Геометрические характеристики нерегулярных сеток и их поведение при квазиизометриях Текст научной статьи по специальности «Математика»

© М.В. Баран, В.А. Клячин, 2009

УДК 517.518.85+517.27

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ СЕТОК И ИХ ПОВЕДЕНИЕ ПРИ КВАЗИИЗОМЕТРИЯХ

М.В. Баран, В.А. Клячин

В статье вычисляются геометрические величины, характеризующие степень аппроксимации вторых производных в метрике пространств С2(^), С2,“(^),

С3(^). Приводятся результаты исследования поведения данных характеристик при квазиизометрических отображениях.

1. Оценка вторых производных

Пусть О С И2 — область, в которой задана последовательность {Рт} конечных наборов точек. Мы будем рассматривать такие наборы точек Рт, для которых выполнено условие

Уж € О и Уе > 0 Эт0 € N : Ут > т0 За € Рт такая, что |а — ж| < £ . (1)

Это условие означает, что Рт является конечной е-сетью при всех достаточно больших т.

Рассмотрим некоторую функцию / (ж), ж € О класса С (О), дважды дифференцируемую в некоторой точке р0 = (ж0, у0) € О. Выберем из Рт некоторый набор из пяти точек р* г = 1,..., 5 и пусть й обозначает максимум длин |р* — р01. Рассмотрим функцию вида

#(ж, У) = /0 + Р(ж — ж0) + ?(У — У0) +

+ 2 (а(ж — ж0)2 + 2в(ж — ж0)(у — у0) + 7(у — у0)2) .

Ясно, что ^(ж0, у0) = /0 = /(ж0,у0). Пусть имеется возможность подобрать коэффициенты так, что /(р*) = д(р*),г = 0, 5. Выясним, при каких геометрических условиях на

расположение точек р* возможна аппроксимация первых и вторых производных функции /(ж, у) соответствующими коэффициентами функции $(ж,у). Кроме этого, в работе мы ставим задачу исследования этих условий при квазиизометрических преобразованиях области О. Отметим, что в работе [1] аналогичная задача решалась для аппроксимации первых производных. В книге [2] можно найти решения аналогичных задач в одномерном случае.

Введем обозначения для нормы матрицы А

,, .,, | Ао

|1А11 = йир —

ж=0 |ж

Через йк0/(£1, £2,..., £к) мы обозначаем к-й дифференциал функции /(ж, у) в точке р0 как к-линейную функцию переменных £ € Д2. Введем величину

£ = тах

і=1...5

|/Ы - /(Ро) - іїро/(Рі - Ро) - 2/(Рі - Ро,Рі - Ро)1

Ьі - Ро|2

Ключевым результатом данного параграфа является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть Б — максимальная площадь треугольников с вершинами в точках p0,pi,pj■ Тогда выполняются оценки:

Р

д/(хо,Уо)

а —

дх

д/(хо,Уо)

дх2

<

<

в -

5^3Б3

ЖГ :

15£^6Б

]дГ ’

д2/(хо,Уо)

9

7

д/(хо, Уо)

дУ

д2/(хо,Уо)

<

5М3 Б3

ЖЛ

дхду

<

ду2 15М6Б

|дГ :

<

15М6Б

|А|

где

4 5

А = 7 Е ]>](-1)^+1А^Ак1^ктА1т,

і=1 j>i

— (агс^ — а^сг), аг — жг — ж0 сг — уг — у0.

Доказательство. Поскольку функция /(ж, у) дважды дифференцируема в точке р0, то

/(Рк) = /(Р0) + йро /(Рк — Р0) + 1 ^ /(Рк — Р0,Рк — Р0) + Д(Рк), где Д(рк) < £|рк — р0|2 и к = 1, 5. Ясно, что

Е(Рк) < £а!2

Таким образом, из условий

д(Рк) - /(Рк) = 0, где к = 1, 5

получаем систему уравнений

д(рк) - /(рк) = (хк - хо)(Р - д/(хо,уо)) + (ук - уо)(9 - д/(хо,уо)) +

дх

д2/(хо,Уо)~

дУ

д 2 / (хо,Уо).

