического типа мы подошли с другой стороны. Задав локальное представление произвольного ненулевого вектора, мы находим в явном виде точку на поверхности, в которой этот вектор задаёт главное направление гиперквадрики. Для центральных гиперквадрик гильбертова пространства, задаваемых положительно определённой квадратичной формой с некоторыми дополнительными ограничениями, подобная задача была решена в [1].
Пусть Н - полное евклидово, то есть либо конечномерное евклидово, либо гильбертово пространство над полем М со скалярным произведением (-, •). Н = Н х М также будет полным евклидовым пространством со скалярным произведением:
Пусть и С Н - открытое множество, / : х € и ^ /(х) € М - функция класса С2 (по Фреше) [2], Я С Н - гиперповерхность в Н, задаваемая явным уравнением М = / (х) или параметрически:
((х,М), (У,^))й = (х,У) + М • V (У,^) € Н■
(1)
^ : х € и ^ ^(х) = (х, /(х)) € Н■
(2)
Структура многообразия класса на Е задаётся глобальной картой с0 =
= (Е, pr, H), где pr : (x, f (x)) G Е ^ x G U С H. При этом Е - подмногообразие в H. Метрический тензор поверхности Е в карте со имеет локальное представление:
gx(X, Y) = (X, Y> + Dfx(X) • Dfx(Y), Vx G U, VX, Y G H, (3)
где Dfx G L(H, R) = H* - производная Фреше в точке x отображения f (градиент
функции f). Для любого x G U пусть G H - вектор (контравариантный градп-f
тождеству:
Dfx(Z) = (Fx,Z>, VZ G H. (4)
Тогда орт нормали поверхности в точке F (x) G Е, x G U, имеет вид:
n = (-Fx' G H, (5)
+ 1
а локальное представление относительно карты со оператора Вейнгартена Ах в точке ^ (х) С Е [4] является решением уравнения
Р^х о Ах = -Рпх (6)
и имеет вид для любой точки х С и и для любого вектора Z С Н
Ах(^ )= Р (Z)
[Р^) • (|^х|2 + 1) - ^х • (^х, Р^))] . (7)
Главные направления поверхности Е в точке ^(х) (точнее, локальные пред-
со
Ах Ах
$х (3), поэтому его собственные значения и собственные векторы вещественны.
Е
гиперквадрику (параболоид), когда функция / имеет вид:
/(х) = 2 (х,Бх), Ух С и = Н, (8)
где Б С £(Н; Н) - самосопряжённый линейный непрерывный оператор в Н. Мы будем также в дальнейшем предполагать, что оператор Б инъективен, что не ограничивает общности решаемых в дальнейшем задач. Тогда имеем:
Р/х^) = (^Бх), ^х = Бх, Р^х = Б, (9)
Ax(Z) = (||Sx||2 + 1)3/2 [S(Z) • (ysxy2 + 1) - Sx • (Sx, SZ>] , (10)
gx(X, Y) = (X, Y> + (X, Sx> • (Y, Sx>. (11)
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРКВАДРИКИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 199
Имеет место следующее
Предложение. 1.
карты со) оператора Вейнгартена Ах параболой да Ее Н = Н х М, заданного уравнением
^ = 2 (х, Бх), х С Н,
где Б : х С Н ^ Бх С Н - линейный непрерывный самосопряженный иньективный оператор, лежат в 1тБ.
2. Пусть Z = БУ С 1т Б - произвольный ненулевой вектор), тогда:
a) если Z - собственный вектор оператора Б, соответствующий собственному значению а, то Z будет собственным вектором оператора Вейнгартена Ах , соответствующим собственном у значению ах = а • (||Бх||2 + 1)-1/2, во всех точках х С Н, удовлетворяющих условию: а1) (х, Z) = 0 или а2) х || Z, и только в них;
b) если Z не является собственным вектором оператора Б и
(Б^) =0, (12)
то вектор Z не является собственным вектором оператора Вейнгартена Ах ни в какой точке х С Н. Верно и обратное: вектор Z, не являющийся собствен-
Ах х С Н
Б
c) Если Z = БУ не является собственным вектором оператора Б и
(У, Б3У) = (Б^) =0, (13)
то вектор Z будет собственным вектором оператора Вейнгартена Ах во всех точках кривой
х=х(т)=|бУ| • у - 0+0-(НУ)-Бу,4 с м\{0}, (14)
и только в них. Эта кривая является гиперболой с параметрическими уравнениями
х1
, Т С М\{0}
2 _ 1
х = Т'
{У, БУ}
0 - ||БУ|| БУ ||БУ|| БУ
' ||БУ|| (Б3У, У) ' (Б3У, У)
Собственное значение ах(4), соответствующее собственном у вектору Z оператора Вейнгартена Ах(4), равно
°х(Т) = ,»2 ,^3/2 • ТТ^ • [(Т2 + №|2 • l|БZ||2 - Т2^ БZ)2]-1/2 . (15)
(Т2 + 1)3/2
Б
лоида Е в вершине 0 С Н нет главных направлений.
