CC BY
116
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. И. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 48211. ISSN 1994-0408
приложение
Гаспар-Гюстав Кориолис и эйлеровы силы инерции # 6, июнь 2017
1 1 Феоктистов В.В. , Феоктистова О.П. ,
7 *
Чернышева И.Н. '
УДК 531 (093)
1АО Центральный научно-исследовательский институт автоматики и гидравлики, Москва, Россия
МГТУ им. Баумана, Москва, Россия
*
У выдающихся людей редко бывает спокойная жизнь: талант мешает, заставляет все время штурмовать новые вершины и добиваться признания своих открытий. И редкие исключения только подтверждают правило. Гаспар-Гюстав де Кориолис, французский математик, механик и инженер - такое исключение. Он прожил на редкость тихую и незаметную жизнь, но оставил после себя настоящие сокровища мысли.
Гаспар-Гюстав де Кориолис (Gaspard-Gustave de Coriolis) родился 21 мая 1792 года в Париже, в семье небогатых дворян. О его родителях известно мало: только то, что они оказались достаточно разумны, чтобы покинуть Париж накануне разгула террора, а вернулись уже в качестве чинных буржуа. Существуют сведения, будто его отец даже занялся торговлей, и в мирные времена даже стал хозяином фабрики, на которой делали фортепьяно.
Гаспар-Гюстав всегда был очень болезненным ребенком. Леон Фрейман в своей работе «К истории доказательства теоремы Кориолиса» цитирует одного из знакомых ученого, утверждавшего, что у Кориолиса «каждое утро возникала проблема, как прожить до вечера». Все были уверены, что Гаспар-Гюстав умрет рано: такой болезненный, в те времена, когда низкий уровень развития медицины здоровым-то людям не всегда позволял дожить до старости. Возможно, именно поэтому Гаспар-Гюстав никогда не был карьеристом, покорно соглашался на те места и должности, которые ему предлагали, на досуге занимался наукой, не надеясь прославиться при жизни. Он так и не женился, не имел детей. В молодости его опекали родители, в зрелом возрасте и до старости - сестра и ее супруг: отец оставил фабрику сыну и зятю, но без всяких надежд, что семейным делом станет заниматься Гаспар-Гюстав, он явно не был на это способен...
В 1808 году Гаспар-Гюстав окончил Политехническую школу, в 1812 году - Школу мостов и дорог, некоторое время работал, как инженер, на строительстве, с 1816 года начал преподавать в Политехнической школе, где вскоре получил звание профессора. Там же он тихо делал карьеру: был назначен директором учебной части школы, в 1829 году перешел преподавать математику в Школу искусств, а в 1836 году стал членом Парижской Академии Наук.
Его научные интересы были связаны с решением технических задач, и он использовал не строго научные методы, но и развивал саму теоретическую механику. В 1829 г. в своей работе «Курс механики твердых тел и расчета мощности машин» де Кориолис писал, что в существовавших в то время прикладных работах, посвященных действию машин, теория двигателей развита не полностью, а с другой стороны, труды по теоретической механике не содержат почти ничего, относящегося к теории машин. Свою задачу Ко-риолис видел в устранении этого пробела.
Именно де Кориолис первым сформулировал понятия «механическая работа» в его современном понимании. В связи с формулировкой нового понятия и свойствами определяемой им физической величины он предложил переопределить понятие «живая сила», использовавшееся в то время вместо современного термина «кинетическая энергия». Работу над теоремой о сложении ускорений Кориолис также начал в прикладных целях, в
первой из статей, посвященных этой теореме, он писал: «Определение движения системы тел, присоединённых произвольным образом к точкам, которые сами переносятся в пространстве, является одним из вопросов, наиболее интересных в теории машин».
6 июня 1831 года де Кориолис сделал в Академии наук доклад, посвящённый доказательству теоремы в предварительном варианте, а в следующем, 1832 году, в свет вышла его статья, написанная по материалам этого доклада. 1835 год считается годом появления теоремы Кориолиса в её общем виде.
Наиболее известные работы де Кориолиса: «Calcul de l'effets des machines», «Traité de mécanique des corps solides», «Théorie mathématique du jeu de billard».
