Геометрия тензора конциркулярной кривизны АС-многообразий класса с 11 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Рустанов А.Р.1, Щипкова Н.Н.2

1Московский педагогический государственный университет 2Оренбургский государственный университет Е-mail: [email protected]; [email protected]

ГЕОМЕТРИЯ ТЕНЗОРА КОНЦИРКУЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ АС-МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА С11

В работе рассматриваются вопросы геометрии тензора конциркулярной кривизны АС-многообразий класса С11. Подсчитаны его компоненты на пространстве присоединенной G-структу-ры, получены тождества, которым удовлетворяет тензор конциркулярной кривизны. На основе полученных тождеств выделены некоторые подклассы и получены локальные характеризации выделенных классов.

Ключевые слова: Пространство присоединенной G-структуры, тензор конциркулярной кривизны, конциркулярно плоские многообразия, дополнительные тождества конциркулярной кривизны.

В работах [1], [2] исследовались ЛС-много-образия класса С11. В данной работе мы продолжим изучение данного класса многообразий и изучим некоторые вопросы геометрии тензора конциркулярной кривизны.

Пусть М - ЛС-многообразие класса С11. Тензор конциркулярной кривизны ЛС-структу-ры вычисляется по формуле [3]: KZ(X ,Y)Z _ R(X ,Y)Z -

—TT^ (X, Z )Y - g (Y, z )X }

n(n -1)

где % - скалярная кривизна, n=dimM - размерность многообразия. В нашем случае размерность равна 2n+1, значит

KZ(X ,Y)Z - R(X ,Y)Z -

X

-Ag (X, Z )Y - g (Y, Z )X }.

2п(2п +1)

В терминах компонент эта формула примет вид:

Щы = к)ы - 2п(Хп +1){8]к31 - 8]13'к },

а в терминах ковариантных компонент данная формула примет вид:

KZjkl _ Ruki 2n(2n +1)

{g

ikgil g jlgik

}, (1)

где Rjkl - соответствующие компоненты тензо-

компоненты

ра Римана-Кристоффеля; glJ метрического тензора; с - скалярная кривизна.

Как видно из (1) тензор конциркулярной кривизны обладает всеми классическими свойствами симметрии тензора Римана-Кристоффеля.

Компоненты тензора Римана-Кристоффе-ля {.)к1} на пространстве присоединенной С-структуры имеют вид [1]:

1) Kd _<; 2) rL--^ ■

(2)

а остальные компоненты нулевые.

В частности, скалярная кривизна с вычисляется по формуле [1]

Х = = 2Л%. (3)

Расписав компоненты тензора концирку-лярной кривизны на пространстве присоединенной С-структуры с учетом (2), (3) и матри-

/10 0 4

цы метрического тензора )=

0 0 I, 0 In с

по-

лучим, что на пространстве присоединенной С-структуры ЛС-многообразия класса С11 имеет следующие ненулевые компоненты:

1) KZI

X

)gb

_ R - -

abcd abcd 2n(2n +1)bc

Ahg 1

hg I ob ся vb va

gäd gbdgäc

n(2n +1)

2) KZ "_R "__X_

abcd~ abcd 2n(2n +1)

ad gbdgac

_ Aad +

= Abc +

A

hg

, hg ,SdbS:; n(2n +1) b c

3) KZacb0 _ Racb0 „ /X 1x(googab gccbgao )_

2n(2n +1)

Ahg

Ahg ra

--\°b ,

n(2n +1)

(4)

плюс соотношения, полученные с учетом вещественности и свойств симметрии этого тензора как алгебраического тензора кривизны. Остальные компоненты тензора конциркулярной кривизны равны нулю. Эти выражения (и им со-

пряженные) задают компоненты ненулевых основных конциркулярных инвариантов ЛС-мно-гообразия класса С11.

Исследуем геометрический смысл обращения в нуль основных конциркулярных инвариантов ЛС-многообразия класса С11. Скажем, что псевдориманово многообразие (М, g) называется конциркулярно плоским, если метрика g в некоторой окрестности каждой точки те М допускает конциркулярное преобразование в плоскую метрику [3]. Хорошо известен геометрический смысл обращения в нуль тензора конциркуляр-ной кривизны псевдориманова многообразия размерности свыше 3 - это равносильно конциркулярной плоскости многообразия [3].