Доказательство. Собственные векторы оператора Вейнгартена Ах совпадают с собственными векторами оператора
Вх(Я) = (||Бх||2 + 1)1/2 • Ах(Я) = БЯ - Бх • р^р^,
(16)
а собственные значения есть
вх = (||Бх||2 + 1)1/2 • ах. (17)
Вх
привело бы к тому, что и у Б есть нулевое собственное значение, что противоречило бы ипъективпости оператора Б. Если Я € Н - собственный вектор оператора Вх, соответствующий собственному значению -х = 0, то из (16) следует, что Я € 1тБ, то есть собственный вектор имеет вид Я = БУ. Тогда с учётом инъективности оператора Б из (16) получим:
у=^ - -р^тл, <18>
где вх ~ собственное значение оператора Вх, соответствующее собственному вектору Я = БУ. Из (18), умножая обе части уравнения скалярно на Б2х, получим:
2ху) = РЯ^ ■ (19>
Теперь возможны следующие случаи:
A) (Б2 х, У) =0, (Бх, Б2У) = 0.
Тогда из (18) следует, что У - собственный вектор оператора Б. Но тогда и Я = = БУ Б
значению -х. Кроме того, предположение А) влечёт то, что Я ± х относительно (• , • ). Верно и обратное, если Я - собственный вектор оператора Б, то во всякой точке х € Н, удовлетворяющей условию (х,Я) = 0, вектор Я является собственным
Вх
B) (Б2х, У) =0 , (Бх, Б2У) = 0 . Тогда из (19) имеем:
= (Бх,Б2У)
вх (Б2х,У)(||Бх||2 + 1) ■ ^
Подставляя (20) в (18), получим:
х = ||Бх||2 + 1 • БУ 1 Ш)
х = (Бх,Б2у) (Б 2х,У) у. [ }
Возможны два случая:
У Я = БУ
Б. Тогда х || Я, х = 0. Верно и обратное: если Я - собственный вектор оператора Б, то в любой точке х € Н, удовлетворяющей условиям х || Я, х = 0, вектор Я -
Вх
В2) Вектор У, а следовательно, и Я = БУ, не являются собственными векто-Б У БУ
х = аУ + ЬБУ
(22)
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ГИПЕРКВАДРИКИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 201
Умножая обе части уравнения (21) скалярно на Б2У, получим:
№>Б 2У > (БУ,Б"У > (БхБУ> т) ||Бх||2 + 1 ||БУ||2 + (Бх,БУ>2 ( ,БУ >■ { '
Подставляя (23) в (21). получим:
(БУ,Б2У>(Бх,БУ> ■х + (БУ,Б2У> У - (||БУ||2 + (Бх,БУ>2) ■ БУ = 0. (24) Подставляя (22) в (24). получим:
(БУ,Б2У>(а||БУ||2 + Ь(Б2У,БУ>) ■ (аУ + ЬБУ)+
(БУ, Б2У> ■ У - (||БУ||2 + (а||БУ||2 + Ь(Б2У, БУ>)2) ■ БУ = 0. (25)
При этом
(БУ, Б2У> = 0,
БУ = 0
Тем самым доказана достаточность утверждения Ь) предложения. Так как в расУ БУ У БУ
'а ■ (а ■ ||БУ||2 + Ь ■ (БУ, Б2У>) = -1,
1Ь ||БУ ||2 + ^ + (БУ,Б 2У >■ - = 0.
а2 а
Общее решение этой системы
£
\\SY
^^^ , t G R\{0}, (28)
= - (1+ £2)|БУ|| Ь г(БУ,Б 2У >
при подстановке в (22) даёт (14).
Верно н обратное: в точках кривой (14) при выполнении условия (26) вектор 2 = БУ является собственным вектором оператора Вейнгартена, что проверяется непосредственной подстановкой (14) в (18). Тем самым доказано утверждение с) предложения. Из а) и с) следует необходимость условия Ь). Выражение (15) для собственного значения = (||Бх||2 + 1)-1/2 ■ вх{г) > соответствующего собственному вектору оператора Вейнгартена в точке х(1), получается при подстановке (14) в (20). ' ' □
Summary
V.E. Fomin. Principal Directions of Hyperquadric of Parabolic Type in Hilbert. Space.
In the finite dimensional case, a hypersurface £ in (n+1) -dimensional Euclidean space has n principal directions: the eigenvectors of the Weingarten operator at a given point of £. The algorithm for finding the principal directions is well known for this case: one needs to find the
n
For the liypersurfaces of the infinite dimensional Hilbert space this algorithm fails. Moreover, it is possible that the Weingarten operator has no eigenvalues at all. In the present paper, we use another approach to the problem of finding principal directions of a hyperquadric of parabolic type. Given a local representation of an arbitrary nonzero vector, we explicitly find a point of the surface at which this vector has a principal direction.
Key words: Hilbert space. Weingarten operator, principal direction of hyperquadric.
Литература
1. Фомин В.Е. О главных направлениях гиперквадрики в гильбертовом пространстве // Учеп. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2005. Т. 147, кп. 1. С. 173 180.
2. Дьёдоиие Ж. Основы современного анализа. М.: Мир. 1964. 432 с.
3. Леиг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Мир. 1967. 204 с.
4. Тори Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. Современная математика. Вводные курсы. М.: Мир. 1982. 360 с.
Поступила в редакцию 11.08.09
Фомин Виктор Егорович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры геометрии Казанского государственного университета. E-mail: Victor.FoininOksu.ru
