CC BY
41
Evaluation of influence that some functioning criteria bring on lon-based networks performance
Sergey Alexandrovich Dadenkov Assistant, Chair of Automatics and Telemechanics Efim Lyvovich Kon Professor, Candidate of Technical Sciences, Chair of Automatics and Telemechanics
Perm National Research Polytechnic University
This paper proposes an approach to the quantitative evaluation of the functioning criteria for importance within the Lon-based network performance estimation. The main results of the proposed importance evaluation for the reviewed criteria, which were not investigated earlier in the proposed combination, are summed up in the recommendations that can be used within the development of adequate analytical and simulation models.
Keywords: analytical model, industrial control system, significant factor, performance, recommendations, protocol stack, LonWorks, LonTalk, predictive p-persistent CSMA.
УДК: 512
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СБАЛАНСИРОВАННЫХ k-ЗНАЧНЫХ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ И СИНТЕЗ ПОДСТАНОВОК
НА ИХ ОСНОВЕ
Владимир Глебович Никонов, д-р.техн.наук, член президиума Тел.: 8 (916) 676-29-28, e-mail: [email protected]. Российская академия естественных наук http://www.raen.info Данил Андреевич Сошин, студент Тел. 8 (916) 220-79-96, e-mail: danil [email protected] Федеральное государственное унитарное предприятие «Научно-исследовательский
институт «Квант» ФГУП НИИ КВАНТ
Предложен геометрический способ построения сбалансированных пороговых к—знач-ных функций. Разработан новый метод синтеза на их основе биективных отображений.
Ключевые слова: пороговая функция, сбалансированная функция, регулярная система, подстановка.
В работе рассматривается геометрический метод построения к— значных пороговых функций и подход к компактной реализации биективных отображений специального вида на основе построенных функций. Построение таких систем можно рассматривать как результат продолжения и развития исследований, начатых в работах В.Г. Никонова, А.В. Саранцева, Е.С.Сидорова [2; 3; 4], посвященных изучению регулярных систем однотипных булевых функций. Перенос на к— значный случай генерации подстановок в пороговом базисе удалось осуществить для конкретного сравнительно узкого класса функций, но при этом для В.Г. Никонов различных значений к при размерности
пространства п = 3,4.
Предлагаемый компактный способ реализации позволит сэкономить память и упростить реализацию подстановки в конкретной вычислительной среде.
Координатное отображение F:
^(х) = (/1е (х),/^ (х).....^(х)), (1)
где Пfe = {0,1, ...,к — 1} и ^к(х) = /к(х1,х2,...,хп) - к— значные функции, называется биективным, а система функций ^ (х),/^ (х),...,/^ (х) - регулярной системой, если F - взаимооднозначное отображение.
Определение 1. Функция к— значной логики называется пороговой,
если существуют вещественные наборы (а1,а2,...,ап) и (Ь0,Ь1,.,Ьк) такие, что для любого аЕ 0, /с — 1 выполняется условие
/к(х1,х2,...,хп) = аой„ <х1а1 + х2а2 + —\-хпап <Ьа+1, (2)
где вычисления линейной формы х1а1 + х2а2 + ••• + хпап и сравнения производятся над полем действительных чисел.
Определение 2. Слоем Оа пороговой функции /к будем называть те, и только те точки множества О^, для которых функция /к принимает значение а, йЕ0,/с-1.
В геометрическом смысле каждое неравенство х1а1 + х2а2 + ••• + хпап <Ьа+1 задает полупространство, лежащее по одну сторону от гиперплоскости Са, задаваемой равенством х1а1 +х2а2 + ••• + хпап = Ьа+1, а слой Ба - множество целочисленных точек п— мерного куба со стороной длины к — 1, расположенных между двумя соседними гиперплоскостями Са_1 и Са.
Прежде чем приступить к описанию метода построения сбалансированных пороговых функций, приведем класс сбалансированных пороговых функций, который в последующем определит основу метода.