Пусть (м 2п+1,В,,ц, Ф, £) - конциркулярно плоское ЛС-многообразие класса С11, т.е. компоненты его тензора конциркулярной кривизны обращаются в нуль. Поскольку К2Ш0 = 0,

то

Лк£ Лк£

п(2п +1)

6^ = 0. Свертывая это равенство

Лк8

по индексам а и Ъ, получим , л ч = 0, т.е. Лк = 0.

(2п +1) к£

С учетом полученного равенства и соотношения

КХаЪЫ = ЛЪс +

Лк£

6^,6^ = 0, получим, что

п(2п +1)

АС = 0. И таким образом, получили, что конциркулярно плоское ЛС-многообразие класса С11 является плоским многообразием.

Поскольку плоское ЛС-многообразие класса С11 является конциркулярно плоским многообразием, то доказана следующая теорема.

Теорема 1. ЛС-многообразие класса С11 является конциркулярно плоским тогда и только тогда, когда оно является плоским многообразием.

С учетом теоремы 2 [2], теорему 1 можно сформулировать следующим образом.

Теорема 2. ЛС-многообразие класса С11 является конциркулярно плоским тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую, снабженную канонической косимплектической структурой.

Рассмотрим некоторые тождества на тензор конциркулярной кривизны ЛС-многообра-зия класса С11.

1) Применяя процедуру восстановления тождества [4] к равенствам

КХ00а =

Л

к£

0 =-60 = 0; кхъ0а = к£ 6ь.

п(2п +1)

Л

к£

п(2п +1)

6Ъ;

- Лк£ -

КХ00а = /- £ 6ъ = 0 ,

п

(2п +1)

т.е. К200а =

Лк£ Лк£

г(2п +1)

6'а, получим

КХ (|

,£а 2п(2п + 1)£а, т.к. {£а }является базисом подмодуля оф"1, а проектором на этот подмодуль

является эндоморфизм к = о о I = -1 (ф 2 + л/-гф) [4], то

КХ (, Ф2 X + л/-ГФХ ) =

= —^-г(ф2 X + V-1ФX) VX е X (м)

2п(2п +1) р Л

Выделяя действительную и мнимую части данного тождества, получим эквивалентные равенства. Поэтому выпишем только действительную часть, т.е.

КХ

( Ф2 X )

X

гФ2X, VX е X(м). (5)

2п(2п +1)

Определение 1. Скажем, что ЛС-многооб-разие класса С11 удовлетворяет первому дополнительному тождеству конциркулярной кривизны или является многообразием класса С21, если тензор конциркулярной кривизны удовлетворяет тождеству

КХ(|,Ф2X );= 0, VX е X(м). \(6)

Из определения 1 и (5) непосредственно следует следующая теорема.

Теорема 3. ЛС-многообразие класса С11 является многообразием класса С21 тогда и только тогда, когда ЛС-многообразие класса С11 имеет нулевую скалярную кривизну.

2) ^ Поскольку К2°аЪ = 0; КХ^ъ = 0; Кц)аь = 0, т.е. КХ'0аЪ = 0, то КХ (еа ,еЪ) = 0. Так как {еа} образуют базис подпространства цф"1, а проектором модуля Х(М) на это подпространство является

эндоморфизм п = о о I = -1 (ф2 +7"Тф),

то КХ(ф2X + V"tфX,Ф2У + у[-1ФУ};= 0; VX, У е X (м). Полученное тождество равносильно следующему

КХ (ф2 X, Ф2У I- КХ (X, ФУ ) = 0;

VX ,У е X (м). (7)

3) Аналогично, рассматривая соотношения КХ? с = 0; КХС с = 0; КХС с = 0, т.е. КХ1 с = 0, полу-

0аЪ 0аЪ 0аЪ ' 0аЬ ' ^

чим КХ (еа ,е£ I = 0. Так как {еа}, [еа} образуют базис подпространств цф"1 и Оф^"1, а проекторами модуля Х(М) на эти подпространства являются эндоморфизмы

П=0 О I =1--(ф2

и П = О I = - (- ф2 + л/-1ф),то КХ(ф2x +4—-фХ ,-Ф2у + л/"-фуi = 0; Ух ,у е x (м ) Полученное тождество равносильно следующему тождеству

