Гидроупругость трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации при различных ее закреплениях Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 532.516: 517.958: 531.383

Д.В. Кондратов, Ю.Н. Кондратова, Л.И. Могилевич, И.В. Плаксина ГИДРОУПРУГОСТЬ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЕЕ ЗАКРЕПЛЕНИЯХ

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00177а и гранта Президента РФ МД - 1025.2012.8

Рассмотрены цилиндрическая труба кольцевого сечения с упругими внутренней и внешней оболочками при воздействии вибрации для случаев свободного опи-рания и жесткого защемления оболочек по торцам. Исследовано влияние типа закрепления и свойств жидкости на резонансные частоты и амплитудные частотные характеристики оболочек.

Гидроупругость, вязкая жидкость, труба кольцевого сечения

D.V. Kondratov, Yu.N. Kondratova, L.I. Mogilevich, I.V.Plaksina HYDROELASTICITY OF THE CYLINDER SECTION TUBE AFFECTED BY VIBRATION AT VARIOUS FIXING SYSTEMS

The article describes cylinder ring section tubes with elastic internal and external shells affected by vibration in cases of free and rigid fixing of shells at the ends. The research concerns the affect of the fastening type and liquid properties on resonance frequencies and amplitude frequency characteristics of the shells.

Нуёше1а8Иску, viscous liquid, ring section tube

В современном железнодорожном, автомобильном и авиационном транспорте, а также ракетно-космических системах используются машины, агрегаты и приборы, которые, как правило, представляют собой сложные механические системы [1-4]. Они являются совокупностью абсолютно жестких, упругих и жидких тел со сложными динамическими взаимосвязями. Условия эксплуатации современных машин и приборов таковы, что они подвергаются значительным вибрационным нагрузкам, которые обусловлены внутренними и внешними источниками вибрации. Следует отметить, что в процессе эксплуатации современных машин многие детали, взаимодействующие с жидкостью, подвергаются кавитационному износу. Следовательно, практический интерес представляет исследование резонансных частот, так как именно на этих частотах возможно появление кавитации [3, 4].

Рассмотрим трубопроводную систему кольцевого профиля с упругими внутренней и внешней оболочками конечной длины, взаимодействующими с вязкой несжимаемой жидкостью (рисунок).

Физическая модель механической системы

Трубопроводная система состоит из двух упругих соосных цилиндрических оболочек. Обозначим внутренний Rl и срединной поверхности R(1) радиусы внешней оболочки; внешний радиус R2 и радиус срединной поверхности R(2) внутренней оболочки. Ширина 8 = Я1 — Я2 цилиндрической щели кольцевого сечения значительно меньше радиуса внутренней оболочки. Толщины внешней

Й0‘> = 2(я(1)- Я1) и внутренней й02) = 2(я2 - Я(2)) оболочек значительно меньше радиусов их срединных поверхностей Я(1) и Я(2). Длины оболочек / - одинаковы, а упругие перемещения значительно меньше ширины 5 цилиндрической щели. Жидкость свободно вытекает из цилиндрической щели. Перемещения внутренней оболочки относительно внешней как твердого тела отсутствуют.

Рассмотрим движение жидкости, находящейся между упругими цилиндрическими оболочками. Уравнения Навье - Стокса и уравнение неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости с учетом переносного движения основания механической системы в выбранной системе координат г, 0, у, жестко связанной с центром внутренней оболочки, примут вид [2, 3, 5]:

Ж =--Ур + уАУ , У-У = 0, Р

(1)

здесь р - давление жидкости; р - плотность жидкости; V - кинематический коэффициент вязкости жидкости; А - оператор Лапласа.

