Геометрическое моделирование рефлектора по заданному пучку отраженных лучей Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 2. С. 11-13.

УДК 628.94

С.Н. Литунов, Н.В. Ревзина, В.Ю. Юрков

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕФЛЕКТОРА ПО ЗАДАННОМУ ПУЧКУ ОТРАЖЕННЫХ ЛУЧЕЙ

Рассмотрен алгоритм расчета геометрии рефлектора, способного перераспределить энергию, исходящую от источника, согласно заданному закону. Определение линейной геометрии отражателя является основой для решения пространственной задачи. Необходимость конструирования оптимальной системы светораспределения вызвана проблемами специальных технологических процессов. Данная методика может применяться при проектировании рефлекторов для экспонирующих узлов узкоспектральных сушек в полиграфии и других областях промышленности.

Ключевые слова: аппарат отражения, рефлектор, облучение, полиграфия, энергоэффективность.

Рефлекторы, перераспределяющие энергию различных типов, применяют во многих отраслях промышленности. От геометрии отражателя зависит назначение конструкции. Перенаправляя, рассеивая или концентрируя энергию на определенном участке, рефлектор позволяет значительно сократить затраты на производство, а также продлить срок службы приборов [1]. Таким образом, улучшив геометрию конструкций, возможно повысить уровень производительности.

Конструкторско-техническое решение светонаправляющих систем обеспечивает перераспределение энергии при работе с УФ-лампами в типографиях. На производстве они используются при формировании изображений (при изготовлении печатных форм) и при полимеризации УФ-красок и лаков для всех видов печати и лакирования, в офсетных копировальных рамах, на экспонирующем оборудовании для шелкотрафарета. Находясь на малой дистанции с источником облучения и принимающей поверхностью, рефлекторы перераспределяют отраженное излучение [2]. Изменяя геометрию отражателей, возможно скорректировать светораспределение согласно производственной необходимости.

Основная задача состоит в том, чтобы найти такие положение и форму отражателя, а также такое положение источника облучения, при которых суммарная функции энергетической освещенности не отличалась бы от заранее заданной. На практике такая задача может решаться при различных вариантах компоновки конструкций и геометрии рефлектора.

Рассмотрим вариант, когда исходными данными к поставленной задаче являются:

- точечный источник S энергетического потока;

- высота h расположения источника над облучаемым отрезком;

- функция суммарной энергетической освещенности (будем считать ее постоянной);

- коэффициент усиления энергетической освещенности k, 1 < k < 2;

- заданный пучок отраженных рефлектором лучей (пучок может быть линейным, квадратичным и более высокого порядка).

Рассмотрим метод конструирования рефлектора для заданного линейного пучка. Расчетная схема приведена на рис. 1.

© С.Н. Литунов, Н.В. Ревзина, В.Ю. Юрков, 2015

12

С.Н. Литунов, Н.В. Ревзина, В.Ю. Юрков

Рис. 1. Расчетная схема конструирования рефлектора для линейного пучка отраженных лучей

Прямая освещенность Eo(t) в точке х = t

I ■ COSф0

Ео (t ) = ■

t2 + h2

Дополнительная освещенность:

Е(t)_ Ey - E0 (t)_ k ■~Ir -1 '2COS^2o .

w s °w h2 t2 + h2

Уравнение пучка прямых с центром T(o,v):

У = t( -1) = v( J -l].

нительна

Едоп (t )=-

Дополнительная освещенность: I ■ sin a(t)

Vx32 (t) + Уэ2 (t)

где sin a(t) = Тогда

F

4Ё+7

Едоп (t ) =

I ■ v

^2 + V2 ■y[x[fij+y[(tj

при условии, что

x32 (t) + Уэ2 (t )>12 + h

Таким образом, k cosф0 v

h2 t2 +

где cosф0 _

h (hjtj+yEtjj’

h

Vt2 + h

Тогда k h

72

h (t2 + h2 j (+ h2 )(( () + y, (t))

- это и есть основное уравнение, из которого определяются координаты точек S мнимых дополнительных источников излучения и множество координат точек L рефлектора.

Уравнение срединного перпендикуляра к отрезку БоБэ имеет вид:

_ xd(t) ^ h -Уэ (t)-хэ (t)

J h - y-d(t)X 2 ( - Уд (t)) '

Из этого уравнения и из уравнения пучка прямых получаем координаты точки L:

х _ thУд-thyd -L 2vh2Уд - 2thxd -

- thx2уэ - 2vthyl + 2vth2уэ

УL _

- 2vhyэ2 + 2.Щ Уэ

vthУэ - vthyl - 2v2thyl -2vth2Уд - 2t2hxd -

- vthx2Уэ + 2v2th2Уд

- v.

- 2vthy2d + 2t2 xd Уд Предположим, что задан квадратичный пучок. Расчетная схема будет аналогичной, за исключением пучка отраженных лучей (рис. 2).

Рис. 2. Параболический пучок отраженных лучей

Пусть носитель пучка - парабола

b 2 2b

x _—r ■ У + — ■ У + b . a a

Введем параметр t: 0 < t < b. Тогда

t - xo _ x(to )^(- Уо)

есть уравнение касательной, проходящей через точку (t,0). Отсюда

b2

t _—г ■Уо + b a2

Уо _~a\ 1 -b, 0 ^ t ^ b ,

x0 _ 2b

1 -, 1 -

t

-1.

V J

Подставляя в уравнение касательной, получим:

(I------7](.. / 7 ]

x +1 _ 2b

1 - ,1 - - У+л -1+1

V V b J V a ^ b J

или у _ —у

2b

<(x -1)

1 -11 - b

Если x = 0, то У _-

-at

2b

Л ’

1 -11 - b

V

V

Геометрическое моделирование рефлектора по заданному пучку отраженных лучей

13

Тогда

sin«i

a 2t2

• +12

4b2

И окончательно:

1 -11 - b

Едоп (t ) =

(о)+yd (t))

/

Основное уравнение для определения координат точек S мнимых дополнительных источников отличается от предыдущего только правой частью.

Остальные выкладки аналогичны предыдущим.

Представленный алгоритм позволяет рассчитать геометрию рефлектора по заранее заданному, согласно производственной необходимости, пучку энергии. Технический результат достигается за счет перенаправления излучения в сторону запечатываемого объекта таким образом, чтобы компенсировать неравномерный характер прямого освещения. Применение данного способа решения задачи предоставляет возможность оптимизировать светораспределение, делая процесс производства энергоэффективным и ресурсосберегающим.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гуторов М. М. Основы светотехники и источники света : учеб. пособие для вузов. М. : Энегоатомиздат, 1983.

[2] Толивер-Нигро Х. Технологии печати : учеб. пособие для вузов / пер. с англ. Н. Романова. М. : ПРИНТ-МЕДИА центр, 2006.