CC BY
9
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2018 Теоретические основы прикладной дискретной математики №40
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 512.13
КЛАСС СБАЛАНСИРОВАННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОРОГОВЫХ
ФУНКЦИЙ
Д. А. Сошин
ФГУП «НИИ «Квант», г. Москва, Россия
Предложен подход к построению класса сбалансированных алгебраических пороговых функций (АПФ). Функция k-значной логики f называется АПФ, если существуют целочисленные наборы c = (с0, ci,..., cn), b = (bo,bi,..., bk) и натуральный модуль m, такие, что f(x1 , x2,...,xn) = а, если и только если ba ^ rm(co + CiXi + С2Ж2 + ■ ■ ■ + c„xra) < ba+i для любого а е Qfc, где rm(x) — функция приведения числа x по модулю m. Тройку (c; b; m) будем называть структурой функции f. Центральным результатом работы является построенный класс сбалансированных АПФ, а именно: если для АПФ f, заданной структурой ((с0, с1, с2,..., cn); (0,p, 2p,..., kp); kp) = (c, b, m), существует с = pq и (q, k) = 1, то такая функция сбалансированная. Сбалансированные функции данного класса могут быть использованы в качестве координатных функций подстановок.
Ключевые слова: алгебраические пороговые функции, сбалансированные функции.
DOI 10.17223/20710410/40/1
THE CLASS OF BALANCED ALGEBRAIC THRESHOLD FUNCTIONS
D. A. Soshin
Technology Federal State Unitary Enterprise "Research Institute Kvant", Moscow, Russia
E-mail: [email protected]
The paper proposes an approach to the construction of a class of balanced algebraic threshold functions (ATF). The function f of k-valued logic is called ATF if there are sequences c = (c0, c1,..., cn), b = (b0, b1,..., bk) of integers and the natural modulus m such that f (x1 ,x2,... , xn) = а ^ ba ^ (c0 + c1x1 + c2x2 + ... + + cnxn) mod m < ba+1 for any а е Qk = {0,1, ...,k — 1}. The triple (c; b; m) is called the structure of the function f. The central result of the paper is a class of balanced ATF constructed in the following way: if an ATF f has a structure (c, b,m) = ((c0, c1, c2,..., cn); (0,p, 2p, ...,kp); kp) where с = pq and (q,k) = 1, then this function is balanced. Such functions can be used as coordinate functions of substitutions.
Keywords: algebraic threshold functions, balanced functions.
б
Д. А. Сошин
Работа посвящена развитию методов синтеза биективных преобразований, задаваемых регулярными системами функций. В [2, 1] в качестве координатных функций подстановок предлагается использовать системы однотипных пороговых функций и системы алгебраических пороговых функций. Согласно критерию Хаффмана, координатные функции должны быть сбалансированными, поэтому на первом этапе должен быть решён вопрос описания классов сбалансированных функций. В работе построен класс сбаланированных АПФ, обобщающий результаты, полученные в [3]. Использование АПФ представляет практический интерес в связи с возможностью их эффективной реализации непосредственно в среде — носителе сигнала, а именно в оптической среде.
Алгебраические пороговые функции к-значной логики от п переменных АТ^ расширяют класс пороговых функций Т^ за счёт добавления модульной операции.
Определение 1. Функцию к-значной логики / : П^ ^ Пк назовём алгебраической пороговой, если существуют целочисленные наборы с = (с0, С1,... , сп), Ь = = (Ь0, Ь1,... , Ьк) и натуральный модуль т, такие, что для любого а £ Пк выполняется
/(Х1,Х2, . . . ,Хп) = а ^ Ьа ^ Гт(Со + С1Х1 + С2Х2 +-----+ СгаЖга) <Ьа+1, (1)
где гт(х) — функция приведения числа х по модулю т, гт(х) € {0,1,... , т — 1}; Пк = = {0,1,... , к — 1}. Тройку (с, Ь, т) будем называть структурой функции /.
Двойное неравенство (1) можно записать равносильным способом
Ьа ^ С1Х1 + С2Х2 +-----+ сгахга + тЬ < Ьа+1 (2)
для некоторого Ь £ Z [4].
Определение 2. Слоем Да(/) (носителем значения а) пороговой функции / будем называть множество точек из П^, в которых функция / принимает значение а, а £ {0,... ,к — 1}.
