CC BY
17
№3, 2Q13
УДК 637.i/3.(045)
Аспирант А.С. Бредихин, д.т.н. В.В. Червецов
(ГНУ ВНИИ молочной промышленности Россельхозакадемии, г. Москва)
Гидродинамика процесса охлаждения молочной сыворотки при поточной кристаллизации лактозы
Статья посвящена изучению стационарного осесимметричного течения молочной сыворотки в скребковом теплообменнике. Получены результаты для практического использования.
Article is devoted to studying of a stationary axisymmetric current of whey in the scraper heat exchanger. Results for practical use are received.
Ключевые слова: осесимметричное течение, молочная сыворотка, вязкость, давление, расход, кристаллизация лактозы, теплообменник непрерывного действия
Поточная кристаллизация лактозы развивается в сложных гидродинамических условиях и широком температурном диапазоне для молочной сыворотки. [1, 5, 6]. Для технической реализации поточной кристаллизации лактозы в ГНУ ВНИИ молочной промышленности Россельхозакадемии, разработана опытнопромышленная установка (рисунок 1). Основной частью этой установки является пластинчатый
скребковый теплообменник, который используют как охладитель-кристаллизатор.
Молочную сгущённую сыворотку с температурой 55-60 °С подают насосом в первую секцию пластинчатого скребкового теплообменника, где она охлаждается до температуры массовой кристаллизации лактозы, затем поступает в дисковый обработник, состоящий из набора подвижных и неподвижных дисков.
На фасовку £
Рисунок 1 - Схема установки для поточной кристаллизации лактозы в молочной сыворотке: 1-приёмная ёмкость, 2-насос подачи продукта, 3-пластинчатый скребковый теплообменник, 4- I секция охлаждения, 5- II секция охлаждения, 6-дисковый обработник, 7-щит управления, 8-ёмкость для затравки, 9-насос-дозатор, 10-термометры сопротивления, 11-манометр с разделительной мембраной, 12-струйный смеситель, 13-буферная ёмкость.
Подвижные диски снабжены выступами со специальными проточками, обеспечивающими кавитационный режим течения. Перед дисковым обработчиком в поток продукта через струйный смеситель насосом-дозатором впрыскивается взвесь затравки, которая диско© Бредихин А.С., Червецов В.В., 2013
вым обработчиком гарантированно распределяется по всему объёму продукта, при этом подвергая его интенсивному гидродинамическому воздействию. Охлажденный во II секции теплообменника до конечной температуры продукт поступает в буферную ёмкость и затем на фасовку.
№3, 2013
Авторами проведено исследование гидродинамика охлаждения молочной сыворотки при поточной кристаллизации лактозы в пластинчатом скребковом теплообменнике. [1, 5-6]. Такой аппарат представляет собой набор чередующихся теплообменных и так называемых продуктовых пластин в форме диска, установленных и зажатых на специальных штангах. Набор последовательно соединенных теплообменных элементов образует теплопередающую поверхность аппарата для нагревания или охлаждения продукта. В зависимости от организации процесса молочная сыворотка может поступать в пространство между дисками как из центрального отверстия, так и из отверстий, расположенных на периферии дисков.
Внутри продуктовых пластин расположены подвижные диски, закрепленные на валу. С обеих сторон этих дисков подвижно закреплены полиамидные ножи специальной формы. При вращении дисков эти ножи счищают с поверхности теплообменных пластин пристенный ламинарный слой обрабатываемого продукта, при
этом происходит его перемешивание. В зависимости от направления движения молочной сыворотки и хладоносителя аппарат может работать по схеме прямотока и противотока.
Исследование основано на решении дифференциального уравнения теплопереноса в движущихся жидких средах, записанных в цилиндрической системе координат при осесимметричном распределении температуры, без учета диссипации энергии: дТ дТ
Уг------+ V, — =
дт &
( д 2Т 1 дТ
---1-I------
т дт
2
д 2Т
(1)
дх2
где Т - температура в точках продукта, 0С, т и , - цилиндрические координаты точки продукта, Vr и V, — проекции скорости точек продукта на оси т и ,, а - коэффициент температуропроводности.
Расчётная схема процесса приведена на рисунке 2.
