CC BY
26
УДК514.88
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ НА ПЛОСКОСТИ
GEOMETRICAL MODELING OF DECISIONS OF THE DIRECT AND REVERSE TASKS OF GEOMETRIC OPTICS ON THE PLANE
Е. В. Любчинов, К. Л. Панчук
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
E. V. Lyubchinov, K. L. Panchuk
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. В работе приведены решения прямой и обратной задач геометрической оптики на плоскости: по заданному носителю пучка лучей и отражателю (зеркальной линии) определяется носитель отраженных лучей, по заданным носителям пучков лучей определяется их общий отражатель. Метод нахождения отражателя для пар, состоящих из носителей центрального, рассеянного или параллельного пучка прямых, моделирующих различные источники (или приемники) излучения, основан на оптических свойствах циклографической проекции кривой линии.
Ключевые слова: оптические преобразования, геометрическая оптика, циклографическая проекция, отражатель.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-256-262
I. Введение
Законы геометрической оптики при передаче излучения работоспособны в тех областях, где длина волны излучения стремится к нулю. В тех случаях, когда при разработке оптических устройств имеется возможность пренебречь физическими свойствами создаваемого объекта, законы геометрической оптики могут оказаться единственным приемлемым средством для создания таких устройств. Одной из основных проблем, изучаемых геометрической оптикой, является исследование поведения систем «источник-отражатель-приемник», элементами которой выполняются оптические преобразования одного пучка прямых в другой [1].
Решение задач с оптическими преобразованиями востребованы в таких сферах деятельности, как радиолокация, светотехника, оптика, акустика, лазерная техника и т.п. [1-3]. Работы [3-5] приводят различные методы и расчеты отражателей разнообразных форм: параболических, эллиптических, сложных криволинейных, составных и др. Поиск уравнений отражательных линий в данных методах требует, как правило, решения систем дифференциальных уравнений, что усложняет процесс решения задачи. В научной литературе решения подобной задачи встречается, как правило, лишь для простых случаев. Случаи, когда источник, приемник или отражатель имеют геометрическую форму в виде сложной кривой, рассмотрены в гораздо меньшей степени. Поэтому разработка геометрических моделей с доступными вычислительными алгоритмами для решения подобных задач является актуальной.
II. Постановка задачи
Геометрическая модель множеств лучей на плоскости может быть представлена в виде центрального, рассеянного (нелинейного) или параллельного пучка прямых. Некоторые комбинации оптического преобразования одного из вышеприведенных пучков в другой достаточно хорошо изучены в научной литературе. К таким комбинациям следует отнести преобразования центрального пучка в параллельный, и центрального в другой центральный пучок. Полученные в этих случаях отражатели являются параболой и эллипсом соответственно. Остальные случаи оптических преобразований, например, такие как фокусировка излучения в кривую определенной геометрии, остаются либо малоизученными, либо вообще не исследованными, поэтому решение подобных задач требует разработки подхода, позволяющего решать все возможные комбинации пар оптических преобразований центрального, рассеянного и параллельного пучков на плоскости.
III. Теория
В основу метода решения задач оптического преобразования пар пучков прямых на плоскости в работе положено циклографическое отображение пространственной кривой на плоскость. В циклографической проекции
точке пространства ставится в соответствие некоторый проецирующий конус вращения. Конус, пересекая плоскость проекций П1(ху), в месте пересечения образует окружность - основание конуса, которая имеет направление и в циклографии называется циклом. Направление данной окружности зависит от положения вершины конуса, расположенной на исходной пространственной кривой: если вершина находится выше плоскости проекций П1(ху), т.е. координата г ее положительна, тогда направление окружности будет против часовой стрелки, если координата г отрицательна - то окружность будет иметь направление по часовой стрелке [6-8]. В классической циклографии угол при вершине конуса между его осью и образующей равен 45°, следовательно, высота конуса, т.е. координата г точки на кривой, равна радиусу основания конуса. Такой конус назван а-конусом [9].