Пример 1. Зададим 3-значную АПФ /(х1,х2) её структурой
(с; Ь; т) = ((0, 2, 3); (0, 3, 6, 9); 9). Выпишем неравенства, определяющие значения функции:
/(х1, х2) =0 0 ^ Гд(2х1 + 3х2) < 3
/(х1, х2) =1 3 ^ г9(2х1 + 3х2) < 6
/(х1, х2) =2 6 ^ Гд(2х1 + 3х2) < 9
Представим функцию /(х1,х2) в табличном виде:
XI
0 1 2
0 0 0 1
1 1 1 2
2 2 2 0
Функция /(х1,х2) принадлежит классу АТ23, но не классу Т|. Действительно, любая пороговая функция является полностью монотонной [5], а при фиксациях х1 = 1 и х1 = 2 у функции / нарушается условие 1-монотонности.
Следующие два утверждения описывают подкласс ВАТ^ класса АТ^ сбалансированных к-значных функций, представляющих практический интерес.
Теорема 1. Пусть сг = 0, г € {1,... , п}, тогда структура
((со,С1,С2,... ,Сп); (0,Сг, 2вг,..., ксг); ксг) (3)
задаёт сбалансированную функцию, принадлежащую классу АТ^к.
Доказательство. Рассмотрим функцию f (х1,х2,... ,хп), заданную структурой (3). Для множества ^П справедливо разложение
к-1
^ = Ы ОМ), БМ) П (f) = 0 при г = 3.
а=0
Для доказательства теоремы достаточно проверить равномощность всех Da(f). Зафиксируем произвольное значение 1 € {0,... , к — 2}. Построим отображение
V : ) ^ )
по следующему правилу. Для каждой точки а = (а1,а2,... , ап) € )
р(а1,..., аг-1,аг, аг+1, ...,ап) = (аи ..., аг-1, аг 0 1, аш,... ,ап), (4)
где 0 — сложение по модулю к. Покажем корректность задания отображения V. Запишем сравнения (2) для функции f (х1,х2,... ,хп), используя структуру (3):
авг ^ Со + в1 х1 + С2х2 + ... + с,пх,п + ксгЬ < (а + 1)с, (5)
ксг = т, асг = Ьа, (а + 1)сг = Ъа+1. Для точки а € ) преобразуем сравнение (5), подставив вместо значения а значение < :
1сг ^ со + с1а1 + с2а2 + ... + спа,п + ксгЬ < (1 + 1)с.
Ко всем частям двойного неравенства прибавим сг:
(сг + 1сг) ^ со + с^ + ... + (сгаг + сг) + ... + с,па,п + ксгЬ < сг + (1 + 1)с.
Преобразовав последнее, получим
(1 + 1)сг ^ со + с1а1 + ... + сг(аг + 1) + ... + спа,п + ксгЬ < (1 + 2)с. (6)
Сравнение (6) задаёт пределы, в которых лежит значение линейной формы функции f (х1,х2,..., хп) в точках (а1, а2,..., аг-1, аг + 1, аг+1,..., ап), аг € {0,... ,к — 2}. Если координата аг равна к — 1, то (6) примет вид
(1 + 1)с ^ со + с1а1 + ... + сг0 + ■ ■ ■ + спа,п + ксгЬ < (1 + 2)сг, (7)
где Ь = Ь + 1 € Ъ. Объединяя (6) и (7), получим для любого аг € {0,... ,к — 1}
(1 + 1)с ^ Тка(со + с1а1 + ... + сг(аг 0 1) + ... + спа,п) < (1 + 2)с. Из последнего видно, что для указанных значений 1 выполняется
f ((р(аъа2,.. .,ап)) = 1 + 1, откуда получаем, что вектор v(a1, а2,... , ап) лежит в множестве Dd+1(f).
8
Д. А. Сошин
Докажем, что отображение р биективное. Для этого построим обратное отображение р-1 : А+1(/) ^ А(/), положив для каждой точки а = (а1, а2,... , ап), принадлежащей множеству ),
Й2, . . . , ап) = («1, «2, . . . , «г-1, «г © 1, «г+1, . . . , (8)
где © — вычитание по модулю к. Корректность определения р-1 проверяется аналогично р. Из (4) и (8) получим р-1р(а^ а2,..., ап) = (а1, а2,..., ап), что свидетельствует о биективности р и равномощности множеств Да(/), а £ {0,... , к — 1}. ■
Обобщим результат, полученный в теореме 1. В доказательстве используется следствие из критерия о полноцикловости линейного конгруэнтного генератора. Напомним, что под последовательностью, порождённой линейным конгруэнтным генератором с параметрами Х0,а,д,т, понимается последовательность {Хг}г^0, удовлетворяющая следующему рекуррентному закону:
Хг+1 = аХг + д (mod т), г ^ 0. (9)
Критерий полноцикловости [6, с. 36] при а =1 имеет следующий вид:
Линейный конгруэнтный генератор вида (9) при а =1 является полноцикловым тогда и только тогда, когда (д,т) = 1.