Де Кориолис всегда очень серьезно относился к своим работам, но совершенно не ценил своих достижений, возможно, скромность его была столь велика, что он даже не понимал значения своего вклада в науку. Единственный его портрет работы де Ролле был написан в 1841 году и не сохранился: сохранились лишь гравюры с этого портрета. Интересно, что портрет художник начал писать, не зная, что позирует ему ученый: для него де Кориолис был совладельцем фабрики фортепьяно, человеком с интересной и романтической наружностью.
Гаспар-Гюстав де Кориолис умер в 19 сентября 1843 года в возрасте пятидесяти одного года. Похоронен на кладбище Монпарнас в Париже. Семейное надгробие настолько скромное и настолько истерто временем, что его легко не заметить, пройти. Но памятник Гаспару-Гюставу де Кориолису является символом Парижа: его фамилия входит в список из 72 величайших французских ученых, который помещен на Эйфелевой башне.
Рассмотрим подробно и последовательно причину того, что нет ни одного человека, имеющего естественнонаучное образование, который не знал бы фамилии «Кориолис», не использовал бы его вклад в решение теоретических или практических задач техники.
В связи с формулировкой нового понятия и свойствами определяемой им физической величины, он предложил переопределить понятие «живая сила», использовавшееся в то время вместо современного термина «кинетическая энергия». Наименование «живая сила», введенное Лейбницем, первоначально обозначало величину, равную произведению массы тела на квадрат его скорости, т.е. Т = шу2. Кориолис предложил кинетическую
„ шу 2
энергию «живую силу» выражать в виде Т = , как это принято сегодня.
Работу над теоремой о сложении ускорений Кориолис также начал с прикладных задач. 6 июля 1931 г. Кориолис сделал во Французской Академии наук доклад, посвященный доказательству теоремы о «живой силе» в относительном движении в предварительном варианте, а в следующем, 1832 г., в свет вышла его статья, написанная по материалам этого доклада. Носящая его имя теорема дана в «Исследовании о приложении принципа живых сил в относительных движениях системы тел».
На русский язык переведен его любимый труд «Математическая теория явлений биллиардной игры», где он поставил задачу о движении шаров по плоскости при наличии трения и дал изящное и остроумное аналитическое и графическое решения этой задачи.
Вернемся к теореме Кориолиса.
В 1687 г. И. Ньютон в своей работе «Математические начала натуральной философии » дал обоснование трем аксиомам, шести следствиям и одному поучению наиболее полно описывающим движение материальных точек и тел, происходящего на Земле. Законы классической механики постулируются для движения материальных точек и тел по отношению к некоторой «абсолютной» системе отсчета, за которую может быть принят трехгранник, образованный осями какой-либо прямоугольной декартовой системы координат с началом в центре масс нашей Солнечной системы (гелиоцентрическая система) и осями, направленными на удаленные звезды.
Принято называть эту систему координат галилеевой или инерциальной, перемещающейся поступательно, прямолинейно и равномерно относительно «абсолютной» системы.
Движение тел по отношению к любой инерциальной системе координат подчиняется одним и тем же по форме записи законам Галилея-Ньютона. В этом смысле все инерци-альные системы координат равноправны.
Всякая система аксиом должна быть полной и независимой, т.е. отдельные аксиомы не должны быть частным случаем или следовать из других аксиом. Аксиомы классической механики не являются независимыми. Они не образуют и замкнутой системы, удовлетворяющей условию полноты и другим требованиям, предъявляемым к системам аксиом. Академик А.Ю. Ишлинский говорил, что не родился еще в механике Д. Гильберт, которому удалось аксиоматизировать геометрию.
Обычно, наряду с основными независимыми понятиями пространство, время и массы в механике привлекается еще одно, а именно сила. Основное уравнение динамики связывает все эти понятия воедино, уменьшая число независимых из них на единицу. Поня-
тие сила, согласно определения А.Ю. Ишлинского [1-2], можно представить в трех точно разграниченных видах. Это ньютоновы (физические или естественные) силы, даламберо-вы сила инерции и силы инерции эйлеровы. Силы инерции эйлеровы - означают совокупность переносных и кориолисовых сил, зависящих от выбора подвижной системы координат.