КХ (ф2 X, ф2У I + КХ (X, фу ) = 0;

VX,У е X(м). (8)

Из (7) и (8) получим:

КХ (ф2 X, ф2У I = КХ (X, фУ ) = 0;

VX,Уе X(м). (9)

4) Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам

кх°0ь=0; КХа>0ь =0; КХа>0ь=0,

получим тождество

КХ(|, ф2X )ф2У - КХ(I,ФX )фУ = 0;

VX,Уе X(м). 5) Теперь распишем соотношения:

(10)

КХ" - =-

ж

а0Ъ 2п(2п +1)

КХ" г = -

Ж

а0ъ 2п(2п +1)

¿Iе;

ж

КХС с = -

а0ъ 2п(2п +1)

,

т.е. КХ'_„ с = —г . Последнее равенство

а0 -

2п(2п +1)

запишем в виде

КХ(,£- ) =-

Ж

2п(2п +1)

Так как (еа}, {еа} образуют базис подпространств цф"1 и Оф^"1, а проекторами модуля Х(М) на эти подпространства являются эндоморфизмы

п = о о I = -1 (ф2 + ^/"-ф) и Л=а О I = 1 (-ф2 ^л/-1ф),то КХ (|,-ф2 X +4--ФX )(ф2У + 7-1фУ )=

Ж

2п(2п +1)

- ф2 X + 4Z1ФX, ф2У + Т-ГФУ^ I;

Полученное тождество равносильно следующему тождеству:

КХ (, Ф2 X )ф2У + КХ (I, ФX )ФУ =

= —,ФУ)I; VX,У е X(М). (11) п(2п +1)

С учетом (10) последнее тождество запишется в виде:

КХ (|, Ф 2 X )ф 2У = КХ (I, ФX )ФУ =

ж

- 2п(2п + 1)^,^ VX,Уе X(М). (12)

Назовем тождество (12) вторым дополнительным тождеством конциркулярной кривизны АС-многообразия класса С11.

Определение 2. Скажем, что ЛС-многооб-разие класса С11 удовлетворяет второму дополнительному тождеству конциркулярной кривизны или является многообразием класса С22, если тензор конциркулярной кривизны удовлетворяет тождеству

КХ (I, Ф2 X )ф2У = КХ (I, ФX )ФУ = 0;

VX,Уе X(м). (13)

В силу невырожденности метрики из определения 2 и (12) непосредственно следует следующая теорема.

Теорема 4. ЛС-многообразие класса С11 является многообразием класса С22 тогда и только тогда, когда ЛС-многообразие класса С11 имеет нулевую скалярную кривизну.

Замечание 1. Из теорем 3 и 4 следует, что ЛС-многообразия класса С^ являются многообразиями класса С22.

6) Рассмотрим соотношения:

КХ00ьс = 0; КХь = 0; КХйаЪ с = 0, т.е. КХаьс = 0. Последнее равенство запишем в виде: КХ (еа ,еЪ )ес = 0. Поскольку {еа} образуют базис подпространства оф-, а проектором модуля Х(М) на это подпространство является эндоморфизм

1

п = о о I = — 2

(ф2 + л/=Тф), то

КХ (ф2 X +^I-1ФX, Ф 2У + 4-1ФУ )(ф2Х + 7-1ФХ )= 0;

VX,У,Х е X(м). Полученное тождество равносильно следую-

щему

VX ,У е X (м). 116 ВЕСТНИК ОГУ №9 (170)/сентябрь2014

КХ(ф2X,Ф2У)ф2Х - КХ(ф2X,ФУ )фх -- КХ(фX, Ф2У )ФХ - КХ(ФX, ФУ )Ф2Х = 0;

Ух,У,Xе X(М) (14)

7) Рассмотрим соотношения:

кх0 , = АС + ^^-630 = 0;

ш ^с 2п(2п +1) Ъ с

^ =< + 2П(2П+о3'3"; = < + 2П(2Х+г)3'3а =0

т-е- Щс3 = ЛЬ'С + 2п(2Х +1) ЗъЗ'с. Последнее соотношение запишем в виде:

кх ((,ец к = л(ъ ,Ес ,ец)+ 2п(Х + 1)еь ^ К. Так как {еа}, {еа} образуют базис подпространств цф"1 и Эф/-, а проекторами модуля Х(М) на эти подпространства являются эндоморфизмы