Теорема 2. Если для АПФ /, заданной структурой
((со,С1,С2,... ,сп); (0,р, 2р,...,кр); кр),
существует сг = рд и (д, к) = 1, то функция / сбалансированная.
Доказательство. Доказательство полностью повторяет логику доказательства теоремы 1 со следующими изменениями.
Отображение р для любого й определяется условием
р : Д*(/) ^ А^(/).
Правило (4) при этом остаётся неизменным. Далее, в силу равенств сг = рд и Ь^ = йр, в (6) произведём соответствующие замены, в результате чего получим
(й + д)р ^ Со + С1«1 + ... + Сг (аг + 1) + ... + Сп«п + крЬ < (й + д + 1)р. (10)
Остальные преобразования (10) повторяют логику доказательства теоремы 1 с учётом приведения, при необходимости, порогов в (10) по модулю кр.
Заметим, что преобразование Ф, действующее на множестве {А(/) : г=0,..., к — 1} и заданное по правилу
Ф(Д(/)) = Бгт (/),
удовлетворяет условиям критерия полноцикловости. Из биективности р и того, что все множества А(/) лежат на одном цикле преобразования Ф, следует их равномощность, при этом преобразование Ф можно записать Ф(А(/)) = р(А(/)). ■
При д = 1 утверждение теоремы 2 совпадает с теоремой 1.
Замечание 1. В соответствии с результатами [2] были найдены структуры 18 представителей сбалансированных геометрических типов булевых функций от четырёх переменных с номерами
8.1.1.1, 8.1.2.1, 8.1.5.1, 8.1.16.1, 8.1.29.1, 8.2.1.1,
8.2.9.2, 8.2.11.1, 8.2.13.1, 8.2.17.1, 8.2.20.1, 8.2.21.1, 8.3.4.1, 8.3.5.1, 8.4.2.1, 8.4.3.1, 8.5.1.1, 8.8.1.1.
Непосредственной проверкой условий теоремы 2 установлено, что геометрические типы с номерами
8.1.1.1, 8.2.1.1, 8.2.13.1, 8.2.17.1, 8.2.20.1, 8.2.21.1, 8.3.4.1, 8.3.5.1, 8.4.2.1, 8.4.3.1, 8.5.1.1, 8.8.1.1
принадлежат классу BAT|.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сошин Д. А. Построение подстановок на основе пороговых функций многозначной логики // Прикладная дискретная математика. 2016. №2(32). С. 20-32.
2. Сошин Д. А. Задание подстановок алгоритмов блочного шифрования Магма и 2-ГОСТ с помощью алгебраических пороговых функций // Прикладная дискретная математика 2016. №3(33). С. 53-66.
3. Сошин Д. А. Конструктивный метод синтеза сбалансированных k-значных алгебраических пороговых функций // Comp. Nanotechnol. 2015. No. 4. P. 31-36.
4. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. СПб.: Лань, 2015. 608 с.
5. Никонов В. Г., Никонов Н. В. Особенности пороговых представлений k-значных функций // Труды по дискретной математике. М.: Физматлит, 2008. Т. 11. №1. С. 60-85.
6. Кнут Д. Э. Искусство программирования. Т. 2. Получисленные алгоритмы. 3-е изд. М.: Вильямс, 2007. 832 с.
REFERENCES
1. Soshin D. A. Postroenie podstanovok na osnove porogovykh funktsiy mnogoznachnoy logiki [Constructing substitutions on the basis of threshold functions of multivalued logic]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2016, no. 2(32), pp. 20-32. (in Russian)
2. Soshin D. A. Zadanie podstanovok algoritmov blochnogo shifrovania Magma i 2-GOST s pomochiu algebraicheskikh porogovykh funktsiy [The implementation of Magma and 2-GOST block cipher substitutions by algebraic threshold functions]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2016, no. 3(33), pp. 53-66.(in Russian)
3. Soshin D. A. Konstruktivnyy metod sinteza sbalansirovannykh k-znachnykh algebraicheskikh porogovykh funktsiy [The constructive method for synthesis of balanced k-valued algebraic threshold functions]. Comp. Nanotechnol., 2015, no. 4, pp. 31-36. (in Russian)
4. Glukhov M. M., Elizarov V. P., and Nechaev A. A. Algebra [Algebra]. St. Petersburg, Lan' Publ., 2015. 608p. (in Russian)
5. Nikonov V. G. and Nikonov N. V. Osobennosti porogovykh predstavleniy k-znachnykh functions [Peculiarities of threshold representations of k-valued functions]. Proc. Discr. Math., Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, vol. 11, no. 1, pp. 60-85. (in Russian)
6. Knuth D. E. The Art of Computer Programming. Vol. 2. Seminumerical Algorithms, 3rd Ed. Massachusetts, Addison-Wesley, 1997. 762 p.
