Аппроксимация дифференциалов решений эллиптических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51 ББК 22.161.6

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ1

Болучевская Анна Владимировна

Ассистент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики

Волгоградского государственного университета

[email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В работе рассматривается кусочно-гладкая аппроксимация решений эллиптической системы дифференциальных уравнений определенного вида, построенная по точным и приближенным значениям в узлах триангуляции. Приближающие отображения используются для аппроксимации дифференциала решения этой системы с погрешностью, не зависящей от степени вырожденности треугольников.

Ключевые слова: кусочно-гладкая аппроксимация, аппроксимация дифференциала, триангуляция, эллиптическая система уравнений, погрешность аппроксимации.

Введение

В задачах аппроксимации производных функции по значениям этой функции в узлах триангуляции [7] серьезной проблемой является зависимость погрешности аппроксимации от углов треугольников (проблема возникает при аппроксимации производных неизвестной функции производными приближающей) (см., напр., [4; 8; 9]). При этом наличие треугольников с углами, не удовлетворяющими определенным условиям, может привести к возрастанию погрешности или невозможности аппроксимации производных вообще.

В статье рассматриваются кусочно-гладкие аппроксимации решений эллиптической системы дифференциальных уравнений определенного вида, построенные по точным и приближенным значениям в узлах триангуляции. Чтобы решить вышеобозначенную проблему, эти аппроксимации используются для построения специального отображе-с ния, приближающего дифференциал решения системы с погрешностью, не зависящей 201от степени вырожденности треугольников.

, Перейдем к точным формулировкам.

к

2 1. Аппроксимация дифференциалов решений эллиптической системы

£ по точным значениям

¡г

Пусть Б С М2 — область, в которой задана последовательность {Рт}т=1 конечных @наборов точек.

Для каждого такого набора рассмотрим его триангуляцию Тт. Для всякого треугольника Б € Тт определим длину максимальной его стороны. Положим

йт = тах ¿з.

яетт

Будем рассматривать такие наборы точек Рт и их триангуляции Тт, для которых

с1т ^ 0 при т ^ то (1)

и

Vе > 0 3 т0 € N : Vт > т0 Vх € Б 3 а € Рт такая, что |а — ж| < е. (2)

Условие (2) означает, что Рт является е-сетью при всех достаточно больших т. Пусть f: Б ^ Б*, Б* С М2 — отображение вида

/(ж) = (и(х), V(х)),х € Б,х = (х1,х2),

где и,У € С2(Б) являются решениями эллиптической системы уравнений [6]

ди . . ,ди, . дУ . . а—(х) + Ь— (х) = —(х), ОХ1 ох2 ох2 (3)

^и, , ди ^ дУ,, (3)

а— (х) + с— (х) = — — (х),

ОХ1 ОХ2 ОХ1

а а = а(х),Ь = Ь(х),с = с(х),с1 = с1(х) € С 1(Б), ас — (Ц^)2 > 0 всюду в Б в силу эллиптичности системы.

Заметим, что если отображение /(г) = и(х1,х2) + %У(х1,х2),г = х1 + %х2 осуществляет гомеоморфное отображение области Б на область Б*, то f (г) — квазиконформно [1].

Рассмотрим сначала кусочно-гладкую аппроксимацию решений системы (3) по точным значениям в узлах Тт.

Для всякого Тт построим приближающее / отображение ¡т: Б ^ Б*, /т(х) = = (ит(х), Ут(х)) такое, что ит,Ут — кусочно-гладкие функции и

1т('Р) = К'Р) для любой точки р € Рт. (4)

Обозначим с1х / — дифференциал / в точке х € Б, йх$т — дифференциал ¡т в точке х € Б и

на и= Е м,

%3

где

А

(аи а^А \а,21 а22) .

Необходимо отметить, что при приближении отображения с1х / отображением Ах^т погрешность аппроксимации зависит от степени вырожденности треугольников сети Тт.

