Тождества кривизны многообразий класса с11 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рустанов А.Р.1, Щипкова Н.Н.2

1 Московский педагогический государственный университет, кафедра теории и истории социологии, e-mail: [email protected] 2Оренбургский государственный университет, e-mail: [email protected]

ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА С11

В статье рассматриваются AC-многообразия класса С11, обобщающие класс косимплекти-ческих многообразий. Получены тождества кривизны данного класса многообразий. И, как следствие, получено выражение тензора Ф-голоморфной секционной кривизны через тензор Римана

- Кристоффеля.

Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплектическое многообразие, тензор кривизны, тензор Ф-голоморфной секционной кривизны.

Данная работа является продолжением работы [1]. Мы придерживаемся терминологии и обозначений, принятых в монографии [2]. Напомним [1] , что компоненты тензора Римана -Кристоффеля на пространстве присоединенной С-структуры имеют вид:

1) ^ = А"; 2) ^ =-А“ (1)

а остальные компоненты нулевые, где {а^ } -семейство функций на пространстве присоединенной С-структуры, симметричных по верхним и нижним индексам. Они образуют чистый тензор на М2п+1, называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны ([1], [2]). Тензор А: Ь хЬ хЬ ^ Ь задается соотношением а(х,у^)=АЬСхьу%£а + аЬсхьу^Ч . Непосредственным подсчетом легко проверить, что тензор Ф-голоморфной секционной кривизны обладает свойствами:

а(фх,у^)=а(х, фу^)=-а(х,у, Фг). (2)

В самом деле, а(фх, У,г) =

= АЬС (фх)ьу%£, + АЬС (Фх)ьУсгЧ =

= л/=7аы?хьу%£, - Т-ТА^адг^ =

= АЬСхь (фу)%£, + АЬСХь (фу =

= а(х, ФУ,г)

Аналогично А(ФХ,У,г} =

= АЬсС (ФХ )ьу%£, + АЬ,С (ФХ =

= Т-Та^Х^^, ^л/-ТАЬ^ХьУсглеа =

= -АЬСхьУс(Фг)£, - АЬ^ХьУс (Фг)£, =

= -а(х,у, Фг)

Пусть М - АС -многообразие класса С11 постоянной кривизны к. Тогда его тензор Римана -Кристоффеля имеет строение [2]:

я(х,у) = к(у, г)х - (х, г)у) х,у,г е х(м) (3)

Равенство (3) на пространстве расслоения реперов можно записать в виде:

Куй = к(ё1кёл - ). (4)

На пространстве присоединенной С-струк-туры соотношения (4) равносильны следующим соотношениям:

Т) к.,.ь=к«.ь; 2) К,ьа=к («ж1 -«ж)

3) К.Ы =-к«ЯЬ- (5)

С учетом (1) соотношения (5) перепишем в виде:

1) 0 = к«Ь; 2) 0 = кХх-«,«) 3)АЬ1 = к«ЯЬ.(6)

Первое фундаментальное тождество [1], т. е. тождество АЬ^Б^1 ] = 0, с учетом (6:3) запишем в виде к«Ьс«,Бы -к«Ь1«],БЬс = 0, т. е. к«ЬсБа1 - к«1в,с = о. Полученное равенство свернем по индексам а и Ь, тогда кБса - кв1с = 0, т. е. 2кБсй = 0. Из последнего равенства следует, что либо к=0, либо Б,ь = 0. В первом случае многообразие является плоским, а во втором - косим-плектическим многообразием. Свертывая соотношение (6:1) по индексам а и Ь, получим пк=0. Поскольку ш1, то к=0, т. е. многообразие является многообразием нулевой кривизны.

Таким образом, получили следующую теорему.

Теорема 1. Не существуют АС-многообразий класса Си ненулевой постоянной кривизны к.

Поскольку косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению ке-лерова многообразия на вещественную прямую [3], то келерова составляющая косимплектичес-кого многообразия является пространством постоянной кривизны к=0. Следовательно, М локально эквивалентно произведению комплекс-

ного евклидова пространства на вещественную прямую, снабженную канонической косимплек-тической структурой.

Подытожив сказанное выше, сформулируем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть М - АС -многообразие класса С11 постоянной кривизны £. Тогда оно локально эквивалентно произведению комплексного евклидова пространства на вещественную прямую, снабженную канонической косим-плектической структурой.

Применим процедуру восстановления тождества [2], [4] к равенствам (1).

1 Поскольку Я0Оа = = 0, т. е.