Скалярная форма уравнений динамики жидкости (1) имеет вид

где

(д V 1 дУ 1 д 2У д 2У 2 дУ0 У )

_ + —

- + -

- + -

р дг V дг г дг г д0 ду г д0 г

1 др + %/д2У0 + 1 дУ0 + 1 д2У0 + д2У0 + 2 дУг _ У0

2

Ж =—-^ + У

- + -

+

+

+

рг д0 1 дг2 г дг г2 д02 ду2 г2 д0 г

1 др , (д 2Уу 1 дУ 1 д 2Уу д 2Уу Ї

Жу = —^ + У

у Р ду

- + -

+

+

дг2 г дг г2 д02 ду2

V 7 У

дУ .У .1 дУ0 . дУу

г + -^ + --

- + -

дг гг д0 ду

= 0,

дУ дУ УдУ дУ У2

Жг = Жые08 0 + 0+^. + Уг -г + ^ + Уу-ду-^ ’

(2)

ТТ7 • П ТТ7 П дУ0 Т7 дУ0 У0 дУ0 .. дУ0 УгУ0

Ж0 = _W, . 81П 0 + Ж . Є08 0 +-------------0 + У —1 + ——0 + У —0 + —^0

0 ы ш дґ г дг г д0 у ду

г

дУу дУу У0 дУу дУ„

Ж = у- + У у ■ У0 у -- у

дг г дг г Э0 у ду

Граничные условия для системы уравнений (2) на непроницаемой поверхности в цилиндриче-

ской щели запишутся так:

V = ди^

ди2)

' д , У0=^“, Уу = -^и~ при г г{‘), 1 =1,2 дґ дґ дґ

(3)

где г(1) = Я2 + 5 + «31), г(2) = Я2 + и

(2)

2 і ^ . ^з , / 1 ^3 •

Кроме того, запишем условия согласования:

др п 4-1

— = 0 при у = ±- . ду 2

(4)

Вместо них можно поставить условия симметрии относительно плоскости у = 0 (когда они имеют место)

^2+5+и3

\Ууйг = 0 при у = 0.

^2+£СОБ0

(5)

Кроме того, необходимы условия периодичности параметров течения по 0 с периодом 2п (условия замкнутости потока жидкости).

Скалярные уравнения динамики внешней и внутренней упругих цилиндрических оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа - Лява, с учётом переносного движения относительно инерци-ального пространства, запишутся в виде

Э У1 + ьЦ _±_ э^ _ 1+|£ _!_ Э2и2) - Ц ЭиЗ) _ 1 -(м0’ Ч2 и Эу2

2 (я())2 Э02 2 Я{11 ЭуЭ0 Я{11 Эу £(1>2)Л,

1+м0’) 1 э 2и() 1 -м0’) э 2м2‘) 1 э и)

-+

+-

2 Я(’) ЭуЭ0 2 Эу2 (я(1 ))2 Э0

л2 '+ (<10

(4))2

2(1 -м0))

)2, (’)

+

~\2 (’) Э и

ду2 (я('))2 Э02

+

(6)

(’)

+

1 Эи2‘ (я(7))2 Э0

(а0’))2

(2 -|0’))

Э3и3’) Э3Из)

3 + • 3

02

Эу Э0 Э03

1 -(м0’))2 и

|р0’ ^0)- 40’)]

м(0) Эи1(’) + 1 Эи2’) -(_(< ))2

Я(’) Эу (я(’))2 Э0 ( 0 )

(2-|0’))

е(7 )й0’ ) 0

Э3и17) 1 Э 3и()

+

23

0 ;Эу2Э0 (^(’))2 Э0

+

,(’)

я

(’)

(’)

+ % + (а0’))2 (я{’))2 + 2^и

+

1Э

(’)

Эу4 Эу2Э02 (я<7))2 Э0

1 -|м(’))2

Е (]Н()

7 _ 1,2.

