CC BY
34
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА—КНОППА В ЗАДАЧЕ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
М. М. Кабардов
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]
1. Введение. Использование разложения функций в ряды по многочленам Лагерра в задаче обращения преобразования Лапласа имеет длинную историю. Это объясняется тем, что изображение ряда Лагерра конформным отображением приводится к степенному ряду, который допускает применение удобных схем ускорения сходимости ряда Лагерра. Также на разложении в ряд Лагерра основан один из методов обобщения операционного исчисления (см. [1]). В работах [2, 3] рассматривалась схема ускорения сходимости ряда Лагерра, основанная на применении преобразования Эйлера—Кноппа к соответсвующему степенному ряду. Там же были предложены способы выбора параметра суммирования Эйлера—Кноппа в частных случаях расположения особенностей изображения. В статье [4] предложен способ выбора параметра в общем случае и обсуждены вопросы влияния регулярности преобразования Эйлера—Кноппа. В данной работе рассматривается метод ускорения сходимости, равносильный применению суммирования Эйлера—Кноппа, и который может служить его геометрической интерпретацией. При этом в отличие от суммирования каким-либо другим методом отпадает необходимость исследования регулярности.
Приведем краткое описание схемы суммирования ряда Лагерра. Пусть
где Ь — положительный параметр, Ь> 2А. Подставив разложение (2) в (1), найдем
Преобразованием г = (в — Ь)/в полуплоскость Ив в > Ь/2 отображаем на круг |г| < 1. Пусть вЕ(в) регулярна в некоторой окрестности точки в = ж. Тогда из представления (2) следует, что функция
(1)
Оригинал представим в виде ряда по многочленам Лагерра:
/ (*)=£ ак^к (Ь"0 ?
(2)
к=0
(3)
© М.М.Кабардов, 2009
регулярна в некотором круге |г| < |^о| радиусом |^о| > 1, где ¿о —наименьшая по модулю особенность у>(.г). Преобразование Эйлера—Кноппа последнего ряда имеет вид
^ ^ zk k ik\
Ф) =Y.akzk = Y.Ak^ (I -PZU+1 ’ Ak(p)='52[.)(-p)k~jaj ■ (4)
k=0 k=0 ( p ' j=0
Известно, что если функция-оригинал /(£) имеет вид (2), а параметр р удовлетворяет неравенству Ие р < 1, то справедливо представление
[ Ьрг Ак(р) ( Ы \
Следуя [2], назовем коэффициентом сходимости (КС) произвольного ряда У~] gn(z)
п=0
величину Л = lim ^„(z)!1/" и рассмотрим вопрос выбора параметра р так, чтобы КС
П—— Ж
ряда (5) был минимальным.
2. Преобразование ряда Лагерра. Прежде всего заметим, что КС ряда (5) совпадает с КС ряда
\ ’ Ак(р)
S(i-p)t+i' ()
Это следует из асимптотической формулы для многочленов Лагерра [5] при к ^ ж:
Lk(z) = -^-j= ez/2(-,fcz)~1/4exp (2(-kz)1/2) ^^С^(г)к^з/2 + О (к^ч/2^
где 2 принадлежит комплексной плоскости с разрезом вдоль положительной полуоси, Cj(z) регулярны в этой же плоскости с разрезом. Отсюда lim \Lk{z)\l/k = 1 при любом
n——ж
значении z (случай вещественных z > 0 рассмотрен в [2]), что и делает очевидным наше утверждение.
Следовательно, КС ряда (6) равен A(p)/|1 — p , где A(p) = lim |Ak(p)|1/k. В [6] бы-
k—— ж
ло установлено, что p и A(p) суть, соответственно, центр и радиус замкнутого круга K(p, A(p)), который содержит все точки tj = Sj/(sj — b), Sj —особенности функции sF(s), причем по крайней мере одна точка лежит на границе этого круга. Отсюда следует, что A(p)/|1 — p | = sin(e/2), где в — угол, под которым круг K(p, A(p)) виден из точки t = 1. Поэтому геометрически задача argmin(A(p)/|1 — p ) состоит в нахождении центра круга K (p, A(p)), который виден под наименьшим углом из точки t =1. Перенесем эти построения из плоскости (t) в плоскость (s).
При отображении s = bt/(t — 1) две прямые, проходящие через точку t =1 под углом y друг к другу, перейдут в прямые, проходящие через точку s = b под углом —7. Внутренность окружности dK(p, A(p)) перейдет во внутренность ее образа. Прямые, проходящие через точку t = 0, перейдут в окружности, проходящие через точки s = 0, s = b. Положим t0 = arg max |tj | (таких точек может быть несколько). Окружность
j
|t| = |t0| перейдет в окружность с диаметром [b|t°|/(|t°| — 1), b|t0|/(|t0| + 1)].
Рис. 1.
С учетом этих замечаний задача нахождения оптимального параметра р может быть решена в плоскости (в). Для этого достаточно выполнить следующее:
1) найти круг К(смин, гмин), который содержит все особенности в^1(в) и виден под наименьшим углом из точки в = Ь (см. рис. 1);
2) по радиусу гмин и центру стмин найти в! и в2 по формуле
, А А Ь — ^мин /_ч
^ 1,2 — & мин ^ V минЦ ч Ц — и | ) (О
1 Ь ^мин 1
3)
вычислить
t(si)+t(s2) ^ S
Роит = -------Г------, t{s) = -----(8)
2 s — b
В частности, если функция sF(s) имеет только одну особую точку S, то S1 = S2 = ^мин = S и Ропт = (t(si) + t(s2))/2 = s/(s - b).