Теорема 1. При п> 3, к> 2, Т = (п — 1)(к — 1) — 1 функция /„^(х) = /4*1 ), заданная следующим образом
(0 о 0 < х1 + х2 + — + хп-1 + Тхп<Т, /к(х) = < ао аТ<х1 +х2 + —Ь хп_1 + Тхп < (а + 1 )Т, а Е 1 ,к — 2, (3) 1 о (к- 1)Г< хг +х2 + ••• + хп_1 + Тхп<кТ + 1
является сбалансированной пороговой.
Для описания метода построения сбалансированной пороговой функции введем понятия среза Ба — множества точек {(х1,х2,.,х,г_1,а) Е О^}. Будем говорить, что гиперплоскость пересекает срез, если существуют две точки этого среза, лежащие по разные стороны от гиперплоскости.
Построение в теореме 1 пороговой равновероятной функции основывается на отсечении гиперплоскостями и Са в срезе Ба крайних точек, а именно точек (0,0, .,0,а) и (к — 1,к — 1,...,к — 1,а), и добавлении крайних точек из срезов 5я+1 и Ба_ъ т.е. (0,0, .,0, а + 1) и (к — 1, к — 1,..., к — 1, а — 1), аЕ 1, /с — 2. Слой О0 получен отделением гиперплоскостью С0 точки (к — 1, к — 1,..., к — 1,0) в срезе 50 и добавлением точки (0,0, .,0,1) в срезе слой - удалением точки (0,0, ...,0,к — 1) и добавлением точки (к — 1, к — 1,..., к — 1, к — 2) из соответствующих срезов. Согласно утверждению теоремы 1, данные слои за счет такой компенсации равномощны. При этом каждая гиперплоскость Са пересекает только два среза Ба_г и Ба, аЕ 1, к — 1.
Определение 3. Пороговую функцию назовем Ь—уровневой, если для любого аЕ 0,к — 1 множество Ба содержится в £ срезах, при этом £ - минимальное с таким свойством.
В частности, теорема 1 описывает 3-уровневую пороговую функцию при к> 3 и 2-уровневую при к = 2.
Опишем класс 3-уровневых сбалансированных пороговых функций, расширяя класс функций, заданный в теореме 1. Для этого рассмотрим семейство гиперплоско-
стей Са в п — мерном пространстве, каждая гиперплоскость которого будет проходить через соответствующий набор точек:
а(1) _ ^ ,к —1, к —1, к —1,.., к —1, к —1, а); а^ = (к — 1, гЛ ,к — 1,к — 1, ...,к — 1,к — 1,а);
= (к-1,к-1,к-1,к-1, ...,к-1, гъ , а); а(") = (к-1,0,...,0,а + 1),
где г}1 = к — 1 — к, а£ 0,к — 2.
Следующая теорема описывает пороговые сбалансированные функции, соответствующие данному семейству гиперплоскостей.
Теорема 2. Пусть = (к — 1)(п — 1) — 2Л + 1, Ра = (а + 1)йп + к—1 для некоторых к> 2, К>1, п> 3. Функция /к(х1,х2,...,хп), заданная следующим образом
/к(х1,х2,...,хп) = а о Ъа<хг + —Ьхп_1 +хпИп <Ъа+1, (4)
где (Ь0,Ь1,...,Ьк) = (Р_2,Р0,Р1,...,Рк_2,Рк), при {к -1){п-1) >3}1-2 является сбалансированной пороговой.
Заметим, что при к = 1 класс функций, описанный в теореме 2 совпадает с классом функций описанным в теореме 1.
Опишем еще один класс сбалансированных 3-уровневых функций, основанный не на отсечении точек среза, попавших в (п — 1)-мерный симплекс, как было в теореме 2, а на отсечении многомерного ребра среза. Для этого зададим семейство гиперплоскостей, каждая гиперплоскость которого проходит через соответствующий набор точек: а^1) = (к — 1, гп , к — 1, к — 1,..., к — 1, к — 1, а); а(2) = ( 0 , гп ,к — 1,к — 1, ...,к — 1,к — 1,а); а^3) = ( 0 ,к — 1, гн ,к — 1, ...,к — 1,к — 1,а);
а("-1) = ( о ,к-1,к-1,к-1,...,к-1, г}1 ,а); а(") = ( 0 ,к-1, 0 , 0 ,..., 0 , 0 ,а + 1),
где гн = к — 1 — к,аЕ0,к — 2.
