Допуски, связанные с изгибанием поверхности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ÇJ

Mm 2Ï0

m

4

ш

58

50 • SÙ ?Û m

f. f i

Gi

G

| /i V \

\ I

à* 1 1 ?i)

;

¥

mm

a)

a

Mm

29

40

m

80

Wû

120 --

140 --

im

1--i-i-i-1-

L мм

Со

/

/ ;

* /

/

/

/

V

Рис. 4. Эпюры остаточных напряжений в зоне сварного шва корпуса до (а) и после (б) Аробеударной обработки

Наибольшие кольцевые напряжения при этом (стк) в 4 раза меньше осевых напряжений. После дробеструйной обработки эпюра остаточных напряжений в зоне меридиального сварного шва представлена на рис 4, б. Из сравнения эпюр видно, что дробеструйная обработка оказала воздействие на перераспределение остаточных напряжений.

После обработки внешней поверхности корпуса гидролизаппарата дробью снизились как осевые, так и кольцевые напряжения.

Наибольшие значения растягивающих остаточных напряжений в осевом и кольцевом направлениях не вышли за пределы 30 МПа, На внешней поверхности корпуса в зоне сварного шва осевые и кольцевые остаточные напряжения изменили свой знак и стали сжимающими.

Д.А.Журавлев, М.Д.Гаер

Допуски, связанные с изгибанием поверхности

В последние годы всё более активно ведутся исследования в области создания полноценных CAD систем, позволяющих моделировать детали и сборки с допусками.

Первым важным результатом наших исследований в этом направлении была работа [6], в которой описан новый дифференциально-геометрический подход к решению рассматриваемой проблемы. Кроме того, в работе все допуски были разбиты на три группы:

1. Допуски, связанные со взаимным положением составляющих поверхностей.

2. Допуски, связанные с изгибанием.

3. Допуски, связанные с искажением метрики.

Далее нами была разработана новая теория, которая позволила создать и реализовать алгоритмы CAD системы с моделированием деталей и сборок с допусками [2, 4, 5]. Основным математическим аппаратом в нашей теории является представление поверхностей через квадратичные формы [1]. Нами было полностью смоделировано создание и анализ сборок с пространственными допусками первой группы, то есть с допусками, связанными со взаимным положением составляющих поверхностей. Здесь каждому допуску ставится в соответствие определённое конфигурационное пространство. Тогда каждой точке конфигурационного пространства соответствует некоторое положение данной поверхности в трёхмерном пространстве, а именно положение её отмеченного репера. Вращение этого репера до нужного положения производится с помощью кватернионов [2].

Данная работа является продолжением разработок, описанных выше, а именно: предлагаются алгоритмы, позволяющие в рамках этой теории моделировать допуски, связанные с изгибанием. Они характеризуются изменением коэффициентов второй квадратичной формы при сохранении неизменной первой квадратичной формы.

Все поверхности в разрабатываемой нами CAD системе задаются квадратичными формами. Зная квадратичные формы рассматриваемой поверхности, мы можем восстановить её через деривационные формулы [4]. Таким образом, изменение коэффициентов второй квадратичной формы не требует никаких изменений в алгоритмах восстановления поверхности.

Итак, пусть некоторая поверхность S задана квадратичными формами, то есть нам известны коэффициенты I и II квадратичных форм поверхности 5 и её карта U. Используя алгоритмы, описанные в [4], можно получить значение вектор-функции 7~(//,v) в любой точке (и, v) карты U поверхности S.

Изменение коэффициентов L, M, N второй квадратичной формы при неизменной первой квадратичной формы приводит к изгибанию поверхности. Однако произвольно их менять нельзя, так как между коэффициентами квадратичных форм существует связь в виде основных уравнений теории поверхностей:

Г

LN-M" =

1

EG-F2

0 -LE 2 v ±G

F,-*G„ Е F - J-E 2 v E F

+G„ F G 2 и F G

где Г*

1 Ц, - Ми = Г/2Ь - (г,\ - Г,2 )м - Г,2,N;

|MV - Ntf = Г|2 L - (г'2 - Г222 )м - Г,2 N. символы Кристоффеля;

GE, - 2FF, + FEV . . =

2(EG-F2) ' 12 2(EG-F2)'

(1)

Г

-I- 1

! _ GE..-FG,

* 1 о

Г2 1 и

, _ -GG„+ 2GFv + FGr.