п = о о I = -1 (ф2 +Л/"тф)

и п = о I = т(-Ф2 + л/-Тф),

то

кх (ф 2 х+л/"ТФх ,-ф2у+Т-Тфу )ф2х + Т-тфх )= = л(ф2х+4-1фх , ф 2 х + 7-ТФх ,-ф2у+Т-Тфу )+

Х /гТ\2

(ф2Х + л/-тФХ ,-Ф2У + л/-тФ^ X

2п(2п +1)

х(ф2X + л/-тФХ )ух ,У, X е X (М). Раскрывая по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим, что последнее тождество равносильно следующему тождеству:

кх (ф2 х, ф2у )ф2х + кх (ф2 х, фу )фх -- кх (фх , ф 2у )фх+кх (фх , фу )ф2х = = л(ф2х , Ф 2 х, ф2у )+ л(ф 2х , фх , фу )+ )+ л(фх , ф2 х, фу )- л(фх , фх , ф2у )+

+ —^-г{Ф 2 х/Ф 2Х, Ф2у\ + Ф2 х (фх , фу) +

2п(2п +1) \ ' / \ ' / + Ф^ Ф2Х, ФУ^ - Ф^ ФХ, ф2у) }

х ,У, X е х (М ). Используя свойства тензора А [2] и равенство Ф2Х, Ф2У) = (ФХ, ФУ), последнее тождество

можно переписать в виде:

кх (ф 2 х, Ф2У )ф 2Х + кх (ф2 х, ФУ )фх -- кх (фх , ф2у )фх + кх (Фх, ФУ )Ф 2Х =

= -4 Л(Х, х ,У —г{ф2 х (ФХ, ФУ) -4 ' п(2п +1) Х 7

-Фх(х

,ФУ)} Ух,У,X е х(М )

Полученное тождество с учетом (14) запишется в виде:

кх(ф2 х, Ф 2У )ф2х - кх (фх , ф2у )фх =

X

= -2 Л(Х, х ,У)+ ){ф2 х{ фх , фу) -фхо(х , ФУ )}

п(2п +1)'

Ух,У,Xе х(М). (15)

Назовем тождество (15) третьим дополнительным тождеством конциркулярной кривизны АС-многообразия класса С11.

Определение 3. Скажем, что ЛС-многооб-разие класса С11 удовлетворяет третьему дополнительному тождеству конциркулярной кривизны или является многообразием класса С2, если тензор конциркулярной кривизны удовлетворяет тождеству

кх (ф2 х, Ф2У )ф2Х - кх (фх , Ф2У )ФХ = 0;

Ух,У,X е х(М). (16)

Пусть {м 2п+1,^,п, Ф, g} является ЛС-много-образие класса С11, удовлетворяющее третьему дополнительному тождеству конциркулярной кривизны, т.е. является многообразием класса С2Г. Тогда согласно определения 3 имеем

кх (ф2 х, Ф2У )ф2Х - кх (фх , Ф 2У )фх = 0;

Ух ,У, X е х (М). На пространстве присоединенной б-структу-ры это равенство, с учетом (4) и вида матрицы эндоморфизма Ф, примет вид: кх^ = 0, т. е.

Кс + 2п(2Х +1) 3Ь3а = 0. Свернем последнее равенство сначала по индексам а и Ь, а затем по

индексам с и й, тогда получим Къ + 2(Х+1) = 0,

т.е., с учетом (3), 2п% = 0, т.е. х= 0. Согласно полученному равенству получим, что Л^С = 0, т.е. многообразия является плоским.

Обратно, для плоского многообразия выполнено равенство кх^ = 0. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5. ЛС-многообразие класса С11 является многообразием класса С2ъ тогда и только тогда, когда оно является плоским многообразием.

С учетом теоремы 2 [2], теорему 5 можно сформулировать следующим образом.

Теорема 6. ЛС-многообразие класса С11 является многообразием класса 02 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую, снабженную канонической косимплектической структурой.