+ 1/2((хк - хо)2(а---------^ ^ 2 У 7 ) + 2(хк - хо)(Ук - Уо)(в------------^ У 7 ) +

дх2

+ (Ук - Уо)2(7 -

дхду

д 2/(хо,Уо) ду2

)) - ^'Рк) = 0-

Обозначим

д/(хо,Уо) дх

^2 = 9

д/(хо,Уо) дУ :

^3 = а

д 2/(хо ,Уо) дх2 :

в д2/(хо,Уо) д 2/(хо,Уо)

^4 = в------------------^-, ^5 = 7

дхду

дУ2

Следовательно,

ак+ ек^2 + 1/2ак2гз + акек^4 + 1/2ек2 2:5 = Д(рк), где к =1, 5. Запишем данную систему в матричном виде А * г = Д, где

аі Сі 1/2аі2 аі Сі 1/2сі2\ /*Л /ДЫ\

А = а2 С2 2 2 а 2 1 а2С2 2 2 С 2 1 ^2 , Д = Д(Р2)

, г =

а5 С5 1/2а52 а5С5 1/2С52 \г5/ \Д(Р5)/

Пусть для краткости Д = Д(р&). Данную систему будем решать методом Крамера. Для определителя матрицы уравнения получим

аі Сі 2 <3 2 1 аісі 2 О 2 1

А = а2 С2 2 2 а 2 1 а2С2 1/2С22 45 = 1/^5](-1)І+І+іАіі АкіАктАїт.

а5 С5 1/2а52 а5С5 1/2С52 і=і ?>і

і = І = к = І = т, причем к < І < т. И далее,

Ді Сі 2 2 1 аісі 2 О 2 1

Аі = Д2 С2 2 2 а 2 1 а2С2 1/2С22 4 5 = 1/^5](-1)І+І+і Ф? А^АктАїт

Д5 С5 2 5 а * 1 а5С5 1/2С52 і=і ?>і

аі Ді 2 <3 2 1 аісі 2 О 2 1

А2 = а2 Д2 2 2 а 2 1 а2С2 1/2С22 4 5 = 1/4^5](-1)І+І+і Є? Акі АктАїт

а5 Д5 2 5 а 1 а5С5 1/2С52 і=і ?>і

А

з =

45

аі Сі Ді аіві 1/2еі2

°2 С2 ^2 а2С2 1/2С22

а5 С5 Д5 а5С5 1/2с52

1/2 ^^(— 1)І+^+і®*ІСкС1Ст(АЫ — Акт + А1т))

і=і ?>і

А

5=

45

аі Сі 2 2 1 аіСі

а2 С2 2 2 а 2 1 а2С2

а5 С5 1/2а52 а5С5

1/2 5^(— 1)І+^+іф*ІакаІат(АИ — Акт + А1т))

і=і ?>і

где Ф^- = (Я^- - с*Д), а 0^- = (а*Д - ).

Получаем

N

Ы

^ 4=1 Е 5>*(-1)г+^+1 Ф« АИ А^тА

1т

|А|

1 Е4=1 Е 5>*(-1)г+'+10*^ АЫА^А

Чт

|А|

<

<

55^3£3

1Щ~ ■

55^3

|г31 =

Ы =

— 2 Е4=1 Е5>*( —1)г+^+10г^СгСт(А^г — А&т + А«т)

|А|

— 1 У^-=^ У^о>*(—1)г+^+1ф»^а&°гат(АЫ — А&т + А«т)

|А|

<

<

155^6£

ПдГ ’

155^6£ |А| .

Теорема доказана.

Как следствие, получается следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть /(ж, у) € С3(В). Обозначим

М Г,д3/(х,У), ,д3/(х,У), ,д3/(х,У), ,д3/(х,У^1

М3 = ша^ |--г-3— |, | — |, | п 2 |, | т-3— | > .

х,уед [ дх3 дж2ду джду2 ду3 1

Тогда, в обозначениях теоремы 1, выполняются следующие оценки:

Р

д/(хо, уо)

а —

дх

д 2/(хо,Уо)

<

дх2

<

в -

^л/2М3^453

6|А| ’

5^2 М3 ^7£

А ’

д2/(хо, Уо)

д/(хо, Уо)

джду

7

<

дУ

д2/(хо,Уо)

<

ду2

5^2М3^7^

А .