Ньютоновы силы вызывают ускорения тел в абсолютной системе координат. Реально существующие по определению А.Ю. Ишлинского «объявляются лишь силы, вызывающие ускорение материальных точек и тел относительно «абсолютной» системы координат. Эти силы именуются в дальнейшем силами физическими или естественными. Быть может, уместно их называть также ньютоновскими силами. Они выражают меру механического взаимодействия тел в природе и могут различаться по своему физическому характеру: силами тяготения, электрическими и магнитными силами, силами упругости и пластичности, гидростатическими силами, силами сопротивления среды и некоторыми другими видами сил, например, силой давления света.
В результате детального рассмотрения нередко обнаруживается общность сил, казалось бы, совершенно различных. Так, в частности, силы упругости могут трактоваться как суммарное проявление сил электрических, взаимодействующих между молекулами или атомами данного тела. В классической механике принято считать, что ньютоновы силы встречаются в природе попарно и удовлетворяют 3-му закону Ньютона [3 - 5].
Перечисленными свойствами силы инерции эйлеровы и даламберовы не обладают, поэтому их следует считать нереальными, т.е. фиктивными или псевдосилами.
Даламберовы силы инерции подробно рассмотрены в работе авторов [6]. Они вводятся при рассмотрении «абсолютного» движения взаимосвязанных материальных точек и тел; и представляют собой воображаемые силы, каждая из которых равна произведению массы точки на ее абсолютное ускорение, но направлена в сторону, противоположную этому ускорению. Даламберова сила инерции фиктивная, она не является физической силой и называется силой инерции. В работе [ 6 ] подробно рассмотрен метод кинетостатики, при котором вводятся эти силы.
Эйлеровы силы инерции (кориолисова и переносная) вводится при рассмотрении движения точек и тел по отношению к подвижной системе координат как реальных сил, которые действуют на механическую совокупность в предположении, что подвижная система координат условно принимается за неподвижную. И эйлеровы и даламберовы силы не являются силами физическими и в этом смысле нереальны. Введение таких сил чисто условно, хотя в ряде случаев они оказываются удобными для решения и пояснения отдельных задач и явлений в механике.
Обратимся подробнее к эйлеровым силам инерции.
Чтобы их ввести и объяснить как с их помощью решаются задачи механики, нужно предварительно рассмотреть кинематическую теорему Кориолиса.
При рассмотрении сложного движения материальных точек приходится рассматривать изменение векторных величин с течением времени по отношению к системам отсче-
та, движущихся относительно друг друга. Пусть вектор Ь [4] движется относительно подвижной Охух и неподвижной О1х1у1х1 систем координат (рис. 1).
Рис. 1
Тогда согласно формуле Бура его изменение относительно неподвижной системы координат Ох\У\^ складывается из его изменения в подвижной системе координат Охух
аь
и оно равно ^-относительной (локальной) производной и плюс {со х Ь), т.е.
ёЬ &Ь о ° — =--\-ах Ь
(1)
где сС - угловая скорость подвижной системы Охух относительно неподвижной системы О1х1у1х1 координат.
Формула (1) годится для любого вектора, который может изменяться одновременно относительно подвижной и неподвижной систем координат
Пусть ОХУ1Х -неподвижная система координат, а Охух подвижная (рис. 2).
Абсолютным движением точки называется ее движение относительно неподвижной системы осей координат, а относительным - ее движение относительно подвижной системы координат. Переносным движением точки называется ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой осей относительно неподвижных.
Пусть точка М движется относительно подвижной системы координат. Векторы р и г (рис. 2) характеризуют положение точки М относительно неподвижной и подвижной систем осей координат, а вектор р0 точки О.
Рис. 2
Тогда для любого момента времени
Продифференцируем по времени это векторное тождество, учитывая изменения векторов относительно неподвижных осей координат, т.е. вычислим полные производные. Получим, используя формулу Бура для вектора Г
(3)
v = v0 + 0Х r + vr
dp
. dp0
где V =--абсолютная скорость точки М; —0 = у0 - абсолютная скорость точки О.
dt
dt
dr dr ^ ^
- =--hßX Г .
dt dt
dr _ ^ dt = Vr.
dr
Тогда ve = v0 + o> x r - переносная скорость, а vr = — - относительная скорость точ
dt
ки.
Окончательно получим
v = v« + vr
(4)
т.е. скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.