9) Наконец рассмотрим соотношения:

KZ У., =

bcd 2n(2n +1)

f—()= 0;

KKZbcd

^jscsbd -sdsc )=0;

2п(2п +1)

= 2п(п+т( ) т-е- = ( )-полученное

соотношение перепишем в форме:

кг )>ъ = 2п(2Хп + Т)к (еь ъ){£ь е)}. Так как (ед },{еа} образуют базис подпространств

ДфФ- и Д

а проекторами модуля X(M) на эти подпространства являются эндоморфизмы

п =о o i = -1 (ф2 + л/=гф)и

п = о оl = i(-ф2 + л/-Тф),то kz (- ф2 х+V-Гфх ,-ф2у+V-Гфу )(ф2z+^nфz )=

X

{(-ф2 х + v-tфх )

2п(2п +1)

х(ф 2г + Т-ГФг ,-ф2у+Т-Тфу) }-—^—л-ф2у + т-тФУ )х

2п(2п +1) !

х(ф2г+4-тфг ,-ф2 х + Т-Тфх)}

УХ ,У, г е X (м).

Раскрывая по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим, что последнее тождество равносильно следующему тождеству:

KZ (ф2 X, ф2у )ф2г + KZ (ф2 X, фу )фг + + KZ (фх , Ф 2у )$Z - KZ (фх , фу )Ф2г =

Х |ф2^ IФ27 + Ф21

2n(2n +1)

X Ф2Z,Ф2У + Ф2X(ФZ,ФЛ -

-ФХ Ф2г, фу)+фх( ФZ, ф2у) }-

2n(2n +1)

х {ф2у(ф 2z , ф2 х)+ф2у(фг, фх)-

-фу( Ф2г, фх)+ фу( Фг, ф2 х)}

УХ ,У, г е X (м) Согласно (14) и равенства

Ф2г, Ф2у) = (Фг, ФУ), последнее тождество можно переписать в виде:

кг (ф2 х, ф 2у )ф2г - кг (фх , фу )ф 2г =

X {2

{ф2 х (Фг, фу)+Фх(г, фу) }-

2n(2n +1)

- ^^ {Фг'+ 'ФХ^}

VX,У,Z е X(M) (17)

Назовем тождество (17) четвертым дополнительным тождеством конциркулярной кривизны АС-многообразия класса С1Г

Определение 4. Скажем, что ЛС-многооб-разие класса С11 удовлетворяет четвертому дополнительному тождеству конциркулярной кривизны или является многообразием класса С2, если тензор конциркулярной кривизны удовлетворяет тождеству

KZ (ф2 X, Ф 2У )ф2г - KZ (ФХ, ФУ )Ф 2Z = 0;

VX ,У, Z е X(M) (18)

Пусть (м 2n+1 Ф, g) является многообразием класса C2. Тогда

<d = яХт+ц (d)=0

хЫ®*-sdsb '=0.

Последнее равенство свернем сначала по индексам a и b, а затем по индексам c и d, тогда получим 2(2n +1)(n -1)=0. Из последнего равенства следует, что либо n=1, т. е. dim M = 3, либо Х = 0.

Если dim M = 3 и % = 0, то и KZ^ = 0, т.е. многообразие является многообразием класса CZ4. Таким образом, имеем следующую теорему. Теорема 7. ЛС-многообразие класса Си размерности больше 3 является многообразием класса CZ4 тогда и только тогда, когда оно является многообразием нулевой скалярной кривизны.

Замечание 2. Поскольку тензор конциркулярной кривизны обладает свойствами тензора кривизны, в частности, KZa + KZa-„ + KZa„ = 0, то из

7 7 bcd cdb dbc 7

KZabci = 0 следует, что KZabc = 0, т.е. многообразие класса CZ3 является многообразием класса CZ4. Кроме того, мы имеем следующую теорему. Теорема 8. Тензор конциркулярной кривизны ЛС-многообразий класса Си обладает следующими тождествами:

1) kz((2 X ) = —Л-гФ2 X;

v ^ 2n(2n +1)

2) KZ( 2Х,Ф 2Y )- KZ(ФX,ФY )=0;

3) KZ( 2Х,Ф 2Y ) + KZ(X^Y )= 0;

4) KZ(2 Х,Ф2 Y) = KZ(X^Y )= 0;

5) KZ( 2X )2Y - KZ(^X )Y = 0;