где верхний индекс 1 относится к внешней оболочке, а индекс 2 - к внутренней оболочке; Е(’) - мо

дуль Юнга; м0’) - коэффициент Пуассона; р0’) - плотность материала; Я[>) - радиус срединной по

ч(’)

(’)

верхности; Щ) - толщина оболочки,

) _-[^Ту С08(’)(п, пг )+ Р0у С08(’)(п, Йе) + Руу С08(’)(п, ])] г

4е) _ [р0 С0^(’)(п, Пг )+ Р00 Ш8(’)(п, п0)+ Р0у Ш8(’)(п, ])] _

4) _ [РС0§(’)(п, п)+РС0§(’)(п, п0)+РС0§(’)(п, ])] _г«); ’ _1,2,

г(’) ;

г ^_ ^2 + 5 + и3'); г ^2) _ ^2 + и32),

ЭУ

'ЭУ0 У0 1 ЭУ

Ргг _-р+; Рг0_р^^-А —0+-:;ло ,

дг V дг г г Э0 у

Г1 ЭУ У ) Г ЭУ ЭУ )

Р»_-р+2рv( г г); Р _рП1Т

(7)

ЭУ

Руу _-р+2р^~э^; Р0у_рv

Г эу 1 эу

Л

ду г Э0

„(’)

; С08(‘)(п,пг)_ (’) ; С08(‘)(п,n0)__-—гi

г(’) Эи3) . | —1(’)

С08(,)(п,п0)_- Г (., и ; |^Г _<!(г(,))2

ду

1, Эи3’)

эу

+

Г Эи<’) )212

V Э0 у

; (а0’))2 _

|^|7) Э0 (*07 ))2

12(^(7))2 ‘

В последнем уравнении (6) перед 4п для внешней оболочки (7 = 1) взят знак минус потому, что жидкость действует на оболочку снизу, для внутренней оболочки (7 = 2) - берется знак плюс.

Граничные условия для перемещений оболочки состоят в условиях жесткой заделки на торцах

,(7)_ п и<7) _ п и<7) _ п Эи3 _ 0 при у _+ ^1,

и1-7)_ 0, и27)_ 0, и37)_ 0,

эу

2

либо условия свободного опирания

Эи,(‘)

Э 2и3’) п +12

_ 0 при у _±—.

ду "3 ” ду2 - ' ' 2

Кроме того, для обеих оболочек ставятся условия периодичности параметров по 0 с периодом 2п.

(8)

(9)

1

2

3

2

Таким образом, получаем математическую модель механической системы, состоящей из двух соосных упругих цилиндрических оболочек, взаимодействующих через слой вязкой несжимаемой жидкости при наличии внешней вибрации.

Для решения задачи гидроупругости перейдем к безразмерным переменным [5]:

5_(г Л), 0_0, т_юг, ^_—, а_ —, Уг _мЦ)юи5, У0_и0, Уу _М)ю—и; (10) ъ 5 1 2Л2 г т 5 0 у 0 у ¥ 2Я2 с

и^ _ и[т)и1(7), и27)= V0и2’), и3) = м(’и), Ие _ —, ¥_ —<< 1,

1 т 1 2 т 2 3 т 3 I

V л,

.(')

.(2)

Х(-)_ << 1; ».(2)_ %Х(П ; (С(.))2 _

5 м1’

Е

(-)

'Й(ГШ

, ' _ 1,2.

р0 ^ \^0

Полученная связанная задача гидроупругости решается методом возмущений в предположении гармонических законов движения механической системы. Решение уравнений гидромеханики ищется в виде одночленного разложения по малому параметру, характеризующему относительную среднюю толщину поддерживающего слоя жидкости ¥, и одночленного разложения по малому параметру, называемому характеризующему относительный прогиб Х(-) для каждой из оболочек.