Рисунок 2 - Расчётная схема: 1 - продуктовые пластины; 2 - центральное отверстие; 3 - периферийные
отверстия; 4 - линии тока продукта
Полагаем, что осевая скорость продук-
та Vх значительно меньше радиальнои
V,,
и
окружной
дТ
скоростей, поэтому в уравне-
нии (1) V — « 0 положим. Для определения
х дх
радиальной скорости V т воспользуемся
дифференциальным уравнением стационарного осесимметричного течения несжимаемой нелинейно-вязкой жидкости, полагая в нем реологические константы и плотность продукта р не зависящими от температуры для данной пары дисков (охлаждающего элемента). Для этого запишем общее дифференциальное уравнение осесимметричного
Фестнги^ФЧУУИШ, №3, 2013
стационарного течения сплошной среды в напряжениях [2] в проекции на радиальное направление г:
дvr
vr ^ + V от
V2
_____р = р
т
т
1 \дтгг + —
Р
дт
СУт
дх
дх
Ттт Т<р<р
(2)
где т тт , т - нормальные напряжения на площадках перпендикулярных соответственно радиальной т и окружной ф осям, X тх - касательное напряжение на площадках перпендикулярных осям т и х.
Реологические исследования молочной сыворотки позволяют с большой точностью принять в качестве её реологической модели степенную модель Оствальда-Де Виля. Для такой модели компоненты тензора напряжений, входящие в уравнение (1), при сделанных ранее предположениях имеют вид [3, 4]:
О 7 I тт \ П ^ ^т
?тт =- Р + ЩЩ -7-, от
= - Р + 2к НГ-1 —, т
(3)
= к\Н\
дут
дх
где к и п- реологические константы молочной сыворотки, н - интенсивность скоростей деформации равная:
Н =
Г дут
1 дт т
/ 2 /
(
1 1 +|
т )
1 I2
4 ч дг
дут
дт
(4)
7 I Г Г I П~1
Величина кН\ может рассматриваться как некоторая кажущаяся (эффективная) вязкость.
Уравнение неразрывности (несжимаемости) справедливое для любой жидкой среды при сделанных предположениях имеет вид:
) = 0.
дг
(5)
Интегрируя уравнение (5), находим:
V- =1 / (х). (6)
г
На основании равенства (6) для интенсивности скоростей деформации Н из (4) получим выражение:
Н =.
/{х)Т , Г Ах)
V 2 т У
(7)
где штрих во втором слагаемом подкоренного выражения и далее означает производную по координате х.
Оценим порядки слагаемых в подкоренном выражении формулы (7), приведя ее к безразмерному виду. Для этого запишем следующие соотношения между размерными и безразмерными величинами, входящими в (7): х = хк,
т = т Я
(8)
I(х)= ?гЯ2 Ж),
/ '(х)=ЬА Ш
где в качестве характерных координат взяты: зазор к между дисками и радиус Я2 центров выходных отверстий (рисунок 1); маленькая дуга над Vт означает осреднение по координате т , а верхняя черта обозначает безразмерную величину. Подставив выражения размерных величин по соотношениям (8) в формулу (7), приведем ее к виду:
и к
Н = —— х
1
ты
^2 у
Я2
т
(9)
2
Так как в формуле (9) подкоренное выражение приведено к безразмерной форме, то порядки слагаемых в этом выражении будут определяться порядком коэффициентов при этих слагаемых. Коэффициент при первом слагаемом значительно меньше коэффициента
к2 1 т’
при втором слагаемом, т. е. << —. ^ак,
Я
например, если положить
2
к
4
103 м
И
Я
2 к
10 м, то-------0 01. Таким образом, в
Я ’
т
2
2
(Вестни^ФТ'УМШ', №3, 2Q13L
подкоренных выражениях (9) и (7) можно оставить только вторые слагаемые. На этом основании интенсивность скоростей деформации (7) запишется как:
H =
f 'iz )
2 r
=flf'(z I
2 r
(10)
В этом случае с учетом (6) соотношения (3) примут следующий вид:
т rr = - p - 2k
=- p + 2k f '(z )
f '(z )
n-1
2r
f '(z )
f (z )
f (z )
= k
2r
n-1
2r
f '(z )
(11)
Так как продукт принудительно вращается при помощи крестообразных лопастей, то окружная скорость точек продукта не больше величины ю т , где ю - угловая скорость лопастей мешалки. Поэтому примем эту величину за окружную скорость V^, т. е.:
(12)
Подстановка выражений компонент тензора напряжений из (11) и окружной скорости (12) при условии у & 0 в уравнение (2) приводит это уравнение к следующему виду:
=_ і
р дг
r
2 2 Л par
(13)
k (1Ї"ч (1
dz
if '(z ))n \signf X z)
Выражение в левой части равенства (13) значительно меньше каждого из слагаемых в его правой части. Это следует из оценок, сделанных аналогично оценкам в формуле (7).
