CC BY
60
8. Tanaev, V.S., Kovalev, M.Ja., Shafranskij, Ja.M. Scheduling theory. Group technology. -Minsk: United Institute of Informatics Problems of the National Academy of Sciences of Belarus, 1998.
Дадар Алдын-кыс Хунаевна - кандидат технических наук, доцент кафедры городского хозяйства Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: [email protected]
Куулар Чинчи Шаалыовна - старший преподаватель кафедры городского хозяйства Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: [email protected]
Салчак Рубен Ромежович - студент 4 курса Тувинского государственного университета, г. Кызыл, E-mail: [email protected]
Dadar Aldyn-kys - Ph. D., associate Professor of Department of municipal economy Tuvan state university, Kyzyl, E-mail: [email protected]
Kuular Chinchi - senior lecturer of the Tuvan state university, Kyzyl, E-mail: [email protected]
Salchak Ruben - fourth-year student, Tuvan state university, г. Кызыл, E-mail: [email protected]
УДК 624.074.353: 624.046
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СВОДОВ КОРОБОВОГО ОЧЕРТАНИЯ
Калдар-оол А-Х. Б.
Тувинский государственный университет, Кызыл
GEOMETRICAL CALCULATION CIRCULAR OUTLINE VAULTS
Kaldar-ool A-H. B.
Tuvan State University, Kyzyl
Исследуется геометрическое построение оси коробового свода. Получено аналитическое уравнение оси коробового свода на основе существующих способов построения коробовой кривой.
Ключевые слова: коробовый свод, геометрический расчет.
The geometrical axis construction of circular vault is investigated. Analytical solution of the circular vault axis equation based on the existing graphical methods of construction of circular curves is obtained.
Key words: circular vault, geometrical calculation.
Сводчатые перекрытия из кирпича широко применялись при возведении уникальных памятников архитектуры в XVIII- XIX веках. Наиболее широко распространены цилиндрические своды - в форме половины прямого кругового цилиндра с горизонтальной осью.
Однако круговая кривая имеет ряд недостатков - образование избыточных объемов помещения, не всегда интересную с архитектурной точки зрения форму.
Для исправления этих недостатков можно было бы использовать эллиптическую форму. А ее образование имеет ряд конструктивных сложностей -трудности с созданием кружал и устройством неодинаковых швов кладки.
Поэтому, еще в XVIII веке была разработана новая форма образующей -коробовая кривая.
Коробовые своды очерчены по кривой, описанной из нескольких центров. Форма этих сводов была проста для организации кружал, легко осуществима при возведении, и вообще свод получает более красивый вид.
При исследовании коробовых сводов приходится построить их расчетную схему. Для этого следует получить очертание коробовой кривой.
В XVIII- XIX векахдля построения коробовой кривой применялись графические и графоаналитические методы построения. В технической литературе имеются несколько графических способов построения коробовых кривых. В данной работе попытка определить аналитически геометрические параметры очертания оси коробового свода, используя известные в литературе графические способы симметричных трехцентровых коробовых кривых, которые часто встречаются на практике. Эти способы построения в изложении авторов приведены ниже.
Способы построения трехцентровой коробовой кривой:
1 способ. Заданы полупролет Ц1=А0), стрела подъемаЦ1=0С)(рис.1, а).
Для построения коробовой кривой из точкиАпроводится вертикаль АК, източки Сгоризонталь СК. В полученном прямоугольнике строится диагональ АС. Углы между диагональю АС и АК обозначаются р, между АС и СК - а. Из точки Г пересечения биссектрис этих углов опускается перпендикуляр на прямую АС и продолжается до прямой А0(точка 1, являющаяся центром малой окружности)и до продолжения прямой 0С(точка 2 - центр второй окружности). Используя радиусы Г1=Г-1 иг2=Г-2, строятся дуги окружностей коробовой кривой.
2 способ. Заданы полупролет Ц, стрела подъема^ОС) (рис. 1, б).
Этот способ построения коробовой кривой выполняется по аналогии предыдущего, но на диагонали АС откладывается отрезок Сй=Ь-£ Расстояние Ай делится пополам в точке М. В этой точке восстанавливается перпендикуляр до пересечения с А0(точка 1, являющаяся центром малой окружности)и до продолжения прямой 0С(точка 2 - центр второй окружности). Используя радиусы Г1=Г-1 и Г2=Г-2, строятся дуги окружностей коробовой кривой.
