Гиперзвуковое вязкое течение газа около крыла малого удлинения Текст научной статьи по специальности «Математика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м IV 197 3

М 5

УДК 532.526.011.55

ГИПЕРЗВУКОВОЕ ВЯЗКОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

А. И. Рубан, В. В. Сычев

Исследовано предельное состояние гиперзвукового потока около пластины малого удлинения при больших значениях числа Рейнольдса. Найден класс автомодельных решений. Показано, что возмущения, задаваемые в плоскости симметрии крыла, распространяются по пограничному слою вплоть до передней кромки. Характер этого распространения исследован численно.

Задача об асимптотическом состоянии вязкого течения около твердого тела при больших числах Рейнольдса приводит к исследованию зон пограничного слоя и внешнего невязкого потока. Пограничный слой описывается системой уравнений параболического типа, а внешний поток при сверхзвуковых скоростях — системой уравнений гиперболического типа. Решения краевых задач для таких систем, как известно, обладают тем свойством, что распределение искомых функций в некоторой области пространства единственным образом определяется краевыми условиями на границе, лежащей „вверх по потоку1* от этой области пространства. Такая ситуация имеет место, например, при обтекании тонкого тела потоком с умеренной сверхзвуковой скоростью или в случае гиперзвукового обтекания, если только взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком является слабым.

Однако если краевые условия заранее неизвестны и подлежат определению при совместном решении задач для обеих зон (пограничного слоя и внешнего потока), то ситуация будет иной. Это относится, в частности, к течению со „свободным взаимодействием“ в области, расположенной перед точкой отрыва потока [1], или перед донным срезом тела [2], а также к гиперзвуковому течению газа около треугольного крыла при сильном взаимодействии невязкого потока с пограничным слоем [4]. В таких задачах внешнее течение, а значит и давление в пограничном слое, определяется распределением толщины вытеснения пограничного слоя, которая

выражается интегральным образом через искомые функции этого слоя. Следствием интегро-дифференциального характера задачи (как показано, например, в работе [4]) является то, что возмущения, задаваемые в плоскости симметрии треугольного крыла, распространяются по потоку вплоть до его передних кромок.

Если при обтекании крыла (пластины) конечного размаха гипер-звуковым потоком внешнее невязкое течение является слабовозмущенным, то задача сводится к двумерной в каждой плоскости, ортогональной пластине и параллельной скорости набегающего потока. При этом граничные условия для невязкого потока и пограничного слоя являются заданными. В самом деле, изменение давления, индуцируемого пограничным слоем в поперечном к потоку направлении, вызывает в пограничном слое пренебрежимо малое вторичное течение, так что механизм распространения возмущений к передней кромке отсутствует. Однако уменьшение поперечного размера пластины и плотности газа в пограничном слое приводит к увеличению скорости вторичного течения; в результате может возникнуть такая ситуация, что это течение станет влиять на продольное- Тогда мы получим задачу с интегральным условием взаимодействия на всей поверхности рассматриваемой пластины.

Исходные соотношения и оценки. Рассмотрим трехмерный вязкий гиперзвуковой поток около пластины, расположенной под нулевым углом атаки (фиг. 1). Ось х прямоугольной системы координат направим вдоль скорости невозмущенного потока в плоскости пластины, а ось ^ — перпендикулярно ее поверхности.

Характерный продольныйраз-мер пластины обозначим через I, а поперечный будем считать величиной порядка X/.

Введем также обозначения: 8/ — характерная толщина пограничного слоя; и, V, тю — составляющие вектора скорости по осям х, у, г\

^ — давление; р — плотность; фиг- 1

М — число М; индексом „оо“

-будем обозначать газодинамические величины в однородном набегающем потоке.

В гиперзвуковом потоке внешняя граница пограничного слоя является, как известно, величиной вполне определенной. Запишем ее уравнение в виде

у = 1ЪУй(Х, Z), (1)

где безразмерные независимые переменные пограничного слоя определяются соотношениями:

х — 1Х\ г = Гкг-, у— 1ЬУ. (2)

Естественно для гиперзвукового потока принять,

ХЭ>^'; М„Э>1. (3)

1 ‘оо

Из этих условий следует, что внешний невязкий поток является двумерным. Будем считать, кроме того, что внешний поток слаба возмущен, Т. е.

Условие (4) означает, что для внешнего потока верна линейная теория, из которой следует выражение для давления на внешней границе пограничного слоя при Моо^>1:

. Рассмотрим теперь уравнения пограничного слоя. Из первого-уравнения импульсов следует, что

получим р — Роо/м4. Так как в пограничном слое у.— р0» то из соот-

м р VI

ношения (6) следует 8 = > где Re0 = 00—, р0—коэффициент

вязкости при температуре торможения.

