Гипотетическая физическая модель обобщенной электрической машины на основе трехфазного асинхронного двигателя Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313.32

ГИПОТЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБОБЩЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ НА ОСНОВЕ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

В.Г. МАКАРОВ

Казанский государственный технологический университет

Основные положения математической теории обобщенной электрической машины сформулированы в 1920-1940 годы. Значительное внимание при этом уделялось вопросам преобразования координат, созданию математических моделей, а также их анализу. Однако вопросы анализа конструктивных свойств обобщенной электрической машины с целью создания ее гипотетической физической модели не рассматривались. Предлагается методика преобразования координат, позволяющая сохранить неизменными результирующие магнитодвижущие силы, а также эффективное количество витков фаз обмоток. На основании анализа математической модели обобщенной электрической машины получены соотношения между величинами и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины и трехфазного асинхронного двигателя. Приводятся соотношения между основными конструктивными параметрами этих машин.

Ключевые слова: обобщенная электрическая машина, трехфазный асинхронный двигатель, математическая модель, преобразование координат, система координат й, q, результирующая магнитодвижущая сила, эффективное количество витков фаз обмоток, принцип инвариантности мгновенной мощности, соотношения между величинами и параметрами обмоток, конструктивные параметры.

Введение

Основы математической теории обобщенной электрической машины сформулированы в 1920 - 1940 годы в работах Р.Парка, А.А. Горева, Г. Крона, Г.Н. Петрова, Д. Уайта, Г. Вудсона и других, где рассматриваются вопросы преобразования координат, приводятся математические модели и уравнения обобщенной электрической машины. Однако основное внимание уделяется преобразованию токов и напряжений [1 - 5]. В данной статье проводится анализ математической модели обобщенной электрической машины, с помощью которого получены соотношения не только величин токов и напряжений, но и конструктивных параметров обобщенной электрической машины и трехфазного асинхронного двигателя. Полученные соотношения позволяют составить инженерный образ гипотетической обобщенной электрической машины.

Методика исследования

Применение теории обобщенной электрической машины к электрическим машинам переменного тока позволяет перейти от систем дифференциальных уравнений в фазных осях, содержащих переменные коэффициенты, к системам дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а применительно к трехфазным машинам - также сократить количество уравнений математической модели. Основным принципом преобразования координат является принцип инвариантности мгновенной мощности. Существуют различные варианты преобразования координат [1 - 5], некоторые из них

© В.Г. Макаров Проблемы энергетики, 2010, № 1-2

выполняются формально без сохранения величины магнитного потока, приходящегося на один полюс. Сохранить величину магнитного потока одного полюса важно для последующего учета насыщения магнитопровода.

В ходе преобразования координат от трехфазной машины переходим к обобщенной электрической машине, для которой традиционно вводятся следующие допущения:

1) число пар полюсов равно единице;

2) число фаз обмоток статора и ротора равно двум;

3) каждая фаза обмоток имеет синусоидальное распределение витков вдоль воздушного зазора;

4) магнитная индукция распределена вдоль расточки статора по синусоидальному закону;

5) магнитные потери в магнитопроводах статора и ротора отсутствуют;

6) магнитопроводы статора и ротора являются гладкими, то есть не учитывается зубчатость статора и ротора.

Условимся выполнять преобразование координат с учетом перечисленных выше допущений, дополнительно соблюдая следующие принципы:

1) эффективное число витков фазы обмотки обобщенной машины равно эффективному числу витков фазы обмотки трехфазной машины;

2) результирующая магнитодвижущая сила (МДС), создаваемая двухфазной обмоткой обобщенной машины, равна результирующей МДС, создаваемой трехфазной обмоткой.

Установим соотношения между числом витков фазы обмотки трехфазной асинхронной машины м>, эффективное число витков которой равно числу витков диаметральной сосредоточенной обмотки wэ, и числом витков эквивалентной синусной обмотки ws¡n.

Число витков фазы обмотки асинхронной машины w и эффективное число витков wэ связаны между собой посредством обмоточного коэффициента коб :

ж, = кобw ; коб = ку кр кс , (1)

где ку - коэффициент укорочения; кр - коэффициент распределения; кс -

коэффициент скоса пазов.