Если для каждого треугольника в качестве погрешности аппроксимации рассматривать величину

e(S) = sup II Jf(x) — Jfm(x) II,

xes

где S — произвольный треугольник из Tm, Jf (х) и Jfm (ж) — матрицы Якоби отображений f и fm в точке х соответственно, то пример, демонстрирующий такую зависимость, построен в [2].

Таким образом, возникает следующая задача. Для всякого S € Тт, используя функции Um, Vm и коэффициенты системы (3), требуется построить отображение Ат(х), х € S, аппроксимирующее dxf так, чтобы погрешность аппроксимации вида

e(S) = sup || Jf (x) — Am(x) ||

xes

не зависела от степени вырожденности треугольника S.

Для всякого т рассмотрим треугольник S € Тт. Обозначим вершины S как Po,Pi,р2, так, чтобы точки po и pi образовывали максимальную сторону.

Напомним также, что модулем непрерывности [5] отображения д: X ^ Rm,X С С Мга называется функция

ш(8) = sup lg(x') — g(x)l, х,х' € Х,6> 0.

lx'—xl<S

Для доказательства основных результатов понадобятся две вспомогательные леммы. Лемма 1. Пусть h: D ^ R,h € Cl(D) — некоторая функция. Обозначим u(t) — модуль непрерывности градиента h. Тогда выполнено

lh(Pi) — h(Po) — {Vh(po),pi — ро)1 1 f

Ipi — Pol dmJ

о

Доказательство. Пусть t € [0,1},x € S. Тогда имеем

Vh(po + t(x — po)) — Vh(po) = R(po + t(x — po)),

где, согласно определению модуля непрерывности, для функции R(po + t(x — po)) выполнено

lR(po + t(x — Po))l S u(\t(x — po)|).

Данное равенство умножим скалярно на вектор х—po и проинтегрируем по t. Тогда имеем

1

h(x) — h(po) = {Vh(po),x — po) + J (R(po + t(x — po)),x — po)dt.

o

Откуда, учитывая условие на lR(po + t(x — po))|,

ds

lh(Pi) — h(Po) — {Vh(po),Pi — Po)l . 1 f

-i-i-S -r U(t)dt.

lPi — Pol ds J

o

В силу монотонности функции

получим

1J w(t)dt,r> 0 0

ds dm

— w(t)dt < — w(t)dt. ds J dm J

00

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть функция К: В ^ М,К Е С2(В) является решением квазилинейного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка [3], тогда

|%1) - К(ро) - {Ш(ро),Р1 - ро}\ < С

\Р\ - Ро|

a + V

где г = dist(S,dD),a > 0, а зависит от коэффициентов эллиптического уравнения, а С\ зависит от коэффициентов эллиптического уравнения, функции h и величин г, diam D.

Доказательство. Пусть t Е [0,1]. Тогда, поскольку h — решение эллиптического дифференциального уравнения второго порядка, выполнено [3]

\W(Ро + t(x - Ро)) - W(ро)\ < C\r-a\t(x - Ро)\а.

Далее, проводя доказательство, аналогичное доказательству леммы 1, получим требуемое.

Лемма доказана.

Пусть теперь в D задана прямоугольная декартова система координат. Обозначим через l вектор р\ - ро (наибольшая сторона треугольника S), через р — угол в положительном направлении (против часовой стрелки) между этим вектором и осью абсцисс.

Пусть также u\(t),u2(t) — модули непрерывности градиентов функций Um,Vm соответственно и

drn dm

l\(dm) = u\(t)dt, l2(dm) = — u2(t)dt.

a<mJ amJ

оо

Положим 7 = asiv?p + ccos2p - (b + d) sin p cos p и

K\ = Ki(a, b, c, d, p) = K3 = K3(a,b,c,d, p) =

К5 = K5(a,b,c,d, p) = -

с cos p - b sin p

1 , a sin p - d cos p

1 , (ac - bd) sin p

1 '

K7 = K7(a, b, c, d, p)

(ac - bd) cos p

1

Тогда верна следующая теорема.