Из третьего уравнения импульсов и выражения (5) заключаем,.

dw dp ,,

что ри^-----следовательно, w— Vm—^—.

Рассмотрим случай, когда трехмерность течения существенна,, т. е. величина >. настолько мала, что в первом уравнении импульсов и Из этого соотношения следует, что Х = ]/Моо8-

Давление в пограничном слое представим в виде: р =* р<х> + Р<х> (Моо 8) Р-Заметим, что согласно второму уравнению импульсов Р не изменяется поперек пограничного слоя.

Уравнения и граничные условия. Таким образом,если в потоке выполнены соотношения (3) и (4), то, вводя безразмерные зависи. мые переменные

и опуская черту над безразмерными величинами /г, р., получим! систему уравнений:

Мо=8<С1.

(4)

Р=/>» + /ММоо8)[т^(*, Z)]

(5>

и = VcoU; v^VntV; w = V» У'Мсо8 W;

h = Vo, A; p = -^f-/?; p =

00

d(RU) , d(RU) , d(RW) n,

dX "f* dY _t‘ dZ u

и соответствующую ей систему граничных условий:

= 0, ^=0 (или//-//.) при К = 0; и= 1; Ш=0, Н = ~ при Г=У0(Х, г).

[ Полученную задачу (7), (8) можно записать в обозначениях размерных величин и показать, используя теорию размерностей, что обтекание крыла, форма в плане которого имеет вид г —ах3/4, является автомодельным. В этом случае, совершая в системе (7), (8), записанной в размерных величинах, замену переменных посредством соотношений

5=1 —

„3/4

. 6 _ 0-3/5 _У_. -1 [ ТР°°

’ Ух V ^0

I/ ■1 /^ Коо 5-3/5 т//

; *’='/"Утйгт=г'/<5'£);

чю= Уота

5-1/5 у' X

5);

(9)

получим для случая Рг = 1 и теплоизолированной стенки систему уравнений

Я

|-в1,8(1—«)£/- Г

<?$

,6/5

) ’

I 5^ иж\ = А (р [3 (1 - 5) (8*3/5)" _ (853/5У];

, <)(/?£/) 3 ,д(яи)

А^(1 _я)

—Г6-

а?

. д(ЯУ) З6/*д(/?и) + “51------------Т 1~дГ~

0;

(10)

и систему граничных условии

и= У = 1^ = 0 при Е = 0; £/=1; № = 0 при 1 = 8(5).

(И)

При замене переменных (9) коэффициенты — функции ОТ 5 подбираются такими, чтобы соответствующие безразмерные величины были порядка единицы при стремлении к кромке.

В данном случае имеются два критерия подобия: Со = _ 2 Г Роо Усс _1_ . = ,

\ м2 ' ‘ Ср1С1>-

^0 М*,

Задача о собственных значениях. Будем для простоты полагать вязкость линейной функцией энтальпии:

** = 2А = (1 - Ц>). (12)

Найдем для системы ПО), (11) асимптотическое разложение решения при 5-»0. Искомое разложение представим в виде

и = и0(г1) + ^и1(г1) + V- V, (ч)+ «’/«!/, (4)4-ИЗД4«1/5ИМт)) + -Я=ЯоЫ + з115Ъ('П)+ • р = 2Л0 (•>]) 4 $1/5 2АХ (т)) 4- • ^ (^) 4 з1/5 (тг)) 4- •

8 = 80 4 51/5 814 •

• 4«я/5 £/„(■»]) 4 5“ £/«(■»]) 4 •

■ 4 5Я'5 У„ (•»)) 4 5е V, (•»]) 4- . + 5л/5^л(^) + «1^«Й)4 4 £„(*]) 4 $“/?«.(?)) 4 •

4 в"15 2Нп (т)) 4 2Ла (т]) 4-4«л/5£„(>]) + в“£а(7])4 ••• + 5П/58л 4^8.4

где независимая переменная -») вводится посредством соотношения

?) = -4- (*/?(«, 1)(1\ (Л — произвольная постоянная), о

Здесь предполагается, что <С « <С —у-- . где п — целое неот-

рицательное число.

Из соотношения (12) следует, что 2/г0= 1 — и%,...; 2Н,= — — 2С/0 иа-, ... Из определения независимой переменной ч полу-

чаем I = А | , поэтому

О ’

е0(ч)=^ |

Таким образом, подставив разложения функций в систему (10), (И), получим:

£о = _ 1) £/';

9 во

ю

го

№ + 2^о + Ж ^ (Т ~ 1) (1 - - лчт - 1)

£о (0) = ё'0 (0) = ^ (оо) = (0) = 0; и0 (со) = 1,

где 80 = А(т_1)|(1_£/2)^;

О

— а£о + (а + 4) £а и0 '■

(13)

----£____£/'•

-4* (7— !)