С учетом малости параметров ¥ и Х(-) в переменных (10), уравнения динамики жидкости (2) будут иметь вид

ЭР0 _ 0 Ие Эил + ЭР Э 2 и0

Э5 , Эт Э0 Э52

_ 0,

(11)

Ие Эис 0 + 1 ЭР0 Э2и

С 0 + “ ИС0 _ 0 Эи50 + Эи00 + ЭиС 0 _ 0;

Эт ' а2 Э£ Э52 ” ’ Э5 Э0 ЭС

а граничные условия (3) на непроницаемых поверхностях

м50 _

эи 30

Эт ; ит _ 0; и;0 _ 0 при 5 _ 1,

м(2) Эи(2)

Мт ди 30

50 “ м(1) Эт

; м00 _ 0; и0 _ 0 при 5 _ 0.

(12)

Уравнения динамики внутренней и внешней упругих цилиндрических оболочек (6) в нулевом приближении по Х(1) будут иметь вид

(с(’))2р0’)й0’) /Г2л(’))м(’) Э2и() + 1 -м0’) и7) Э2и<

и„ ■

(л17))

1

т ~\?2

1 + м(0’) Г2Л(’)) (-) Э2и2’) (-/2Л(’) ^)Эи

э^

(’))

1

2Л(')

Э02

м.

(’) эи 3' | (’), (’) 2 (’) Э2и,(‘)

(7)—^ -р0’ )й0’ )ш2ит

(с(7))2 р0' Ч-) /-1+|? 2Л7) и„ )Э2иР +1-1;

10’) 2р(’) 2_ 1

(’)

Эт2

_ 0;

и

Э^Э0 2

(’)Э2и2’) (’) Эи3'' I ('т (7)

+ У[>)-----^ + мг)—— + (п0-)) У[>)

(')

Э02

Э0

2(1 - м0’

(') Г 2Л (’)) у

2

.с) э 2и 2’)

+

2Л

(’)) э2и2’) э2и2’) 2 -+- 2

Э^2 Э02

(п (' ))2 М')

'(П0 ) Мт

(2 -|0

(’ )1

2Л(’) )2 д3и(') Э3и(')

1

+

ЭС2Э0 Э03

0’)й0’)ю2 [ ^12;1С08 0- ^12181п 0 + у^7)Эи22- ^

Эт

(Л(-))

-р0’)Й0(-)Ю I ^121С08 0-------1г181п 0 + V

V ю2 ю2

& Г-М00)2Л^ ит )ди17)+^ -(п0>) т

_ 0,

1

Э0

(2 - м 0

’)/ 2Л(-) )2 д3и2’) д3и2’)

+

ЭС2Э0 Э03

+ мт и) +

2

1

2

1

1

+(п0- ))2 мт)

Г 2Л(') )4 д4и{') ( 2Л(') )2 Э4и() Э4и('

1

Э^4

+2

1

Э^2Э02

+

Э04

р0' к )ю2 [ %

ю

8Ш 0 +-------------1!1 С08 0 + М

(')

Ке ¥Р 02 + Р - Ие

рл2 мт)ю

ю

¥Е

Э 2и 3'))

_(-1)'-1

Ие ¥

(1Т Ло(т) ^п 0+-^Цт //0(т) С0^0

м

5_5*-)

а также граничные условия внешней и внутренней оболочек запишутся в виде

и()_ 0, и 2-)_ 0, и3')_ 0,

(-)

для свободного опирания

ди(')

_ 0, и 2')_ 0, и 3')_ 0,

(')

ди 3') ЭС

Э 2и(7

(14)

(15)

Э^ 3 Э^2

Предполагая гармоническую зависимость от времени закона вибрации основания, из системы (12) с учетом граничных условий (13) находим компоненты скорости жидкости и безразмерное редуцированное давление

1

и50 _'

,(1)'

г э и30) э м30) )0

Эт Эт

+

т

г Э 2и^ Э 2и <2) )0

й5+

Эт2

Эт2

1 2мЬ2 (5)+1^А(5)

5 _ е

(15,

(16)

Г Эм3[-ЭмЮ) )

Эт Эт

+

+

Г Э2и30)

Э 2и32))