К2 = К2(а, b, с, d, р)

sin p

K4 = K4(a, b, c, d,p) = -

1

cos p

1 ;

К6 = K6(a,b,c,d, p) K8 = K8(a,b,c,d, p)

с cos p - d sin p

1 , a sin p - b cos p

1 .

Теорема 1. Если Ух е 5 матрица отображения Ат(х) имеет вид:

^^ dUm

(х) + К2 ^ (х) Ks ^Ur {х) + К4 ^ (х) К5 Щф (х) + Кб % (х) К7 % (х) + К8 % (х)

)

(5)

то справедлива оценка:

) < МхАат + М^ + М3Ц(йт) + 11(йт)) + МА{и2(<1т) + 12(йт)),

где а = а(а,Ь,с,в) > 0ф = ¡3(а,Ь,с,в) > 0,Мг = Мг(а,Ь,с^,и,г, &ашИ,ф),М2 = = М2(а, Ь, с, ¿, V, г, &ашИ, ф), М3 = М3(а, Ь, с, ¿, ф), М4 = М4(а, Ь, с, ¿, ф), г = дБ).

Доказательство. Преобразуем систему координат путем переноса ее в точку р0 и поворота на угол ф следующим образом:

{

Xi = (xi — хф) cos ф + (х2 — х°2) sin ф, Х2 = — (xi — хф sin ф + (х2 — х°2) cos ф,

(6)

где (Хг,Х2) — новые координаты точки х, р0 = (х1 ,х°).

Тогда и(х) = и(х\(Хг,Х2),х2(Хг,Х2)), и матрица Ат(х) преобразуется к виду:

(

Üf (х) Li Шф (х) + L2 Щф (х)

"дФФг (Х) Ls диФ (х) + L4 äXi (х)

)

где

Li = Li(a, b, с, d, ф)

b sin2 ф — d cos2 ф + (а — c) sin ф cos ф

1 ,

L2 = L,2(a, Ъ,с,й,ф) = — -,Ls = Ls(a, b, c, d, ф) = ———,

1 1

L4 = L4(a, b, c, d, ф)

d sin2 ф — b cos2 ф + (а — c) sin ф cos ф

1

Кроме того, матрица Jf (х) — Ат(х) примет вид

И^(х) — Шф(х) И2(х) — [Liüf(х) + L2fxr(х) (х) — Шф(х) Ш2(х) — \LsШф(х) + дф(х)

Следовательно, имеем

|| Jf (х) — Ат(х

+

ди (г)_ (т) dXi(х) дХi(х)

+

ди i \ fr dUmi \ , т dVm i \

~дХ~2(Х) — {LiЖ(Х) + L2дХ[(Х)

^ (х) (Ls (х) + LA ^^ (х)

8X2(Х) — г3 дХх (Х) + дХ\(Х)

К. {х)_ ^^ (х)

дХ\(Х) дХ\(Х)

+

(7)

Для оценки погрешности аппроксимации оценим слагаемые в правой части полученного равенства.

Заметим, что для первого слагаемого справедливо

дП (х) - ^ (х)

дХг

дХ\

<

дит дит (х) - (Ро)

Х

д Х

+

дит ди

(Ро) (Ро)

дХг

ди

Х

+

( ) ди ) дХ\(Ро) - дХ(Х)

В силу (4) имеем

ит(рг) = и (рг), Ут(рг) = У(рг), 1 = 0, 1, 2. Отсюда, поскольку функции и, V, ит, Ут — дифференцируемы в 5, то получим

' ит(ро) + (Уит(ро),р 1 - ро) +&(р 1 - Ро) = и(ро)+ (Уи(ро),р 1 - ро) +

+ Гх(р 1 - Ро),

Ут(ро) + (УУт(ро),р 1 - Ро) + Ь(р 1 - Ро) = V(ро)+ (У V(ро),Р 1 - Ро) +

+ Ыр 1 - Ро),

где г\(р 1 - ро), г2(р 1 - ро),С\(р 1 - Ро), &(р 1 - ро) — остаточные члены при разложении по формуле Тейлора в точке ро функций и, V, ит, Ут соответственно.