Сосредоточенная двухфазная диаметральная обмотка с числом витков wэ электрической машины с одной парой полюсов имеет амплитуду первой гармоники МДС на один полюс

2 Г Imw. ■ . _ 2Imw.

Fím _-\-m-L sin jdj _ m э _ 0,6366Imw. , п 0 2 n

где Im - амплитудное значение тока, протекающего по обмотке. Если используется действующее значение тока I, то

Flm _ ^^ _ 0,9 W . п

Для машины с m-фазной обмоткой Fim _ 0,45mIw.3. © Проблемы энергетики, 2010, № 1-2

Если имеем дело с т-фазной обмоткой электрической машины, имеющей рп пар полюсов, то

р1т = 0,45

э

Рп

Для электрической машины с числом пар полюсов рп , обмотка которой имеет синусоидальное распределение витков, можем записать

р 1 ^т^ип 1 /и'з1п или Р т ^¡ип

р1т =--= ~г=- или р1т = ^^-.

2 рп л/2 рп 242 рп

п

Обмоточный коэффициент синусной обмотки кз}п = — = 0,7854. Число витков эквивалентной синусной обмотки

^ (2)

В большинстве случаев обмотки электрических машин выполняются таким образом, что между обмоточными коэффициентами соблюдается соотношение к об > к$т .

Рассмотрим в качестве примера двухслойную обмотку статора трехфазного асинхронного двигателя с укороченным шагом, параметры которой приводятся в табл. 1.

Таблица 1

Параметры обмотки статора

Наименование параметров, единицы измерения Обозначение, расчетная формула Значения

Исходные данные

Число пазов ¿1 24

Число пар полюсов Рп 2

Число фаз т1 3

Число витков фазы обмотки М>1 88

Шаг обмотки по пазам У1 5

Расчетные параметры

Полюсное деление, зубцовых делений т = * 2 Рп 6

Относительный шаг обмотки в=У- т 0,833

Коэффициент укорочения шага обмотки ку1 = зт (р ■ 90°) 0,965

Число пазов на полюс и фазу ql = - 2 Рп т1 2

Пазовый угол, эл. град. 360рп У =-— 30

Коэффициент распределения обмотки , 8Ш(0,5?1 у) к р1 = у Ц1 (0,5у) 0,965

Обмоточный коэффициент коб1 = к у1кр1 0,933

Эффективное число витков фазы обмотки w э = коб 82

Число витков синусной обмотки w э ^п = к 104

Расчетные параметры обмотки статора определены с использованием методики, приведенной в работе [3], а также на основании выражений (1), (2).

Анализ выражений (1), (2) и данных табл. 1 позволяет сделать следующий вывод: при условии, что код > к8;п, эффективное число витков фазы обмотки

меньше, а число витков эквивалентной синусной обмотки больше числа витков фазы обмотки трехфазной машины.

На рис. 1 показан поперечный разрез трехфазного асинхронного двигателя (АД). Отметим, что возможен вариант конструктивного исполнения АД, в котором отсутствует ступица из немагнитного материала 6 (рис. 1).

Рис. 1. Поперечный разрез трехфазного АД с двумя парами полюсов: 1 - зубцовый слой статора с расположенной в нем двухслойной обмоткой; 2 - спинка статора; 3 - зубцовый слой ротора; 4 - стержни ротора; 5 - спинка ротора; 6 - ступица из немагнитного материала; 7 - вал

На рис. 2 показана диаграмма распределения МДС фазы А статора вдоль воздушного зазора АД с двухслойной обмоткой и укороченным шагом (табл. 1). Здесь же приводится диаграмма основной гармоники МДС фазы А статора. Отметим, что FАm - это значение МДС на оси фазы А статора при токе ¡, равном максимальному.