22 \ ' 12

___ _ _ EG„ - FE„

2(ËG^F) ' i12 2(EG-F2)' Уравнения (1) называются уравнениями Гаусса-Петерсона-Кодацци.

n

ЕЕ +2EFM-FEH . 2ÎEG- F2)

FG, -2FF. + EG. _« ._i_._i

2(EG-F2)

Оказывается, что если в плоской области и заданы шесть функций I, М, N. Е, Е, для которых выполняются уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци и функции Е, ЕЭ-Р всюду положительны, то указанные шесть функций являются коэффициентами первой и второй квадратичных форм некоторой гладкой поверхности, определенной ими однозначно с точностью до положения в пространстве. Это теорема Боннэ [1].

В уравнениях (1) к каждому коэффициенту второй квадратичной формы добавим некоторую функцию:

(L + ALX'N + AN)- (M + ДМ)2 -

1

EG-F*

( 0 iEv ±GU \

FV-|G„ E F - 1EV E F

К F G iOH F G /

(L + AL)V-(M + AM)U +AL)-(Г,1, -r,22)(M + AM)-r^(N+ AN);

(2)

! (M + AM) v - (N + AN)tt = ri2(L + AL)- (Г,1. - Г222)(М + AM)- r/2(N + AN). После алгебраических преобразований в уравнениях (2) получаем

; АМ2 + 2МА.М - LAN- NAL - ALAN = 0; MLV-AM„ =ri12AL-(^-ri22)AM-ri21AN; |AMV - ANH = rlAL- (r;2 - r¿)AM - r,'2AN.

Для поверхностей, у которых L * 0 и N ф 0, будем считать АМ s 0. Обозначим AL = ф, v), AN = у[и, v). Таким образом, последняя система уравнений преобразуется в следующую:

nt . L+.v ?

(3)

Lу + Nx + ху = 0; у

1 Xv = Г17Х ~ ГПУ\ ИЛИ j К = Г\]у\

'[- У и = Гпх - ГпУ- У и = Г22* - Г12>'

В каждой фиксированной точке (и, v) карты U гипербола у - пройдёт через начало координат (рис. 1). Таким образом, конфигурационным пространством допуска, связанного с изгибанием поверхности, будет некоторая дуга АВ на гиперболе у = - , расположенная в окрестности нуля.

Далее, подставив во второе и третье уравнение системы (3) вместо у выражение у = — , получим линейную

систему дифференциальных уравнений в частных производных, численное решение которой не представляет труда. А значит, в каждой точке полученного конфигурационного пространства мы знаем значение функций AL(u, v) и AH(u, v). Напомним, что в рассматриваемом случае АМ = 0.

Остальные случаи тождественного равенства и (или) неравенства коэффициентов второй квадратичной формы рассматриваются аналогично.

Итак, пусть r(w,v) - вектор-функция первоначальной поверхности с коэффициентами второй квадратичной формы L, М, N, а р(к, у) - вектор-функция изменённой поверхности 5' с коэффициентами второй квадратичной формы L 4- AL, М + АМ, N + AN. Для каждого значения функции p(tt,v) найдём точку г(/7,у) поверхности 5:

р(и, v) = г (и, v ) + h(u, v)t?( /7, v ), (4)

где ñ(í¡, v) - вектор нормали в точке первоначальной поверхности S. Эта точка ищется как ближайшая к точке поверхности 5', то есть из точки р(и, у) поверхности S! опускается перпендикуляр на поверхность S (рис. 2). Соответствующие алгоритмы для этого также уже имеются [4].

i

-1 к

О Ï в*-—.