Раскладывая векторы У ит(ро) - У и (ро), У Ут(ро) - У V (ро), р \ - ро по базису, образованному в результате поворота системы координат, будем иметь

' (Шы - ^(^ (Х1 - хо) + (^(ро) - Щ-(ро)) Х - Хо°)

дХл

(дУт дУ

[зХ(ро) -

\

\дХ2^о; дХ2 / = Г1(Р1 - Ро) - С 1(Р1 - Ро), дУт

(Ро) - дХ(ро)) Х х2)

= Г2(Р1 - Ро) - Ь(Р1 - Ро),

где Р1 = (Х1,Х1).

Поскольку Х<о = Х° = 0 и Х2 = 0, получим

дит ( о) - ди

дХ\ дХ\

дУт ( о) - дУ

дХг дХ1

( о) ( о)

Г1(Р 1 - Ро) - С 1(Р1 - Ро) Гх(р 1 - Ро) ^!(р 1 - Ро)

Х1

к

2( - о) - 2( - о) 2( - о) 2( - о)

(8)

Х1

Система (3) является эллиптической в И. Следовательно, дифференцируя первое уравнение системы по х2, второе — по х и складывая уравнения, получим, что всюду в И функция и удовлетворяет следующему линейному эллиптическому уравнению второго порядка

д2 и

....... 'у2 (Х)) дх[(Х)

дс , Л ди

д2 и д2 и

а^т (х) + (а + Ь)-——

х2 х д х2

, . д2и . . {да , . дй . Л ди . .

(х) + сдхт(х) чдхг(х) + дх2(х)) (х) +

+ <£<х) + дх2(х) = 0-

(9)

Тогда, в силу леммы 1 и леммы 2, выполнено

ki(pi - Po)1 _ w(pi) - U(ро) - (VU(po),p 1 - Po)1 < с r-a d°

d<

de

а + 1

|£i(p 1 - Po)l _ |Um(pi) - Um(po) - (VUm(po),Pi - po)|

d<

d,

< 11 (dm) ,

где С\ = С\ (а, Ь, с, и, г, &аш Б).

Тогда из первого уравнения системы (8) получаем

dUm 9U

ж &o) - дх;(рo)

< М^-М + m^oÄ < ^+ h(dm).

de

de

а + 1

Также, ввиду эллиптичности (9), для всех х € Б можем оценить [3]

dU dU )

Ж(х) - Ж(po)

< |V U(х) - V U(рo)| < Сr—a|х - Pol" < Сr—ad,

—a ja

"щ.

Кроме того,

dU SU

^^m / \ \

(х) - (Po)

дХф ' дХ\

< ui (dm).

Оценим теперь первое слагаемое в равенстве (7)

dU (х)_ (х) дХ\(Х) дХ\(Х)

а + 2

< u(dm) + h(dm) + а^-C!r—adam

а + 1

Заметим, что функция V также всюду в Б удовлетворяет линейному эллиптическому уравнению

фд^^ d+b d2V \

А^х2(Х) + А дхгдх2 [Х) + АдЩ(х) +

Н1 , 5 (1 , (д (, д (D

0Х1

+

0Х1

А> (х) + (х^ ^V- (х) + ((х) + (х) | ^-(х) = 0,

дх2

дхл

дх2

О

dV_ дх2

где А = ас — bd.

Таким образом, для второго слагаемого равенства (7) выполнено

^ (Х)- ^ (х) дХ\(Х дХ\(Х)

В + 2

< U2(dm) + h(dm) + В+ТС2T—ßdßm,

В + 1

где С2 = С2(а,Ь,с, d, V, г, &ашБ).