Рис. 2. Диаграмма распределения МДС фазы А статора вдоль воздушного зазора АД с двухслойной обмоткой и укороченным шагом

Основные результаты

Выполнив преобразование координат трехфазного АД к осям й, «с соблюдением перечисленных ранее принципов, получим следующую систему уравнений:

й'ы

и1й = К1Чй + + Мт

йг

2 й

йг

К1 + L

й1

1

1«

йг

+ Мт

йг 2 «

йг

й 2 й

0 = К212 й + + Мт

йг й'11 й

- ю1 (ь1 ¡1« + Мтг2 « ) + ю1 (¿1 ¡1 й + Мтг2 й )

йг

йг

-(ю1 - ю )(¿2г2 « + Мтг1

(3)

йг

0 = г" 2 « + + М

й1

1«

йг

+ (ю1 - ю)(¿2г2й + Мтг1 й )

йю

= Рп (Мэ - Мс )

.Мэ = РпМт (г2йг1« - г2й ),

где , ¿1 - активное сопротивление и индуктивность фазы обмотки статора обобщенной машины; Л2, ¿2 - активное сопротивление и индуктивность фазы обмотки ротора обобщенной машины; Мт - взаимная индуктивность; Ю1 -частота вращения системы координат й, «; ю - частота вращения ротора, эл. рад/с; /е - суммарный момент инерции подвижных частей; Мэ -электромагнитный момент; Мс - статический момент.

В уравнениях системы (3) величины и параметры ротора приведены к статору, а в уравнениях движения и электромагнитного момента используются электромагнитный, статический, а также момент инерции реального АД.

Математической модели АД, записанной с позиций теории обобщенной электрической машины (3), соответствует пространственная модель в осях й, «, представленная на рис. 3.

На рис. 3 оси фаз обмотки статора трехфазного АД обозначены А, В1, С1, а угол между осью й обобщенной машины и осью А статора - а1.

т

Система уравнений (3) новой не является и приводится, например, в [1, 2, 4, 5]. Однако матрицы преобразования токов и напряжений в различных источниках выбираются по-разному. При этом не всегда сохраняется величина магнитного потока одного полюса, поэтому возникают различия в подходах к определению параметров обобщенной машины, входящих в систему уравнений (3). На основании анализа математической модели обобщенной электрической машины (3) получены соотношения между величинами и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины и АД, которые сведены в табл. 2.

Таблица 2

Соотношения параметров и величин обмоток обобщенной электрической машины и трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора

Наименование параметров и величин обобщенной электрической машины Обозначение Соотношение с параметрами трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора

Параметры и величины обмотки статора

Величина вектора тока статора '1 1<0 = 2= 2 ' 1т

Величина вектора напряжения статора и0 и0 = и 1Л/2 = Щт

Активное сопротивление фазы К1 = ки = кц К1 = з р

Индуктивность фазы от потока рассеяния = ¿Ма = = у ¿1ор

Индуктивность фазы ¿1 = ¿и = 2 ¿1 = 3 ¿1<гр + Мт

Параметры и величины обмотки ротора

Величина вектора тока ротора 10 ' 2 1<0 = 2 = -12т

Активное сопротивление фазы К2 = = й2 = 3 Д2 р

Индуктивность фазы от потока рассеяния = = = 3 ¿2ор

Индуктивность фазы ¿2 = = ¿2? 2 ¿2 = у ¿2ор + Мт

Отметим, что соотношения, приведенные в табл. 2, записаны применительно к трехфазному АД с приведенной к статору обмоткой ротора. Параметры этого АД условимся обозначать индексом р , а величины обобщенной машины - индексом о.

С целью создания физической модели гипотетической обобщенной электрической машины установим количественные соотношения между ее конструктивными параметрами и параметрами АД с приведенной к статору обмоткой ротора. При этом полагаем, что для обобщенной электрической машины учитываются все введенные ранее допущения, а также сохраняются следующие параметры и величины реальной машины:

1) магнитный поток, создаваемый первой пространственной гармоникой магнитной индукции одного полюса;

2) активная длина статора и ротора;

3) полюсное деление.

Переход от реального трехфазного асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором и числом пар полюсов рп к обобщенной машине может быть осуществлен по одному из двух вариантов, каждый из которых содержит в себе два этапа.

Первый вариант предполагает выполнение следующих этапов:

1) переход от реального трехфазного АД с короткозамкнутым ротором и числом пар полюсов рп к трехфазному АД с короткозамкнутым ротором и одной парой полюсов;

2) переход от трехфазного АД с короткозамкнутым ротором и одной парой полюсов к обобщенной электрической машине.