2»*, (5)+^(У

йц -

а Г ск а^ + :к а^

2м

.(1)

ска :ка

)1 э ГГ э М (1) э М ^2))

1 :ка(1 - 4)— Г Э М30 Э М30

-1 V 4 Э0

+

Эт Эт

(5)-2»^ (5)

+

Г Э2и(1) Э2и(2) )

V

Эт2

Эт

2м*2 (5)+

М0 _-1й1ск а(^- ^

мт1 -1

/

Г (1 )

йц,

Э и30) Э и30

(2)

Эт Эт

+

+

Г Э_М>-ЭМ))

ч Эт2 Эт2 ,

2»^ (5)+

йц -

2 м

(1)

:к а^ + ск а^ 1

ска :ка

1 :к а(1 - ц)

Г Эм«-Эм<0_) )

Эт Эт

+

+

Р0 _-11Т1:к а(^- 4)

2 (1 )

Э и Э и

2 (2)

Эт2

Эт2

12v

2мЬ2 (5)+1=гА(5)

йц,

10 м,М -

мт -1

Г д и30)(4,0, т) д и30 ’(ц, 0, т)

12v

Эт

Эт

+

+ 2в м

' д м310)(q, 0, т) д и32 )(ц, 0, т)Л

Эт

Эт

йц -

а ск а^ :к а^

2м

.(1)

/

)1

12v

^ д u310)(q, 0, т) д и32 )(ц, 0, т)

Л

Эт

Эт

+ 2в м

- + -ск а :к а , т)

^ д u310)(q, 0, т) д и32 )(ц, 0, т)

1 :к а(1 - ц)х

V

Эт

Эт

йц,

х

х

1

Ш = ^ {[і _ Fl (Ф]Л + F2 (є^) в _ 4F4 (є^)С}, L2 © = I {F3 (ф Л _ F4 (є^) в _ 4F2 (є^)С}, 2Л Л

F1 (є4) = chє4 • cos є4 , F2 (є4) = і (ch^ • sin є^ + shєt> • cos є^), F3 (є^) = 2 sh є^ • sin є^ ,

Ft^) = -4(ch є^ sin є^_ sh є^ cos є^), є=6^2^ , Л = F,,2^) + 4F42(є),

B = 4F3(є)F4(є) + Fl(є)F2(є) _F2^), С = F2(є)F3(є)_ F(є)F4(є) + F4(є), F(є) = [F(єЩ^ ;

а = ”72---72, У = _ Т є^ 2 f .2 , d =1 + “ (cl _ c2), f = Т (cl + c2),

d2 + f2 б d2 + Г є є

, jL(4)d4 = Т-, Jl2(4)-4 = if.

:h є sin є

ct =----------------------------------------------------------------------------------------------, c2 =-, т w/ , . v

ch є + cos є ch є + cos є o 2 o 2

Учитывая граничные условия (14) и (15), решение уравнений динамики внешней и внутренней оболочек будем искать в виде: для жесткого защемления

и(о = Um )urn = “iX (l - Z 2 Ж cos 0 + 4S sin 0)sin(x + ф«)+ a(00 },

“20 = vt ]u 2о)=vi)(i-z 2 RS cos 0+a20c sin 0+a20o М^+фЙ, ((7)

“0 = wt )u 3o)=w(i)(i - z 2 )2 {(a'o)ccos 0+a3oSsin 0)sin (т+ф!з )+a300}, *=1,2

для свободного опирания

u(0 = “t)urn = “t)Z sin^^72“1 nZ^{(a10C cos 0 + a1os sin 0)sin(t + 9ii )+ а1оо }

2& -1

u2o= vm)U 20)=vm) nZ jkL cos 0+a2G0csin 0+400 }sin ^U^ (і8)

nZ cos 0+a3oSsin 0)sin (т+9U;3)+a3o)0}, ;=1,2

ио) = ,,,(>ио) = ,,,(>)і е042^ 1

и30 = ™т и 30 = І Є0^ --------7---

к=1 V 2

Подставляя (16), (17) или (18) в уравнения динамики оболочек (13) и граничные условия (14), (15), и применяя процедуру метода Бубнова - Галеркина по ^, получим систему алгебраических уравнений, решая которую, находятся выражения для прогибов внутренней и внешней оболочек