Для оценки третьего и четвертого слагаемого обозначим

и

а + 2

qi = dm) + /i( dm) +--—C-1 r—ad\

—а да

а + 1 0 + 2

0_2 = М О + к( О +

В результате поворота системы координат система (3) примет вид

(х),

ал ( X) дЛ (x) + L* f)V

ox* = Lldx1 dXi

8V ( X) дЛ ( X) + L4 f)V

дХ* = Sx dX\

Тогда из этой системы и уже полученных оценок имеем:

9U f 9Um dVm

(x) -{Ll Ж (X) + L2 dx,(x)

dX-

L1 ж(X) - ж (X))+Ч ж(X) - ж(X))

dV

dX*

(

(x) - (Ls 1XT (x) + ( 1

< |Li|qi + IL2Iq2,

L4

dVm dXi

( X)

L31 ж(X) - ж (X)) + 4 IXl(X) - ж(X))

< |L3|gi + 1L41 q*.

Отсюда

|| Jf (x) - Am(x) || <

а + 2

< da-

< 1 1

а + 1

3 + 2

Cr—a (1 + |L| + |L3|) + diZ+yC*r-13 (1 + |L*| + |L4|) +

+ Ц(dm) + h(dm)) (1 + |L| + |L3p + MO + k(dm)) (1 + |L*| + |L4p .

Далее, обозначая

M = a+2Cl r—a( 1 + sup|Lj + sup | L3 а + 1 V xes

xes

M2

3 + 2 C2 r 13 ( 1 + sup|L2| + sup | L41 ] ,

3 + 1 V xes xes )

M3 = 1 + sup L + sup L3 ,

xes xes

M4 = 1 + sup L2 + sup L4 ,

xes xes

получаем требуемое.

Следствие 1. Пусть в области D с R2 задана последовательность {Рт}т=1 конечных наборов точек и их триангуляций Тт. Тогда, если выполнены условия (1), (2) и G ( D — произвольная компактно вложенная подобласть, то

max е( S) = max sup || Jf (x) — Am(x) 0 при m ^ x>.

seTm,s<zG seTm,s<zG

2. Аппроксимация дифференциалов решений эллиптической системы

по приближенным значениям

Рассмотрим теперь кусочно-гладкую аппроксимацию решений системы (3) по приближенным значениям в узлах Тт.

Для всякого Тт построим приближающее / отображение ¡т: Б ^ Б*, ¡т(х) = = (ит(х), Ут(х)) такое, что ит,Ут — кусочно-гладкие функции и

1ит(р) - и(р)1 < 8, 1Ут(р) - V(р)1 < 8,

для любой точки р Е Рт, 8 > 0.

Поставим ту же задачу и будем использовать такие же обозначения, как в разделе 1.

Кроме того, пусть для всякого натурального т существует отображение /т: Б ^ ^ Б*, (х) = (ит(х),Уг**(х)), которое является приближающим / отображением, таким что и*,У* — кусочно-гладкие функции и

Гт(р) = Кр) для любой точки р Е Рт.

Обозначим ш**^), ш**^) — модули непрерывности градиентов функций и*,У* соответственно и

1*м = [ш**(г)(И, I*((т) = (- [^(№

(т -У (т -У

0 0

Тогда верна следующая теорема.

Теорема 2. Если Ух Ев матрица отображения Ат(х) имеет вид (5), то справедлива оценка:

е(в) < М + М2(т + N (т) + 1*((т) + 2£) + N (ш*2((т) + 1*((т) + + + ( N + Мз) (Ш1 ((т) + Ь((1т)) + (N2 + МА) М(т) + к((т)) ,

где а = а(а ,Ъ,с,() > 0,3 = 3 (а ,Ь,с, () > 0,М = М (а,Ъ,с,(,и,г, (ИашБ,ф), М2 = = М2(а,Ь,с,с(,У,г, (И&тБ,ф),М3 = М3(а,Ь,с,(,ф), М4 = М4(а ,Ь,с,(,ф), N = N (а ,Ь, с, ф), N = т2(а, Ь, с,(,ф),г = ^^в, дБ).