Я„0а = 0, то К.(|,£а) = 0. Проектором на подпространство Бф-1 является эндоморфизм

п = -— (ф2 + >/-Гф),то Я (, ф2х + >/-Тфх) = 0.

Выделяя действительную и мнимую части данного равенства, получим эквивалентные тождества. Поэтому выпишем действительную часть тождества, т. е.

Я(,ф2х) = 0; Xє х(м). (7)

Поскольку ф2 =Чё +п®<^ и Я (|,|);= 0, тождество (7) примет вид:

Я(|,Х);= 0; Xє х(м). (8)

2. Поскольку Я0аЬ = Я0аЬ = Я0аЬ = 0, т. е. Р„аЬ = 0, то Я(єа, £ь) = 0. Проектором на подпространство Бф-1 является эндоморфизм

п = - — (ф 2 ^ V—1ф),то

Я (ф2х + (Тфх, ф2У + Т-Тфу ) = 0; х, У є х(м) Выделяя действительную часть, получим:

Я (ф 2х, ф 2У ) - Я (фх, фУ ) = 0; х,У є х(м ).(9) Поскольку ф2 = Чё +П®;, то используя тождество (8), тождество (9) перепишем в виде:

Я (х, у) - Я (фх, фу); = 0; х,У є х(м). (10)

3. Применяя аналогичные рассуждения к равенствам ^ ^ = Р0аЬ = 0, т. е. к равенству Я0аь = 0, получим:

Я(ф2х,ф2У ) + Я(фх,фУ) = 0; х,У є х(м).(11) Которое мы можем записать в виде:

Я(х,У); + Я (фх, фу ) = 0; х,У є х(м). (12) Из(10) и (12)получим

Я(х,У )= Я (фх, фУ);= 0; х,У є х(м). (13)

4. Аналогично расписывая равенства

Р„оь = РСоь = ^оь = 0, получим: я(, ф2х)2у - я(, фх)фу = 0; х,У є х(м),(14) т. е.

Я(|,х)У - я; , фх)фУ = 0; х,У є х(м). (15)

5. Рассматривая равенства Р„„ь = ^„ь = = ЯС„Ь = 0, получим:

Я(,ф2х)ф2У + Я(|,фх)фУ = 0; х,У є х(м),(1в) т. е.

Я(|,х)У + Я(|,фх)фУ = 0; х,Ує х(м). (17) Из(15) и(17)получим Я(|,х)У = Я(|,фх)фУ = 0; х,У є х(м). (18)

6. Теперь рассмотрим равенства я„Ьс = =

= рЬс = о. Применяя к ним процедуру восстановления, получим:

я (ф 2х, ф 2у)ф 2Z =

= я (ф 2х, фу )ФZ+я (фх, ф 2у) +

+ Я (фх, фУ)ф 2Z; X,У,Z є х(м ) (19)

Используя (8), (13), (18), тождество (19) запишем в виде:

Я (х,У )Z = Я(х, фУф + Я(фх,У )ФZ +

+ Я (фх, ФУ)Z; X,У,Z є х(м). (20)

7. Подробно рассмотрим равенства

рО _ Д „с _Дас _д(Іс т е Р1 = Аіс

КаЬб = АаЬ, РаЬС = АаЬ, РаЬС = АаЬ’ Ь КаЬ£ = АаЬ ’

т. е. Я (£, Є С )Ба = А(£а , £ь, Є С ). Так как {£а }, £а } являются базисами подпространств Бф-Т, Бф'/ГТ, а проекторами на эти подпространства являются эндоморфизмы п = -—(ф2 + ,/-—ф) п = — (- ф2 + 4-Тф) соответственно, то

Я (ф 2х ^ V-Тфх,-ф 2У + л/-—фу )*

* (ф 2Z + л/-ТФz)=

= а(ф ^ + -СТфz, ф 2х+V-Тфх,-ф 2у+7-Гфу ) х,y,z є х(м)

Выделяя действительную часть, получим:

Я (ф 2х, ф 2У )ф 2Z + Я (ф 2х, фу )фz -

- Я (фх, ф 2У ) + Я (фх, фу ) 2Z =

= а(ф ( ф 2х, ф 2У)+ а(ф 2Z, фх, фу )+

+ A(фz, ф 2х, фу )- а(, фх, ф 2У )

VX,У,Z є х(м) (21)

Используя (2), (8), (13), (18), тождество (21) запишем в виде:

Я(х, У ) + я(х, фу ф - Я(фх, У )ФZ +

+ Я (фх, фУ )z = 4A(Z, X, У), VX, У,Z є х(м) (22) Из (20) и (22) получим:

я (х, у) - я (фх, У ф =

= 2А(, X, У) VX, У,Z є х(м). (23)

Из последнего тождества получим, что тензор голоморфной секционной кривизны АС-многообразий класса С11 имеет вид:

а(х,у^ )=—{я (y,z )х+я (у, Фz )фх}

VX,Y,Z є х(м) (24)

8. Наконец, рассматривая равенства Я0 = о, Р = о, Р = о, т. е. Я1;-. = о, т. е.