В процессе преобразования по второму варианту необходимо выполнить следующие этапы:

1) переход от реального трехфазного АД с короткозамкнутым ротором и числом пар полюсов рп к трехфазному АД с приведенной к статору обмоткой ротора;

2) переход от трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора к обобщенной электрической машине.

Рассмотрим основные соотношения между параметрами реального трехфазного АД с числом пар полюсов рп и трехфазного АД с одной парой полюсов.

В реальном АД угловая частота питающего напряжения Ю1 в рп раз больше геометрической частоты вращения магнитного поля Ю1г. В АД с одной парой полюсов угловая частота питающего напряжения сохраняется, а геометрическая частота вращения магнитного поля Ю1г равна угловой частоте питающего напряжения Ю1, т.е. увеличивается в рп раз. Поскольку геометрическая частота вращения магнитного поля Ю1г АД с одной парой полюсов в рп раз больше геометрической частоты вращения реального двигателя, то и частота вращения ротора АД с одной парой полюсов будет в рп раз больше частоты вращения ротора ю реальной машины. В связи с этим электромагнитный момент АД с одной парой полюсов должен быть в рп раз меньше электромагнитного момента Мэ реальной машины по условию сохранения мощности. Полюсное деление т сохраняется, а число полюсов уменьшается в рп раз. Следовательно, диаметр АД с одной парой полюсов по

средней линии воздушного зазора -0ср уменьшается в рп раз. МДС всех витков

реальной обмотки делится на 2 рп зазоров, а у АД с одной парой полюсов - на 2. Отсюда следует, что МДС, приходящаяся на один воздушный зазор реального АД, в рп раз меньше, чем у АД с одной парой полюсов. Чтобы магнитный поток одного полюса сохранился, необходимо магнитное сопротивление воздушного зазора на одном полюсном делении АД с одной парой полюсов увеличить в рп раз. Поэтому воздушный зазор 5 АД с одной парой полюсов должен быть в рп раз больше воздушного зазора реальной машины. При этом амплитуда первой гармоники магнитной индукции в воздушном зазоре В§1т АД с одной парой

полюсов должна быть такой же, как у реальной машины.

Значения плотностей тока обмотки статора и ротора обоих двигателей должны быть одинаковыми. Сохраняя неизменными объемы меди обмотки статора и алюминия обмотки ротора, а также плотности тока этих обмоток, получим, что высоты зубцовых слоев статора кг1 и ротора Нг2 возрастают в рп раз. При этом неизменное значение магнитного потока одного полюса можно обеспечить, сохранив высоты спинки статора кс\ и спинки ротора Ис2. Электрические потери в обмотках статора и ротора обоих двигателей должны быть равны.

Результаты проведенного анализа сведены в табл. 3.

Таблица 3

Соотношения величин и конструктивных параметров АД с числом пар полюсов рп и АД с

одной парой полюсов

Наименование параметра Реальный АД с числом пар полюсов рп АД с одной парой полюсов

Магнитный поток одного полюса Ф1 Ф1

Полюсное деление т т

Активная длина статора и ротора 1 1

Угловая частота питающего напряжения Ш1 Ш1

Геометрическая частота вращения магнитного поля Ш1г Рп®1г

Число пазов статора 21 ЗДп

Число витков фазы обмотки М>1

Шаг обмотки по пазам У1 У1

Обмоточный коэффициент Аоб1 Аоб1

Магнитодвижущая сила на один полюс ^1т рп ^1т

Средняя длина витка обмотки статора 1в1 1в1

Высота зубцового слоя статора % Рп %

Высота спинки статора йс1 йс1

Площадь меди обмотки статора $м1 рп $ м1

Объем меди обмотки статора Ум1 Ум1

Плотность тока в обмотке статора Л Л

Электрические потери в обмотке статора АРз1 ДРэ!