Доказательство. Пусть, согласно теореме 1, используя функции ити коэффициенты системы (3), в в построено приближающее фф отображение А*гп(х) вида

(к, ^ (х) + К2 ^ (х) К ^ (х) + К4 д-§- ОгД 1т (х) + Кб Цф (х) К ^ (х) + к ^ (Х)) .

Заметим, что

|| (х) - Ат(х) ||<|| (х) - А*т(х) || + || А*т(х) - Ат(х) || . (10)

В теореме 1 получена оценка || (х) -А*т(х) Ц< М1(Тт + МА + Мэ {и\(йт)+ 1*М) + М^М + I* (¿т)) . (11) Поскольку элементы матрицы А*т(х) - Ат(х) = (а^) имеют вид

^ ,'ди* дИт, Л ^ (дУт

а 1 = (х) - (х)) {-Уг

к -дит() -Ит(л + к (дут

аа2 = кл ~ж(х) (х)) [--Г

'д11* ди \ / дУ*

Т^ I т ( \ т / \ \ . т/- I т

а21 = К5< ~дТ(х) (х)) +Кб [--Г

„ ,'ди* ч дИт, Л „ (-У1

а22 = к'| -ж(х) - -ж щ+к>\ -Ж

( х)- -Ут -1 ( х)

( х)- -Ут -1 ( х)

( х)- -Ут -1 ( х)

( х)- -Ут -1 ( х)

то для оценки || Ат(х)-Ат(х) || необходимо исследовать (х) - (х)

ди„

-1Т (х)-

- ^Г (х)

Имеем

д и* д и

<

д и* д и*

ж(х) - иТ ы

+

и* и

тт

Ш (Ро)

д

ди,

д

+

д и

т ( Г) ) дит (х)

дГ(Ро) (х)

(12)

Так как ш*(1) — модуль непрерывности градиента функции ит, то для первого слагаемого выполнено

д и* и*

ку ит (х) - V ит (Ро), /0)| < IV ит (х) - V ит ы| < ^¡(¿т),

(13)

где 0 — орт направления .

Аналогично, поскольку ш\(1) — модуль непрерывности градиента функции ит, то для третьего слагаемого выполнено

и д и

тт

(х)--оГ (Р о)

< (¿т).

д д

Из определений отображений / и /т для 1 = 0,1, 2 имеем

(14)

и

1ит(рг) - и(рг)1 < 5,

ivm(pt) - vЫ1 < s,

и?п (Рг) = U (рг),

С (Рг) = V (Рг).

(15)

Оценим теперь второе слагаемое в неравенстве (12). В силу (15) для I = 0,1, 2 получим

1ит(Рг) - и*т Ы1 = 1ит(Рг) - и (Рг) + И (Рг) - и*т (Рг)1 = 1ит(Рг) - ^ (Рг)1 < 5. Поскольку функции ит, ит — дифференцируемы в 5, то выполнено

ит{р 1) - ит{р\) =

= ит(ро) - ит (ро) + {Уит(р о) - уит (Ро),Р1 - Ро) + П (рг - р0) - г* (рх - 'ро),

где г\(р\ - р0),г*(р\ - р0) — остаточные члены при разложении по формуле Тейлора в точке р0 функций ит, ит соответственно. Тогда

SU dU*

~Ж(po) (po)

1

bl - Pol

KVUm (po) -vum (Po),Pl - Po)l <

< 1ит(р1) - ит (Р1 )1 + 1Цт(Ро) - ит (Ро )| + 1п (р1 - Ро) - Г**(рг - Ро)1 ~ \р\ - Ро I 1Р1 - Ро1 1Р1 - Ро1

В доказательстве теоремы 1 показано, что справедлива оценка

И(Р1 - Ро)1

|Pl - Po1

< l\(dm).