аЬс \ аЬс аЬс 7 аЬс 7

Я(єь^с^£а = „. Так как {єа}, {єа}являются базисами подпространств Бф-1, Б;,/-1, а проекторами на

(26)

эти подпространства являются эндоморфизмы T (2 + Т-Тф) П = T (-Ф2 + л/-Гф) соответ-

П = —

R (ф 2X, Ф 2Y ) 2Z + R (ф 2X, ФY )z +

+ R (x, Ф 2y)z + (25)

- R(X, ФY)Ф2Z = 0; VX, Y,Z є X(m)

Используя (8), (ІЗ), (18), тождество (25) запишем в виде:

R (X, Y)Z + R(X, ФY)ФZ +

+ R^X,Y)5Z +

- R(ФX, ФY)Z = 0; VX, Y,Z є X(M)

Из (20) и (26) получим:

R(X, Y)Z - R(X, ФY)Z = 0; X,Y,Z є X(M). (27) Соберем полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Тензор Римана - Кристоффеля АС-многообразий класса С11 удовлетворяет следующим тождествам:

1) r (;,x); = 0; г) r (y,x ; = r (ФY, Фx); = 0;

3) r(,x )y = r(, Фx)ФY = 0;

4) R (x, Y)Z = R(ФX, ФY)Z;

5) R (X, Y )Z - R^X, Y ф = 2A(Z, X, Y ) б) R(X, ФY)ФZ + R(ФX, Y)£Z = 0; VX, Y,Z є X(m) ------------------------- 10.04.2011

Список литературы:

1. Pустанов, A.P. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий класса С / A.P. Pустанов,

Н.Н.Щипкова // Вестник ОГУ. - №9. - 2010. - С. 65-68.

2. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В.Ф.Кириченко. - М.: МПГУ, 200З. - 495 с.

3. Kiritchenko, V.F. Sur le geometrie des varietes approximativement cosymplectiques / V.F. Kiritchenko // C.R. Acad. Sci. Paris. - 1982. - V.295. - Ser. I. Math. - P. 67З-676.

4. Кириченко, В.Ф. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий / В.Ф. Кириченко, A.P. Pустанов // Математический сборник. - 2002. - Т. 19З. - №8. - С. 71-100.

Сведения об авторах:

Рустанов Алигаджи Рабаданович, доцент кафедры теории и истории социологии Московского педагогического государственного университета, кандидат физико-математических наук 119571, г. Москва, пр-т Вернадского, 88, корп. 1, к. 1204, е-mail: [email protected] Щипкова Нина Николаевна, доцент кафедры геометрии и топологии Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, ІЗ, ауд. 25З4, тел. (З5З2)З725З2, е-mail: [email protected]

2' г 2 ственно, то R (-Ф 2X + V-TФХ-Ф 2Y + V-l^Y )*

* (ф2Z + V-TФz)= 0; X, Y, Z є X(м).Выделяя действительную часть, получим:

UDC 514.76

Rustanov A.R., Shchipkova N.N.

Moscow State Pedagogical University, Orenburg State University, [email protected] CURVATURE IDENTITIES OF CLASS C11 MANIFOLD

The article deals with the AU- manifold of class C11, which generalize the class of skew-symplectic manifolds. The identities of the curvature of this class manifold are obtained. As a consequence, the expression of the tensor F-sectional curvature tensor by the Riemann - Christoffel tensor was got.

Keywords: almost contact metric variety, cosymplectic manifold, the curvature tensor, the tensor F-sectional curvature.

References:

1. Rustanov A.R., Shchipkova N.N. Differential geometry of almost contact metric manifolds of C11-class. Vestnik of OSU №9 (115), september 2010, p. 65-68.

2. Kirichenko V.F. Differential geometric structures on manifolds. - M., MPSU, 2003. - 495 p.

3. Kiritchenko V.F. Sur le gwomntrie des variwtws approximativement cosymplectiques // C.R. Acad. Sci. Paris. Swr. I. Math. 1982. V.295. P. 673-676.

4. Kirichenko V.F., Rustanov A.R. Differential geometry of quasi-Sasaki manifolds.// Mathematical collection, v. 193, № 8, 71-100 p.