<

5л/2М3^45'3 6|А| ’

5^2М3^7^

А ’

Изучим возможность аппроксимации вторых производных для функций классов С2(В) и С2,а(В). Пусть функция /(ж, у) € С2(В) и ш(^) — модуль непрерывности второго дифференциала. Другими словами, имеет место неравенство для любой пары точек р, ^ € В

К - ^|| < ^(|р - 5|).

Имеет место

Теорема 3. Пусть /(х, у) € С2(В) и о>(£) — модуль непрерывности второго дифференциала этой функции. Предположим, что точки ро,рь ...,р5 выбраны как в теореме 1. Тогда справедливы неравенства для оценок производных в теореме 1 с

5 < — J <^(£)^£.

оо

4

4

а

т

Доказательство. Пусть точка р Є В такая, что отрезок р0р С В. Согласно цепному правилу для і Є [0,1],

^/(Ро + і(Р - Ро)) = +*(р-ро}/(Р - Ро>Р - Ро)-

Проинтегрируем данное равенство по і от 0 до некоторого значения т Є [0,1]. Получим равенство

^Ро+т (р-ро}/ (р — р0) — ^ро / (р — р0)

т

= ^о+^Р-Ро/(Р — Ро>Р — Ро) — ^Ро / (Р — Ро>Р — Р0)^і + т< / (Р — Ро,Р — Р0).

o

Теперь проинтегрируем полученное равенство по т от О до 1. Приходим к равенству

/(P) - /(Po) - dpo /(P - Po) =

1 т

= dT / dPo+t(p-Po)/(P - Po> p - Po) - dPo/(P - Po.P - Po)dt +

+ оd?0/(p - Po,P - Po)-

1 2'

Учитывая модуль непрерывности второго дифференциала и делая замену переменных в повторном интеграле, получаем неравенство

|f (р) - /(ро) - dPo /(р - ро) - 2dp0/(р - Р0,Р - Ро)1 <

|p—Ро1 T

< J d^yw(t)dt.

оо

Таким образом,

d T

6 < — J d^yw(t)dt,

оо

и, тем самым, теорема доказана.

Следствие. Пусть /(x,y) G C2,a(D) а а>(£) — модуль непрерывности второго дифференциала этой функции. Предположим, что точки р0, pi,...,р5 выбраны как в теореме 1. Тогда справедливы неравенства для оценок производных в теореме 1 с

da

6 < ( .IV . 2) II/ 11с 2“ ,

(а + 1)(а + 2)

I|d2, f—d2,, f II

где ||/||с2,« = sup P ,* .

p',p"€D 11 11

Теперь мы сможем сделать вывод о том, что для аппроксимации вторых производных наиболее существенной величиной является величина А. Заметим, что эта величина равна нулю, если и только если шестерка точек р*, i = 0,..., 5, лежит на какой-либо кривой второго порядка. В следующем параграфе мы вычисляем эту величину для некоторых видов расположения таких точек.

2. Вычисление величины |А| для некоторых классов шестиугольников

Рассмотрим два вида шестиугольников, таких что для первого выполнено

У1 = У5, У2 = У4, Хо = Хз = 0, Xi = Х2, X = Х5, а для второго - yi = У5, У2 = У4, Хо = Хз = 0.

Теорема 4. Обозначим величину |А| для первого вида шестиугольников как |А1|, а для второго — как |А2|. Тогда

|Ai| = -1 hih2(Ti + Т2 + T3)(hi + h2)2(3TiT22 - 4ti2Т2 + Т22Тз),

64

|А21 = 16hih2(Ti + T2 + тз)т2(тз (h?T2 - Ti(hi + h2)2) -

- h2Ti(4Tihi + 2T2hi + T2h2)),

где hi = |xi|, h2 = |x41, Ti = |yi|, T2 = |y2 - yi|, тз = |уз - У21.

Теперь изучим вопрос, каким образом преобразуется величина А при квазиизомет-рии области D. Для выяснения ответа на него необходимо изучить вопрос искажения площадей треугольников при квазиизометриях, поскольку, как мы видели выше, величина А выражается через площади треугольников.

3. Искажение треугольников

Предположим, что на евклидовой плоскости задан треугольник Р = (Ро,Р1,Р2). Определим величину

. Г |Ро - Pi| + |Pi - P21 |Pi - P21 + |P2 - Ро| |P2 - Ро| + |Ро - Pi|

"(Р) = “1П1---------------^V-Pj---------'--------iP-Pi--'------------Р-Р-----

В силу неравенства треугольника выполнено неравенство ^(Р) > 1, причем треугольник является вырожденным тогда и только тогда, когда ^(Р) = 1. Пусть а обозначает минимальный угол в этом треугольнике.