л -N

Рис. 2

Рис. 1

Далее, из уравнения (4) находим значение функции /?(?/, у)

/?(//, у) = \р{и, v')- г (и, v ),

Таким образом, теперь мы можем добавить в разрабатываемую нами САПР допуски, связанные с изгибанием поверхности, такие как т0 = тах|/?(м,у)|, т - тах(/?(«, у)) (характеризует натяг), т — тах(-/?(г/,у)) (характеризует зазор) и другие описанные в [6].

Библиографический список

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю, Геометрия: Учеб, пособие. - М.: Наука, 1990. - 672 с.

2. Гаер М.А. Разработка и исследование геометрических моделей пространственных допусков сборок с использованием кватернионов: Дисс. ... канд, техн. наук. - Иркутск, 2005.

3. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию), учебное пособие. - М.: Наука, 1997.

4. Журавлёв ДА, Калашников A.C., Гаер М.А. Геометрическое моделирование деталей и сборок с пространственными допусками в САПР нового поколения II Вестник ИрГТУ. - 2006. - № 4. - С. 17-23.

5. Журавлёв ДА, Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ, - 2005. - № 1, -С. 116-125.

6. Журавлёв ДА, Грушко П.Я., Яценко О.В, О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков II Вестник ИрГТУ, - 2002. - № 12, - С. 82-92.

С.И.Ключников

Использование системы МЗС/Ма$!гап для моделирования перераспределения внутренних напряжений при фрезеровании изделий

При автоматизированном проектировании нового изделия основное внимание уделяется вопросам создания CAD-моделей (графических моделей) отдельных деталей и сборок. При этом разработка технологии изготовления деталей с учетом формируемых в процессе изготовления деталей показателей качества. Современные программные средства в подавляющем большинстве случаев позволяют полностью или частично отказаться от натурного эксперимента, переведя все в область компьютерного моделирования с привлечением CAE-систем. Проведение испытаний и исследований на реальных заготовках и деталях очень дорого, поэтому для решения проблемы коробления автор попытался адаптировать стандартную систему инженерного анализа для определения оптимальных технологических приемов.

Модель заготовки создаем в виде твердотельного элемента с соответствующими свойствами, далее с целью выявления поведения детали принимаем: количество, диаметр и расположение отверстий.

При задании нагрузок и закреплений, обеспечивающих моделирование остаточных деформаций, учитываем, что при обработке детали на неё действуют силы резания. Основной силой резания, действующей на заготовку при сверлении, является тангенциальная направляющая по оси Z. Остальными силами резания пренебрегаем ввиду их малых значений по сравнению с основной. Перераспределение остаточных напряжений в детали в процессе снятия припуска, а также при разгрузке заготовки приводит к деформациям детали в виде «сворачивания» относительно центральной точки в направлении, обратном направлению движения резания. Направление нагрузок, заменяющих усилия от остаточных напряжений в заготовке, зададим по поверх-

ностям отверстий в направлении, обратном направлению движения резания фрезы (сверла).

Для обеспечения необходимых перемещений и проведения анализа принимаем один из трех способов закрепления:

- по боковым поверхностям;

- по нижним граням боковых поверхностей;

- по узлам конечно-элементной сетки одной из поверхностей.

Последний способ является наиболее приемлемым для проведения наших исследований, так как обеспечивает свободу перемещений поверхностей модели и необходимые направления деформаций.

Первый вариант - моделирование нагружения образца с четырьмя отверстиями. Размеры отверстий принимаем величиной постоянной и соответствующей одной десятой доли наибольшей стороны образца. В результате расчета модели получены деформации в виде сложного двуосного прогиба типа «парус».

Анализ моделирования разгрузки путем создания четырёх отверстий по периферии модели привели к незначительному деформированию близлежащих рёбер жесткости. При сверлении девяти и большего количества отверстий деформации распространялись в целом на образец. В дальнейшем исследования проводились с тринадцатью, семнадцатью и двадцатью пятью отверстиями. При этом наиболее благоприятный вариант разгрузки, с точки зрения минимальных деформаций, наблюдался при максимальном удалении припуска высверливанием отверстий в центральной части образца и снижением концентрации отверстий при перемещении к периферии.

Изучение деформаций длинномерных деталей после снятия припуска с разгрузкой сверлением отверстий рассматривали на примере моделирования длин-