Диаметр машины по средней линии воздушного зазора Аср Аср /Рп

Амплитуда первой гармоники магнитной индукции в воздушном зазоре В§1т В§1т

Магнитное сопротивление воздушного зазора Рп Яб

Воздушный зазор § Рп§

Число пазов ротора 2 2 2 2р

Площадь алюминия (площадь стержней) обмотки ротора ^а 2 Рп 2

Объем алюминия обмотки ротора Уа 2 Уа 2

Плотность тока в обмотке ротора 32 к

Электрические потери в обмотке ротора АР 2 АРэ 2

Высота зубцового слоя ротора К 2 Рп К2

Высота спинки ротора Кс 2 Кс 2

Частота вращения, геом. рад/с ю Рпю

Мощность на валу Р2 Р2

Электромагнитный момент М, Мэ / Рп

На рис. 4 показан поперечный разрез, а на рис. 5 - диаграмма распределения МДС фазы А статора и основной гармоники МДС фазы А статора АД с одной парой полюсов. Отметим, что соотношение параметров на рис. 1, 4 и рис. 2, 5 соответствует данным табл. 3.

Далее выполняется этап перехода от трехфазного АД с одной парой полюсов к обобщенной электрической машине.

Отметим, что традиционным является переход от реального трехфазного АД с короткозамкнутым ротором и числом пар полюсов рп к обобщенной машине, выполняемый по второму варианту.

Рис. 4. Поперечный разрез трехфазного АД с одной парой полюсов: 1 - зубцовый слой статора с расположенной в нем двухслойной обмоткой; 2 - спинка статора; 3 - зубцовый слой ротора; 4 - стержни ротора; 5 - спинка ротора; 6 - вал

Рис. 5. Диаграмма распределения МДС фазы А статора вдоль воздушного зазора АД с одной

парой полюсов

Одним из этапов этого перехода является приведение величин и параметров короткозамкнутого ротора к трехфазной обмотке статора. Методики такого приведения изложены в [3, 6]. Таким образом, выполнив первый этап преобразования, получаем величины и параметры трехфазного АД с числом пар полюсов рп и приведенной к статору обмоткой ротора.

Рассмотрим соотношения между параметрами трехфазного АД с числом пар полюсов рп и приведенной к статору обмоткой ротора и обобщенной электрической машиной.

В трехфазном АД с приведенной к статору обмоткой ротора угловая частота питающего напряжения в рп раз больше геометрической частоты вращения магнитного поля . В обобщенной машине угловая частота питающего напряжения сохраняется, а геометрическая частота вращения магнитного поля Ш1г равна угловой частоте питающего напряжения , т.е. увеличивается в рп раз. Поскольку геометрическая частота вращения магнитного поля обобщенной машины в рп раз больше геометрической частоты вращения реальной машины, то и частота вращения ротора обобщенной машины будет в рп раз больше частоты вращения ротора ш трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора. В связи с этим электромагнитный момент обобщенной машины должен быть в рп раз меньше электромагнитного момента Мэ трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора по условию сохранения мощности. Полюсное деление т сохраняется, а число полюсов уменьшается в рп раз. Следовательно, диаметр обобщенной машины по средней линии воздушного зазора -Оср уменьшается в рп раз. МДС всех витков реальной обмотки делится

на 2рп зазоров, а у обобщенной машины - на 2. Отсюда следует, что МДС, приходящаяся на один воздушный зазор трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора, в рп раз меньше, чем у обобщенной машины. Чтобы магнитный поток одного полюса сохранился, необходимо магнитное

сопротивление воздушного зазора на одном полюсном делении Л§ обобщенной машины увеличить в рп раз.

Таким образом, воздушный зазор 5 обобщенной машины должен быть в рп раз больше воздушного зазора трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора. При этом амплитуда первой гармоники магнитной индукции в воздушном зазоре В§1т обобщенной машины должна быть такой же, как у трехфазного АД с

приведенной к статору обмоткой ротора.

Эффективные значения плотностей тока обмотки статора трехфазного АД и обобщенной машины должны быть одинаковыми:

; _ ¡т . ; _

71 "ТТ 71 "V

•2 -2

Ш + ¡Ц

2

где ]т - амплитудное значение плотности тока статора трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора; , ¡ц - плотности тока в продольной

и поперечной фазах обмотки статора обобщенной машины.