Теорема 3. Пусть = (к — 1)(п — 2) — 2к + 1, Р^ = (а + 1)йп_х + Ь—1 для некоторых к> 2, к> 1, п> 3. Функция /к(х1,х2,...,хп), заданная следующим образом
/к(х1,х2,.,хп) = а о Ьа <х2+ —+ хп-1+ хпЯп-1 <ba+1, (5)
где (¿„А.....Ьк) = (Р^2,Р{),Р{.....Рк-2,РО, при (к-1){п-2)>3к-2 является
сбалансированной пороговой.
Построенные пороговые сбалансированные к— значные функции будут взяты за основу при синтезе биективных отображений. Для построения регулярной системы используем операции, аналогичные преобразованиям однотипности в булевой области. Группой движения Сп назовем группу, порожденную группами Бп и Ып,
Сп=<Бп,Ып>,_ (6)
где Бп - группа подстановок на множестве 1, п, а Ып = {—1,1} - группа инвертирования переменных. Действие данных групп на определяется следующим образом: для любого (аг, ) , для любых хё Бп и Р = (Р1,Р2,.,РП)ЕЫП
з(а1,а2,.,ап) = (а3-1(1уа3-1(2у...,а3-1(.п-)У; (7)
п( л _ ( Л а1, есяи^ = 1, (8)
р^а1,а2,..,ап) — (и1,и2,..,ип), щ — 1 _а = —1 (8)
Обозначим через функцию, полученную из функции , где одна из построенных функций, следующим образом
Гп,^=Гпк№х). (9)
Рассмотрим отоб п
Произвольной системе к— значных пороговых функций Д^,/^,"-,/^ будем ставить в соответствие матрицу С = (с^у), где с£,у- коэффициент линейной формы функции ^ при переменной Ху с учетом действия преобразования ^у. При поиске регулярных систем взяты системы вида /^(1),5(1),/^(2),5(2),"-,/7£|д(п),5(п).
ражение множества самого в себя по правилу
(Х1'Х2'---'Хп) = (Ю)
Поиск регулярной системы осуществляется алгоритмическим способом, а именно, путем перебора функций /„ „(0 „(¡)(х1,
) и проверки факта порождения подстановки.
Следующее утверждение играет важную роль при реализации алгоритмического способа поиска биекций.
Теорема 4. Пусть к> 3 и для некоторых ЕБп в матрице С, отве-
.,/^(П)5(„), полученной из одной из построенных
чающей системе /,г/^д(l),s(l),/,г/^д(2),s(2),
функций (3), существует столбец 1,п, имеющий в различных строках элементы вида
тогда для любых р^,^2^,".,^^ ЕМп отображение (10) не является биекцией, где Т определено в теореме 1.
Утверждение теоремы 4 справедливо для функций (4) и (5) с заменой Т на Яп или Rn-l соответственно.
Из данной теоремы следует, что для поиска регулярных систем вида
№ достаточно ограничиться системами вида
n,|3<-1\в, 'п, 0(2)
Г
(11)
где в тождественная подстановка из Бп и 5 = (1,2, ". ,п). Действительно, переста-
новкой
?к
матрицы
С,
соответствующей некоторой системе
столбцов
, не удовлетворяющей условию теоремы 2, всегда можно получить матрицу, в частности для функций (4), вида
С' =
( ^ . /е\
■ №
^(п-1) ■ о<Л~1) Рп-1 о(п-1) Рп
о(п) Рп-1 №)
(12)
которой соответствует система (11). В то же время, перестановке столбцов произвольной матрицы, соответствующей некоторой системе пороговых функций, отвечает перестановка входного вектора х, в соответствии с формулой
п
(!)„/,/„ о(2) „(2)„/,",/„ о(п) I (Х1,Х2,".,Х„) —
подход
?к
при
поиске
регулярных
Данный
/п'!0(1),5(1),/7г^0(2),5(2),",4К0("),5(") сокращает перебор в С раз, где
систем
вида
С =
П"
п!