[ / (х )]2
Тогда можно принять
0 и в полу-
чившемся уравнении разделяются слагаемые, зависящие только от соответствующих координат т и 2. Кроме того, в первом слагаемом
22 р(й т
правой части величина —-------<< р и ей мож-
2
но пренебречь по сравнению с давлением р . Это следует из условия малости угловой скорости Ю вращения мешалок. Так, например, в ре-
альных охладителях данного типа p Ю ~4 c_1, r ~ 0,1 м,
105 Па
103 кг/м3. Отсюда
следует справедливость усиленного неравенства, написанного выше. На этом основании уравнение (13) запишется как:
г" Sp. = k і1
n-1
dr
д_
dz
{f '(z ))n \signf '(z )
(14)
При этом считается, что давление p не зависит от поперечной координаты z. В дальнейшем, в силу симметрии профиля радиальной скорости относительно срединной плоскости дисков, будем при гидродинамических расче-
h
тах рассматривать область 0 < z < — . Для этой
области sign f '(z )= 1. Приравнивая левую и правую части (14) к одной и той же константе A с учетом sign f '(z) = 1, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функции f (z) идавления p :
-n 5 p
dr
(p ) = A,
(15)
(16)
Уравнения (15), (16) будем решать при следующих граничных условиях:
т = Я^ Р(Я1 ) = Р{;
т = Я2, Р Я ) = Р2, (17)
х = 0, /(т, 0)= 0;
(1S)
где Я2- расстояние центров выходных отверстий от центров дисков; последнее из граничных условий (18) следует из симметрии профиля радиальной скорости относительно сре-
к
динной плоскости х = — . Интегрированием
уравнений (15) и (16) при граничных условиях (17) и (18) получаем выражения для давления Р(т ) и функции / (х):
rz
r
2
n
3
(Becmnu-KjBTtytfffl, №3, 2013
p(r) = pi -
Pi - pi
Kn - Ri
1-n
(19)
x(r i-n - R;-n) f (z )=-
(p1 - p2 )(1 - n)
k (r1 n - R,1 n)
n +1
h _
2
n+1
n
n+1 h \ n
2
(20)
Для полного гидродинамического расчета охладителя представляется важным получить зависимость между перепадом давления Р1 — р2 на входе и выходе продукта из данного
охладительного элемента и расходом продукта
к
2
Ц , используя формулу ц = 4 ^ т | vr ёх .
0
Подставив в эту формулу выражение V с учетом (20) и интегрируя, получим:
q = 2л h
2n
2 n + 11 2
n+1
h n
— I x
( p1 - p 2 )(1~ n)
k (R-1 n - R n)
. (21)
г1-п Г)1-П 2 _ Я1
Таким образом, полученные формулы позволяют проводить гидродинамический расчет пластинчатых скребковых теплообменных аппаратов при охлаждении молочной сыворотки для кристаллизации в ней лактозы.
ЛИТЕРАТУРА
1 Бредихин, С.А. Технологическое оборудование предприятий молочной промышленности [Текст] / С.А. Бредихин. - М.: Колос, 2010. - 408 с.
2 Кулаков, А.В. Элементы механики пищевых сред [Текст] / А.В. Кулаков, В.М. Чес-ноков. - М.: МГУПБ, 2004. - 301 с.
3 Чеботарёв, Е.А. Вязкость молочной сыворотки и продуктов из неё [Текст] / Е.А. Чеботарев, П.Г. Нестеренко, Л.Е. Давыдянц и др. // Молочная промышленность. - 1983. - №
2. - С. 26-27
4 Шульман, З.П. Конвективный теплопере-нос реологически сложных жидкостей [Текст] /
3.П. Шульман. - М.: Энергия, 1975. - 352 с.
5 Broun, D.J. Crystal grouth measurement and modeling of fluid flow in a crystallizer [Text] / D.J. Broun, F. Bousan //Zuckerindustrie. - 1992.
- V. 117. - № 1. - P. 35-39.
6Spreer, E. Technologie der Milchverarbeitung [Text] / E. Spreer. - Hamburg: Behr’s Verlag, 1995 - 517 p.
REFERENCES
1 Bredikhin, S.A, Technological equipment of the dairy industry [Text] / S.A. Bredikhin. -M.: Kolos, 2010. - 408 p.
2 Kulakov, A.V. Elements of mechanics food media [Text] / A.V. Kulakov, V.M. Chesnokov. - M.: MSUAB, 2004. - 301 p.
3 Chebotarev, E.A. The viscosity of whey and products from it [Text] / E.A. Chebotarev,
P.G. Nesterenko, L.E. Davydyants et al // Dairy industry. - 1983. - № 2. - P. 26-27
4 Shulman, Z.P. Convective heat transfer rheology of complex fluids [Text] / Z.P. Shulman.
- M.: Energiya, 1975. - 352 p.
5 Broun, D.J. Crystal grouth measurement and modeling of fluid flow in a crystallizer [Text] / D.J. Broun, F. Bousan //Zuckerindustrie. -1992. - V. 117. - № 1. - P. 35-39.
6 Spreer, E. Technologie der Milchverarbeitung [Text] / E. Spreer. - Hamburg: Behr’s Verlag, 1995 - 517 p.
n