3 способ. Заданы полупролет Ц1=А0), стрела подъема Ц=0С)и угол р, отложенный от прямой А0(по первоисточнику угол р принят равным 60°, при Е0=/00, получаетсяр=63°26') (рис. 1, в).
Для построения коробовой кривой следует провести из точки 0 радиусом Ц четверть окружности, на продолжении 0С отмечается точка й. Из точки 0 под углом рпроводится прямая 0Едо пересечения с дугой АйТочка Е делит дугуАй на две части. Через эту точку строятся хорды йЕ и ЕА. Из точкиС проводится прямая, параллельная йЕ, до пересечения в точке Г с хордойЕА. Из точки Г проводится прямая под углом р, параллельная 0Е до пересечения с продолжением прямой С0 в точке 2. Точка 1 является местом пересечения этой прямой с отрезком А0. Эта точка
является центром первой окружности, а точка 2 - центром второй окружности. Используя радиусы Г1=Г-1 и Г2=Г-2, строятся дуги окружностей коробовой кривой.
а. б. в. г.
Рис. 1. Трехцентровые коробовые кривые
4 способ. Задан полупролет L(L=A0), стрела подъема f(f=0C), радиус Г)(рис. 1, г). Для построения образующей коробового свода от точки Аи точкиСпо направлению к точки Ооткладываются известные значения радиусап, соединив точки 1 и Ополученная прямая 1-D делится пополам точкой Е. Из этой точки проводится перпендикуляр к линии 1-Одо пересечения в точке 2 с продолжением линии С0. Точка 1 является центром первой окружности, а точка 2 - центром второй окружности. Используя радиусы ri=F-1 иг2=F-2, строятся дуги окружностей коробовой кривой. Способы построения пятицентровой коробовой кривой.
1 способ. Задан полупролет L, стрела подъема /(рис. 2, а).
Для получения пятицентровой коробовой кривой из полупролета L вычитываем стрелу подъема f. L - f . На биссектрисе угла 02 откладываем полученный отрезок L - f , получили центр 2. Центр 2 будет радиусом едуги FK2. Через точку 2 провести прямойпод углом 45° к прямой АО, нашли центр 1 и продолжаем до пересечения 0C. Центр 1 является малым радиусом Г1на пяте дуги AFI. С точки D откладываем вниз прямой00, получили прямой D3, определили центр 3. Центр 3 будет радиусом гз замковой дуги KC2.
2 способ. Задан полупролет L, стрела подъема /(рис. 2, б).
Для начертания пятицентровой коробовой кривой выбираем произвольно
f2 L2
радиусы ri и гз (например, равные радиусы кривизны эллипса r. =- и r = —)
L f
и откладываем произвольно точку Она дуге CD. Из точек А и Оотложили радиус ri к точке 0, получили прямой A1=DB=ri. Опускаем перпендикуляр к середине прямой B1 до пересечения прямой D3, нашли центр 2. Центр 2 будет радиусомг2 дуги FK2.
Рис. 2. Пятицентровые коробовые кривые.
3 способ.Задан полупролет Ц стрела подъема /(рис. 2, в).
Находим отрезок Х=Ц-/ полученный прямой Х откладываем от начала координат оси абсцисс Х=01, и оси ординат Х=0й, Х=й3. Нашли центры 1 и 3, центр 2 лежит на пересечении прямой 1й с биссектрисой угла 02.
Коробовые своды состоят из нескольких отрезков круговых кривых имеющих, в местах сопряжения на участках с разными радиусами требуется добиться равенства первых производных уравнения оси (совпадение тангенса угла наклона касательной с кривыми сопряжения), что соответствует условию нахождения на одной прямой центров кривых в этих точках, что является достаточно трудоемкой задачей.
Рис. 3. Способ построения трехцентрового коробового свода
Для построения очертания оси свода, находим малый радиус п, и большой радиус 2 При построении оси мы сможем задавать пролет L и стрелу подъема I Отметим прямой к0=1Л, C0=f, проводим прямоугольник и диагональ, определяем
УГЛЫ а' = arctan
í i ]
и Р' = аге1ап | -| . Треугольники KCA, GDF и СDP подобны, так
I ¥ )
как их стороны пропорциональны и углы, заключенные между ними равны, поэтому углы а=а', в=в' (рис. 3).