п"
^б)
Л
\nc~n.
пп
На основе матрицы (12) для функций (3) с проверкой регулярности отображений на ЭВМ при п = 4, были получены следующие результаты:
a) при к = 2 получено 3328 биекций;
b) при каждом к е 3,10 рассмотрены все варианты построения подстановок указанным способом и получено 768 биекций;
c) для одной выбранной матрицы построена подстановка для к = 32 степени г = 220 = 1048576. _
Проверка результатов полученных в теоремах 1,2,3 на ЭВМ для всех к е 2,10, п е 2,10 и для каждого целого h, удовлетворяющего условиям теоремы, дала положительный результат.
В заключение в качестве примера рассмотрим к = 4 и зафиксируем
/11 1 8 \ г-1 11 8 —1 | \ 1 8-1-1}-\-8 11 1 '
Построенная подстановка, соответствующая матрице С, имеет цикловую структуру (144,45,48а>) (см. [1]). Ниже приводится цикловая запись данной подстановки при условии, что каждому вектору (а1,а2,а3,а4) еА^ поставлен в соответствие его лексикографический номер.
1 цикл длины 44:
(3,16,196,211,7,32,200,227,11,48,204,243,15,52,220,247,31,56,236,251,47,60,252,239,59,44, 248,223,55,28,244,207,51,12,240,203,35,8,224,199,19,4,208,195)
4 цикла длины 5:
(0,128,193,131,2) (1,64,192,194,67)(127,62,124, 253,255)(61,188,254,191,63)
48 циклов длины 4:
(6,80,197,147)(5,144,198,83)(9,160,202,99)(10,96,201,163)(13,176,206,115)(14,112,205,179) (17,132,210,71)(18,68,209,135)(20,212,215,23)(21,148,214,87)(22,84,213,151)(24,228,219,39) (25,164,218,103)(26,100,217,167)(27,36,216,231)(29,180,222,119)(30,116,221,183)(33,136,226,75) (34,72,225,139)(37,152,230,91)(38,88,229,155)(40,232,235,43)(41,168,234,107)(42,104,233,171) (45,184,238,123)(46,120,237,187)(49,140,242,79)(50,76,241,143)(53,156,246,95)(54,92,245,159) (57,172,250,111)(58,108,249,175)(65,129,130,66)(69,145,134,82)(70,81,133,146) (73,161,138,98) (74,97,137,162) (77,177,142,114)(78,113,141,178)(85,149,150,86)(89,165,154,102)(90,101,153,166) (93,181,158,118)(94,117,157,182)(105,169,170,106)(109,185,174,122)(110,121,173,186) (125,189,190,126).
Литература
1. ГлуховМ.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра / - М.: Гелиос-АРВ. 2003. Т. 1, 2.
2. Никонов В.Г., Саранцев А.В. Методы компактной реализации биективных отображений, заданных регулярными системами однотипных булевых функций // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Прикладная и компьютерная математика. 2003. Т. 2. № 1. С. 94-105.
3. Никонов В.Г., Саранцев А.В. Построение и классификация регулярных систем однотипных функций // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе: материалы XXXI Международной конференции. Т. 5 из Прил. 1. - М.: .Академия естествознания, 2004.С. 173-174.
4. Никонов В.Г., Сидоров Е.С. О способе построения взаимно однозначных отображений при помощи квазиадамаровых матриц // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. 2009. №2 (65).
The geometric method for constructing a balanced k-valued threshold functions and construction of substitutions based on them
Vladimir Glebovich Nikonov, PhD, Member of Presidium of Russian Academy of Natural Sciences Danil Andreevich Soshin, student Research Institute KVANT
The article deals with the geometric method for constructing balanced threshold k-valued functions. A new method of synthesis of bijective mappings on their basis is considered.
Keywords: threshold function, balanced function, regular system, substitution.