и30) = І cos^ !(- Л0О +л 1пит^ X (19)

^ 'Л \х 300 I 1

к=1 І 2 у V den

x [ez ю2 cos 0 sin (юг + фг0 + n(i) (ю))+ Ex ю2 sin 0 sin (юг + фх0 + n(i) (ю))]).

Таким образом, из прогибов оболочек (І9) находятся амплитудные частотные характеристики прогибов оболочек

, ; = 1,2 (20)

V den

где

num(i) = (all )a1(‘1)de1( 1 )g1(i )b3(3))2 + 2(a1(l)a1(‘1))2 del1—і )g1( 1) g( ^№3 + + (all )a(l -є| )gl1 ^)2 + 4w^ all «))2 de(; gi )gl1 )g 21 B) + + 4w2є4(a^a^defg1 ]В{())2 + (ai;)gii)gl1 ))2, i = І,2, 1 = І,2, ; Ф j den = (g<l)g<2))2 + (288v2 _8wV)al(ll)al(2)-ei(1)-e(2)g2°g22)B0l)B02) +

(іб w2є4 + 2304v2)w2є4 (a1(1)a1(2)de1(l)de1(2)B0l)B02))2 + l44v2(de1(l)a1(1)g22)в01))2 + l44v2(de^a^g^bG*)2 _ІІ52v2wє2(a1(і)de1(l)B((l))2a^^2]def ^B^) _

-1 ме2п1(11)§21)йе1(1)в01)(п1(2)йе1(2В02))2;

ЕПт _ йе1('^Ог(')(йе1(')п1(1 )ссс( 1 ^)йе2]) - йе1(')п1('-)йе91 ')йе<( 1 )ссс2') -- йе{! )п1(1 )йе97 )йе1( 1 )ссс^^) - п1(1 )йе27 )2со/1 1) + п|1)йе^^ )2со/1(-) - 0[}ссс\йе91 )йе27 )йе{1))+

+ 2йе1(')п1(1)п1(1 )е2мОг(')(йе1(')со/1{ 1 )В0^ем(') - йе<1 )со/1(')В0^ем( 1))ог('), - _ 1,2, 1 _ 1,2, ' Ф 1; ^(2 _ -я11 )2йе1( 1 )2со/('Ь(3)2КК(') - Ь33)п1(1 )йе1( 1 ^ЧЩ'Кк(')со/(1) -- ^3')п1(1 )2йе1( 1 )Ь3(3)йе1(-)КК(1 ]со/( -) - п1(1)п1(1/')йе1(')2со/(1Ц3?КК(1) -- 2п1(1 )йе1(' ]св/(' )со/(1 )В0 Мем^( )ме2 КК(1) + 2пЦ )2йе11 )2п1(1)йе1(' )В0 ^ем(' )ме 2Ь(Ъ3)2 КК(') +

+ 2п|1 )2п1(1)йе1(')2 йе(1 Щ )В0 Мем(')ме 2&33)КК(1) +

+ 2йе1( 1 )2о1(1 )2п1(1)йе1(' Ь33 )В0 ^ем( 1 )ме2Ь^КК(') +

+ 2п|/)2п1(1)йе1(' )2йе11 )В0 Ыем{ 1 )ме 2&33)2 КК(1) +

+ 4В0 Ием>{'1 )со/ *1 )п1(1 )п1(‘1)йе1( 1 )йе1(' )В0 ^ем*' )м2е4 КК (') +

(1)- со/(' )со/(1 )2 КК('), ' _ 1,2, 1 _ 1,2, - Ф 1;