3. Геометрическая интерпретация преобразования Эйлера—Кноппа. Покажем сначала, что КС исходного ряда (2) lim |ak|1/k = 1/|zo| определяется величиной
к——ж
угла, под которым из точки s = b виден некоторый круг, содержащий все Sj.
Окружность |z| = r (r > 1) есть образ окружности Mr, которая проходит через точки s = b/(1 ± r). Касательные к последней, проведенные в точках пересечения с мнимой осью, проходят через точку s = b. Поэтому r = 1/ sin(e/2), где в — угол, под которым окружность Mr видна из точки s = b. Следовательно, lim |ak |1/k = 1 /1zo| =
k—— ж
sin(eMHH/2), где вмин — угол, под которым видна окружность Mr наименьшего радиуса, обладающая свойствами:
— на Мг или внутри нее содержатся все особенности (в);
— касательные к Мг, проведенные в точках пересечения с мнимой осью, проходят через точку в = Ь.
Заключим теперь все особенности (в) в круг К (а, г), который виден под наименьшим углом в из точки в = 6. Пусть £ — точка пересечения прямых, одна из которых проходит через центр в = а круга К (а, г) и точку в = 6, а другая — через точки касания к кругу К (а, г) прямых, проходящих через в = 6 (см. рис. 1). Заменой т = (в-£)/(6—£) 6 перенесем указанные прямые на координатные оси плоскости (т) так, что точка в = £ перейдет в начало координат, а точка в = 6 останется на месте (см. рис. 2). Новому
Рис. 2.
изображению С(т) = ^ ((6 — £)/6т + £) соответствует оригинал
!’(<)=ь^ехр(_ь^с*)/(^е*) '
Разложим функцию $(і) по многочленам Лагерра:
Ж
^(^) ^ ^ Ск^к(6^ ,
к=0
тогда
6 — £ ж
/(¿) = —ехр(£г)^с^((6-£)£). (9)
к=0
Коэффициенты Ск определяются из разложения функции
к=0 Отсюда
■ ф(к)(0) 1 Г Ь г(Ь-£ Л <1,V
к к\ 2жі ]с I — V VI-« >‘+г ^ ^
Замечание. Для вычисления коэффициентов ек нужно найти £. Вместо этого нам будет удобно найти сначала центр а и радиус r = max |а — sj | соответствующего круга
j
K(а, r) и выразить £ через эти числа. Положим
max |а — Sj | max |амин — Sj | ^
j j • Р
mm ---------j =------- ----------j— = sin —.
a |b — а| |b — амин| 2
Из рис. 1 видно, что sin(e/2) = |амин — £|/гмин, где Гмин = max |амин — Sj|. Следовательно,
|амин £| =
Г2
|b амин|
Г2
^ — ГГ —12" _ ¿’мин) + О'мин- (И)
|Ь ^мин|
В частности, если функция в^1(в) имеет только одну особую точку в, то гмин = 0 и
£ = ^мин = в.
Описанный метод ускорения сходимости равносилен применению преобразования Эйлера—Кноппа с параметром суммирования р, определяемым из условия минимума А(р)/|1 — р |. Чтобы убедиться в этом, сделаем в формуле (4) замену и = г/(1 — рг) и рассмотрим функцию
ф(м) = тх—1р(ТТ—) = ^2Ак^ик ’
1 + ри \ 1 + ри / ^-0
где
¿и 1 / Ь „ / Ь(1 + ри) \ ¿и
Ak(-pS) 2тг г JCl<i>(-uS)uk+1 2mJCll + (p-l)uF\l + (p-l)u)uk+1' ^
Далее, из формул (8) и (7) имеем
2 \ / / Л
р __ ^(gl) Н~ ¿(¿>2 ) _ f амин ___ ^ыин \ / ( ]_ _ ^мин
ми2
амин b |b амин| / / V |b амин|2 /
Используя равенство (11), находим, что р = £/(£ — Ь), откуда £ = Ьр/(р — 1). Подстановка последнего выражения в (10) дает
1 I Ь 1 — р Ьр \ ¿V
Ск = 7~. ----------ЛЬ------- + ^ '
2ni Ус 1 — v \ 1 — v p — 1/ vfc+1 После замены v = (1 — p)u, используя выражение (12), получаем представление 11 f b ( b(1 + pu) \ du Afc(p)
2ni (1 — p)k Ja2 1 + (p — 1)u V1 + (p — 1)W ufc+1 (1 — p)k
Подставив в формулу (9) значения £ = bp/(p — 1) и = A^(p)/(1 — p)k, получим представление (5).
и
1. Амербаев В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра. Алма-Ата, 1974. 184 с.
2. Лебедева А. В., Рябов В. М. Об обращении преобразования Лапласа с помощью рядов Лагерра и квадратурных формул // Методы вычислений. Вып. 19. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. C. 123-139.
3. Gabutti B., Lepora P. The numerical performance of Tricomi’s formula for inverting the Laplace transform // Numer. Math. 1987. Vol. 51. P. 369-380.
4. Кабардов М. М. О суммировании ряда Лагерра методом Эйлера-Кноппа в задаче обращения преобразования Лапласа // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. Вып. 4. С. 84-89.
5. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М., 1962. 500 с.
6. Кабардов М. М. О применении метода суммирования Эйлера—Кноппа к ряду Лагерра // Методы вычислений. Вып. 22. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. C. 77-81.
Статья поступила в редакцию 21 октября 2008 г.