Сохраняя неизменными объемы меди обмотки статора и алюминия обмотки ротора, а также плотности тока этих обмоток, получим, что высоты зубцовых слоев статора кг1 и ротора Нг2 возрастают в рп раз. При этом неизменное значение магнитного потока одного полюса можно обеспечить, сохранив высоты спинки статора кс1 и спинки ротора кс2. Электрические потери в обмотках статора и ротора этих машин должны быть равны.

Соотношения между величинами и конструктивными параметрами трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора и гипотетической обобщенной электрической машины, полученные в ходе проведенного анализа, сведены в табл. 4.

Таблица 4

Соотношения величин и конструктивных параметров АД с приведенной к статору обмоткой ротора и обобщенной электрической машины

Наименование параметра АД с приведенной к статору обмоткой ротора Обобщенная машина

Активная мощность, потребляемая статором Р1 Р1

Эффективное число витков фазы обмотки ™ э ™ э

Средняя длина витка обмотки статора 1В1 1В1

Магнитодвижущая сила на один полюс ^1т рп ^1т

Магнитный поток одного полюса Ф1 Ф1

Полюсное деление т т

Активная длина статора и ротора 1 1

Угловая частота питающего напряжения Ш1 Ш1

Геометрическая частота вращения магнитного поля Ш1г Рп®1г

Диаметр машины по средней линии воздушного зазора Аср °ср !Рп

Магнитное сопротивление воздушного зазора Рп Rb

Воздушный зазор Ô Рп§

Амплитуда первой гармоники магнитной индукции в воздушном зазоре Bhm Bhm

Электрические потери в обмотке статора АРз1 ДРэ!

Плотность тока в обмотке статора (среднее квадратическое значение) j1 j1

Площадь поперечного сечения проводников обмотки статора ^пр1 3 Аоб1 о 2 ^пр1 А sin

Диаметр проводника обмотки статора I3 Аоб1d Р ksin dпр1

Высота зубцового слоя статора (высота синусной обмотки статора) hz1 Рп hz1

Высота спинки статора hc1 hc1

Электрические потери в обмотке ротора Щ 2 Щ 2

Плотность тока в обмотке ротора (среднее квадратическое значение) j2 j2

Площадь поперечного сечения проводников обмотки ротора ^пр2 3 ^б 2 о 2 k • ^пр2 А sin

Диаметр проводника обмотки ротора ^р2 I3 kоб2d р ksin dпр2

Высота зубцового слоя ротора (высота синусной обмотки ротора) hz 2 Рп hz 2

Высота спинки ротора hc 2 hc 2

Частота вращения, геом. рад/с ш Рпш

Мощность на валу P2 P2

Электромагнитный момент Мз Мз /Рп

Поперечный разрез гипотетической обобщенной электрической машины показан на рис. 6.

Радиусы фаз обмотки статора обобщенной машины изменяются в соответствии с выражениями:

рпh7i, , Pnh?i I I

r1d = R1e + —y^lsin Рп; riq = К1н--Рп'

где - внутренний радиус синусной обмотки статора; - наружный радиус синусной обмотки статора; pnhz\ - высота синусной обмотки статора.

Рис. 6. Поперечный разрез гипотетической обобщенной электрической машины: 1 - фаза й синусной обмотки статора; 2 - фаза q синусной обмотки статора; 3 - спинка статора; 4 - фаза й синусной обмотки ротора; 5 - фаза q синусной обмотки ротора; 6 - спинка ротора; 7 - вал

Диаграмма изменения радиусов фаз синусной обмотки статора обобщенной электрической машины вдоль воздушного зазора показана на рис. 7.

Рис. 7. Диаграмма изменения радиусов фаз обмотки статора обобщенной электрической

машины вдоль воздушного зазора

Аналогичные выражения и диаграммы могут быть получены для радиусов фаз обмотки ротора обобщенной машины.

Обсуждение результатов

Сравнительный анализ рис. 1, 2 и рис. 4, 5, а также данных табл. 3 показывает, что у АД с одной парой полюсов по сравнению с АД, имеющим число пар полюсов рп, в рп раз большими являются следующие конструктивные параметры и величины:

1) амплитуда МДС, приходящейся на один полюс;

2) высота зубцового слоя статора и ротора;

3) площадь обмоток статора и ротора;

4) воздушный зазор;

5) частота вращения.