Получение циклографического образа пространственной кривой заключается в построении однопараметри-ческого множества а-конусов, вершины которых принадлежат данной кривой, а основания пересекают плоскость проекций П1(ху), образуя однопараметрическое множество циклов (рис. 1). Огибающая данного множества циклов будет являться циклографической проекцией пространственной кривой, а ортогональная проекция
исходной кривой - линия центров циклов, будет являться отражателем [10]. Огибающие Ри(V) и Р12(V) и линия центров р (V) образуют триаду линий, обладающую оптическим свойством. Это свойство известно в научной литературе [6] для циклографической а-проекции кривой линии. Если принять линии Ри (V), Р12 (V) и р (V) в качестве профилей цилиндрических поверхностей ф , Ф12 и ^ соответственно, проецирующих относительно плоскости П1(ху), то луч света, вышедший из излучающей поверхности по нормали к ней, например к Ф12, отразится от цилиндрической поверхности отражателя ф по нормали к поверхности ф . Очевидно, одна из линий циклографической проекции пространственной кривой - линия Рп (V), может исполнять роль источника, другая Р12 (V) - приемника излучения и наоборот, а отражателем является ортогональная проекция исходной пространственной кривой, т.е. линия Р (V) [11].
Рис.1. Циклографическая проекция кривой линии
Поставим центральному, параллельному и рассеянному пучкам прямых в соответствие пространственные а-образы - линейчатые а-поверхности, обеспечивающие циклографическое отображение. Центральному пучку прямых соответствует любой а-конус, вершина которого ортогонально проецируется на плоскость проекций П1(ху), и соответствует координатам центра пучка. Для параллельного пучка прямых строится а-плоскость, наклоненная к плоскости проекций под углом 45°, а след данной плоскости является базовым геометрическим объектом - носителем этого пучка. Для рассеянного пучка прямых, задаваемого на плоскости некоторой кривой линией п0-носителем пучка, строится а-поверхность с образующими, которые наклонены под углом равным 45° к плоскости П1(ху) (рис. 7). Каждая образующая проходит через пару соответственных точек, одна из которых принадлежит линии п0, а другая - пространственной линии т с ее ортогональной проекцией т1, при этом ордината г каждой точки линии т представляет собой радиус кривизны линии п0 в соответствующей ее точке, а линия т1 есть эволюта линии п0.
При решении обратной задачи необходимо каждому пучку прямых, моделирующих источник и приемник, поставить в соответствие пространственный а-образ и найти линию их пересечения - т.е. линию пересечения а-поверхностей. Ортогональная проекция полученной линии на плоскость П1(ху) и будет искомым отражателем. Решение обратной задачи подробно рассмотрено в работе [11]. Визуализация решения обратной задачи приведена на рис. 2.
Рис. 2. Визуализация решения обратной задачи на примере оптического преобразования центрального
в параллельный пучок лучей и наоборот
Решение прямой задачи отличается тем, что присутствует только один объект из пары «источник-приемник», но при этом задан отражатель. Заданному источнику (или приемнику), по аналогии с решением обратной задачи, ставится в соответствие его пространственный а-образ - а-поверхность, а отражателю - проецирующая цилиндрическая поверхность. При пересечении поверхностей получаем некоторую пространственную кривую. Циклографической проекцией этой кривой в общем случае будут являться две ветви огибающей однопараметрического множества циклов на плоскости проекций П1(ху), одна из которых является источником, а другая - приемником.
Рассмотрим примеры решения прямой задачи. Пусть задан источник в виде центрального пучка прямых К1(х0,у0) и некоторая плоская кривая линия 5Ь являющаяся отражателем лучей и перенаправляющая их к некоторому неизвестному приемнику (рис. 3). Требуется найти форму приемника.
/Г;
Л ■ Л ■ Л ■ Л ■ Л ■ Ф ■
Рис. 3. Задание источника в виде центрального пучка прямых (К) и зеркальной линии ^ на плоскости
Центральному пучку прямых ставим в соответствие пространственный а-образ - некоторый а-конус вращения ¥ с основанием произвольного радиуса Я:
Z = Я(X - х0)2+ (7 - у)2
Для зеркальной линии ^ строим цилиндрическую поверхность Ф. Совместное решение уравнений конической и цилиндрической поверхностей позволяет получить уравнение их пространственной линии пересечения 5 (рис. 4). Определим циклографическую проекцию полученной пространственной кривой 5 при помощи известных формул [10]:
х^>=х+г (х'У-чу'У-
У^(1,2) = У + 2
- У '• Г '± X X ')2 + (У ')2 - (г ')2
(X ')2 + (У ')2
где ху 2' - производные функций координат х(V), у(/), ) по параметру /.