Абсолютное ускорение точки М определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости точки М Тогда
^ й _ ^ ^ ч йа ^ ^ йг й\г
а = — = — (у0 + йх г + уг ) = —0 н--х г + йх--1--- .
dt dt dt dt dt dt
Используя формулу Бура для полных производных для векторов Г и \г, получим:
(5)
■ + ах г
й\г й\г о о
—L + —L + с х уг
получим для абсолютного ускорения точки М
ам = а0 + £ х г + юх(юх
{с х г) + аг + 2{3 х уг )
(6)
(7)
(8)
где
= ап
= 8
(9)
¿/г _ ¿/у
— = V,., —- = а. & г & г
В формуле (8) первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела, в общем случае его движение вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое а0 - ускорение точки 0, 8 х г и сох{рх г) -
соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки М , если бы она двигалась только вместе с подвижной системой осей координат, не имея в рассматриваемый момент времени относительного движения. После этого уравнение (8) примет вид
а = ае + аг + ак,
где
а,
= 2{3х уг )
(10) (11)
называется ускорением Кориолиса.
Рис.3
Формула (10) выражает кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений - переносного, относительного и Ко-риолисова. Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений: переменного и относительного . Часть его (йх V, ) получается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть, тоже (ах V) есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения. Это следует из анализа формул при выводе абсолютного ускорения [2].
Направление ускорения Кориолиса можно получить, используя правило векторного произведения, т.к.
ак = 2(3 XV,.), ы = сое (рис. 3).
Для получения динамической теоремы Кориолиса воспользуемся кинематической теоремой Кориолиса и уравнением движения точки относительно инерционной системой отсчета.
Пусть имеем: ОХУ^ - инерциальную систему отсчета и материальную точку М массой т , на которую действуют приложенные силы Р и N , где Р - равнодействующая заданных активных сил; N - равнодействующая сил реакций связей. Если ам - абсолютное ускорение точки, т.е. ее ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Тогда имеем уравнение движения точки в векторной форме имеем:
там = Р + N. (12)
Если рассмотреть движение материальной точки относительно системы отсчета, движущейся относительно инерциальной системы, то нужно ввести неинерциальную систему отсчета Охух (рис. 4).
Рис. 4.
Эта неинерциальная система в общем случае может двигаться относительно инерци-альной как свободное твердое тело.
Согласно кинематической теоремы Кориолиса абсолютное ускорение точки М будет определяться по формуле:
аМ = ае + аг + ак (13)
Подставляя (13) в (12), получим для таг выражение в виде
та =Р + М+Ф^ + Ф-.
(14)
где Фе = -тйе; Фк = -так называют соответственно переносной и кориолисовой силами
инерции или эйлеровыми силами инерции. Получена динамическая теорема Кориолиса, или уравнение относительного движения точки в векторной форме: материальная точка движется относительно неинерциальной системы отсчета так же, как и относительно инерциальной, только к приложенным активным силам и реакциям связей следует добавить переносную и кориолисову силы инерции. Силы инерции Фе и Фп являются поправками на неинерциальность системы отсчета.
Пример [7]. Кольцо М движется по гладкому стержню АВ, который равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец А , делая один оборот в секунду: длина стержня 1 м; в момент / = 0 кольцо находилось на расстоянии 60 см от конца А и имело скорость, равную нулю.
Определить момент I , когда кольцо сойдет со стержня (рис. 5).
X,_
Рис. 5.
Решение: В задаче следует определить параметр относительного движения, а именно время относительного движения кольца. Пусть ОХУ^ - неподвижная система координат, а Ахуг - подвижная система координат жестко на связанная со стержнем, ось Аг которой связана с осью вращения ¿о . Точка схода кольца со стержня находится в подвижной системе координат.
Применим к данной задаче динамическую теорему Кориолиса. Для этого введем в рассмотрение все силы (рис. 4), где Р - сила тяжести , N и N - силы реакции связей, Фе и Фк - силы инерции переносного движения и сила инерции Кориолиса.
та., = Р + КТ+Ф{+ Ф,
Проекция дифференциального уравнения движения кольца М на ось A у примет
вид:
ту = та2 у
или
у -а2у = 0.
Начальные условия: при / = 0 у0 = 0,6 м, у0 = 0 м / с .
Характеристическое уравнение которого:
I2 -а2 = 0.
имеет корни ^ = ±а.
Общее решение движения кольца имеет вид:
у = С еа + С2е-а, где С, С2 - произвольные постоянные.