+ 8В0 №м(')2 В0 Ием{1,пЦ йе1‘г йе\л п\{г м еь КК

п(')(ю)_ Р™ ь(-(') йе(')_ п(')п(')_(n('))2 йе(')_ п(')п(')-п(')п(') йе(')_ п(')п(')-п(')п(')

п (ю) _(') , Ь33 1^В0 , йе1 п11 п22 (п12 ) , йе2 п12 п13 п11 п23 , й^3 п13 п22 п12 п23 ’

(')

(')

йе4') _ п1(2)п1(3) + п1(1)п2'3), йе7') _ п3‘3)йе1(') -пЦйе!-) + п^йе^), йе|') _ (йе\'))2 + (ь^йе!))2,

йе9') _ п3‘3)п1(1) + п13)2,

для граничных условий жесткого защемления имеем

В

') (л("):

р

12 ю2 В (')_ 16

( -)^г0-)(с<-)'2 В00' 81 15

рр2

р(')к(" ЧК 0 к0

77-(-1)7 йе1')- 73

Г л(-) )2

йе1('),

8 2-) _ йе2')2 + (п33)al(1) + (^в)2 )йе1(-), п^ _ -8

Г 2 Л(-))

8

105

(1 -м0-))+

16

105

Г Л (-)ю ) ~ж~

.2?_ 1452^ (! + м0)), -

^ 64 2Л(-) (') „ . 15

п13 1 , М0 , Е 1 3 ^1гк а,

105 и а

(-) 4 Г 2Л(-))

п22) _ —

22 3

) 2

-) 1+4(п0-) )2 )1 _м0-)'_ 16 (1+(«0-))2)+

V 2 у

15

16

15

Г Л(-)ю )

п2( 3) =

32

15

Г2^^ (2-м0'))(п0'))2 -^32(1+(п0'))2),

п( ) =

256

315

(1+(п0')) )+-

128

Г 2Л('Г

V 12 ,

(п0'))2

+

512

105

Г 2Л(-)

V 12

(п0'))2 -

256

315

Г Л(-)ю )

. с(')

V с у

+ 2е2 мВ0',

3 3 р л2

0,1 _ 1--------------------сгк а + —, В00 _~

а а Ие ¥

256 1 256 1 128 1 1 128

---------638401 О1(1 - Е)

а а 15

315 а2 105 ' а4 5

22

ю2

.(-)_ 4 (Л('))2 ю2 Е ю 4 (Л('))2^ Е ч.п ю

а2 3 ( ('))2 Ет 81П Фт0 , АЬ2 3 ( ('))2 Е^ 81П Фл ,

л 4 (л(")2ю2 л 4 (л(")2ю2 г

Ас2 _ 3 (с(0)2 Ет С0^ Фт0, Ай2 _-3 (с('))2 Е, С0^ Ф,0,

2

2

2

4

2

2

5

16 (—))2 Ю2 ( р-2

Л

Ла3 15 р))2 V р0’к)

16 (—))2 Ю2 ( р-2

ЛЬ3

16 (—))2 Ю2 ( р-

- (-1У уЕ,sln ^ л., = V рр?

Л

о - (-1)’

Ееos фг o,

15 (с^)2 | р0 Ч0’)

-) - (-1)’ ^п фх0 , Лй3 =

16 (—))2 Ю2 ( р-2

Ех С^ Фх0 ,

для граничных условий свободного опирания имеем

В ) =

р0')л0’)(с,')}

Ие ^

g 2’) = йе()2 + (а3‘3)а1(‘1) + (а^)2 )^е1(,),

2(

Я

-(’)

р-2

р(’)к(’) 0 п0

а- = -|

(2к -1 Л212-(’) V 1 ( (0) (-(0Ю

(1"п] V—, -5(‘-^°))+1 ~

-)-(-1)’ йе^- йе[’