Аналогичная оценка может быть получена для .

Следовательно,

dU dU*

m m

~дТ(Р0) (Р0)

26

< ~Г + h (dm)+ l*(dm). ds

Таким образом, учитывая это неравенство, а также неравенства (13), (14), получаем

дит (х) дит (х)

~дГ(Х) (Х)

25

<— + h (dm) + l*(dm) + Vi (dm) + W*(dm).

ds

Проведя аналогичные рассуждения, имеем

dvm (x) dvm (x)

~df(x) - ~ж(x)

25

<— + l2(dm) + l*(dm) + V2(dm) + W*(dm).

as

Теперь справедлива оценка

|| А*т(х) — Ат(х) || < ^ + h(dm) + l\(dm) + ul(dm) + u*1(dm)^ +

+ ^ + hidm) + l*{dm) + U2(dm) + tj*(dm)^ ,

где

C\ = |Xi| + |Xa| + + IK71, C2 = + + |X6| + |X81.

Тогда из (10), (11) имеем

|| df (x) - Am (x) ||< М^ат + M2di + C\ (uKdm) + l**(dm) + + + C2 (dm) + 1*2 (dm) + + (Cl + Ma) Mdm) + ¿l(dm)) +

dsj

+ (С* + M4) M^m) + l*(dm)) .

Обозначая

Ni = sup |Xi| + sup |X3| + sup |X5| + sup |^7|,

xes xes xes xes

N2 = sup + sup | + sup |Хб| + sup | К8 |,

xes xes xes xes

получим требуемое.

Следствие 2. Пусть в области D с R2 задана последовательность {Pm}^=i конечных наборов точек и их триангуляций Tm. Тогда, если выполнены условия (1), (2), G < D — произвольная компактно вложенная подобласть и

max ---> 0,т ^ 00,

seTm,scG ds

то

max e(S) = max sup || Jf(x) — Am(x) 0 при т ^ x>. seTm,scG seTm,scG xes

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-01-97021-р_поволжье_а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белинский, П. П. Общие свойства квазиконформных отображений / П. П. Белинский. — Новосибирск : Наука, 1974. — 95 с.

2. Болучевская, А. В. С 1-аппроксимация решений эллиптических систем кусочно-гладкими отображениями / А. В. Болучевская // Вестник ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. — 2011. — № 2 (15). — С. 4-16.

3. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 464 с.

4. Клячин, В. А. С ^аппроксимация поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках / В. А. Клячин, Е. А. Пабат // Сиб. журн. индустр. мат. — 2010. — Т. 13, № 2 (42). — C. 69-78.

5. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. — М. : Дрофа, 2004. — Т. 2. — 720 с.

6. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — М. : Мир, 1964. — 830 с.

7. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия / Ф. Препарата, М. Шеймос. — М. : Мир, 1989. — 478 с.

8. Субботин, Ю. Н. Зависимость оценок многомерной кусочно полиномиальной аппроксимации от геометрических характеристик триангуляции / Ю. Н. Субботин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1989. — № 189. — C. 117-137.

9. Shewchuk, J. R. What is a good linear finite element? Interpolation, conditioning, anisotropy, and quality measures / J. R. Shewchuk. — Berkeley : Preprint, Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California at Berkeley, 2002. — 70 p.

REFERENCES

1. Belinskiy P.P. Obschiе svoystva kvazikonformnykh otobrazhеniy [General properties of quasiconformal mappings]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1974. 95 p.

2. Boluchevskaya A.V. C^approksimatsiya resheniy ellipticheskikh sistem kusochno-gladkimi otobrazheniyami [C^approximation of elliptic systems solutions by piecewise-smooth mappings]. Vеstnik VolGU. Sеr. 1, Matеmatika. Fizika [Journal of Volgograd State University, series 1, Mathematics. Physics], 2011, no. 2 (15), pp. 4-16.