(4-а)^:+4 ^+ («+4) ^=ж (т --1) -I- ^ ^+

+ -Г £ <Т - 1) (« 4 4) (« - 4) (1 -£/’) + g™;

ил (0) = иа (оо) = ga (0) = & (0) = g’a (оо) = О,

ОО

где 8в == — А (7 — 1) | и0 ил й-ц.

О

В выражениях (13) и (14) Ш0 (г\) = (■»]) и №а(т\) = g'a(r^)^ Заметим,

что соотношения (13) однозначно определяют предельный профиль скоростей пограничного слоя при стремлении к кромке крыла.

Соотношения (14) являются однородными, т. е. функции иа и ga могут быть умножены на произвольную постоянную. А это значит, что разложение решения в окрестности передней кромки не является единственным.

Введем, далее, замену переменных:

Собственное значение а определяется из интегрального условия

Таким образом, функции иа и зависят от произвольной

постоянной 8„/80, которая может быть определена только из дополнительного граничного условия, накладываемого на гидродинамические функции при 5 = 50>0. Это означает, что возмущения в рассматриваемом течении распространяются по потоку вплоть до передней кромки. Все эти рассуждения, конечно, будут верными лишь в случае существования положительного числа а, которое удовлетворяет системе (16) и интегральному условию (17).

Численное интегрирование задачи(15) проводилось методом прогонки с предварительной линеаризацией уравнений. Результаты расчета представлены на фиг. 2 (сплошная линия).

Собственное значение а, как видно из соотношений (15)—(17), не зависит ни от критерия подобия С, ни от отношения теплоемкостей газа у. Из численных расчетов было получено <* ^1,19.

Приближенный расчет обтекания крыла в автомодельном случае. Для приближенного определения параметров потока в автомодельном случае был использован метод интегральных соотношений.

® ' " Г 1 (X г г

£о = А- (7—1) &0' == Л2(Т — 1) “87" ~

и определим постоянную А посредством соотношения

(15)

(£о)2 + 2g0 £о + (1 — и1) = £о ■> )

Ы0)==1о(0)==£о(°о)= £Л(0) = 0; и0( оо)— 1; ^0 и а. -Ь 4 £о У* ~Ь (® Н 5") ёа-Уо— ~2~ У*'

----а 'о +

(16)

и* (0) = иа (оо) = ga (0) = (0) = ё'а (оо) = 0.

(17)

о

Здесь в качестве дополнительного краевого условия выбиралось условие симметрии потока относительно оси крыла, т. е. И7%=1 = 0.

Умножим третье уравнение системы (10) на 1 —II и из результата вычтем первое уравнение; второе уравнение сложим с третьим, умноженным на №. Полученные соотношения проинтегрируем по переменной 5 от стенки до внешней границы пограничного слоя.

Фиг. 2 Фиг. 3

Введя аппроксимации профилей продольной и поперечной составляющих скорости -§~ = ^ = з(«)[/'(1 —£/), где -ц — / /?*й,

и проведя обычную процедуру метода интегральных соотношений в предположении линейной зависимости вязкости от энтальпии, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Расчеты проводились для у = 7/5. Результаты их для случая С=1 представлены на фиг. 3. Здесь введены обозначения:

На фиг. 4 и 5 сравнены данные такого расчета для С=1 и 1/3 {сплошная линия) с результатами расчета, который был проведен по интегральному методу без учета продольно-поперечного взаимодействия (пунктирная линия). Следует отметить существенную зависимость параметров потока на всей поверхности крыла от выбираемого значения 8„/80.

На фиг. 2 пунктирной линией показаны результаты расчета интегральным методом предельного профиля скоростей при стремлении к кромке крыла. Сравнение их с результатами решения задачи (15) указывает на достаточно высокую точность интегрального метода.

В заключение отметим, что условия применимости соотношений (3) и (4) можно представить в более наглядном виде:

МооЭ>1;

Лг

тоо

ущг

<1;

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа. „Изв. АН СССР — МЖГ“, 1969, № 4.

2. Матвеева Н. С., Н е й л а н д В. Я. Ламинарный пограничный слой вблизи угловой точки тела. „Изв. АН СССР — МЖГ“, 1967, № 4.

3. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по потоку при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР — МЖГ“, 1970, № 4.

4. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях. „Изв. АН СССР - МЖГ\ 1970, № 6.

Рукопись поступила 29/1 1973 г.