(’)Ю Л

/ У

2

-Д’)

=1+(а0’)) +

2к -1

п

4 ( 2-(0

V 12

(а0°)2 + 2І

2к -1

п

2 ( 2-(0 V 12

(а0’))2

I

Л> = 2

2 ( 2-(°Л 2

-^У (1 + 4(а0°)2)(1 -|4))-(1 + (а0°)2)

(-1)’-1 (Я{’])2Ю2 ( р-

(-(’)ю Л

V . У

(-(’)Ю Л . с(’) У

V . У

+ 2е2wB0’),

’) о (-1)’-1 —

л<(3) = 2

2

лЬ3) = (*

Ь3 2к

2

1 Лп (с

л(0 = 2

лй 3 = 2

(- 1Г1 (к«'

-г- (-1)’ Е s1n Ф^

ю2 I р-2 ( 1) Л

--- -------ГГ- (-1)

‘)Г Vр0)Ч0’)

)2 ю2 I р—

Е еos Фгo,

л

’))2 Vр0к0

)2 Ю2 I р—

л- (-1)’

2к-1 лп (с*0) Iр0)ч0’)

- (-1)’

Ех ^п Фх0 ,

Ех е^ Фх0 ,

42 =

л(’)=-

лй 2

2 (-(0)2Ю2 „(’) 2 (Я10)2ю2 г .

Е, е0S Ф г0 , Л 2 = /^,. ^ м/ш Е Sln Ф г0 ,

2к^!п (с<’)):

2к-1Лп (с<’)):

2 (-(0)2

2к-1Лп (С(’)):

^ Ех е0S Фх0 , лЬ2 =-

2 (-(0)2

2к-1Лп (С<’)):

Ю2

2 Ех Sln Фх0 ,

г =

1

2к -1

2

2 2 п2 + о2

о3 +

2к -1

п2 +

) -2

ско2 + shоchо -1

Из формул (20) следует, что в амплитудные частотные характеристики для внешней оболочки входят параметры внутренней оболочки и наоборот.

ЛИТЕРАТУРА

1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика / Т.М. Башта. М.: Машгиз, 1963. 696 с.

4

2

2

2

2

2

2

)2

2

2

2

2

2

2

2

2. Могилевич Л.И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом / К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевич. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987, 160 с.

3. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. 156 с.

4. Симдянкин А.А. Контактно-силовое взаимодействие деталей цилиндропоршневой группы / А.А. Симдянкин. Саратов: ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. 144 с.

5. Кондратов Д.В. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при свободном торцевом истечении в условиях вибрации / Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Вестник СГТУ. 2007. № 3 (26). Вып. 1. С. 22-31.

Кондратов Дмитрий Вячеславович -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Кондратова Юлия Николаевна -

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры «Математическая кибернетика и компьютерные науки» Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Могилевич Лев Ильич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Теплогазоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Плаксина Ирина Владимировна -

преподаватель кафедры «Прикладная информатика и информационные технологии в управлении» Поволжского института имени П. А. Столыпина - филиала Российской академии народного хозяйства и государственной

Dmitry V. Kondratov -

Dr. Sc., Professor

Department of Applied Mathematics and System Analysis,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University

Yulia N. Kondratova -

Ph. D., Senior Lecturer,

Department of Mathematical Cybernetics and Computer Sciences,

Chernyshevsky Saratov State University

Lev I. Mogilevich -

Dr. Sc., Professor

Department of Heat, Gas & Water Supply, Ventilation, and Applied Hydrogasdynamics, Yu. Gagarin Saratov State Technical University

Irina V. Plaksina -

Lecturer, Department of Applied Informatics

and Information Technologies in Management,

Stolypin Volga Region Institute -

Branch of the Russian Academy

of Public Administration

under the President of the Russian Federation

службы при Президенте РФ

Статья поступила в редакцию 31.10.11, принята к опубликованию 15.11.11