3. Gilbarg D., Trudinger M. Ellipti^s^ diffеrеntsial'nyе uravmniya s chastnymi proizvodnymi vtorogo poryadka [Elliptic partial differential equations of second order]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 464 p.

4. Klyachin V.A., Pabat E.A. C^approksimatsiya poverkhnostey urovnya funktsiy, zadannykh na neregulyarnykh setkakh [C^approximation of level surfaces of functions defined on irregular grids]. Sib. zhurn. industr. mat. [Journal of Applied and Industrial Mathematics], 2010, vol. 13, no. 2 (42), pp. 69-78.

5. Kudryavtsev L.D. Kurs matеmatichеskogo analiza [Calculus], vol. 2. Moscow, Drofa Publ., 2004. 720 p.

6. Courant R. Uravmniya s chastnymi proizvodnymi [Partial differential equations]. Moscow, Mir Publ., 1964. 830 p.

7. Preparata F., Shamos M. Vychislitеl'naya gеomеtriya [Computational geometry]. Moscow, Mir Publ., 1989. 478 p.

8. Subbotin Yu.N. Zavisimost' otsenok mnogomernoy kusochno polinomial'noy approksimatsii ot geometricheskikh kharakteristik triangulyatsii [Dependence of estimates of multidimentional piecewise-polynomial approximation on triangulation geometrical properties]. Tr. Mat. in-ta AN SSSR [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 1989, no. 189, pp. 117-137.

9. Shewchuk J.R. What is a good linear finite element? Interpolation, conditioning, anisotropy, and quality measures. Berkeley, Preprint, Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California at Berkeley, 2002. 70 p.

APPROXIMATION OF DIFFERENTIALS OF ELLIPTIC SYSTEMS SOLUTIONS

Boluchеvskaya Anna Vladimirovna

Assistant Teacher, Department of Computer Science and Experimental Mathematics

Volgograd State University

[email protected]

Prospekt Universitetskij, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. We consider the elliptic system of differential equations and construct piecewise smooth approximation of its solution using precise and approximate values at the triangulation nodes. These piecewise smooth mappings are used to approximate the differential of the solution with an error that does not depend on the level of triangles degeneracy.

Let {Pm}m= i be an array of finite sets of points in the domain D c R2. For every set we consider its triangulation Tm.

Suppose dm = max ds where ds is a length of the maximum side of a

seTm

triangle S G Tm.

Let f : D ^ D*, D* c R2 be a mapping such that f (x) = (U(x),V(x)),x G G D,x = (x1,x2), where U,V G C2(D) are the solutions of the elliptic system

dU . . J^ dV . . a—(x) + b— (x) = —(x), ax1 ox2 ax2

,dU . . dU dV, ,

d(x) + c-7— (x) = -—- (x), ax1 ox2 ax1

a = a(x),b = b(x),c = c(x),d = d(x) G C1 (D), ac - (^^)2 > 0 in D.

For every Tm we construct an approximating mapping fm : D ^ D*, fm(x) = (Um(x), Vm(x)), such that Um,Vm are piecewise smooth functions and

fm(p) = f (p) for any p G Pm.

Suppose dxf is the differential of f at the point x G D, Jf (x) is the Jacobian matrix of f at the point x.

For every S G Tm we construct a mapping Am(x), x G S that approximates dxf using functions Um, Vm and coefficients of the elliptic system. We also show that the approximation error

e(S) = sup || Jf (x) - Am(x) ||

xes

does not depend on the level of the triangle S degeneracy.

The same results are obtained if we use an approximating mapping fm : D ^ ^ D*, fm(x) = (Um(x), Vm(x)), such that Um,Vm are piecewise smooth functions and

lUm(P) - U(p)l < 6,

ivm(p) - V(p)l < 5,

for any p G Pm, 5 > 0.

Key words: piecewise smooth approximation, approximation of the differential, triangulation, elliptic system of equations, approximation error.