Наряду с этим в рп раз уменьшаются: 1) число пазов статора и ротора;

2) диаметр машины по средней линии воздушного зазора;

3) электромагнитный момент.

Сравнительный анализ рис. 1 и рис. 6, а также данных табл. 4 показывает, что у обобщенной машины по сравнению с АД, имеющим число пар полюсов рп, в pп раз большими являются следующие конструктивные параметры и величины:

1) амплитуда МДС, приходящейся на один полюс;

2) высота синусных обмоток статора и ротора;

3) воздушный зазор.

В pп раз уменьшаются:

1) диаметр машины по средней линии воздушного зазора;

2) электромагнитный момент.

Таким образом, выполнив преобразование координат так, чтобы сохранить неизменными результирующие МДС и эффективное количество витков фаз обмоток, получим математическую модель обобщенной электрической машины, позволяющую сохранить физику магнитных процессов реального двигателя. На основании проведенного анализа получены соотношения основных величин и конструктивных параметров обобщенной электрической машины и АД с приведенной к статору обмоткой ротора. Указанные соотношения позволяют создать инженерный образ гипотетической обобщенной электрической машины.

Выводы

1. При условии равенства результирующих магнитодвижущих сил проведен анализ обмоточных данных реального трехфазного АД и обобщенной машины. Установлено, что в большинстве случаев число витков фазы диаметральной сосредоточенной обмотки меньше, а число витков эквивалентной синусной обмотки больше числа витков фазы обмотки реальной машины.

2. Предлагается выполнять преобразование координат при условии равенства эффективного числа витков фазы обмотки обобщенной машины эффективному числу витков фазы обмотки реальной машины и результирующих МДС, создаваемых обмотками этих машин. Подобный подход позволяет сохранить величину магнитного потока, приходящегося на один полюс. Данное обстоятельство в последующем позволит учесть насыщение магнитопровода.

3. На основании анализа математической модели обобщенной электрической машины получены соотношения между величинами фазных токов и напряжений, а также активными сопротивлениями и индуктивностями обмоток фаз статора и ротора обобщенной электрической машины и трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора.

4. При условиях равенства эффективного числа витков фаз обмоток и результирующих МДС установлены количественные соотношения между конструктивными параметрами обобщенной электрической машины и параметрами трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора. Указанные соотношения позволяют создать физическую модель гипотетической обобщенной электрической машины.

Summary

Substantive provisions of the mathematical theory of the common electric machine are formulated in 1920 - 1940. The considerable attention was thus given to questions of

transformation of coordinates, creation of mathematical models, and also their analysis. However questions of the analysis of constructive properties of the common electric machine for the purpose of creation of its hypothetical physical model were not considered. The coordinate formation technique, allowing to keep the total magnetomotive forces invariable and the effective number of coils of phases of windings is proposed. On the basis of the analysis of mathematical model of the common electric machine parities between sizes and parametres of phases of windings stator and rotor of the common electric machine and the asynchronous three-phase motor are received. Parities between the basic constructive parametres of these electric machine are resulted.

Key words: common electric machine, asynchronous three-phase motor, mathematical model, coordinate transformation, system of coordinates d-q, resultant magnetomotive forces, the effective number of windings of phase coils, principle of invariance of the instant power, parities between sizes and parametres of windings, the constructive parametres.

Литература

1. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М., Л.: Энергия, 1964. 528 с.

2. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 2001. 327 с.

3. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. 928 с.

4. Ключев В.И. Теория электропривода. М.: Энеогоатомиздат, 2001. 704 с.

5. Фираго Б.И., Павлячик Л.Б. Теория электропривода. Минск: Техноперспектива, 2004. 527 с.

6. Проектирование электрических машин/Под ред. И.П. Копылова. М.: Высшая школа, 2002. 757 с.

Поступила в редакцию 04 сентября 2009 г

Макаров Валерий Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Электропривод и электротехника» (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел.: 8 (843) 231-41-27. E-mail: [email protected].