Полученные линии 511 и 512 представлены на рис. 4. Линия 511 совпадает с основанием конуса, который является а-образом центрального пучка прямых (К^, а линия 512 является искомым приемником для данных исходных условий. На рис. 5 представлен результат решения задачи на плоскости.
Рис. 4. Визуализация определения линии приемника (источника) для заданных центрального пучка и отражателя
Рис. 5. Результат решения задачи нахождения линии приемника (или источника) на плоскости
Использование пространственных а-образов пучков прямых на плоскости для нахождения линии приемника имеет определенные преимущества: при изменении координаты г вершины К конуса, моделирующего центральный пучок (К1), а соответственно, и радиуса Я его основания - цикла, можно получить однопараметриче-ское множество линий-приемников при неизменных источнике К1 и отражателе 51. Следовательно, при реше-
нии подобных задач имеется возможность выбора оптимального по техническим условиям положения приемника относительно заданных источника и отражателя. На рис. 6 представлены возможные варианты изменения координаты г вершины конуса и в соответствии с этим изменения положения линии приемника как в пространственных а-образах, так и на плоскости проекций П1(ху).
Рис. 6. Изменение положения линии приемника 512 в зависимости от изменения координаты г вершины конуса, моделирующего центральный пучок прямых (в ед. длины): а) г = 2; б) г = 6; в) г= 10
Рассмотрим другой случай. Пусть в качестве источника будет некоторый рассеянный пучок прямых, а отражатель также будет задан некоторой кривой линией на плоскости. Как было отмечено выше, рассеянный пучок на плоскости моделируется произвольным носителем п0, а его а-образом является некоторая линейчатая а-поверхность. Для определения уравнения а-поверхности необходимо построить эволюту т1 к заданной исходной кривой п0 : хп ('), уп ('). Эволюта определяется известными в дифференциальной геометрии формулами [12]:
х, (7)= Хп (,)+ Уп (') ,, (Х'п ('>)2 + "('»'
х'п (')• У',(')-х\,(')• У\(')
(х\('))' + (у, ('))'
У- (') = Л (') + ^ (') У (' )• Уп (')-х'п (' )• Уп (' )■
Радиусы кривизны в каждой точке эволюты позволяют восстановить пространственную линию т. Для нахождения координаты г каждой точки линии т воспользуемся формулой [9]:
Уравнение линии п0 и полученной пространственной линии т приводят к уравнению а-поверхности
*(',I) = х, (')+1 •[хп (')-х, (')],
Г ('> I ) = У, (')+1 •[ Уп (')-У, (')], ^(',I) = (')•(!-1),Г0 < ' < Т,Ь0 < I < Ь.
Для отражателя 51, как и в предыдущей задаче, пространственным а-образом будет являться цилиндрическая поверхность Ф. Совместное решение уравнений линейчатой и цилиндрической поверхности приводят к получению уравнений их линии пересечения 5. Затем, на основании вышеприведенных параметрических уравнений, определяется циклографическая проекция данной линии, где одна из ветвей огибающей будет совпадать с исходным источником (т.е. 511 = п0), а вторая - линия 512, будет являться искомым приемником. Визуализация решения представлена на рис. 7.
В отличие от предыдущего примера, в данном случае ввиду однозначности, не представляется возможным изменять положения приемника относительно заданных источника и отражателя подобным способом.
Визуализация результатов вычислений в рассмотренных примерах была выполнена средствами компьютерной алгебры. Для демонстрации решения прямой задачи, представленной на рис. 2, 3 и 4, был задан центральный пучок с координатами центрами х0 = 0; у0 = 0. Значение координаты г и, соответственно, радиуса основания конуса, являющегося пространственным образом центрального пучка К;, принято равным 10 ед. длины. В качестве отражателя были принята кривая третьего порядка: х = 32 + 3t - 5; у = 2t3 - 6t2 + 9 + 2; 2 = 0, где 0 < V < 1.
Для визуализации решения другой прямой задачи, представленного на рис. 6, были использованы две параболы, моделирующие рассеянный пучок прямых и отражатель соответственно:
Возможность получать отражательные линии по заданным источнику и приемнику, или находить источник или приемник по заданным отражательной линии и одному из элементов этой пары с помощью метода циклографического отображения, позволяет решать все задачи из возможных комбинаций оптических преобразований пар пучков прямых на плоскости. Достоверность результатов легко проверяется при решении уже известных задач, например, таких как преобразование центрального пучка прямых в параллельный.