6) KZ(,02 X ) 2Y + KZ(, ФХ )Y = —(П_ )фх, Ф Y %

7) KZ(2 X )ф2Y = KZ(^X)&Y = —%

8) KZ(Ф 2Х,Ф2 Y )2Z - KZ(2 X,ФY)ФZ -- ^(ФХ,Ф 2Y )Z - KZ(ФX, ФY )2Z = 0;

9) KZ(2 Х,Ф 2Y )ф 2Z - KZ^X^ 2Y ) = -2A(Z,X,Y)+

+ (Х^){*Ф2Х ФZ,ФY ^x(z^y) i

10) KZ(Ф2 Х,Ф2 Y )2Z - KZ(X^Y )Ф2 Z =

X

) {ф2 x фг, ф y+фх2, ф y -

2п(2п +1)

-Ф2Y(Ф^ФХ) -ФУ(^ФХ)} vX,Y,Z е Х(м)

В заключение рассмотрим контактные аналогии тождеств Грея [5] для тензора конциркулярной кривизны.

Контактными аналогами тождеств А.Грея И., И2, И3 кривизны почти эрмитовых многообразий для тензора конциркулярной кривизны являются тождества кривизны 02., 022,

С23 для почти контактных метрических многообразий:

GZ1 : (^(ФХ,<^ = (^(ф2 Х,Ф2 Y ^Ф1^

GZ 2 : (^(ФХ^ = (^(ф 2Х,Ф 2Y +

+ ( ^ (ф 2 Х, Ф Y )2 ^ Ф,№) + ( кz(ф 2X,ФY )фZ, Ф2 GZ3 : = (^(ф 2Х,Ф 2Y ) 2Z,Ф2

VX,Y,Z е Х(м)

Назовем ЛС-многообразие класса С11, обладающие тождествами 02., 022, 023, соответственно, 02., 022, 023 - многообразием. Исследуем эти тождества. Теорема 9. Пусть S = ((т|,Ф^ = (■,)) ЛС-структура. Тогда:

(1) S = ((т|,Ф^ = (■,)) структура класса GZ1

тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной б-структуры К2аЬса=К2аЬс(1=0;

(2) S = ((т|,Ф^ = (■,)) структура класса 022

тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной б-структуры К2аЬса=К2аЬса=0;

(3) S = = (■,)) структура класса 023

тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной б-структуры 2 =0.

Доказательство данной теоремы проводится аналогично доказательству соответствующей теоремы для тензора римановой кривизны и мы опускаем его.

Из теоремы 9 следует, что ЛС-многообра-зие класса Си является 023-многообразием и 022-многообразием. ЛС-многообразие класса Си является 02.-многообразием тогда и только тогда, когда оно является многообразием класса 02,.

Таким образом, мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 10. ЛС-многообразие класса Си является 023-многообразием и 022-многообра-зием. ЛС-многообразие класса С.. является 02.-многообразием тогда и только тогда, когда оно является многообразием класса 024. И в размерности больше 3 является многообразием нулевой скалярной кривизны.

8.07.20.4

Список литературы:

1. Рустанов, А.Р. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий класса С / А.Р. Рустанов, Н.Н. Щипкова // Вестник ОГУ. - №9. -2010. - С. 65-68.

2. Рустанов, А.Р. Тождества кривизны многообразий класса С / А.Р. Рустанов, Н.Н. Щипкова // Вестник ОГУ. - №6. -2011. - С.169-171.

3. Yano, K. Concircular geometry. I-IV/ K. Yano. - Proc. Imp. Acad. Japan, 1940. - V. 16. - P. 195-200, 354-360, 442-448, 505-511.

4. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий / В.Ф. Кириченко, А.Р. Рустанов // Математический сборник. - 2002. - Т. 193. - №8. - С. 71-100.

5. Gray, A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds / A. Gray. - Tohoku Math. J., 1976. - V. 28. -P. 601-612.

Сведения об авторах: Рустанов Алигаджи Рабаданович, доцент кафедры теории и социологии Московского педагогического государственного университета, кандидат физико-математических наук 119571, г. Москва, пр-т Вернадскаого, дом 88, корп 1, ком 1204, е-mail: [email protected]

Щипкова Нина Николаевна, доцент кафедры геометрии и компьютерных наук Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы 13, ауд 1502, тел. (3532)372539, е-mail:[email protected]