Составим систему уравнений:
( MF + FN = f = r¡ ■ .sin p + (1 - cos а ) ■ r2
I I oí / / /_/ T i - Ol/J ОС / / 'J ... 1 1 2 (1) [ BF + FG = L/2 = (1 - cos p ) ■ r, + sin а ■ r2
Для всех способов построения разрешающая система уравнений выглядит так:
( r, ■ sin Р + (1 - cos а ) ■ r. = f 1 1 2 f н (2) ^ (1 - cos Р ) ■ r; + sin а ■ r2 = L H
Для пологих арок экспериментально можно определить величины полупролета U стрелу подъема f и значение малого радиуса Пн, где индекс «н» означает, что измеренные величины относятся к нижнему слою конструкции.
Для подъемистых (крутых) арок более удобно определить величины полупролета L^ стрелу подъема ^ и значение угла р наклона прямой, на которой лежат центры соприкасающихся окружностей к вертикальной оси (горизонтальной для пологих арок).
При заданных величинах Ьн, f и р приведенные выше уравнения следует рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений для определения двух нижних радиусов окружностей.
При заданных величинах L^ f и Пн те же уравнения образуют систему нелинейных уравнений для определения радиуса Г2н окружности и угла р.
Решение в виде основной матрицы и матрицы-столбца:
А =
sin Р 1 - cos а Л
1 - cos Р
Матрица столбец известных радиусов:
d =
(Я
L 2 .
D
(г \
(3)
Уравнения оси свода удобно представить в параметрическом виде, где
Л Л -т
параметром является текущий угол ф изменяющейся в пределах от - — до —. Тогда
2 2
выражения координат оси представиться в виде 4, 5:
sin а
, 1
R
r
V '2 J
XО) :
г (- а )+ r ■ cos ß - r, ■ cos f--+ ol, если -< o < -а
У2 J 2
r2 ■ sin o, если o < а |
f ж Л
r„ ■ sin а - r ■ cos ß + r ■ cos I — - p I, < 2 * * У2 J
(4)
ж
а < p < — 2
УО)
f ж Л - ж ■ .sin I o + — I, если -< o < -а
У 2 J 2
(r2 ■ cos (o ) - 1) + f ], если - а < o < а (5)
■ fж
■ sin I--
У 2
л
o I, если а < o < — J2
Зная геометрические параметры свода: пролет I, стрелу подъема f, толщину h, получено аналитическое решение уравнения оси свода, описывающих построение трехцентровых коробовых кривых в параметрическом виде.
Библиографический список:
1. Залесский, В.Г. Архитектура, краткий курс построения частей зданий / В.Г. Залесский. - 2-е изд. - М., 1911. - 640 с.
2. Кривошеин, Г.Г. Расчет сводов. В 2 ч. Расчет сводов по методу предельного равновесия. Расчет упругого свода / Г.Г. Кривошеин. - Пг., 1918. - 133 с.
3. Калдар-оол, А-Х.Б. Аналитические способы построения трехцентровых коробовых кривых / С.А. Корзон, А-Х.Б. Калдар-оол // Вестник гражданских инженеров. - Санкт-Петербург, - 2012. -№1 (30). - С. 112 - 114.
Bibliograficheskij spisok:
1. Zalessky, V.G. Arkhitektura, kratkii kurs postroeniya chastei zdanii / V.G. Zalessky. - 2-e izd. - М., 1911. - 640 s. [Zalessky, V.G. Architecture, a short course of constructing parts of buildings / V.G. Zalessky. 2-nd ed. - М., 1911. - 640 p.]
2. Krivoshein, G.G. Raschet svodov. V 2 ch. Raschet svodov po metodu predel'nogo ravnovesiya. Raschet uprugogo svoda / G.G. Krivoshein. - Pg., 1918. - 133 s. [Krivoshein, G.G. Calculation of vaults. In 2 parts. Calculation of the vaults by the method of limiting balance. Calculation of the elastic vault / G.G. Krivoshein. - Pg., 1918. - 133 p.]
3. Kaldar-ool, А-H.B. Analytical methods of constructing three-centre circular curves (korobov curves) / Korson S.A., Kaldar-ool, А-H.B. // Bulletin of Civil Engineers - St. Petersburg, -2012. -№1 (30). - P. 112 - 114.
2
ж
r
Калдар-оол Анай-Хаак Бугалдаевна - преподаватель, кафедры городского хозяйства, Тувинского государственного университета, г. Кызыл, аспирант кафедры городского хозяйства, землеустройства и кадастров Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета, г. Санкт-Петербург, E-mail.ru: [email protected].
Kaldar-ool Аnay-Hааk - lecturer of the Department of City economy of the Tuvan state University, Kyzyl,graduate student of Urban Development, Planning and Inventory of St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering, St. Petersburg, E-mail.ru: [email protected].