При / = 0, у\=а = у0 = 0,6 м , у = 0 м / с . Тогда
0,6 = С + С,
0 = С а а - С а. Произвольные постоянные равны:
С = С = 0,3.
Окончательно запишем решение движения кольца относительно стержня
у = 0,3в2м + 0,3в-2м .
Для определения ?, когда кольцо сойдет со стержня, сделаем подстановку, обозначим через новую переменную ^ = е2л'. Тогда уравнение относительно z примет вид, учитывая, что длина трубочки равна 1 м
1 = 0,3, + 03,
или
,2 - — +1 = 0, 0,3
1 1п3
решая которое получим 2 корня ^ = 3 и ^ = — или ^ = , откуда t =- второе значе-
3 2п
ние z2 = 1 не может быть решением, т.к. получается отрицательное время, что не имеет
1п3 __ „
смысла и, следовательно, t =- и определяет тот момент времени, когда кольцо М сой-
2п
дет со стержня.
Таким образом, при рассмотрении относительного движения точки мы вынуждены вводить помимо активных сил и сил реакции связи еще и эйлеровы сила инерции, учитывающие движение самой подвижной системы координат [8].
Ньютоновы (физические) силы и силы инерции эйлеровы (переносные и кориолисо-вы) в классической механике отличны друг от друга коренным образом. Эйлеровы силы инерции существенно зависят от выбора подвижной системы координат. Абсолютного ускорения они не вызывают и 3 (третий) закон Ньютона на них не распространяется. Однако векторные величины, не имеющие физической природы, представляют значительные удобства при составлении и анализе решений уравнений движения механической системы.
При написании работы авторы опирались на фундаментальные понятия, которые возникают при изучении движения материальных точек и тел в неинерциальной системе отсчета. Академик А.Ю. Ишлинский ввел новые понятия при классификации сил инерции ( Кориолиса и переносных), назвав их силами Эйлера. До сих пор при рассмотрении сил инерции Д'Аламбера и Эйлера существуют определенные затруднения, которые весь 20-ый век будорожили умы механиков, которые в своих воззрениях были четко разделены на механиков, изучающих движение твердого тела и механиков, изучающих движение сплошных сред (аэромехаников, гидромехаников и др.). Введенные А.Ю. Ишлинским понятие Эйлеровых сил инерции опирается на еще одно фундаментальное понятие, как подвижные и неподвижные системы координат, которые как раз и представлены координатами Лагранжа и Эйлера. Работа А.Ю. Ишлинского для определения и пояснения всех этих понятий была им представлена [2] по просьбе преподавателей кафедры «Теоретическая механика» МГУ им. М.В. Ломоносова.
Опыт преподавания в МГТУ им. Н.Э. Баумана показал, что при подготовке специалистов высокой квалификации имеются те же трудности. При изучении механических дисциплин следует ввести наряду с понятием силы инерции Д'Аламбера для кориолисо-вых и переносных сил инерции понятие силы инерции Эйлера.
Список литературы
1. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскоп и инерциальная навигация. - М., Наука, 1976, 672 с.
2. Ишлинский А.Ю. Механика относительного движения и сил инерции. - М:, Наука, 1981, 191 с.
3. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. М. Государственное издательство физико-математической литературы, 1960, с. 516.
4. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник. 8-е изд.,
5. - СПб.: Издательство «Лань», 2011. - 720 с.: ил. - (Учебник для вузов. Специальная литература).
6. Феоктистова О.П., Ефремова Л.Е. Динамика точки. Методические указания по курсу теоретической механики к теме «Динамика» для студентов дневной производственной форме обучения: М., МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1988, с. 48.
7. Феоктистов В.В., Феоктистова О.П., Чернышева И.Н. Жан Лерон ДАламбер и его принцип в современной интерпретации: Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. М., 2016, elSSN: 1994 - 0408.
8. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учебное пособие. 51-е изд., /Под ред. В.А. Пальмова, Д.Р. Меркина. - СПб.: Издательство «Лань», 2012. - 448 с.: ил. -(Учебник для вузов. Специальная литература).
9. Фрейман Л. С. К истории доказательства теоремы Кориолиса // Труды института истории естествознания и техники / Гл. ред. Н. А. Фигуровский. — М.: АН СССР, 1956. — Т. 10. — С. 213—244.