Лемма 1. Имеет место соотношение

—— < МР) < 1 + 2 sin а.

cos а 2

Доказательство. Обозначим через а < b < с длины сторон данного треугольника. Очевидно, что ^(Р) = (а + b)/c. Так как сторона с максимальна, то минимальный угол в треугольнике образуется стороной с и стороной b. Угол между сторонами с и а обозначим через в > а. Тогда

с = b cos а + а cos в < (а + b) cos а,

откуда получаем первое из нужных соотношений.

Пусть теперь d — это высота, опущенная на сторону с. Тогда

(Р) d/ sin а + d/ sin в

d/ tan а + d/ tan в’

и, учитывая, что при а < в < (п — а)/2 производная

, sin а(1 — cos а cos в)

(cos а sin в + sin а cos в)2 > ’

получаем

^гЛ / sin а + cos а/2 1,0- /о

Мр) < ----------тг—г---------:-тт = 1 + 2 sin а/2.

cos а cos а/2 + sin а sin а/2

Лемма доказана.

Замечание. Оценки, полученные в лемме, являются точными. При а = 0 обе части двойного неравенства равны 1, а в другом крайнем случае при а = п/3 обе части равны 2. Отметим также, что другие оценки искажения минимальных углов треугольников можно найти в монографии В.М. Миклюкова [3].

Предположим, что задано два треугольника Р = (Р^РъРг) и Р = (Р0, , Р),

причем

1|Р - Р|<|Р/ - р;|< Ь|Р - Р|.

Обозначим через а, а' минимальные углы в этих треугольниках. Несложно получить следующие неравенства:

а' 1 1

1 + 2 вт — > —-------,

2 Ь сов а

а 1 1

1 + 2 вт - >

2 ~ L cos а'

Действительно, пусть а' < b' < с' — длины сторон треугольника P' и a, b, с — соответствующие стороны треугольника P. Тогда, в силу леммы,

а' , а' + b'

1 + 2 sin — > MP ) = —^ >

la + b l , , l 1

> T--------> tMP) >

L с L L cos а

Второе неравенство доказывается аналогично. Используя эти неравенства, получим следующее утверждение об искажении площадей треугольников.

Лемма 2. Если S и S' обозначают площади треугольников P и P' соответственно, а угол а удовлетворяет условию

l1

> 1 + а > 0,

L cos а

то

1S < S' < Sv, v

где

K ,1 V1 - ® 2i ,

K = max —, —. k

\L/ (l+ir)2

2 K K

v = ma^< L K, -

І V 1 - Ш (IW ^(1 + ^W1 - (L) (1+^

и

l

Доказательство. Из условий леммы и доказанных неравенств непосредственно получаем

а' а'

а

2 sin — cos — > а cos —.

2 2 2

Учитывая, что а, а' < п/3, получаем

sin а' > а sin а.

Теперь, поскольку

I _J_

L cos а

> 1 + а,

то

• Ъ /1 І ІУ 1

sin а > 1 — —

LJ (1 + а)2

Поэтому, из неравенства

cos а'

L 1 + 2 sin f

будем иметь

sin а'

\

1 -l L

(1 + 2 sin f)

2<

<

1 - (IV i

2

LJ 4

1_ Ш2 1

\L/ (1 + a)2

sin а.

Таким образом, мы показали, что

— sin а < sin а' < K sin а.

K

Перейдем к оценкам площадей. Пусть а < b < с — стороны треугольника P, а а' < b' < с' — стороны треугольника P'. Рассмотрим первый случай, когда нумерация вершин треугольников такова, что стороне а соответствует сторона а', стороне b соответствует сторона b', стороне с соответствует сторона с'. В этом случае

S' = - а'с' sin а' < - ас sin аL2K = SL2K,

22

1 1 l2 l2

o' ^ ' ' • ' \ • ь с<

S = - ас sin а >- ас sin а— = S —.

2 2 K K

Таким образом, получаем

І2 S— < S' < sl2k. K

Рассмотрим следующий случай, когда нумерация вершин треугольников такова, что стороне а соответствует сторона b', стороне b соответствует сторона а', стороне с соответствует сторона с'. В этом случае

S' = - а'с' sin а' < -Ьс sin аL2K < SL2K.