В работе рассмотрен метод циклографического отображения для решения задач геометрической оптики на плоскости. Подробно показана возможность решения прямой задачи оптического преобразования: нахождения линии приемника по заданному источнику и отражателю. Примеры подкреплены аналитическими выкладками и компьютерной визуализацией.
Рис. 7. Пространственная визуализация нахождения линии приемника (источника) для заданных рассеянного пучка прямых п0 и отражателя 51
IV. Результаты экспериментов
V. Обсуждение результатов
VI. Выводы и заключение
Метод циклографического моделирования, применяемый для решения задач геометрической оптики на плоскости, позволяет решать любую из задач оптического преобразованиях пучков прямых на плоскости. Результаты работы могут быть использованы в тех областях науки и техники, где моделируемые процессы какого-либо излучения подчиняются законам геометрической оптики.
Список литературы
1. Корнблит С. СВЧ оптика. Оптические принципы в приложении к конструированию СВЧ антенн: пер. с англ. / под ред. О. П. Фролова. М.: Связь, 1980. 360 с.
2. Кобак В. О. Радиолокационные отражатели / под ред. О. Н. Леонтьевского. М. : Сов. радио, 1975. 248 с.
3. Юрков В. Ю., Литунов С. Н. Основы теории и расчета светонаправляющих конструкций: моногр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2015. 112 с.
4. Борисова К. В. [и др.]. Расчёт отражающей поверхности, фокусирующей излучение в произвольную кривую в пространстве // Компьютерная оптика. 2014. № 3. С. 449-455.
5. Литунов С. Н., Ревзина Н. В. , Юрков В. Ю. Конструирование криволинейного отражателя // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. 2015. № 1 (137). С. 5-8.
6. Pottmann H., Wallner J. Computational Line Geometry. Berlin. Heidelberg: Springer Verlag, 2001. 565 p.
7. Fiedler W.: Cyklographie. Leipzig, Poggendorff III, 1882. 440 p.
8. Peternell M. Rational two-parameter families of spheres and rational offset surfaces // Journal of Symbolic Computation. 2010. Vol. 45. P. 1-18.
9. Панчук К. Л., Кайгородцева Н. В. Циклографическая начертательная геометрия: моногр. Омск : Изд-во ОмГТУ, 2017. 232 с.
10. Choi H. I., Choi S. W., Moon H. P. Mathematical theory of medial axis transform // Pacific J. Math. 1997. Vol. 181(1). P. 57-88.
11. Любчинов Е. В., Нитейский А. С. , Панчук К. Л. Геометрическое моделирование криволинейных отражателей // Россия молодая: передовые технологии - в промышленность. 2017. № 1. С. 254-260.
12. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М. : Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1956. 420 с.
УДК 004.925.83
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАЦИИ СЕМЕЙСТВА КОНТУРНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ (ЭКВИДИСТАНТ) ОБРАБАТЫВАЮЩЕГО ИНСТРУМЕНТА
GEOMETRIC MODEL OF GENERATION OF THE FAMILY OF THE CONTOUR-PARALLEL TRAJECTORIES (EQUIDISTANT FAMILY) OF THE MACHINE TOOL
Т. М. Мясоедова, К. Л. Панчук
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
T. M. Myasoedova, K. L. Panchuk
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. В работе рассмотрено аналитическое решение геометрической модели формообразования эквидистантных кривых, т.е. контурно-параллельных линий для плоского контура с островом. Геометрическая модель являются пространственной и основана на циклографическом отображении. Она отличаются от известных моделей и их решений для рассматриваемой задачи формообразования тем, что на этапах компьютерной пространственной визуализации позволяет получать более полное и наглядное представление о взаимосвязи и взаимовлиянии геометрических объектов модели. Приведен пример, подтверждающий работоспособность предложенной геометрической модели рассматриваемой задачи формообразования. Модель может быть использована при автоматизированном проектировании траектории режущего инструмента для обработки карманной поверхности на станках с ЧПУ.
Ключевые слова: эквидистанта, циклографическое отображение, «-поверхность, геометрическая модель, контурно-параллельные траектории инструмента.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-262-269