22

І

1

2

1

А в силу равенства а sin а = b sin в, где в угол напротив стороны а, имеем

о' 1 ''• '^ К • 12 ol2 sin а^ ol2 L 2 1

S = -а с sin а > -Ьс sin а— = S ———-> S — \ /1 —

2 “2 K K sin в“ Ky VL/ (1 + а)2'

Рассмотрим следующий случай, когда нумерация вершин треугольников такова, что стороне а соответствует сторона с', стороне b соответствует сторона а', стороне с соответствует сторона b'. В этом случае

S' = - а'с' sin а' < - bа sin аL2K < SL2K.

22

Учитывая, как и выше, равенство а sin а = b sin в и неравенство 2а cos а > b cos в+ +а sin а = с, получаем

' 1 ' ' ' 1 l2 S' = - а'с' sin а' > ^а sin а— >

2 > 2 K >

l2 sin а 1 lL l 2 1

> S^n__________(- + ah 1 —

K 2 cos а sin в 2 K у \L/ (-+ а)2

Следовательно, окончательно получаем неравенство

1S < S' < vS, v

где

K K

v = ma^< L K,

l v1 — (D2(T+!^)2 lL(1 + а)\Л — (l) (!+ct)

Лемма доказана.

4. Оценка преобразования величины А при квазиизометрии

Воспользуемся полученными оценками площадей для оценки искажения величины А для шестиугольников описанных выше случаев. Рассмотрим шестиугольники Р0Р1Р2Р3Р4Р5 и Р'0Р'1Р'2Р3'Р4Р5. Пусть выполняется условие /|Рг — Р; | < |Р'г — Р,'| <

< Ь|Рг — Р,|,г = 0, 5, г = ^. Обозначим через 3г', 3г > 0 слагаемые, участвующие в

формуле для А, так, что

А = 31 + ... + 36 — ^7 — ... — 3ю,

А' = 31 + ... + 36 — 37 — ... — 310.

Каждое такое слагаемое представляет собой произведение четырех площадей треугольников. Пусть а — минимальный угол во всех треугольниках вида Р0РгР,, причем

1 1

—------- > 1 + а > 0.

Ь сов а

Пусть V определена, как и выше, по величинам /, Ь, а. Тогда

^3г < 3' < 3^4.

2

T

Поэтому

А' > -1 (Si + ... + S6) — v4(S7 + ... + S10) > А(\ — (v4 + і-)S7 + ... + Si0

4У^і I — І ^О/ - 1 ••• 1 — I 4 V" 1 4 А

V4 у V4 V4 Л

Учитывая вычисления величины Л, получаем следующую теорему.

Теорема 5. Имеет место неравенство

Л — Л( ± - (V4 + 1 ,

где для первого вида шестиугольников

0 _ (ті + Т2) ((ті + Т2)2 + т(ті + 2Т2 + Тз))

" 1 (3тіт22 - 4ті2т2 + т22тз) ’

а для второго -

(ті + т2) (ті (ті + т2 + тз)(Л-12 + ^22) - (Лі(ті + т2) - Л^)2)

0

ГТ2 (Тз (hfc — Ті (hi + h-2)2) — h2Ti(4Tihi + 2T2hi + T2h2))

Список литературы

1. Грачева, Е. А. Кусочно-линейное интерполирование поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках / Е. А. Грачева, В. А. Клячин // Записки семинара «Сверхмедленные процессы». — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. — Вып. 3. — С. 157-167.

2. Калиткин, Н. Н. Вычисления на квазиравномерных сетках / Н. Н. Калиткин, А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, Б. В. Рогов. — М. : Физматлит, 2005. — 224 с.

3. Миклюков, В. М. Введение в негладкий анализ / В. М. Миклюков. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. — 284 с.

Summary

GEOMETRICAL CHARACTERISTICS OF IRREGULAR GRIDS AND THEIR BEHAVIOUR AT QUASIISOMETRIES

M.V. Baran, V.A. Klyachin

In paper geometrical magnitudes characterizing the second derivatives approximation’s degree on spaces of C2(D), C2,a(D), C3(D) metrics are calculated. Also, it presents the results of investigation of behaviour of these characteristics at quasiisometric mappings.